随机市场中具有交易费用的近似套期保值问题

根据定理3.3，修正的损益修正误差下限价格策略10 0.1523845-0.2225988-0.2363122-0.2088854 0.7914033 0.901390150 0.2966983-0.0596194-0.0670452-0.0521936 0.9399330 0.97066068100.3086120-0.0288526-0.0350141-0.0226911 0.9746527 0.9875094500 0.5755 0.0032387-0.0005821 0.0070594 0.93993300.976068100.3086120-0.02885260.9999652表1：带κ的L’epinette策略的收敛性*= 0.01, % = 2.n损益修正误差下限上限价格策略10 0.2859197-0.0744180-0.0813544-0.0674816 0.9246420 0.965970050 0.3172523-0.0069238-0.0115426-0.0023049 0.9921661 0.9962377100.3033519 0.0007474-0.0030916 0.0045864 0.9984346 0.9992385500.3618707 0.0001296-0.0024741 0.002733 0.99970.999970.99950-0.999952-0.999930-0.999950.9999伊皮内特与κ的策略*= 0.001, % = 4.复制错误由Vn给出-麦克斯（S）-K、 0）-ηmin（S，K），其中η=1-κ*σ（y）%-1p8/π。差异-麦克斯（S）-K、 0）可以被视为策略γn的增益/损失。对于一个数值估值，我们用粗糙的蒙特卡罗方法模拟n=500个轨迹，其中两个布朗运动的相关系数为0.05，其他初始值为S=K=1，y=2，σmin=2，a=-2和b=1。对于每一个n值，我们估计校正误差的平均值，并给出相应的95%区间，由上下限定义。表1和表2的最后一列给出了所持股份的初始数量。事实证明，该策略收敛于买入并持有策略，期权价格接近超级对冲价格。

我们还看到，修正后的复制错误收敛到零的速度有点慢。事实上，增加%的值可以提供更快的收敛，但这意外地导致超级复制更快。我们现在为命题4.2的分位数套期保值结果提供一个数值说明。对于隐式，假设σ（y）=sin（y）+0.1，并且y遵循上述几何布朗运动。比较折减系数1- Δε与显著水平ε的幂，我们计算（1- δε)ε-rfor 0.001≤ ε ≤ 0.1和0≤ R≤ 0.1，带κ*= 0.001. 然后，（31）由模拟结果证实（见图2a）。模拟还表明，包含交易成本的期权价格为1-0.385=0.615，这比超级套期保值价格S=1便宜，因为下跌概率小于0.1%。当然，用期权价格代替SBC是合理的，包括交易成本SBC（0，S）。期权价格的模拟降低（1-Δε）bC（0，S）如图2b所示。6高频市场我们现在假设风险资产的购买以较高的要价St+εt进行，而销售以较低的要价St进行- εt.这里的中间价STI如模型（19）所示，ε是买卖价差的半宽度。然后，对于任何有限变量ψt的交易策略，财富过程可以由vt=V+ZtψsdSs确定-Ztεsd |ψs，（42）（a）折减系数1- Δε和ε（b）的幂减少量和ε，其中|ψ|是ψt的总变化量。观察到前两项是无摩擦框架中的经典组成部分，分别描述了初始资本和交易收益。

（42）中的最后一个积分通过将策略的总变化与价差的半宽度加权，来说明交易活动产生的交易成本。对于交易成本较小的最优投资和消费[21]，应在Vt的公式中加入附加项。在这种情况下，通常通过半宽度扩展ε零附近的渐近展开来确定近似解，其中通过收集无摩擦问题的输入来获得引导修正。在本节中，我们只对利兰精神中使用离散策略的复制感兴趣。假设对于复制，期权卖方采用离散对冲策略ψn，εt，修正后的atn日期，由第3节中定义的ti=g（i/n）确定。相应的财富过程现在由Vn，εt=Vn，ε+Ztψn，εsdSs给出-nXi=1εti |ψn，εti- ψn，εti-1|. （43）为了处理交易成本的风险，我们再次应用波动性增加原则。请注意，在高频市场中，买卖价差通常与价格上涨的幅度相同。因此，εt的形式应为κ*N-1/2St，对于某些正常数κ*. 然后，这个例子对应于Leland Lott框架，α=1/2。在我们的上下文中，当ψn，εt被Leland的orL’epinette策略取代时，第3节中的方法仍然有用。提议6.1。设εt=κ*N-1/2St，并假设调整后的波动率的形式为bσ=%pnf（t），如（20）所示。对于Leland和L’epinette的策略，复制投资组合值Vn，ε的序列以概率收敛到h（s）+min（s，K）=s。特别是，nβ（Vn，ε-S） 收敛到混合高斯变量n→ ∞.证据

