随机市场中具有交易费用的近似套期保值问题

设定b洎*j=γ*jΓ3，jandba*j=E（b~n）*2j{|b|*j |>δ}| Fj-1） ，其中Γ3，j=max1≤我≤3.Ai（λu，ˇS）*u）≤欧盟*u） （1+λ）-γu）.我们有n2β| mXj=ma*j |>ε，Γ1，η，L= Pn2β| mXj=mba*j |>ε≤ ε-1n2βmXj=mEba*j、 根据马尔可夫不等式。通过使用切比雪夫不等式和马尔可夫不等式，我们观察到了thatEba*J≤qE b~n*4jqP（|b|*j |>δ）≤ δ-2E b~n*4j≤ 9δ-2(1 + λ-γu）(λj）EeU（ˇS*u） Xi=1Zi，j。注意，Zi，j是有界矩。然后，通过使用（62），我们得到ε-1n2βPmj=mEba*以9ε为界-1δ-2n2βPmj=m（1+λ）-γu）(λj），通过引理A.1收敛到零。我们现在验证条件方差之和E（Γ）的极限*2j | Fj-1). 设定*i、 j=A*i、 j-1Zi，jλj.As Z1，jand Z2，jare独立，Eυ*1，j*3，j | Fj-1.= Eυ*2，j*3，j | Fj-1.= 0.下面是e（ν）*2j | Fj-1） =E（Γ）*21，j | Fj-1） +E（ν）*22，j | Fj-1） +E（ν）*23，j | Fj-1） +2E（ν）*1，j*2，j | Fj-1).现在，观察Z~ N（0，1）和一些常数a，E（Z | Z+a |）=2Φ（a）-1和E（Z+a）-（E | Z+a |）=∧（a）。另一方面λj=n-2β（1+o（1））u%u+1λbuj-引理A.1。因此，n2βE（γ*2j | Fj-1） =（1+o（1））ˇu%u+1λbuj-1L（λj）-1*tj-1)λj.通过引理A.5，n2βPmj=mE（γ*2j | Fj-1） 概率收敛到*2（L）。因此，nβM*Mweaklyconverge到N（0，）*2（L））根据定理7.1。此外，性质（56）意味着对于任何δ>0的情况，limL→∞画→∞P（nβ| Mm- M*m |>δ=0。因此，考虑到*2（L）将a.s.收敛到as L→ ∞, 我们得出结论，Nβmmp在定律上收敛于N（0，）。这就完成了证明。接下来，我们研究了下列鞅Mk=kXj=m的渐近性质A1，j-1Z1，j+A2，j-1Z2，j+A4，j-1Z4，jλj.（63）极限方差将在函数l（λ，x，y）=A（λ，x，y）+A（λ，x，y）+（1）中定义- 2/π）A（λ，x，y）。（64）以下结果与命题7.2相似。提议7.3。设Ai=Ai（λ，x，y），i=1，2，4是具有性质（H）的函数，Ai（λ，x，y）=Ai（λ，x，y）e~n（λ，x）。

然后，对于任何固定%>0的序列（nβMm）n≥1弱收敛到均值为零且方差为的混合高斯变量，由=ˇu%u+1R给出+∞λbuL（λ，ˇS）dλ。如果部分（或全部）资产属于原资产，则该资产仍然有效∞λAi（z，x，y）e~n（z，x）dz。证据这个结论直接来自命题7.2的证明和Ez4，j=E（|Z1，j|）的观察结果-p2/π=1- 2/π，E（Zi，jZ4，j）=0，对于i=1，2和m≤ J≤ m、 在本小节的其余部分，我们建立了如下形式的鞅的一个极限定理Gmk=kXj=mA1，j-1Z1，j+A3，j-1Z3，jλj:=kXj=mˇˇj，m≤ K≤ m、 式中，Ai（λ，x，y）=Ai（λ，x，y）e~n（λ，x）和Ai，i=1，3是具有性质（H）的函数。