随机市场中具有交易费用的近似套期保值问题

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英文标题：
《Approximate hedging problem with transaction costs in stochastic
  volatility markets》
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作者：
Thai Huu Nguyen and Serguei Pergamenshchikov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies the problem of option replication in general stochastic volatility markets with transaction costs, using a new specification for the volatility adjustment in Leland\'s algorithm \\cite{Leland}. We prove several limit theorems for the normalized replication error of Leland\'s strategy, as well as that of the strategy suggested by L\\\'epinette. The asymptotic results obtained not only generalize the existing results, but also enable us to fix the under-hedging property pointed out by Kabanov and Safarian. We also discuss possible methods to improve the convergence rate and to reduce the option price inclusive of transaction costs.
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中文摘要：
本文利用Leland算法中波动率调整的一个新规范\\cite{Leland}，研究了具有交易费用的一般随机波动率市场中的期权复制问题。我们证明了Leland策略的标准化复制误差的几个极限定理，以及Leland提出的策略的标准化复制误差的极限定理。所得的渐近结果不仅推广了已有的结果，而且使我们能够修正Kabanov和Safarian指出的欠套期保值性质。我们还讨论了提高收敛速度和降低包含交易成本的期权价格的可能方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Approximate_hedging_problem_with_transaction_costs_in_stochastic_volatility_markets.pdf (729.59 KB)

2022-5-8 05:05:43 上传

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关键词：套期保值 交易费用 交易费 Mathematical Quantitative

随机波动市场中具有交易费用的近似套期保值问题*Thai Huu Nguyen+和Serguei Pergamenschikov2015年5月12日摘要本文研究了具有交易成本的一般随机波动性市场中的期权复制问题，使用了Leland’salgorithm中波动性调整的一个新规范[23]。我们证明了Leland策略的标准化复制误差的几个极限定理，以及L’epinette[27]提出的策略的极限定理。所得的渐近结果不仅推广了现有结果，而且使我们能够确定卡巴诺夫和萨法里安在[18]中指出的欠享乐性质。我们还讨论了提高收敛速度和降低包含交易成本的期权价格的可能方法。关键词：利兰策略、交易成本、随机波动性、分位数对冲、近似边缘化、高频市场数学主题分类（2010）：91G20；60G44；60H07JEL分类G11；G131 IntroductionLeland[23]提出了一种在具有比例交易成本的市场中为标准欧式期权定价的简单方法。他认为，通过增加经典Black-Scholes模型[4]中的波动性参数，可以在期权价格中考虑交易成本。Lelandthen声称，如果交易成本率是一个独立于n的常数，或在n的速率下降至零，则在不给出严格数学证明的情况下，随着修正次数的增加，相应离散增量策略的复制投资组合收敛于期权支付-1/2. 洛特在他的博士论文[30]中证明了后一种说法。

关于这一理论的最新解释，我们请读者参考第2节和[18、24、26、27、13、14、9、34]。在这项研究中，我们研究了具有恒定交易成本的欧式期权随机波动（SV）市场的近似套期保值问题（参考文献[11]和其中有关SV模型的动机和详细讨论的参考文献）。特别是，我们使用简单的波动率调整，在一般SV设置下，建立了Leland策略的标准化套期保值误差的弱收敛性。所得结果不仅推广了已有结果，而且为提高收敛速度提供了一种方法。此外，结果表明，通过控制模型参数可以实现超磨边。让我们强调一下，在[23]中提出并在[18,19,24,25,27]中应用的调整后波动率的经典形式可能不适用于SV模型。原因是SV市场的期权定价和套期保值本质上不同于经典的Black-Scholes框架。特别是，期权价格现在取决于波动过程的未来实现。总的来说，并非所有投资者都能从统计上获得这些信息。为了解决这个问题，我们建议在Leland算法中对调整后的波动率进行新的规定。虽然我们采用了一种经过特殊修改的波动率，比之前文献中使用的著名版本更简单，但在SV环境中也得到了相同的渐近结果。此外，通过控制模型参数可以提高收敛速度。请注意，在上述论文中，近似程序主要基于矩估计。这种基本技术不再适用于一般SV模型，除非对模型参数施加一些内在条件[2,28]。

