随机市场中具有比例交易成本的近似套期保值

在条件（C）下- （C）- （C） 定理3.1和3给出了极限结果。2.仍然有效。5带跳跃的确定性波动率模型在本节中，我们考虑一个更简单的模型，其中资产波动率为常数，即σ（y）=σ=常数>0，y、 在资产价格没有跳跃的情况下，众所周知，使用经典的调整波动率bσt=σ+%pnf（t），%=κσp8/π（5.1）会导致渐进投资组合价值和期权支付之间的非零差异。特别地，[22]证明了vn在概率上收敛于h（S）+min（S，K）- κJ（S，%），其中Γ（x，%）由（3.18）定义，σ（y）=σ。然后在[37]中证明了归一化修正套期保值误差的渐近分布是混合高斯分布。特别是福莱兰的战略和统一修订版，n1/4（Vn- h（S）- 当%>0时，min（S，K）+κJ（S，%）弱收敛于中心混合高斯变量。为了消除Pergamenschikov结果中的错误，论文[11]采用了（5.1）中定义的bσ的L’epinette策略。事实上，证明了对于具有幂衰减性质的支付函数h的一般欧式期权，nβ（Vn- h（S））收敛到一个混合高斯变量。请注意，上述结果是在资产定价的不同模型设置中获得的。当资产价格出现跳跃时，这些工作中的近似值应该被认真考虑，而且似乎这种期望的扩展在他们的方法中远远不是显而易见的。我们的方法的一个优点是，资产价格的可能跳跃可以以很小的概率忽略。事实上，正如下面所说，同样的结果适用于跳跃差异模型。定理5.1。

假设资产动态为bydSt=St-btdt+σdWt+dNtXj=1ξj,其中NTI是强度为θ和（ξj）j的泊松过程≥1是一个随机变量的i.i.d序列，其公共分布满足条件（C），W是一个独立于复合泊松过程的布朗运动Pntj=1ξ，b是一个有界连续确定性函数。进一步假设调整后的波动率bσ由（5.1）或简单形式（3.13）定义。然后，对于Leland的策略，标准化对冲误差nβ越南- h（S）- min（S，K）+κJ（S，%）弱收敛到中心混合高斯变量。对于%位置的任何%>0，这仍然是正确的，因此[37]中的结果被恢复。如果采用由（5.1）定义的bσ的L’epinette策略，则得到一个渐近完全复制，即nβ（Vn- h（S））弱收敛于中心混合高斯变量。备注4。定理5.1可以推广到波动率是一个有界且光滑的确定函数，其凸一般支付具有幂衰减条件的情况，如[11]。6数值示例我们在本节中使用Matlab 2012b给出了一个数值示例。特别是，我们假设资产价格遵循跳跃扩散模型，随机波动率由anOrstein-Uhlenbeck过程dyt=（a）驱动-yt）dt+bdwt和波动函数σ（y）=yey+σmin。这可以被视为资产价格允许跳跃的赫尔-怀特模型。跳跃大小分布为N（0，0.2），跳跃率为θ=3。其他参数选择为S=K=1，a=-1，b=0.2，σmin=1，y=2，%=p8/π。图2a描述了均值-方差空间中的数值对冲误差。

修正套期保值误差Vn的收敛性-h（S）-min（S，K）-κJ（S，y，%）有点慢，见图2b，其中校正器的平均值为0.2465。（a） Leland策略的方差和均值（b）κ=0.001的修正套期保值误差图2：Leland策略的均值方差及其归一化修正套期保值误差可以在图3中观察到，时间零点的期权价格收敛于买入和持有超边际价格S=1。这在数值上证实了第3.4节中讨论的分位数混合法可用于降低价格，更多详情参见示例[37,33]。图3:t=0时的期权价格。图4显示了归一化修正套期保值误差的经验密度。毫不奇怪，我们观察到，套期保值在经验上收敛到一个中心变量，该变量可能表现为正态分布，但尾部明显不对称。事实上，极限分布的尾部比图1所示的无跳情况下的尾部更复杂。在图5中，我们还观察到标准化套期保值（a）%=0.01，n=1000（b）%=5，n=1000图4：在（3.19）中定义的L’epinette策略的标准化修正套期保值误差的经验密度在经验上收敛到一个表现为正态分布的中心变量。与Leland策略相比，极限方差较小。此外，如图5b所示，增加%会导致更正常的极限分布。这是因为（3.19）中使用了一个校正项（积分形式）显著降低了极限方差。