下面的结果有助于%偏离定理3.2中的完整性。提议7.4。在条件（C）下，序列nβ%-1u+1ˇMm弱收敛于均值为零且方差ˋ=ˋuR的混合高斯变量+∞λbˇL（λ，S）dλ，其中ˇL（λ，x，y）=A（λ，x，y）+2A（λ，x，y）A（λ，x，y）+A（λ，x，y）。如果部分（或全部）资产属于原资产，则该资产仍然有效∞λAi（z，x，y）e~n（z，x）dz。证据我们确定了nβ%条件方差的极限-1u+1ˇ毫米。我们首先观察到N2β%-2u+1E（ˋj | Fj）-1） =ˇu（1+o（1））λbuj-1ˇQ（λj）-1、Stj-1)λj，（65）式中ˊQ（λ，x，y）=A（λ，x，y）+A（λ，x，y）λ（p）+2A（λ，x，y）A（λ，x，y）（2Φ（|p |）- 1) . 此外，可以直接检查（51）中定义的函数G（·）是否满足以下不等式：|a |≤ G（a）≤ |a |+2~n（a），适用于任何a∈ R.这意味着∧（a）- 1| ≤ 4 | a |~n（a）+|（a），因此为supa∈R∧（a）|<∞. 还请注意Q→ˇL a.s.as n→ ∞ 因为p（λ，x，y）→ ∞ as%=%（n）→ ∞, 对于任何x>0且λ6=2ln（x/K）的情况。利用引理A.5，我们声称（65）右边的项之和以概率收敛到。

通过再次运行命题7.2.7.4定理3.1的证明中的论证来完成证明。我们首先观察到I1，n在θn阶上移动2 min（S，K）。特别是，设置I1，n=Rλt-1/2bσt（Ste~n（λt，St）- Se~n（λt，S））dt和变化变量v=Rtbσsds，我们可以表示1，n=SRλv-1/2e~n（v，S）dv+\'I1，n+o（θ）-1n）。右侧的第一个积分将a.s.收敛到2 min（s，K）乘以（12），而I1，nis近似于bσtRtσ（yu）SuH（λt，Su）dW（1）udt，其中h=（2）-1λ-1/2- λ-3/2ln（x/K））eа（λ，x）。命题7.1的离散化技术可用于将后一个二重积分替换为U1，m，定义为U1，k=%-1kXj=mσ（ytj-1） Stj-1ˇHj-1Z1，jλj，m≤ K≤ m、 （66）式中，H（λ，x）=R∞λ（z）-1/2/2 - Z-3/2ln（x/K））eа（z，x）dz。我们总结了1的渐近形式，如下所示。提议7.5。如果百分比为常数或满足条件（C），则P- 画-→∞θnI1，n- 2分钟（S，K）- U1，m= 接下来，我们宣称I2，n=o（θ）-1n）。提议7.6。如果%是一个正常数或满足条件（C），那么θnI2，n收敛到零的概率为n→ ∞.证据见附录B。让我们研究交易量Jn。首先，很容易检查任何v>0，1- Φ（v）≤五、-1~n（v）。现在，观察|γnti- γnti-1| ≤ |1.- γnti |+| 1- γnti-1 |，几乎可以肯定，当inf1时，它比n的任何幂更快地收敛到零≤我≤nλi≥ L*<==> 我≤ m、 对于supiλ的情况，可以推导出相同的性质≤ L*<==> 我≥ m、 为了看到这一点，我们注意到λu≤ L*, Su（ω）=S1-（λu/λ）4β（ω）收敛到S（ω）为n→ ∞ 在λu中一致∈ [0，l*],对于零概率集{S=K}之外的任何ω。因此，可以截断sum，只保留与索引m对应的部分≤ J≤ m、 换句话说，jn近似为J1，n=Pmj=mStjΦj.

