随机市场中具有交易费用的近似套期保值问题

此外，对于α=0，P- 画→∞Vn=H（S）+H（S）- κ*H（S），其中H（·）和H（·）是依赖于支付的正函数。备注3。定理2.7仍然适用于定理2.8（见[27]）。2.3从备注1讨论，（5）定义的修正波动率似乎给出了一个适当的近似值，可以解释交易成本。然而，情况并非总是如此，因为包含交易成本的期权价格现在取决于再平衡数字。在更一般的模型中，这种特定的选择可能会产生技术问题。例如，在局部波动模型[24]中，证明（8）的解的存在需要耐心和努力，因为bσ取决于股票价格。另一方面，有趣的是，从数学角度来看，真实波动率在近似过程中不起作用。事实上，酶α=0的所有结果都可以通过bσt=κ的形式得到*σ（t）n1/2pf（t）8/π，其中第一项σ（t）已被删除。更一般地说，我们可以采用以下公式bσt=%pnf（t），（18）表示某个正常数%，这将在后面详细说明。当然，交易成本的极限值将略有变化。让我们强调一下，使用简单形式（18）很重要，原因有二。首先，它允许我们进行比现有文献中使用的更简单的近似。其次，Leland在（5）中定义的bσ策略可能不再适用于随机波动（SV）市场。事实上，在这些市场中，期权价格取决于未来的波动率，而这些波动率在统计上是不可用的。在本文的剩余部分，我们证明了简单形式（18）（t的确定函数）有助于在一般SV设置下进行近似套期保值。

应该注意的是，如果波动性风险溢价仅取决于波动性过程的当前值，那么这里开发的近似方法仍然适用于经典形式（5）[36,37]。最后，我们提到Leland的算法由于易于实现而具有实际意义。恒定交易成本α=0的情况应在更一般的情况下进行研究，例如，波动性取决于外部随机因素，或考虑股票价格的跳跃。3模型和主要结果let(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤1，P）是具有两个标准独立（Ft）0的标准过滤概率空间≤T≤1适应维纳过程（W（1）t）和（W（2）t），以R表示其价值。我们的金融市场由一个风险资产组成，在时间间隔[0,1]dSt=σ（yt）StdW（1）t上由以下等式控制：；dyt=F（t，yt）dt+F（t，yt）（rdW（1）t+p1- rdW（2）t），（19）其中-1.≤ R≤ 1是相关系数。在SDEs的文献中众所周知，ifF（t，y）和F（t，y）在（t，y）中是可测量的∈ [0，T]×R，线性有界且局部Lipschitz，系统（19）的最后一个方程存在唯一解y。关于这个基本结果，见定理5.1和[12,29]。为了简单起见，假设利率等于零。因此，选择无风险资产作为基准。在这一节中，我们使用模型（19）中增加波动率的原理来考虑具有常数比例成本的近似套期保值问题。如第2.3小节所述，调整后的波动率选择为bσt=%qnf（t）=u-1/2%√n（1）- t） 一,-u2u, 1 ≤ u < 2. （20） 复制投资组合在（ti）处修订，如（14）所定义。参数%>0在控制收敛速度方面起着重要作用，稍后会详细说明。

如下所示，总交易量的限制值基本上与%对修订次数的依赖性有关。备注4。直觉上，使用独立调整的波动率似乎不自然，因为它无法解释市场信息。然而，本文中开发的技术很好地适用于调整后的波动率取决于由独立布朗运动驱动的波动过程的情况。在这种情况下，如果波动风险溢价仅取决于当前的波动过程，那么无套利期权价格（无交易成本）是波动过程未来路径上布莱克-斯科尔斯价格的平均值[36,37]。回想一下，bc（t，x）是柯西问题（8）的两个一阶导数的解，如（4）所述：bCx（t，x）=Φ（v（λt，x））和bcxx（t，x）=x-1λt-1/2e~n（λt，x），其中λt=Ztbσsds=eu%√n（1）- t） 4β和eu=2√u/(u + 1) . （21）备注5。第4节将说明[18]中指出的套期保值不足情况可以通过控制参数%来实现。我们利用波动率函数的以下条件。（C） 假设σ是一个C函数，存在σmins，即0<σmin≤ σ（y）表示所有y∈ R和sup0≤T≤1E[σ（yt）+|σ（yt）|]<∞.假设（C）没有限制性，并且在许多流行的SV模型中都得到了满足（见第5节和[35]）。3.1 Leland策略的渐近结果让我们研究（6）中定义的Leland策略的复制误差。复制的portfolioVnis由（7）定义。现在，根据It^o的公式，h（s）=bC（1，s）=bC（0，s）+ZbCx（t，St）dSt-I1，n，（22），其中I1，n=Rbσt- σ（yt）StbCxx（t，St）dt。设置V=bC（0，S），我们可以将复制错误表示为vn- h（S）=I1，n+I2，n- κ*Jn，（23）式中I2，n=Rγnt-bCx（t，St）dStand定义如（7）所示。首先，我们要强调的是，SV模型中的完全复制远远不明显。

