超越半鞅的投资组合优化：影子价格和

为了在我们的“抽象设置”中确保这一点，我们在[41]中的命题3.2使用集合D是D inL+（P）的闭、凸和实壳，并且D在可数凸组合下是闭的。这直接源于D在概率上是凸闭的假设和单调收敛定理的应用。第3步和第10步还显示了原始和双优化的动态特性，我们不需要在这里证明。将上述抽象对偶定理应用于交易成本下的投资组合优化，我们就可以证明定理3.1。定理3.1的证明。首先，我们回顾了[20]中正半行效用函数交易成本下投资组合优化的一些定义。对于x>0，我们用λ（x）表示所有自融资交易策略的集合φ=（φt，φt）0≤T≤Tunder交易成本从初始捐赠开始（φ，φ）=（x，0）t为0-可接受，即Vliqt（φ）≥ 0代表所有t∈ [0，T]。所有可选强上鞅导数的集合Bλ（y）由所有非负可选强上鞅y=（Yt，Yt）0对组成≤T≤t对某些人来说Y=Y，Y=YeS- λ） S，S]-值进程=（eSt）0≤T≤Tand Y（~n+~neS）=Y~n+Y~n是一个非负可选的强上乘函数∈ A（1）。

注意Zλe Zλa Bλ（1）。我们定义了以下集合Cλ=Cλ（1）={VliqT（|）||∈ Aλ（1）}，Cλ（x）={VliqT（|）|∈ Aλ（x）}，x>0，Dλ=Dλ（1）={YT|Y∈ Bλ（1）}，Dλ（y）={YT|y∈ B（y）}=yDλ，y>0，Dλ={ZT|Z∈ Zλe}，Dλ={ZT|Z∈ Zλa}。在定理3.1的假设下，我们由[20]中的L emma A.1得出，Cλ是包含常数1的L+（P）的一个闭的、凸的和有界的子集，Dλ与极（Cλ）重合oCλ在L+（P）中的位置，而Dλ是L+（P）中Dλ的封闭凸实壳。为了通过应用C=Cλ、D=Dλ、D=Dλ和D=Dλ的抽象版本（TheoremA.1）来推导对偶定理3.1，我们只需要验证Dλ=h∈ Dλ| h>0且E[h]=1}，（A.5）Dλ={h∈ Dλ| E[h]=1}。（A.6）我们从（A.6）开始。回想一下，根据Dλ的定义，存在SY=（Yt，Yt）0≤T≤T∈Bλ（1）使得Yt=h，因为y=（Yt）0≤T≤这是一个从y=1开始的非负可选强上鞅，条件E[YT]=E[h]=1意味着它是一个真鞅，因此是c`adl`ag。了解y=（Yt）0的局部鞅性质≤T≤T、 我们需要使用S=（St）0的局部边界≤T≤T.Let（τn）∞n=1是一个停止时间的局部化序列，平稳地趋向于T，使得sup0≤T≤TSτnt≤ n关于{S≤ n} 。既然是一个非负的可选强上鞅，我们只需要证明E[Yτn{S≤n} ]≥ E[Y{S≤n} ]用局部序列（σn）建立y的局部鞅性质∞n=1由σn=τn{S给出的停止时间≤n} 。为了这个，考虑一下，为了m≥ n、 自我融资交易策略|m=（~n0，mt，~n1，mt）0≤T≤Tunder交易成本，从m=（1，0）开始，在{S上立即出售0股股票≤ n} 如果τm<T，则在τm时再次购买。