记住，我们的目标是建立标准化复制误差的弱收敛性，它只需要在近似项的概率上收敛。因此，在近似过程中，可以避免可积性问题，以尽可能保持模型设置的通用性。如[34]所述，Leland算法中的期权价格（包括交易成本）可能很高（事实上，它接近买入和持有价格），即使修正数的值很小。我们方法的另一个实际优势是，只要期权卖方愿意承担期权复制的风险，期权价格就可以降低。这种方法受到分位数套期保值理论的启发[10]。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要回顾了兰德的方法。第3节专门阐述这个问题，并介绍我们的主要结果。第4节介绍了定价和套期保值的一些直接应用。第5节讨论了常见的SV模型，这些模型满足波动率函数的条件。还提供了HullWhite模型的数值结果以供说明。第6节将我们的结果与具有比例交易成本的高频市场联系起来。第7节报告了我们主要结果的证明。辅助引理可以在附录中找到。2.交易成本的近似套期保值：回顾Land在完全无套利模型中的做法（即存在唯一的等价鞅测度，股票价格为鞅），期权可以通过自融资交易策略完全复制。期权价格（定义为复制成本）是投资者为获得完整对冲而必须投资的初始资本。

实际上，期权价格可以计算为在唯一等价鞅测度下贴现索赔的期望值。这一原则在著名的布莱克-斯科尔斯模型中起着核心作用。为了简单起见，让我们考虑时间间隔[0,1]上的双资产金融市场的连续时间模型，其中债券价格始终等于1。股票价格动态遵循随机微分方程Dst=σStdWt，Sgiven，（1）其中Sandσ为正常数，（Wt）0≤T≤1是标准的维纳工艺。像往常一样，让Ft=σ{Wu，0≤ U≤ t} 。我们记得财务策略（βt，γt）0≤T≤1如果从下方（Ft）限定为RT（|βt |+γt）dt<∞ a、 投资组合价值满足度vt=βt+γtSt=V+ZtγudSu，t∈ [0, 1].经典的套期保值问题是找到一个可接受的自我融资策略（βt，γt），其最终投资组合价值超过支付效率h（S）=max（S）- K、 0），orV=V+ZγudSu≥ h（S）a.S.，其中K是履约价格。标准定价原理表明，期权价格C（t，St）由著名的公式[4]C（t，x）=C（t，x，σ）=xΦ（ev（t，x））给出- KΦ（ev（t，x）- σ√1.- t） 式中ev（t，x）=v（σ（1- t） ，x）和v（λ，x）=ln（x/K）√λ+√λ. （3） 这里，Φ是标准正态分布函数。在下面，我们用φ表示N（0，1）密度：φ（z）=Φ（z）。我们可以直接检查Cx（t，x）=Φ（ev（t，x））和Cxx（t，x）=φ（ev（t，x））xσ√1.- t、 （4）Black和Scholes[4]假设在交易成本为零的情况下可以进行持续的投资组合调整，认为期权支付可以使用增量策略（即期权价格相对于股价的偏导数）动态复制。很明显，持续修订投资组合的假设是不现实的。

此外，在非零恒定比例交易成本的情况下，持续交易将是毁灭性的昂贵，因为delta策略具有有限的变化。这种简单的直觉反驳了布莱克和斯科尔斯的观点，即如果交易发生得相当频繁，那么享乐误差相对较小。因此，具有非零交易成本的期权定价和复制本质上不同于Black-Scholes环境下的期权定价和复制。请注意，在具有事务成本的情况下，在复制中确保一定程度的准确性可能会非常昂贵。在接下来的内容中，我们证明了Leland的增加波动性原理[23]在这种情况下实际上是有用的。2.1恒定波动率caseLeland的方法[23]提供了处理交易成本的有效技术。这种方法只是基于一种直觉，即交易成本可以作为合理的额外费用计入期权价格中，这是期权卖方支付期权收益所必需的。这意味着，在存在交易成本的情况下，该选项比classicBlack-Scholes框架中的选项更昂贵。这在直觉上相当于Black-Scholes公式中波动性参数的增加。让我们简要描述一下利兰的方法[23,18]。假设在每次交易活动中，投资者必须支付与交易量成正比的费用，以美元价值计量。假设交易成本率由κ定律给出*N-α、 其中n是修订的数量。给，0≤ α ≤ 1/2和κ*> 0是两个固定参数。Leland方法的基本原理是用bσ代替Black-Scholes模型中的真实波动率参数，特别是修改为asbσ=σ+%n1/2-α带%=κ*σp8/π。（5） 在这种情况下，期权价格由Black-Scholes公式bc（t，x）=C（t，x，bσ）给出。