出于同样的原因，与Leland策略相比，图6显示了套期保值误差的数值收敛性得到了改善。（a） %=0.01，n=1000（b）%=5，n=1000图5：标准化修正套期保值误差L’epinette策略的经验密度7主要理论的证明通常，在第3、4和5节中建立的主要结果是我们正在搜索的一些特定类型的鞅极限定理的直接结果。为此，图6：修正的L’epinette策略套期保值误差我们按照[33]中的方法构造了一个特殊的近似程序。我们的主要尝试是证明近似中出现的跳跃项在期望的nβ处可以忽略。为了方便起见，我们在第一小节中回顾了初步设置，并参考[33]了解动机。7.1初步定义m=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i和m=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i，其中[x]代表数字x和l的整数部分*= 自然对数-3n，l*= lnn。下面我们重点讨论交易时间的子序列（tj）和相应的序列λjM≤J≤mde定义astj=1- (1 - j/n）u和λj=Ztjbσudu=λ（1- tj）4β，λ=4β√N√u. （7.1）注意tj是一个递增序列，其值在[t]中*, T*], t在哪里*= 1.- （l）*/λ） 4β和t*= 1.- （l）*/λ） 4β，而λj在[l]中减少*, L*]. 因此，在续集中我们使用了符号tj=tj-tj-1鉴于λj=λj-1.-λj，代表m≤ J≤ 避免离散和中的负设计。下面，It^o积分将在以下独立正态随机变量序列中离散化sz1，j=W（1）tj- W（1）tj-1ptj- tj-1和Z2，j=W（2）tj- W（2）tj-1ptj- tj-1.（7.2）我们设定p（λ，x，y）=%σ（y）ln（x/K）2λ-（7.3）图7：两个序列（λj）和（tj）以及短pj的写入-1=p（λj）-1、Stj-1，ytj-1). 这种简化符号也经常用于近似过程中出现的函数。

有了修订时间序列（tj），我们考虑了居中的序列（Z3，j=|Z1，j+pj）-1| - E|Z1，j+pj-1 | | Fj-1.,Z4，j=|Z1，j |- E|Z1，j | | Fj-1.= |Z1，j|-p2/π。（7.4）序列（Z3，j）和（Z4，j）将用于确定所考虑项的Doob分解。为了表示交易成本的极限，我们引入了函数（G（a）=E（|Z+a |）=2~n（a）+a（2Φ（a）- 1） ，λ（a）=E（|Z+a |- E | Z+a |）=1+a- G（a），（7.5）代表a∈ R和Z~ N（0，1）。我们也写o（n）-r） 对于一般的随机变量序列（Xn）n≥1令人满意的P-画→∞nrXn=0，而符号Xn=O（n-r） 意味着nrXnis的概率有界。对于近似分析，我们将使用函数φ（λ，x）=exp-x2λ-λ,bφ（λ，x）=φ（λ，η（x）），η（x）=ln（x/K）|。（7.6）7.2停止时间和技术条件我们首先强调，在有界波动设置下，可以像之前的工作[11,27,28]一样，基于Lestimates进行渐近分析。对于一般的随机波动性框架，这种方法不再有效，因为资产价格的k阶矩（通常不是鞅）可能在k>1时是有限的，见[2,29]。我们通过应用截断技术克服了这一困难。特别是，对于任何L>0，我们考虑了停止时间τ*= τ*L=infnt≥ 0:1{t≥T*}ηt-1+/σt>Lo∧ 1，（7.7）式中ηt=η（St）和‘σt=max{σ（yt），|σ（yt）|}。请注意，对于已停止的进程St，可能无法完全控制跳转∧τ*如[33]所示。因此，在存在跳跃的情况下，我们认为其版本由*t=SexpZtbsds+Ztσ*sdW（1）s+NtXj=1ln（1+ξj）, （7.8）其中*t=bt-σ*2t/2-θEξ和σ*t=σ（yt）1{σ（yt）≤五十} 。为了简单起见，这里不再依赖L。那么，很明显*t=Ston在集合{τ*= 1}. 我们很容易观察到，在条件（C）下，limL→∞林监督*→1P（τ*< 1) = 0 . （7.9）为了简单起见，在续集中我们使用了符号Su=（Su，yu）。