也就是φ1，m=-mK0，tk+mKτm，tk{S≤n} 和φ0，m=1+m（1）- λ） SK0，T K-mSτmKτm，tk{S≤n} 。该策略的清算价值由Vliqt（νm）=1给出+m（1）- λ） S-mSτm∧T{S≤n}≥ 0, 0 ≤ T≤ T.因此，μmis 0-0，m+Yü1，是一个可选的强超级艺术家≥ EhY0+Y0，m0++Y0+y1，m0+i=EhY1+m（1- λ） S{S≤n}-mY0+{S≤n} 我≥ EhYτnа0，mτn+Yτnа1，mτni≥ 嗯Yτnа0，mτn+Yτnа1，mτn{τm=T}+YτnVliqτn（φm）{τm<T}i=EhYτn1+m（1- λ） S{S≤n}-我的τn{S≤n}{τm=T}i+EhYτn1+m（1- λ） S{S≤n}-mSτn{S≤n}{τm<T}i.由ythis的鞅性质-我Y+{S≤n}≥ -我Yτn{S≤n} {τm=T}-我Yτn（1）- λ） Sτn{S≤n} {τm<T}因此Yτn{S≤n}≥ EY+{S≤n}将（A.7）的两边乘以m，然后将m发送到单位，在单位中使用P（τm<t）→ 0，作为m→ ∞. AsY=（Yt）0≤T≤Tand S=（St）0≤T≤皮重和日均重，我们可以修改Y=（Yt）0≤T≤通过设置y=Y0+以获得thatY=（Yt，Yt）0的时间0≤T≤它是由一个鞅和一个局部鞅组成的一对，因此存在一个[（1- λ） S，S]值的过程，使得Y=Y，所以我们得到thereexistsY=（Y，Y）∈ Zλa表示YT=h，因此（a.6）。如果t=h>0，t=Y=（Y，Y）∈ Zλe，证明了（A.5）。在引理4.5的证明中使用了以下辅助结果。引理A.2。在定理A.1的假设下，设（gn）∞n=1是Cb（x）中满足U（gn）L（P）的随机变量的y序列---→ Ubg（x）. 然后作者（x）gnL（P）---→伯克希尔哈撒韦作者（x）bg（x）。证据因为U′是非负的，并且是递减的，所以我们可以估计U（gn）- Ubg（x）-≥ U′bg（x）gn- bg（x）-.用U（gn）到U的L-收敛性bg（x）, 这意味着U′bg（x）gn- bg（x）-∞n=1是一致可积的，因此u′bg（x）gn- bg（x）-L（P）---→ 0，自U（gn）L（P）---→ Ubg（x）产生国民生产总值-→ bg（x）∈ L（P；R）∪ {∞}) 由于U的严格单调性。

因此，我们得到了→∞EU′bg（x）gn- bg（x）≥ 0（A.8），由法图引理的推广版本得出。根据定理A.1的第3）部分和第4）部分，我们得到了U′bg（x）= by（x）bh作者（x）∈ 由（x）D安第斯U′bg（x）gn- bg（x）= 作者（x）Ehbh作者（x）gn- bg（x）我≤ 0.（A.9）将（A.8）和（A.9）结合起来得到limn→∞EU′bg（x）gn- bg（x）= 0，因此u′bg（x）gn- bg（x）+L（P）---→ 0.融合作者（x）gnL（P）---→伯克希尔哈撒韦作者（x）bg（x）紧随其后，因为U′bg（x）= by（x）bh作者（x）.参考文献[1]B.Acciaio。绝对连续最优鞅测度。《统计与决策》，23（2）：81-1002005。[2] S.Ankirchner和P.Imkeller。具有不对称信息和价格动态结构特性的金融市场上的有限效用。亨利·彭加勒研究所年鉴（B）《概率与统计》，41（3）：479–503，2005年。[3] E.Bayraktar和H.Sayit。关于粘性性质。数量金融，10（10）：1109-111220010。[4] E.Bayraktar和X.Yu。比例交易成本下的市场生存能力。印前，2013年。[5] C.本德。简单套利。《应用概率年鉴》，22（5）：2067–20852012。[6] G.Benedetti、L.Campi、J.Kallsen和J.Muhle Karbe。关于影子价格的存在。《金融与随机》，17（4）：801–81818，2013年。[7] S.比亚基尼和M.弗里特利。效用最大化问题的统一框架：orliczspace方法。《应用概率年鉴》，18（3）：929–9662008。[8] B.布查德。比例交易成本下实线效用最大化。金融斯托赫。，6(4):495–516, 2002.[9] B.Bouchard和L.Mazliak。L（Rd；Ohm, F、 P）。随机过程。应用程序。，107(2):213–231, 2003.[10] W.布兰纳特和W.沙切梅耶。L的一个双极定理+(Ohm, F、 P）。在S’eminaire deProbabilit’es XXXIII中，第349-354页。斯普林格，1999年。[11] L.坎皮和M.P.欧文。