对于期权复制问题，Leland建议采用以下离散策略，即Leland的策略，γnt=nXi=1bCx（ti-1、Sti-1） 1（ti）-1，ti]（t），ti=in，i∈ {1,2，…，n}。（6） 在此，区间内持有的股份数量（ti-1，ti]是在该区间的左边界处计算的增量策略。然后，复制投资组合的价值取形式Vn=Vn+ZγnudSu- κ*N-αJn，（7）其中总交易量为Jn=Pni=1Sti |γnti- γnti-1 |（以美元价值计量）。再次证明期权价格bc（t，x）是Black-Scholes偏微分方程的解，其波动率bσbCt（t，x）+bσxbCxx（t，x）=0，0≤ t<1；bC（1，x）=h（x）。（8） 利用它的^o公式，我们可以表示跟踪误差Vn- h（S），asZγnt-bCx（t，St）dSt+（bσ）- σ） ZStbCxx（t，St）dt- κ*N-αJn。（9） 备注1（利兰）。具体形式（5）源自以下直觉：（9）中的勒贝格积分显然很好地近似于项σSti的黎曼和-1bCxx（ti）-1、Sti-1)t、 而Sti |γnti- γnti-1 |可替换为≈ σSti-1bCxx（ti）-1、Sti-1)|Wti|≈ σp2/（nπ）Sti-1bCxx（ti）-1、Sti-1） 因为|Wti |=p2/π√t=p2/（πn）。因此，可以合理预期（5）中定义的修正波动率将给出适当的近似值，以补偿交易成本。Leland[23]推测复制误差收敛的概率为零，为n→ ∞ 对于恒定比例交易成本的情况（即α=0）。他还建议，在没有给出严格证明的情况下，对于α=1/2的情况，这个性质也是正确的。事实上，Leland关于α=1/2的第二个猜想是正确的，Lott在他的博士论文[30]中证明了这一点。定理2.1（Leland Lott[23,30]）。对于α=1/2，策略（6）定义了一个近似复制的投资组合，因为修订间隔n的数量趋于单一- 画→∞Vn=h（S）。然后，Ahn等人[1]将这一结果推广到一般的扩散模型。

Kabanov和Safarian[18]观察到，只要成本率收敛到零，Leland-Lott定理仍然成立→ ∞.定理2.2（Kabanov-Safarian[18]）。对于任何0<α≤ 1/2，P- 画→∞Vn=h（S）。在[26,19]中，作者研究了α=1/2情况下L收敛意义下的Leland-Lott近似。定理2.3（Kabanov-L\'epinette[26]）。设α=1/2。Land策略的均方近似误差（在（5）中定义了%）满足以下渐近等式越南- h（S）= 一-1+o（n）-1） 作为n→ ∞,其中A是一个正函数。定理2.3表明，归一化复制误差在定律中收敛为n→ ∞.定理2.4（伊皮内特·卡巴诺夫[19]）。对于α=1/2，过程Yn=n1/2（Vn- h（S））在Skorokhod空间D[0，1]中弱收敛于过程Yo=RoB（St）dZt的分布，其中Z是一个独立的维纳过程。备注2。第6节讨论了这种情况与高频市场中按比例交易成本套期保值问题之间有趣的联系。值得注意的是，Leland在备注1中的近似值在数学上是不正确的，因此，他的第一个猜想对于恒定交易成本的情况是无效的。事实上，asn→ ∞, 交易量Jn可近似为以下总和（不可能收敛到（11）中定义的J（S，%）-nXi=1λ-1/2i-1Sti-1e~n（λi）-1、Sti-1)|σ%-1Zi+q（λi）-1、Sti-1)|λi，其中λi=λti=bσ（1- ti），Zi=Wti/p天德ν（λ，x）=ν（v（λ，x）），q（λ，x）=ln（x/K）2λ-. （10） 一项仔细的研究证实，在α=0的情况下，复制投资组合的极限和支付之间存在着不小的差异。定理2.5（Kabanov-Safarian[18]）。