我们对一类连续可微函数a:R+×R+×R进行了逼近→ R满足以下技术条件，比[33]中提出的技术条件更一般。（H） 设A为R+×R+×R→ R连续可微函数，对于第一个参数和任何x>0，y具有绝对可积导数A∈ R、 林恩→∞nβZl*|A（λ，x，y）|dλ+Z+∞L*|A（λ，x，y）|dλ= 0 .此外，存在γ>0和正连续函数U，使得| a（λ，x，y）|≤ (λ-γ+1）U（x，y）bφ（λ，x），（7.10），其中bφ在（7.6）和sup0中定义≤T≤1E U（S*t） <∞. （7.11）备注5。在对冲误差的近似值中，函数U（x，y）的形式为√x[cσ（y）+cσ（y）]m（高达一个倍数常数）对于某些常数c，cand m≥ 0.因此，对于anyL>0，只要sup0，条件（7.11）就已满≤T≤1E（S）*t） <∞ 但这是由跳跃大小的有限秒矩（C）条件保证的。参见附录B。对于一些正常数L，我们介绍函数G*（x） =g*L（x）=| x | 1{| x |>L-1} +L-1{|x|≤L-1}. （7.12）放置η*t=g*（ηt），我们观察到在集合{τ*= 1},η*t=L-1和bφ（λ，St）=φ（λ，η）*t） =φ（λ，L）-1） ：=φL（λ），对于所有t*≤ u<1。（7.13）7.3随机积分的近似对于表示的完备性，我们在这里回顾[33]中建立的渐近结果，它在证明主要结果中起着核心作用。提议7.1。设A（λ，x，y）为函数，使得A及其第一偏导数xA，你满意（H）。那么，对于i=1，2，ZbσtZtA（λt，Su）dW（i）udt=%-1mXj=mAj-1Zi，jλj+o（n）-β） 式中，Aj=A（λj，Stj）和A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）dz。证据我们遵循[33]中命题7.1中使用的论点。虽然我们是在技术条件（H）下工作的，这与[33]中的技术条件略有不同，但论点是相似的。

为了方便读者，让我们详细介绍一下证据，因为近似技术将在我们的分析中反复使用。首先，利用随机Fubinitheorem one getsbIn=ZbσtZtA（λt，Su）dW（i）udt=ZZubσtA（λt，Su）dt改变内积分的变量v=λt，我们得到ZubσtA（λt，Su）dt=ZλuA（v，Su）dv=A（λu，Su）- A（λ，Su）。换句话说，bIn=bI1，n-其中bi1，n=RAudW（i）u，Au=A（λu，Su）和bI2，n=RA（λ，Su）dW（i）u。此外，我们还有bi1，n=Zt**AudW（i）u+Zt*T*AudW（i）u+Zt*AudW（i）u:=R1，n+R2，n+R3，n.（7.15）让我们首先使用bi2，n=o（n-β). 对于任何ε>0，我们观察到p（nβ| bI2，n |>ε）≤ P（nβ| bI2，n |>ε，τ）*= 1） +P（τ）*< 1).鉴于（7.9），需要证明右侧的第一个概率收敛到0。事实上，通过（H）我们有| A（λ，x，y）|≤ CU（x，y）Z∞λe-λ/8dλ≤ CU（x，y）e-λ/8.把A*u=Au{τ*=1} 安德比*2，n=RA*udW（i）uan和使用符号S*= （S）*, y） 一个搭扣（nβ| bI2，n |>ε，τ*L=1）=P（nβ| bI*2，n |>ε）≤ ε-2n2βE（bI）*2，n）≤ Cε-2n2βe-λ/8sup0≤T≤1E U（S*t） ，根据条件（H）收敛到零。因此，bI2，n=o（n-β） 作为n→ ∞. 接下来，让我们展示R2，nis是BI1，n的主要部分*≤ λu≤ λ表示0≤ U≤ T*, 我们得到R1，n=o（n-β).接下来，让我们展示最后一项R3，nin（7.15）的相同性质。为此，请再次注意nβ| R3，n |>ε≤ Pnβ| R3，n |>ε，τ*= 1.+ P（τ）*< 1) . （7.16）关于{τ*= 1} 有人估计|Au |≤ U（S*u） R∞λu（1+z）-γ） bφ（z，S）*u） dz=u（S*u） f*u、 其中f*u=R∞λu（1+z）-γ） φL（z）dz。再一次通过切比雪夫不等式得到nβ| R3，n |>ε，τ*= 1.= Pnβ| bR3，n |>ε≤ n2βε-2Zt*E（文学士）*u） du，以n2βε为界-2C（U）Rt*（f*u） du与C（u）=sup0≤U≤1E U（S*U-) < ∞.