这个证明是定理3.1的直接结果，因为总交易成本现在收敛到零。注意，第3节中研究的情况α=0对应于假设εt=κ*St，对于某些常数κ*. 这种特殊形式意味着市场流动性更差，买卖价差更大。重要的是要知道，经典的Black-Scholes策略不是有限的变化。我们感谢一位匿名仲裁人指出了案件α=1/2与这种情况的对应关系。现在与每笔交易的现货价格成正比。因此，这种情况下的近似套期保值结果与第3节中的结果相同。在这一部分的结尾，我们假设无论当前股价如何，股价利差始终保持不变。换句话说，εt=κ*对于某些正常数κ*.直观地说，交易成本现在是基于交易股份的数量，而不是文献和第3节中的交易金额。有趣的是，我们的方法在这种情况下仍然有效。以下结果与定理3.1类似，对交易成本的极限值进行了微小修改，定义为j（x，y，%）=Z+∞λ-1/2e~n（λ，x）Eσ（y）%-1Z+ln（x/K）2λ-dλ，（44）其中Z~ N（0，1）独立于S，y位置6.2。假设εt=κ*> 0和bσ=%pnf（t）。对于Leland在条件（C）下的策略，序列nβ（Vn，ε- h（S）- min（S，K）+κ*J（S，y%）弱收敛于n为中心的混合高斯变量→ ∞. 此外，对于伊皮内特的策略，nβVn，ε- h（S）- (1 - η） min（S，K）弱收敛于中心混合高斯变量，其中η=σ（y）%-1S-1p8/π。证据该证明类似于定理3.1（见第7节）。备注11。

何时%→ ∞ 在条件（C）下，我们得到命题6.2的一个改进的速率版本，如定理3.2.7所示。主要结果在下面的一般过程中得到证明。步骤1：确定套期保值误差的主要期限。特别是，我们将显示伽马项I1收敛到2分钟（S，K），而累积交易成本接近（24）中定义的Jde。两种收敛的速率都是θn=nβ%2β。第2步：将剩余项表示为离散鞅。为此，随机积分将按照第7.2小节中规定的特殊程序进行离散。第3步：应用定理7确定标准化复制错误的极限分布。1.这个结果是关键工具，但事实上我们需要适应我们环境的特殊版本。这些将在第7.3.7.1小节的预备说明中明确说明，首先，BC（t，x）及其导数可以表示为λ和x的函数，其中λt=λ（1- t） 4β：=λν（t）和λ=eu%√n、 （45）此外，在所有k-th（k）中出现的函数eа（λ，x）≥ 2） 当λ趋于零时，BC相对于x的阶导数以及通过关系式（8）的时间导数呈指数递减至零。这个性质促使我们从变量λ的角度进行分析。特别是，让我们将两个函数*, L*让我≤ m<m≤ n是两个整数*= λν（g（m/n））和l*= λν（g（m/n））。然后，对应于索引j的所有项/∈ [m，m]可以被忽略，这取决于l的选择*我呢*. 为了我们的目的，所需的顺序是θn~ λ2β. 因此，我们以l为例*= 1/lnn，l*= lnn和definem=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i+1和m=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i，（46）图2：由（47）定义的序列（λj）和（tj）。其中符号[x]代表实数x的整数部分。