在我们的设置中，I2比nβ更快地收敛到零，β的定义如（16）所示。伽马误差I1，napproaches2 min（S，K）的速率相同。另一方面，总交易量jn收敛于随机变量J（S，y，%）的概率，由J（x，y，%）定义=xZ+∞λ-1/2e~n（λ，x）Eσ（y）%-1Z+q（λ，x）dλ，（24）其中Z~ N（0，1）独立于Sand y。我们的目标是通过应用鞅的极限理论[15]，研究由这些显式极限值校正的归一化重复应用误差的收敛性。为了做到这一点，我们通过在第7节中开发一个特殊的离散化程序，在上述项的近似中寻找鞅部分。定理3.1。假设条件（C）成立，%>0是一个固定的正常数。然后，nβ（Vn- h（S）- min（S，K）+κ*J（S，y，%）弱收敛于中心混合高斯变量n→ ∞.备注6。该定理是一个推广，包括[18,34]中结果的改进收敛速度，其中采用统一修正，假设波动率为常数。备注7。注意h（x）+min（x，K）=x，其中h（x）=（x- K） +是经典欧洲看涨期权的收益。然后，根据定理3.1，财富过程接近Vns-κ*J（S，y，%）作为n→ ∞. 这可以解释为期权现在以更高的价格出售，因为（0，S，^σ）→ Sas^σ→ ∞. 换句话说，利兰的策略现在收敛于众所周知的买入并持有策略[22]：在t=0时以价格买入股票，并将其保留到到期。现在，我们在定理3.1中提出了一种提高收敛速度的方法。为此，让→ ∞, 我们观察到这一点→∞J（x，y，%）=xZ+∞λ-1/2e~n（λ，x）| q（λ，x）| dλ：=J*（x） ，这表明，如果将%作为n的函数，则定理3.1中的收敛速度可以提高。

我们的下一个结果是在%的条件下建立的。（C） 参数%=%（n）是n的函数，因此limn→∞%（n） =∞ 还有limn→∞% N-u2(u+2)= 0 .定理3.2。在条件（C）下- （C） ，θn（Vn）- h（S）- min（S，K）+κ*J*（S） ），当θn=nβ%2β时，弱收敛到中心混合高斯变量n→ ∞.备注8。定理3.1和3.2中的渐近分布在第7.3.2节“L’epinette策略的渐近结果”中明确确定。让我们研究L’epinette策略γnt的复制误差，如（15）所定义。与之前一样，复制投资组合为Vn=Vn+RγntdSt- κ*Jn，其中Jn=nXi=1Sti |γnti- γnti-1|. （26）现在，根据It^o公式，跟踪误差是vn- h（S）=I1，n+I2，n- κ*Jn，（27）式中I2，n=I2，n+Pi≥1（Sti）-性病-1） Rti-1bCxt（u，Su）du。然后，我们对定理2.7进行了如下加强。定理3.3。假设（C）已满。然后，对于任何%>0的情况，sequencenβ（Vn- h（S）- ηmin（S，K）），η=1- κ*σ（y）%-1p8/π，弱收敛于中心混合高斯变量n→ ∞.备注9。定理2.7可由定理3.3建立，其中%=κ*当波动率为常数时，σp8/π。此外，在我们的模型中，参数u取区间[1,2]中的值，这比定理2.7中规定的条件更一般。此外，如果将经典形式的调整波动率应用于L’epinette的策略，则可以通过取%=κ来实现完全复制*p8/π，我们再次得到了[9]中建立的结果。推论3.1。

在条件（C）下-（C） ，财富序列Vn以概率收敛到h（S）+min（S，K）=S。注意，我们没有得到定理3.3的改进收敛版本，因为κ*Jn以%.4的顺序收敛到零应用于定价问题在这一部分中，我们给出了一个应用于有交易成本的期权定价问题。我们首先强调，在存在交易成本的情况下，即使是在恒定波动性模型中，也不可能获得非平凡的完美对冲。事实上，卖方可以采取买入并持有策略，但这会导致期权价格较高。我们在下面展示了价格可以通过一定的方式降低，从而使支付被给定的概率覆盖。4.1具有交易成本的超级对冲为了安全起见，投资者会寻找终值大于支付金额的策略。这些策略是动态优化问题的解决方案。更准确地说，设H为一般未定权益，设A（x）和Vπ，xt分别为初始资本x和策略π的终值的所有可容许策略π的集合。然后，h的超级复制成本由asU=inf{x确定∈ R:π ∈ A（x），Vπ，xT≥ H.a.s.}，（28）（更多细节见[22]及其参考文献）。在存在交易成本的情况下，Cvitani’cand Karatzas[8]表明，买入并持有策略是超级复制的唯一选择，然后是超级复制的价格。在这一节中，我们将展示这个属性仍然保持近似超级对冲。当%是n.命题4.1的函数时，下面的观察结果是定理3.2的直接结果。在条件（C）下- （C） ，P- 画→∞越南≥ h（S）。同样的属性也适用于伊皮内特的策略。证据首先请注意，J*（十）≤ 最小值（x，K），对于所有x>0。因此，根据定理3.2，P- 画→∞（越南）- h（S））≥ (1 - κ*) min（S，K）。