考虑到这一点*（f*u） du=λ-4βZl*Z∞λ（1+z）-γ） φL（z）dzdλ≤ Cλ-4βl*,我们得出结论，limn→∞Pnβ| R3，n |>ε，τ*= 1.= 0，因此R3，n=o（n-β） 鉴于（7.9）。仍然需要使用序列（Zi，j）离散积分项R2。实现这一目标的关键步骤如下。首先，我们表示R2，n=Rt*T*AudW（i）u=Pmj=mRtjtj-1AudW（i）u，并将最后一个和中的It^o积分替换为aj-1Zi，jptj。接下来，引理A.1允许替换tj=%-1.λjin取最后一个和，得到由mk定义的鞅mm=%-1kXj=mAj-1Zi，jλj，m≤ K≤ m、 我们需要证明P-画→∞nβ| R2，n-Mm |=0或等效，Pmj=mBj，n=o（n-β） ，其中Bj，n=Rtjtj-1eAu，jdW（i）uandeAu，j=\'A（λu，Su）-\'A（λj-1，Stj-1). 我们在不使用It^o公式的情况下展示了这一点。为此，让b>0并引入集合Ohmb=（支持）*≤U≤1supz∈R|A（z，Su）|+x\'A（z，Su）+y\'A（z，Su）≤ b） 。然后，对于任意ε>0，Pnβ| Pmj=mBj，n |>ε是以p为界的(Ohmcb）+P（τ）*< 1） +Pnβ| mXj=mBj，n |>ε，Ohmb、 τ*= 1..请注意肢体→∞画→∞P(Ohmcb=0，引理A.4。鉴于（7.9），需要证明后一种概率收敛于零。为此，putbAu，j=eAu，j{| eAu，j|≤bδu，j}和bbj，n=Rtjtj-1bAu，jdW（i）u，其中δu，j=|λu-λj-1 |+| S*U--s*T-J-1 |+|于--yt-J-1|. 那么，上述概率等于Pnβ| Pmj=mbBj，n |>ε, 比ε小-2n2βPmj=mEbBj，通过切比雪夫不等式。显然，EbBj是以2BZTJTJ为界的-1（（λu）- λj-1） +E（S）*U- s*tj-1） +E（余）- ytj-1） ）杜≤ C(λj）+(（tj）.因此，n2βPmj=mEbBj，n≤ Cn2βPmj=m(λj）+(tj）。考虑到伦马。1我们得出结论，后一个和收敛到0，因此，证明完成。引理7.1。设ι（t）=sup{ti:ti≤ t} A（λ，x，y）是满足条件（H）的函数。然后（我）。RRtι（t）bσuA（λu，Su）dudW（i）t=o（n）-β） ，i=1,2，（ii）。RRtι（t）A（λu，Su）dW（i）udW（j）t=o（n）-β） ，i，j∈ {1, 2}.证据