下面，我们关注交易时间的子序列（tj）和相应的序列λj, 定义的astj=1- (1 - j/n）u和λj=λ（1- tj）4β，m≤ J≤ m、 （47）注意tj是一个递增序列，取[t]中的值*, T*], t在哪里*= 1.-（l）*/λ） 4β和t*=1.-（l）*/λ） 4β，而λj在[l]中减少*, L*]. 因此，我们使用符号tj=tj-tj-1和λj=λj-1.- λj，代表m≤ J≤ m、 避免在离散和中重新计算负号。下面，It^o随机积分将通过以下独立的正态随机变量序列sz1，j=W（1）tj离散- W（1）tj-1ptj- tj-1和Z2，j=W（2）tj- W（2）tj-1ptj- tj-1.（48）我们设定p（λ，x，y）=%σ（y）ln（x/K）2λ-（49）并将其缩写为pj-1=p（λj）-1、Stj-1，ytj-1). 这种简化表示法被滥用于近似过程中出现的函数。定义Z3，j=|Z1，j+pj-1| - E|Z1，j+pj-1 | | Fj-1.,Z4，j=|Z1，j |- E|Z1，j | | Fj-1.= |Z1，j|-p2/π。（50）序列（Z3，j）和（Z4，j）将有助于找到近似项的Dood分解。为了表示交易成本的极限，我们引入G（a）=E（|Z+a）=2|（a）+a（2Φ（a）- 1） ，λ（a）=E（|Z+a |- E | Z+a |）=1+a- G（a），（51）代表a∈ R和Z~ N（0，1）。我们也写o（a）-对于满足P的一般随机变量序列（Xn）- 画→∞arnXn=0.7.2随机积分的近似对于任何L>0，我们考虑停止时间τ*= τ*L=inf{t≥ 0：σ（yt）+|σ（yt）|>L}，（52）并用S表示*t=Sτ*∧坦迪*t=yτ*∧t相应的进程已停止。我们通过序列（Z1，j）和（Z2，j）提供了It^o随机积分的近似过程。

离散近似涉及满足技术条件的函数类，（H）A:R+×R+×R→ R是一个连续可微函数，满足以下条件：存在γ>0和正函数U，使得对于任何x≥ 0，y∈ R、 supλ>0min（λγ，1）|A（λ，x，y）|≤ U（x，y）和sup0≤T≤1E（S）*t） mU2r（S）*t、 y*t） <∞,无论如何-∞ < m<+∞, R≥ 0和L>0。备注12。我们可以直接检查k≥ 2.kxbC（λ，x）=xk-1λ-k/2e~n（λ，x）P（ln（x/k）），其中P是一些多项式。因此，以下近似中出现的所有函数均为λ形式-k/2xm′σ（y）P（ln（x/k）），其中′σ可以是σ或其两个一阶导数σ的幂，σ。在有界波动设置中，它可以通过一些支持0的计算功能（例如[9,24,27]）来显示≤T≤1ESmtln2rSt<∞, 对任何人来说∈ R、 R≥ 0.（53）然而，对于波动性无限的SV模型，后一个属性并不总是满的。事实上，在[2,28]中已经证明，在一般SV市场中，股价不允许存在可积矩，除非对相关性和波动动力学系数施加一些自然条件。因此，在一般SV框架中，使用现有工作中的Lestimate进行渐近分析可能是不可能的。然而，注意（53）对于τ停止的过程是正确的*. 下面，近似分析将建立在概率收敛的意义上，以避免这种可积性问题。为了简单起见，我们使用符号ˇS=（S，y）。在我们的渐近分析中经常用到以下技巧。提议7.1。设A（λ，x，y）=A（λ，x，y）e~n（λ，x），其中A=A（λ，x，y）是满足（H）的函数。那么，对于i=1，2，ZbσtZtA（λt，ˇSu）dW（i）udt=%-1mXj=mAj-1Zi，jλj+o（θ）-其中θn=nβ%2β，Aj=A（λj，ˇStj）和A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）dz。证据