（29）左侧明显为非负性，如κ*< 1.结论来自理论3。3.4.2渐进分位数pricingAs在存在交易成本的情况下，超级套期保值会导致期权价格较高。实际上，人们可以问，在最后一刻，初始资本可以减少多少，以换取空头概率。更准确地说，对于给定的重要级别0≤ ε ≤ 1.卖方可能会寻找初始成本最低的套期保值∈ Rπ ∈ A（x）：P（Vπ，xT≥ H）≥ 1.- ε}.这种构造是由分位数套期保值理论推动的，该理论可以追溯到[10,33]。有关相关讨论，请参考[10,33,34,5,7,6]。在这里，我们将这个想法应用于套期保值问题。再次证明Leland算法的超级套期保值价格为s。在卖方方面，我们提出了一个δs<s的价格，对于正确选择的0<δ<1。然后我们遵循Leland的复制策略。为确保终端时刻的安全，我们需要选择%以使终端投资组合的概率超过实际目标（即支付）和额外金额（1）之和- δ） Sis大于1- ε. 这里，ε是卖方预先确定的重要水平。根据提案4.1，这一目标可以以相当大的比例实现。为了确定期权价格，现在仍然需要选择δ的最小值。受（29）的启发，我们通过Δε=inf{a>0:Υ（a）来定义这一点≥ 1.- ε} ，Υ（a）=P（1- κ*) 最小（S，K）>（1）- a） S）。（30）因此，期权价格的减少由（1）给出- Δε）S。显然，Δε屈服值越小，选项越便宜。接下来，我们证明，与参数ε的幂相比，期权价格显著降低。提议4.2。假设σmax=supy∈Rσ（y）<∞. 然后，对于任何r>0和由（30）定义的Δε，limε→0(1 - δε)ε-r=+∞. （31）证据。我们首先观察到0<Δε≤ 1和Δε趋向于1作为ε→ 0.设置b=1- κ*.

然后，对于足够小的ε，使得Δε>a>1- bK/S，一个有一个- ε>P（b min（S，K）>1- a） S）=1- P（S/S）≤ (1 - a） /b）。因此，ε<P（S/S≤ (1 - a） /b）≤ P（X）≤ -其中Xt=Rtσ（yt）dW（1）和za=ln（b/（1）- a） )- σmax/2。为了估计这个概率，我们注意到对于任何整数m≥ 1，E（X）2m≤ σ2mmax（2m- 1)!! （见[29，引理4.11，第130页]）。对于任何0<1/2σmax，EεX=∞Xm=0碜mm！E（X）2m≤∞Xm=0碜mm！σ2mmax（2m- 1)!! ≤1.- R（γ）。因此，对于足够小的ε>0，我们有ε≤ P（X）≤ -za）=P(-十、≥ za）≤ E-~nzaE e~nX≤E-~nza1- R（γ）。然后，1- A.≥ b e-ε（Ⅴ），式中ε（Ⅴ）=p|lnε（1- R（Γ））|/Γ+σmax/2。让→ Δε，我们得到1- δε≥ 是-ε（Γ），这意味着（31）。波动率函数的有界性对于上述比较结果至关重要。如果我们希望放宽这一假设，那么降价幅度将小于提案4.2中的降价幅度。提案4.3。假设E exp{αRσ（ys）ds}<∞, 对于某些常数α>1/2。那么，对于rα=（2√2α+1）/2α，lim-infε→0ε-rα（1）- δε) > 0 . （33）证据。对于任何正常数L，我们设置τ=τL=inft>0:Ztσ（ys）ds≥ L∧ 1，（34）这是原木价格的方差首次超过L级。然后，从（32）开始，ε≤ PE-1(σ) ≥ ua，Zσ（ys）ds≤ L+ PZσ（ys）ds≥ L, 其中Et（σ）=eRtσ（ys）dW（1）s-Rtσ（ys）ds，ua=（1）- κ*)/(1 - a） Δε>a>1- bK/S.注意，对于任何p>0的情况，停止的过程χt=Eτ∧t(-pσ）是鞅，Eχt=1。因此，（35）右侧的第一概率可以估计为（ua）-体育-pτ（σ）=（ua）-pEχeˇpRτσ（ys）ds≤ （ua）-peˇpL，其中ˇp=（p+p）/2。根据这个假设和切比雪夫不等式，我们得到了Zσ（ys）ds≥ L≤ Cαe-αL，Cα=E expαZσ（ys）ds.因此，ε≤ （ua）-peˇpL+Cαe-αL.通过选择L=α-1ln（2C/ε）和→ Δε，对于任何p>0和某些正常数Cα，1- δε≥~Cαεγ*（p） ，γ在哪里*（p） =（p+1）/（2α）+p-1.注意rα=minp>0γ*（p） =γ*(√2α).