把bj=Φj- e k j-1.vj, 我们可以表示J1，n=J1，n+ε1，n+ε2，n，其中J1，n=Pmj=mStj-1e~nj-1.vj, ε1，n=Pmj=mStj-1.jΦε2，n=Pmj=mStj-1bj。根据（70）和条件（C），ε1，n=o（θ-1n）as n→ ∞. 此外，通过泰勒展开，我们得到ε2，n≤ SsupPmj=mvj最多一个倍数常数，其中Ssup=sup0≤T≤第一。现在，考虑到这一点vj-1.- vj≤nλj-1+λ1/2j-1.- λ1/2j+λ-1/2j-1.- λ-1/2j对于复常数，使用条件（C）和（70），我们得到|ε2，n |=o（θ）-1n）。接下来，通过使用它的^o引理和代换λj=λ（1）- tj）4β，我们替换J1，nbyJ2，n=mXj=mλ-1/2j-1Stj-1e~nj-1 |κj|λj:=mXj=mζj，κj=%-1σ（ytj）-1） Z1，j+qj-1，（67）其中q在（10）中定义。我们需要确定JNB在J2，nw分解过程中的极限。r、 t.过滤FjM≤J≤m、 为此，注意e（ζj | Fj-1) = λ-1/2j-1Stj-1e~nj-1.λjE（|κj | Fj）-1） ，E在哪里(κj|Fj-1) = %-1σ（ytj）-1） G（pj）-1） ：=Dj-1和（51）中定义的G（p）。LetB（λ，x，y）=λ-1/2x e~n（λ，x）D（λ，x，y）和J3，n=mXj=mBj-1.λj.（68）我们观察到J2，n=J3，n+U2，m，其中U2，k=kXj=mλ-1/2j-1Stj-1e~nj-1κjλjandκj：=κj- 流行音乐播音员-1.（69）代以ˇStj-1b在J3，n中，我们写出J3，n=J4，n+J5，n，其中J4，n=Pmj=mB（λj）-1，S）λj，J5，n=Pmj=mB*J-1.λjand B*J-1=B（λj）-1、Stj-1)-B（λj）-1，S）。然后，通过引理A.2，我们可以检查J4，以θn的速率将A.s.收敛到J（s，y，%），现在，它的一个应用是B的^o引理*J-1产生关于维纳过程的随机积分。根据命题7.1，这些积分之和可以近似为U3，m，由U3定义，k=%-1Xi=1kXj=mQi，j-1Zi，jλj，m≤ K≤ m、 其中Q=R∞λ（xσ（y）xB+rF（t（λ），y）yB）dz和Q=√1.- rF（t（λ），y）R∞λyBdz和t（λ）=1- (λ/λ)4β. JN的渐近形式总结如下。提议7.7。

对于任何固定百分比>0的情况，P- 画-→∞θnJn- J（S，y，%）- （U2，m+U3，m）= 现在，套期保值误差的鞅部分由Mm给出，由mk=U1，k定义- κ*（U2，k+U3，k）=%-1kXj=mXi=1Ai，j-1Zi，jλj，m≤ K≤ m、 其中A=-σ（y）xˇH/2，A=κ*Qand A=-κ*σ（y）λ-1/2x e~n（λ，x）。很容易看出，命题7.2的假设完全适用于Ai，i=1,2,3。因此，序列nβMmN≥1通过命题7.2在法律上收敛到一个混合高斯变量，该命题证明了定理3.1.7.5定理3.2的证明→ ∞ 在条件（C）下，Jn的近似值略有不同。尤其要注意的是，对于任何b∈ R、 E | aZ+b |可近似为b（2Φ（b/a）- 1） 作为一个→ 因此，我们可以用sumbJ3，n=Pmj=mbBj替换J3，nin（68）-1.λj，其中bb（λ，x）=λ-1/2x e~n（λ，x）q（λ，x）eΦ（%q（λ，x）），其中eΦ（q）=2Φ（%q）- 1和（10）中定义的q（λ，x）。计算bj4，n=Pmj=mbB（λj-1，S）λjandbB*J-1=bB（λj）-1、Stj-1) -bB（λj）-1，S），我们代表bj5，n:=bJ3，n-bJ4，n=Pmj=mbB*J-1.λj.现在，使用引理A.2，我们可以直接证明| bJ4，n-J*（S） |=o（θ）-1n）。此外，根据It^o公式，我们替换了BB*J-1byRtj-1.xbB（λj）-1，Su）dSu。直接计算得出xbB=λ-1/2e~n（λ，x）[-2q（λ，x）eΦ（λ，x）+2λeΦ（λ，x）+%λφ（%q（λ，x））]。