利用随机Fubini定理，我们得到bin=ZbσtZtA（λt，ˇSu）dW（i）udt=ZZubσtA（λt，ˇSu）dtdW（i）u.然后，改变变量v=λt，对于内积分屈服强度subσtA（λt，ˇSu）dt=ZλλuA（v，ˇSu）dv=A（λu，ˇSu）- A（λ，ˇSu）。换句话说，bIn=bI1，n-其中bi1，n=RˇAudW（i）u，ˇAu=A（λu，ˇSu）和bI2，n=RA（λ，ˇSu）dW（i）u。此外，我们还有bi1，n=Zt*ˇAudW（i）u+Zt*T*ˇAudW（i）u+Zt*ˇAudW（i）u:=R1，n+R2，n+R3，n.（55）设ε>0，b>0。我们观察到P（θn | bI2，n |>ε）以P（τ）为界*L<1）+P（θn | bI2，n |>ε，τ）*L=1）。根据条件（C），我们有lim supL→∞P（τ）*L<1）=0。（56）根据（H），我们推导出A（λ，x，y）|≤ C√KeU（x，y）e-λ/8，其中eu（x，y）=x-1/2U（x，y）。现在，把*u=ˇAu∧τ*安德比*2，n=RˇA*udW（i）u，有P（θn | bI2，n |>ε，τ）*L=1）=P（θn | bI*2，n |>ε）。利用切比雪夫不等式，我们得到了p（θn | bI）*2，n |>ε）≤ ε-2θnE（bI）*2，n）≤ Cε-2θne-λ/8sup0≤T≤1EeU（ˇS）*t） 。因此，由于条件（H），bI2，n=o（θ-1n）as n→ ∞. 同样，考虑到*≤ λu≤ λ表示0≤ U≤ T*, 我们得到R1，n=o（θ）-1n）。接下来，让我们展示（55）中最后一个学期的相同行为。事实上，对于某些固定η>0和L>0，一个搭扣θn | R3，n |>ε≤ Pθn | R3，n |>ε，Γ1，η，L+ PΓc1，η，L, （57）式中Γ1，η，L=输入*≤U≤1 | ln（Su/K）|>η，τ*L=1. 然后，通过考虑引理A.3和可积条件（C），得到一个slimη→0limn→∞极限→∞P（Γc1，η，L）=0。关于Γ1，η，L，我们有ˋA=A*和| A*u|≤ U（S）*u） Z∞λu（1+z）-γ） e~n（z，S）*u） dz≤欧盟*u） ˇf*u、 f在哪里*u=pK/（2π）R∞λu（1+z）-γ） e-η/（2z）-z/8dz。集合Γ3，j={|||Au|≤欧盟*u） ˇf*u} ，bA*u=A*uΓ3，jandbR3，n=Rt*文学士*udW（i）u.通过切比雪夫不等式，我们得到θn | R3，n |>ε，Γ1，η，L≤ θnε-2Zt*E（文学士）*u） 杜≤ θnε-2sup0≤U≤1EeU（ˇS）*u） Zt*（ˇf）*u） du，它收敛到零asRt*（ˇf）*u） 杜≤ Cλ-4βl*. 因此，R3，n=o（θ-1n）。它仍然需要离散序列（Zi，j）中的积分项R2，nvia。实现这一目标的关键步骤如下。