具有比例交易成本的多元效用最大化。金融斯托赫。，15(3):461–499, 2011.[12] L.Campi和W.Schachermayer。卡巴诺夫交易成本模型中的超级复制定理。金融斯托赫。，10(4):579–596, 2006.[13] 切里迪托。分数布朗运动模型中的套利。《金融与随机》，7（4）：533-553，2003年。[14] A.雪儿·纽约。布朗移动平均线有条件完全支持。《应用可能性年鉴》，第1825-1830页，2008年。[15] I.Csisz\'ar.概率分布的I-散度几何和最小化问题。《概率年鉴》，第146-158页，1975年。[16] J.Cvitani\'c和I.Karatzas。交易成本下的套期保值和投资组合优化：阿马丁格尔方法。玛莎。鳍6(2):113–165, 1996.[17] J.Cvitani\'c和H.Wang。交易费用下的最优终端财富。J·M·阿瑟。经济。，35(2):223–231, 2001.[18] C.Czichowsky、J.Muhle Karbe和W.Schachermayer。交易成本、影子价格和离散时间内的二元性。暹罗金融数学杂志，5（1）：258-277，2014年。[19] C.齐科夫斯基、R.佩尔、W.沙切迈耶和J.杨。影子价格、分数布朗运动和交易成本下的投资组合优化。预印本，2016年。提交。可在http://arxiv.org/abs/1608.01415.[20] C.齐肖·斯凯和W.沙彻·梅耶。交易成本下投资组合优化的对偶理论。《应用概率年鉴》，2015年。[21]C.Czichowsky和W.Sch achermayer。强超鞅与非负鞅的极限。《概率年鉴》，44（1）：171-2052016。[22]C.Czichowsky、W.Schachermayer和J.Yang。连续价格过程的影子价格。印前，2014年。出现在数学金融中。[23]M.H.戴维斯和A.R.诺曼。具有交易成本的Por tfolio选择。运筹学研究数学，15（4）：676-7131990。[24]克。

Deelstra、H.Pham和N.Touzi。交易费用下效用最大化问题的对偶形式。安。阿普尔。Probab。，11(4):1353–1383, 2001.[25]F.德尔班、P.格兰迪斯、T.莱茵兰德、D.桑佩尔一世、M.施韦泽、D C.斯特里克。指数对冲和熵惩罚。数学金融，12（2）：99–123，2002年。[26]F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische annalen，300（1）：463-5201994。[27]H.F¨ollmer和A.Schied。随机金融：离散时间介绍。Walter deGruyter，2011年。[28]D.Gasbarra，T.Sottinen，H.Van Z anten，等.具有固定增量的高斯过程的条件完全支持。应用概率杂志，48（2）：561-5682011。[29]P.Guasoni。具有交易费用且无半鞅的最优投资。《应用概率年鉴》，12（4）：1227-12462002。[30]P.Guasoni。交易成本下的无套利，分数布朗运动及更高。数学《金融》，16（3）：569-5822006。[31]P.Guasoni和M.R\'asonyi。局部鞅微分模型中套利和泡沫的脆弱性。《金融与随机》，19（2）：215–231，2015年。[32]P.Guasoni、M.R\'asonyi和W.Schachermayer。一致的价格体系和在交易成本下的价格。《应用概率年鉴》，第491-520页，2008年。[33]P.Guasoni、M.R\'asonyi和W.Schacher mayer。小交易成本下连续过程资产定价的基本定理。《金融年鉴》，6（2）：157-1912010。[34]H.何和N.D.皮尔逊。不完全市场和卖空约束下的消费和投资组合政策：有限维情形。《经济理论杂志》，54（2）：259-304，1991年。[35]A.Herczegh、V.Prokaj和M.R\'asonyi。多样性和无套利。《随机分析与应用》，32（5）：876–888，2014年。[36]Y.M。