显然，eΦ（%q）→ 符号（q）和φ（%q）→ 0作为%→ ∞. 现在，使用命题7.1，我们可以近似地计算出由bu3定义的ebj5，nbybU3，m，k=%-1Pkj=mσ（ytj）-1） Stj-1Nj-1Z1，jλj，其中N（λ，x）=R+∞λz-1/2e~n（z，x）-2q（z，x）+1/（2z）符号（q（z，x））dz。交易量的渐近表示总结如下。提议7.8。在条件（C）下- （C） ，P- 画-→∞θn |Jn- J*（S）- （U2，m+bU3，m）|=0。现在，鞅部分-1ˇmm套期保值误差由ˇMk=%U1，k确定- κ*%（U2，k+bU3，k）=kXj=m（ˇA1，j）-1Z1，j+A3，j-1Z3，j）λj，其中ˇAi，i=1，2明确确定，并满足命题7.4的假设。

那么，考虑到θn%-1ˇMm=nβ%-u+1ˇMm，定理3.2在命题7.4.7.6定理3.3的证明中得到证明命题7.1中的关键技术可用于获得sumPi的智能鞅近似≥1.斯蒂尔蒂-1bCxt（u，Su）du。提议7.9。如果%为正常数或满足条件（C），则| I2，n-U1，m |=o（θ）-1n），其中Y（λ，x）=R∞λz-3/2ln（x/K）eа（z，x）dz和u1，K=%-1kXj=mσ（ytj-1） Stj-1Yj-1Z1，jλj，m≤ K≤ m、 证据。证据来自替换Stjby%-1σ（ytj）-1） Stj-1.λtjas在命题7中。1.现在让我们按照近似于Jn的程序来研究交易量Jn。首先，通过它的^o引理，γti- γti-1=Ztiti-1bCxx（u，Su）dSu+Ztiti-1bCxxx（u，Su）σ（yu）Sudu，其中时间校正涉及术语qj-1在（67）定义的κjde公式中，已移除。我们现在近似于JnbyJ1，n=%-1mXj=mBj-1.Z1，jλjand B（λ，x，y）=σ（y）xλ-1/2e~n（λ，x）。当E | Z |=p2/π时，对于Z~ N（0，1），J1，nis的末日分解由J2，N+\'U2，m给出，其中J2，N=%-1p2/πPmj=mBj-1.λjand\'U2，m=%-1Pmj=mBj-1Z4，jλj.现在，puttingB*J-1=B（λj）-1、Stj-1) - B（λj）-我们写J2，n=J4，n+J3，n，其中J4，n=%-1p2/πmXj=mBj-1.λj，J3，n=%-1p2/πmXj=mB*J-1.λj.通过引理a.2和（12）观察到J4，n将a.s.收敛到ηmin（s，K）。现在，我们找到了适用于J3，n的鞅近似*J-1可以用pi=1RtQi（λj）代替-1，ˇSu）dW（i）u，其中Q=σ（y）xxB+rF（t（λ），y）yB和Q=√1.- rF（t（λ），y）yB。直接计算表明xB=σ（y）（2）-1λ-1/2- λ-3/2ln（X/K））eа（λ，X）和yB=σ（y）λ-1/2x e~n（λ，x）。现在，命题7.1可以应用于近似J3，nb，由U3定义的鞅U3，m，k=%-1kXj=m（A1，j-1Z1，j+A2，j-1Z2，j）λj，m≤ K≤ m、 对于显式函数Ai，i=1,2。Jn的最终渐近形式如下所示。提议7.10。

如果%是独立于n的正常数，那么P- 画→∞θn |Jn- ηmin（S，K）- （U2，m+U3，m）|=0。因此，L’epinette策略套期保值误差的鞅部分由Mm=U1，m+U1，m确定- κ*（U2，m+U3，m）。后一个鞅和可以用形式Mk=%表示-1kXj=m（A1，j-1Z1，j+A4，jZ4，j-1+A2，j-1Z2，j）λj，m≤ K≤ m、 对于显式函数，保持命题7.3的假设。然后nβMmN≥1将sin定律转化为混合高斯变量，这就完成了证明。8结论我们研究了SV设置下的近似期权复制问题，使用了调整后波动率的新规范。虽然我们的模型采用了比之前文献中更简单的调整波动率，但对于Leland’和L’epinette在一般SV市场中的策略，我们得到了相同的渐近结果。还讨论了与高频市场的可能联系以及相应的传输成本。作为应用，我们证明了采用分位数套期保值理论可以降低包含交易成本的期权价格。请注意，我们的方法仍然有助于更一般的设置，例如，当摩擦规则允许单独的变量表示[31]时。这种概括包括交易成本基于实际交易股票数量的情况。最后，在一篇配套论文中，我们将该方法扩展到了欧式期权的多维框架中，这些期权的一般收益写在了几项资产上[32]。致谢：作者要感谢两位推荐人和编辑的评论和建议，这些评论和建议有助于改进论文。第一作者希望对越南海外奖学金项目（项目322）的财政支持表示感谢。附录A辅助引理A.1。