对于α=0，Vn收敛到h（S）+min（S，K）-κ*J（S，%）的概率，其中J（x，%）=xZ+∞λ-1/2e|（λ，x）E | E%Z+q（λ，x）| dλ，（11）其中E%=σ%-1和Z~ N（0，1）独立于S.套期保值不足：重要的是要注意，在交易成本不变的情况下，期权复制的问题并没有完全解决。实际上，考虑到E | E%Z |=1/（2κ*)还有身份证∞Zλ-1/2e~n（λ，x）dλ=2 min（x，K），（12）我们得到（对于（5）中给出的参数%）该min（x，K）-κ*J（x，%）=xκ*均衡器+∞λ-1/2e|（λ，x）（E | E%Z）|- E | E%Z+q（λ，x）|）dλ。安德森不等式（参见第155页[17]中的例子）直接暗示，对于任何q∈ R、 从表面上看，均方复制可能不包含太多有用的信息，因为收益和损失在实践中具有不同的意义。显然，如果α=1/2，则修正后的波动率与n无关。图1:min（S，K）- κ*J（S）在左边，J（S）在右边，K=5。E | E%Z+q |≥ E | E%Z |。因此，P-画→∞（越南）-h（S））≤ 因此，在这种情况下，该期权是渐进式套期保值的。在近似过程中，还应注意这样一个事实，即BC及其导数取决于0时的修订次数≤ α < 1/2. 此外，可以任意选择（5）中出现的系数%。Pergamenschikov[34]证明了inKabanov-Safarian定理的收敛速度为n1/4，并为规范化复制误差提供了弱收敛性。定理2.6（Pergamenschikov[34]）。考虑Leland的策略（6），α=0，让（5）中的百分比为某个固定的正常数。

然后，随机变量序列sn1/4（Vn- h（S）- min（S，K）+κ*J（S，%）（13）弱收敛于中心混合高斯变量n→ ∞.定理2.6具有实际意义，因为它不仅给出了套期保值误差的渐近信息，而且提供了一种合理的方法来确定套期保值不足的问题（见第4节）。Darses和L’epinette[9]修改了Leland的策略，通过应用非一致修正策略（ti）1来改善定理2.6中的收敛性≤我≤n、 定义字节=g（i/n），g（t）=1- (1 - t） u代表一些u≥ 1.（14）调整后的波动率取bσt=σ+κ*σp8/πpnf（t），其中f是g的反函数。此外，定理2.5和2.6中的差异可以通过采用以下修改策略来消除，称为L’epinette策略[27]，\'γnt=nXi=1bCx（ti）-1、Sti-1) -Zti-1bCxt（u，Su）du（ti）-1，ti]（t）。（15） 定理2.7。设Vn为策略（15）的终值，α=0。那么，无论如何≤ u<umax，序列nβ（Vn- h（S））弱收敛于中心的混合高斯变量，如n→ ∞, 其中β=u2（u+1）和umax=3+√. （16） 2.2与时间相关的波动率案例假设σ是一个正的非随机函数，并且支付函数是一个连续函数，具有连续导数，但在一定数量的点上除外。在非均匀再平衡计划（14）下，扩大的波动率应采用公式bσt=σ（t）+κ*σ（t）n1/2-αpf（t）8/π。（17） 定理2.8（伊皮内特[24]）。设σ为严格正Lipschitz有界函数。此外，假设H（·）是一个分段二次可微函数，并且存在x*≥ 0和δ≥ 3/2，这样supx≥十、*xδ| H（x）|<∞. 那么，对于任何1/2≥ α>0时，利兰策略的复制组合在概率上收敛于n→ ∞.