然后，包括上一个不等式p=√2.获得性质（33）。备注10。很明显，rα<1表示α>3/2+√2.命题4.3中使用的条件，当σ线性有界且Yt遵循Orstein-Uhlenbeck过程时（见附录C）。同样的分位数定价结果也适用于伊皮内特策略。5个例子和数值结果在本节中，我们列出了一些著名的SV模型，其中条件（C）已完全满足。为此，我们需要一些一般SDE解的矩估计，dyt=F（t，yt）dt+F（t，yt）dZt，y（0）=y，（36），其中Z是标准的维纳过程，F是两个光滑函数。我们首先回顾了SDE理论中众所周知的结果（参见示例[12，定理2.3，第107页]）。定理5.1。假设F（t，y）和F（t，y）在（t，y）中是可测的∈ [0，T]×R，线性边界和局部Lipschitz。如果E|y|2m<∞ 对于某些整数m≥ 1，则存在（36）andE | yt | 2m<（1+E | y | 2m）Eαt，E sup0的唯一解（yt）≤s≤t | ys | 2m<M（1+E | y | 2m），其中α，M是依赖于t，M的正常数。在定理5.1的上下文中，如果波动函数及其导数具有多项式增长|σ（y）|≤ C（1+| y | m），对于某些正常数C和m≥ 1.Hull-White模型：假设yt遵循几何布朗运动Dst=（yt+σmin）stdwand dyt=yt（adt+bdZt），（37），其中σmin>0，a和b是一些常数，Z是与WT相关的标准布朗运动。放马过来*= sup0≤T≤1 | yt |。然后，根据定理5.1，我们得到了（y）*)2米≤ C（1+E|y|2m）<∞, M≥ 1.只要E|y|2m<∞. 因此，条件（C）已在（37）中完全填写。均匀椭圆波动率模型：假设波动率是由均值回复的奥斯汀-乌伦贝克过程驱动的，dST=（yt+σmin）StdWtand dyt=（a- byt）dt+dZ。（38）在这种情况下，σ（y）=y+σmin。

因此，条件（C）在定理5.1中得到验证。Stein-Stein模型：假设DST=qyt+σminstdwt和dyt=（a- byt）dt+dZt。（39）我们有σ（y）=py+σm，条件（C）也由定理5.1验证。Heston模型：Heston[16]提出了一个SV模型，其中波动性由CIR过程驱动，该过程也称为平方根过程。这个模型可以在我们的环境中使用。事实上，假设价格动态如下所示：dSt=pyt+σminstdwt和dyt=（a- byt）dt+√ytdZt，y≥ 0.（40）对于任何a和b>0的方程，最后一个方程允许一个唯一的强解yt>0。注意，定理5.1中的利普斯奇兹条件被违反，但通过使用停止时间技术，我们坦率地证明了*< ∞. 因此，这意味着模型（40）满足条件（C）。类似地，我们可以检查（C）是否适用于Ball-Roma模型[3]，或者更一般地，适用于满足以下条件的一类有界扩散过程。（A） 存在正常数A、b和M，使得yf（t，y）≤ A.- byand | F（t，y）|≤ M、 对于所有t>0，y∈ R.提案5.1。在条件（A）下，存在α>0使得Eeαy*2< ∞.证据该证明使用了与[20]中命题1.1.2相同的方法。Scott模型：假设波动率遵循Orstein-Uhlenbeck，就像Stein-Stein模型一样，函数σ采用指数形式DST=（eδyt+σmin）StdW（1）和dyt=（a）- byt）dt+dZt，（41），其中a、b和σmin>0是常数。这里，δ>0的选择使得2δ≤ α、 定义为第5.1条。显然，σ（y）=eδy+σm，条件（C）已满，因为sup0≤T≤1 |σ（y）|≤ 2σmin+2E（e2δ{yt|≤1} +e2δ| y |{| yt |>1}）<∞.赫尔-怀特模型的数值结果：我们提供了一个赫尔-怀特模型中L’epinette策略近似结果的数值例子（37）。