存在两个正常数C，Cs，Cn-2β%u+1ν（l*) ≤ infm≤J≤m|λj|≤ 卸荷点法≤J≤m|λj|≤ Cn-2β%u+1ν（l*), （70）式中，ν（x）=x（u）-1)/(u+1). 此外，对于任何m≤ J≤ Mλj=n-2β%u+1ν（λj）-1） （1+o（1））和λj(（tj）-1/2=%（1+o（1））。（71）证据。它直接来自于关系（47）。A技术条件（H）：A:R+→ R是一个连续可微函数，具有绝对可积的导数Aandlimn→∞θnZl*|A（λ）|dλ+Z+∞L*|A（λ）|dλ！=0，其中θn=nβ%2β。下面的结果很容易检查。引理A.2。设%为正常数或满足条件（C）。然后，对于任何满足条件（H）的函数，limn→∞θnmXj=m{λj-1.≥a} a（λj）-1)λj-Z∞aA（λ）dλ= 0.（72）尤其是limn→∞θnPmj=mA（λj）-1)λj-R∞A（λ）dλ= 引理A.3。对于任何K>0，limε→0lim supv→1P（infv≤U≤1 | ln（苏/克）|≤ ε) = 0.证据这源于这样一个事实，即在波动过程产生的σ场的条件下，对数价格过程具有高斯分布。引理A.4。假设A及其衍生物xA，确认条件（H）。设置A（λ，x，y）=A（λ，x，y）e~n（λ，x），\'A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）dz和definern=sup（z，r，d）∈[l]*,L*]×B|λ′A（z，r，d）|+|x|A（z，r，d）|+|亚（z，r，d）|,其中B=[Smin，Smax]×[ymin，ymax]，其中Smin=inft*≤U≤T*Su，Smax=supt*≤U≤T*Suand ymin=inft*≤U≤T*yu，ymax=supt*≤U≤T*于。然后，四肢→∞画→∞P（rn>b）=0。证据设ε>0。在集合Γ1上，ε={inft*≤U≤1 | ln（苏/克）|≥ ε} ，苏普斯敏≤R≤Smaxe~n（q，r）≤ (2π)-1/2√Kr-1exp{-ε/（2q）- q/8}。在条件（H）下，存在γ>0使得|Ax（z，r，d）|≤ C | eU（r，d）| Z∞z（q）-1/2+qγ）e-ε/（2q）-q/8dq≤ CeU（r，d），其中eU是验证sup0的函数≤T≤1EeU（ˇS）*t） <∞. 对于任何η>0和N>0，设Γ2，η={sup（r，d）∈B |欧盟（r，d）-eU（|S）|<η}{eU（|S）|<N}。很明显，集合2η上的| eU（r，d）|<N+η。

同样，考虑到λ′A（z，r，d）=-A（z，r，d），y\'A（z，r，d）=r∞λ我们推断|λ′A（z，r，d）|和|y’A（z，r，d）|在Γ2上有界，η由常数CN，η独立于b。现在，对于b>N+η+2CN，η，P（rn>b）由P（Γc1，ε）+P（sup（r，d）有界∈B |欧盟（r，d）-欧盟*)| ≥ η） +P（| eU（|S）*)| > N）+P（τ）*< 1).引理A.3，limε→0limn→∞P（Γc1，ε）→ 0.由于函数Stand yt的连续性，可以得到limn→∞P助理（研发）∈B |欧盟（r，d）-欧盟*)| ≥ η= 0.此外，u（ˇS）的可积性*)意味着P（| eU（|S*)| > N） 收敛到0为N→ ∞. 由（56），P（τ）*< 1） 收敛到0 asL→ ∞, 这就完成了证据。引理A.5。设A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）e~n（z，x）dz，eA=A，其中Ais是一个具有性质（H）的函数。