根据假设，|A（λ，x，y）|≤ U（x，y）bφ（λ，x）（1+λ）-γ） 对于某些常数γ和正函数U（x，y）验证（7.11）。用（i）中的二重随机积分表示。PuteAt=Rtι（t）bσuA（λu，Su）du，我们表示rnasrn=Zt*deAtW（i）t+Zt*我们将证明ri，n=o（n）-β） ，i=1，2。为此，让L>0并考虑τ*= τ*（7.7）中的定义。对于i=1，2，由r*i、 nwe是指ri，n的“更正”版本，即Su，yuare被S替换*uand y*u分别在A.现在，对于任何ε>0，Pnβ| rn |>ε≤ Pnβ| rn |>ε，τ*= 1.+ P（τ）*< 1) . （7.17）考虑到λt≥ L*→ ∞ 对于t∈ [0，t*] 利用切比雪夫不等式，我们将第一个概率的右边限定为n2βε-2Er*21，n=n2βε-2Zt*欧洲经济区*2tdt≤ Cn2βε-2EU（S*t） Zt*btdt，其中bt=Rtι（t）bσu（1+λ）-γu）e-λu/8du。回想一下（3.13）中的bσu=%√n（1）- u） 一,-u2u= %√n（λ/λu）bu，其中bu=（u）- 1)/(1 + u). （7.18）然后，将积分拆分为区间[ti]上的积分之和-1，ti]和changingvariable one获得Sn2βZt*btdt≤ Cn2βn-2Zt*bσu（1+λ）-γu）e-λudu≤ Cn2β-3/2λbuZt*bσuλ-buu（1+λ）-γu）e-λudu，比n2β小到某个常数-3/2λbuR∞L*λ-bu（1+λ）-γ） e-λdλ。这意味着（7.17）右侧的第一概率收敛到零。根据（7.9），我们得到r1，n=o（n-β). 让我们证明r2，n的相同性质。事实上，奇点t=1需要更精细的处理。我们利用停止时间τ*再一次普塔*u=A（λu，S*u） 1{| Au|≤U（S*u） ^f*u} ，男朋友*u=（1+λ）-γu）φL（λ）和br2，n=Rt*Rtι（t）bσubA*乌杜然后，通过切比雪夫不等式得到Pnβ| r2，n |>ε，τ*= 1.= Pnβ| br2，n |>ε.

后者的概率以n2βε为界-2sup0≤U≤1E U（S*u） Zt*Ztι（t）bσubf*乌杜！dt≤ Cn2βε-2Zt*（ι（t）- t） Ztι（t）bσubf*2UDT:=an。另一方面，对于某些常数Cε，与n无关≤ Cn2β-ε-2%λbuZt*λ-buubσubf*2udu≤ Cε，%n-21+uZl*λ-bu（1+λu）-γ） φL（λ）dλ，当n时收敛到0→ ∞. 因此，通过考虑（7.9），我们可以得出以下结论：nβ| r2，n |>ε收敛到0。第二个等式也可以用同样的方法证明。引理7.2。假设A=A（λ，x，y）满足条件（H）。然后，以下渐近性质在概率中成立：（i）。RRtA（λt，Ss）dW（i）sdW（j）t=O（n）-2β），i，j∈ {1, 2}.（二）。RA（λt，St）dt=O（n-2β).（三）。RRtA（λt，Ss）dsdt=O（n）-4β).证据引理7.1证明中使用的程序可以直接应用于获得第一个等式。实际上，我们可以直接检查z[0，t*]∪[t]*,1]ZtA（λt，Ss）dW（i）sdW（j）t=o（n）-2β).现在，再考虑一下集合{τ*= 1} 可以证明n2βRt*T*RtA（λt，S*s） dW（i）sdW（j）在概率上是有界的，再次使用截断技术，因此，（i）被验证。接下来，让我们来验证（iii）。利用变量λt=λ（1）的变化- t） 1/（4β），二重积分写成asbn:=16λ-8ββZλλ4β-1.Zλz4β-1A（z，Sv（z/λ））dzdλ，v（z）=1- z4β。根据假设，A（λ，x，y）以U（x，y）（1+λ）为界-γ） bφ（λ，x）对于一些常数γ和一些满足（7.11）的正函数U。因此，λ8β| bn |由二重积分zλ4β限定（最多为一个倍数常数）-1.Zλz4β-1（1+z）-γ） U（Sv（z/λ）-)bφ（z，Sv（z/λ））dzdλ。设ω在集合{S=K}之外，该集合的概率由引理A.2确定为零。很明显，上述积分的被积函数由一个依赖于ω的连续函数控制，ω在0处指数减小到0，因此，它在[0]上是可积的，∞). 因此，二重积分收敛到z∞λ4β-1U（S）Z∞λz4β-1（1+z）-γ） bφ（z，S）dzdλ由支配收敛定理确定。