首先，我们表示R2，n=Rt*T*ˇAudW（i）u=Pmj=mRtjtj-1ˇAudW（i）ua并用aj替换最后一个和中的It^o积分-1Zi，jptj。接下来，引理A.1使我们能够替换tj=%-1.λjin乘以最后一个和，得到由Mk=%定义的鞅mm-1Pkj=mAj-1Zi，jλj.我们需要证明| R2，n- Mm |=o（θ）-1n）或等效地，Pmj=mBj，n=o（θ-1n），其中Bj，n=Rtjtj-1eAu，jdW（i）uandeAu，j=\'A（λu，ˇSu）-\'A（λj-1、Stj-1). 为此，我们引入集合Γ2，b=（supt*≤U≤1supz∈R|A（z，|Su）|+x\'A（z，ˇSu）+y\'A（z，ˇSu）≤ b） 。然后，对于任意ε>0，Pθn | Pmj=mBj，n |>ε以P（Γc2，b）+P（τ）为界*< 1） +$n，其中$n=Pθn | Pmj=mBj，n |>ε，Γ2，b，τ*= 1.. LetbBj，n=Rtjtj-1bAu，jdW（i）u，其中bau，j=eAu，j{| eAu，j|≤b（|λu）-λj-1 |+| S*U-s*tj-1 |+| y*U-Y*tj-1|)}.那么，$n=Pθn | Pmj=mbBj，n |>ε, 比ε小-2θnPmj=mEbBj，由切比雪夫的质量决定。显然，EbBj是以3BZTJTJ为界的-1（（λu）- λj-1） +E（S）*U- s*tj-1） +E（y）*U- Y*tj-1） ）杜！≤ (λj）+(tj）直到一个倍数常数。因此，θnPmj=mEbBj，n≤ CθnPmj=m(λj）+(tj），通过引理A.1和条件（C）收敛到0。另一方面，通过引理A.4，我们得到了肢体→∞画→∞P（Γc2，b）=0。证据是完整的。7.3近似极限定理我们首先回顾[15]中的以下结果，这对研究离散鞅的渐近分布很有用。定理7.1。[定理3.2和推论3.1，第58页[15]]设Mn=Pni=1Xibe为零均值平方可积鞅，为a.s.有限随机变量。假设以下收敛在概率上满足：nXi=1EXi{Xi}>δ}Fi-1.-→ 对于任何δ>0且nxi=1E的情况，均为0希菲-1.-→ .然后，（Mn）在定律中收敛到特征函数为E exp的X(-t），也就是说，X具有阿高斯混合分布。在这一小节中，我们建立了定理7.1的特殊版本。

实际上，我们的目的是研究由命题7中的近似（54）得到的离散鞅的辛分布。1.首先，我们定义k=kXj=m~nj，m≤ K≤ m、 （58）式中Γj=Pi=1Ai，j-1Zi，jλj，Ai，j=Ai（λj，ˇStj）和Zi，jd定义为（48）和（50）。为了描述（M）的渐近方差，我们引入以下函数l（λ，x，y）=A（λ，x，y）+2A（λ，x，y）A（λ，x，y）（2Φ（p）- 1） +A（λ，x，y）∧（p）+A（λ，x，y），（59），其中p在（49）中定义。设置u=（u+1）eu+1和bu=（u- 1)/(u + 1). （60）提案7.2。设Ai=Ai（λ，x，y），i=1，2，3是具有性质（H）的函数，Ai（λ，x，y）=Ai（λ，x，y）e~n（λ，x）。然后，对于任何固定的%>0，序列（nβMm）n≥1弱收敛于均值为零且方差定义为=（S）=u%u+1R的混合高斯变量+∞λbuL（λ，ˇS）dλ。如果某些（或全部）函数是前一个函数，则相同的属性仍然有效∞λAi（z，x，y）e~n（z，x）dz。证据注意，平方可积性的性质不能保证（Γj）。为了克服这个问题，我们考虑“停止版本”（^1*j） ，通过替换ˇStj获得-1byˇS*tj-1在人工智能中，即*j=Pi=1Ai（λj，ˇS）*tj）子，jλj.设M*k=Pkj=m~n*j、 相应的stoppedmartingale。首先，我们在定理7.1中证明，对于任何L>0的情况，该鞅弱收敛为均值为零且方差为的混合高斯变量*2（L）=（S）*). 为此，设置Γ1，η={inft*≤U≤1 | ln（S）*u/K）|>η}和a*j=E（Γ）*2j{|~n*j |>δ}| Fj-1） ，我们得到n2β| mXj=ma*j |>ε≤ Pn2β| mXj=ma*j |>ε，Γ1，η+ P（Γc1，η）。（61）必须证明（61）右侧的第一概率收敛为零。事实上，从命题7.1的证明中，我们可以观察到，在集合Γ1上，η，maxi=1,2,3Ai（λu，ˇS）*u）≤欧盟*u） （1+λ）-γu），t*≤ U≤ T*, （62）对于某些γ>0的安第乌（ˇS）=S-1/2U（ˇS）。