那么，对于任何γ>0，P- 画→∞mXj=mλγj-1eA（λj）-1、Stj-1)λj-Z∞λγeA（λ，ˇS）dλ= 0，其中ˇSt=（St，yt）。如果A（λ，x，y）=A（λ，x，y）e~n（x，y）或是上述类型的产物，则相同的性质仍然成立。证据我们证明了第一种情况A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）eа（z，x）dz，与其他情况相同。首先，我们将表达式拆分为绝对符号asPmj=mλγj-1eA（λj）-1，S）λj+Pmj=mj、 nλj，其中j、 n=bA（λj）-1、Stj-1) -bA（λj）-1，ˇS）和ba（λ，x，y）=λγeA（λ，x，y）。很明显，对于任何（x，y），函数ba（·x，y）满足条件（H）。因此，Pmj=mbA（λj-1，S）λj通过引理a.2将a.s.收敛到零。这仍然需要证明P(|n |>ε）→ 对于任何给定的ε>0，都可以使用与Lemma相同的方法。3.B命题7.6的证明到期日T=1时BC的奇异性需要单独处理。设εn=n-2β%-4βl*.然后我们表示I2，n=R1-εn$n（t）dW（1）t+R1-εn$n（t）dW（1）t，其中$n（t）=（γnt-bCx（t，St））σ（yt）St.考虑到|γnt-bCx（t，St）|≤ 1.我们得到limn→∞θnER1-εn$n（t）dt=0。Nowputbtj=min（tj，1- εn）。

然后还要证明pnj=1Rbtjbtj-1E（γnt）-bCx（t，St））dt=o（θ-2n）。让我们引入离散和w（t）=Pnj=1λt-1（xt）-xbtj-1） ξj（t），w（t）=Pnj=1xt（λ）-1/2吨-λ-1/2btj-1） ξj（t）和w（t）=Pnj=1（λ1/2t）-λ1/2btj-1） ξj（t），其中ξj（t）=1（btj-1，btj]（t）和xt=ln（St/K）。显然，|γnt-bCx（t，St）|≤ w（t）+w（t）+w（t）。考虑到这一点，1≤J≤nn sup0≤T≤1E（xt）- xbtj-1） ξj（t）<∞ 和sup0≤T≤1E xt<∞,我们有θnER1-εnw（t）dt≤ Cn2β-3/2%4β-1，通过（C）收敛到零。ε的特殊选择确保θnER1-εnw（t）dt≤ Cθnn-2（εn）-(4β+1)/4βλ-1，趋于零。w（t）的收敛性可以用同样的方式表示。Orstein-Uhlenbeck过程的矩引理C.1。假设σ（z）≤ γ（1+| z |）对于所有z∈ R、 对于某些常数γ>0。让ytbe anOrstein-Uhlenbeck过程定义为dyt=（a-byt）dt+dzt，其中一些常数a和b>0。PutXα=expn2αγRysdso和α*= b（2γ（2b+a））-1.然后，EXα<∞ 对于任何0<α<α*.证据注意（a）-by）y≤ a/（2b）-到2点。然后，通过修改[20，第24页]中的命题1.1.5，我们可以证明E | yt | 2m≤ M2/b+a/bm表示任意整数m≥ 1.对于任何0<α<α*,EXα≤Xm=0（α2γ）m（m！）-1E | yt | 2m≤Xm=02/b+a/bm（α2γ）m<∞.如果ytis是均值回复，那么b取非常大的值。因此，可以选择α>3/2+√如备注10所述。参考文献[1]Ahn H.，Dayal M.，Grannan E.，Swindle G.（1998）：具有交易成本的期权复制：一般差异限制，Ann。阿普尔。问题。，8(3), 767-707 .[2] Andersen L.，Piterbarge V.（2007）：随机波动模型中的瞬间爆炸，金融与随机，11,29-50。[3] Ball C.，Roma A.（1994）：随机波动性期权定价，金融和定量分析，29（4），589-607。[4] Black F.，Scholes M.（1973）：期权定价和公司负债，J.PoliticalEconomy，81637-659。[5] 巴兰M。