卡巴诺夫和C.斯特里克。关于指数效用最大化的最优投资组合：对F.Delbaen、P.Grandits、T.Rheinl–ander、D.Samperi、M.Schweizer和C.Stricker撰写的六位作者的论文《指数对冲和熵惩罚》[Math.Finance 12（2002），no.2，99–123；MR1891730（2003b:91046）]的评论。数学《金融》，12（2）：125-1342002年。[37]J.卡尔森和J.穆赫勒·卡贝。有限概率空间中影子价格的存在性。数学方法操作。Res.，73（2）：251–262，2011年。[38]I.Karatzas、J.P.Lehoczky和S.E.Shreve。“小投资者”在有限范围内的最优投资组合和消费决策。暹罗控制与优化杂志，25（6）：1557-15861987。[39]I.Karatzas、J.P.Lehoczky、S.E.Shreve和G.-L.Xu。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。暹罗控制与优化杂志，29（3）：702-7301991。[40]C.Kardaras和E.Platen。关于贴现资产价格过程的半鞅性质。《随机过程及其应用》，121（11）：2678–26912011。[41]D.克拉姆科夫和W.沙切迈耶。效用函数的渐近弹性与不完全市场中的最优投资。安。阿普尔。Probab。，9(3):904–950, 1999.[42]K.Larsen和G.ˇZitkovi`c.通过有界对数效用研究半鞅性质。《金融年鉴》，4（2）：255-2682008。[43]B.曼德布罗特。其他一些投机价格的变化。《商业杂志》，第393-413页，1967年。[44]D.努亚拉特。分数布朗运动的随机积分及其应用。《当代数学》，336:3-402003。[45]M.S.帕克卡南。随机积分和条件完全支持。《应用概率杂志》，47（3）：650–6672010。[46]M.S.帕克卡南。布朗半平稳过程与条件完全支持。

《国际理论与应用金融杂志》，14（04）：579-5861011。[47]R.佩尔。分数布朗运动没有简单的套利。预印本，2015年。出现在贝努利。[48]L.C.G.罗杰斯。分数布朗运动套利。数学金融，7（1）：95-1051997。[49]R.Rouge和N.El-Karoui。通过效用最大化和entr opy进行公关。《数学金融》，10（2）：259-27620000。[50]W.Schachermayer。当财富可能为负时，在不完全市场中进行最优投资。安。阿普尔。Probab。，11(3):694–734, 2001.[51]W.沙赫·梅耶。最优投资组合过程的一个超鞅性质。《金融与随机》，7（4）：433-456，2003年。[52]W.沙赫·梅耶。交易成本下的可容许交易策略。在S\'e minaire deProbabilit\'es XLVI中，第317-331页。斯普林格，2014年。[53]S。E·史莱夫和H·M·索纳。具有交易成本的最优投资和消费。《应用概率年鉴》，第609-692页，1994年。[54]H.M.Soner、S.E.Shreve和J.Cvitani\'c.对于具有交易成本的期权定价，没有不寻常的对冲组合。《应用概率年鉴》，第327-355页，1995年。[55]M.塔克萨、M.J.K.拉斯和D.阿萨夫。存在经纪费用时最优投资组合选择的扩散模型。运筹学数学，13（2）：277-2942988。