随机市场中具有比例交易成本的近似套期保值

然后，引理A.1仍然适用于由经典形式（5.1）构造的序列（bλj）。请注意，指数m，mare现在被bm取代，bm定义为bm=n- [nθ-1（l）*)], bm=n- [nθ-1（l）*)],式中，θ（z）=σzu+λz（1+u）/2，是u的递增函数≥ 1.这里的符号[x]代表数字x和l的整数部分*= 自然对数-3n，l*= lnn。同样，我们考虑了交易时间的子序列（tj）和相应的序列bλj定义的astj=1- (1 - j/n）u和bλj=σ（1- tj）+λ（1）- tj）4β，bm≤ J≤ bm。（7.39）其余近似值与定理3.1和定理3.2.8相同，结论基于显著差异的随机波动率模型很好地解释了波动率聚集、增量依赖、长期微笑和倾斜，但不能捕捉跳跃或现实的短期隐含波动率模式。这些缺点可以通过在模型中添加跳跃来解决。在本文中，我们通过考虑跳跃，利用Singleland算法对交易成本下的近似套期保值进行了研究。我们证明，在交易成本的近似对冲中，这种框架中的跳跃不会影响复制误差的渐近性质。作为我们主要结果的直接含义，我们确认，对于固定成本率，卡巴诺夫Safarian Pergamenschikov的结果[22,37]也适用于跳跃差异设置。研究小交易成本模型中跳跃风险的渐近性质是很有趣的。致谢：这项工作部分得到了俄罗斯联邦教育和科学部（研究项目编号2.3208.2017/4.6和俄罗斯联邦教授项目编号1.472.2016/1.4）和“托木斯克州立大学竞争力提升计划”拨款8.1.18.2018的支持。附录A辅助引理A.1。

存在两个正常数C，Cs，Cn-2β%u+1ν（l*) ≤ infm≤J≤m|λj|≤ 卸荷点法≤J≤m|λj|≤ Cn-2β%u+1ν（l*), （A.1）式中，ν（x）=x（u）-1)/(u+1). 此外，让u=（u+1）eu+1λj=un-2β%u+1ν（λj）-1） （1+o（1））和λj(（tj）-1/2=%（1+o（1））。（A.2）证据。它直接来自关系式（7.1）。引理A.2。对于任何K>0和0<t≤ 1，P（St=K）=0。证据我们证明了对于0<t≤ 1和任意实数a，P（ψt=a）=0，其中ψt=Rtbtdt+Rtσ（ys）dW（1）s-Rtσ（ys）ds+PNtj=1ln（1+ξj）。实际上，我们可以表示w（1）t=ρBt+p1- ρZt，其中bt是布朗驱动yt，Z是B的另一个布朗依赖项。现在，在布朗B和跳跃项spntj=1ln（1+ξj）的条件下，ψ是一个高斯变量。引理A.3。对于任何K>0，limε→0lim supv→1P（infv≤U≤1 | ln（Su/K）|<ε）=0。证据对于任何ε>0，引理中的概率都有p（infv）的界≤U≤1 | ln（Su/K）|<ε，N- Nv=0，ψ*五、≤ ε） +P（ψ）*v> ε，N- Nv=0）+2P（N）- 内华达州≥ 1） ，其中ψ*v=supv≤U≤1 | ln Su/S |。注意ψ*五、→ 0几乎在集合{N中的所有位置- Nv=0}作为v→ 1和P（N）- 内华达州≥ 1) = 1 - E-θ(1-v）→ 0作为v→ 1.我们得到了→1P（infv）≤U≤1 | ln（Su/K）|<ε）≤ 林素福→1P（infv）≤U≤1 | ln（Su/K）|<ε，N- Nv=0，ψ*五、≤ ε)≤ P（|ln（S/K）|≤ 2ε). 我们注意到，对于任何美国∈ [v，1]，|ln（S/K）|≤ |ln（S/Su）|+|ln（Su/K）|≤ 集{infv上的ε+| ln（Su/K）|≤U≤1 | ln（Su/K）|<ε，ψ*五、≤ ε}. 因此，|ln（S/K）|≤ ε+infv≤U≤1 | ln（苏/克）|≤ 2ε.因此，P（infv≤U≤1 | ln（Su/K）|<ε）≤ P（|ln（S/K）|≤ 2ε）+P（ψ）*v> ε）和（A.3）通过考虑ψ得到*五、→ 0 a.s.作为v→ 1.现在让ε→ 0我们得到limε→0P（| ln（S/K）|≤ 引理A.2证明了引理A.3。引理A.4。假设A=A（λ，x，y）及其偏导数λA，xA，满足条件（H）。

Setrn=sup（z，r，d）∈[l]*,L*]×B|λA（z，r，d）|+|xA（z，r，d）|+|亚（z，r，d）|,其中，B=[Smin，Smax]×[ymin，ymax]与min=inft*≤U≤T*Su，Smax=supt*≤U≤T*Su，ymin=inft*≤U≤T*yu，ymax=supt*≤U≤T*于。然后，四肢→∞画→∞P（rn>b）=0。证据参见[33]中的引理A.4，其中的注释是-还有yt-给出了同样的论点。引理A.5。假设A=A（λ，x，y）及其第一阶偏导数满足条件（H）。集合A（λ，x，y）=RλA（z，x，y）dz andeA（λ，x，y）=A（λ，x，y）。那么，对于任何γ>0，P- 画→∞mXj=mλγj-1eA（λj）-1，Stj-1)λj-Z∞λγeA（λ，S）dλ= 0，其中St=（St，yt）。如果A（λ，x，y）=A（λ，x，y）或上述函数的乘积，则相同的性质成立。证据参见[33]中的Lemme A.5。B某个时刻的估计A B.1。让YT成为一个It^o的过程，STT=Sexp给出的资产过程Ztbtdt+Ztσ（ys）dW（1）s-Ztσ（ys）dsNtYj=1（1+ξj），其中Ntis是强度θ独立于（ξj）j的齐次泊松过程≥1（i.i.d.变量序列）。我们假设跳跃成分（ξj）j≥1和n独立于布朗运动W（1）和y的布朗运动。如果b和σ是两个有界函数，那么对于任意m>0，其中E（1+ξ）m<∞, 我们有ESMT≤ C（m）exp{θt（E（1+ξ）m- 1） 无论如何，t∈ [0，1]，其中C（m）是依赖于m证明的常数。让我们用Xt=QNtj=1（1+ξj）和bt=SeRtbsds，Et（σ）=exp来表示St=ebtEt（σ）XtZtσ（ys）dW（1）s-Ztσ（ys）ds.根据假设，随机指数Et（σ）是一个期望值为1的鞅，与Xt无关。因此，ESmt≤ CEEmt（σ）EXmtsince sup0≤T≤1ebmt≤ C.因为σ是有界的，单相Emt（σ）=E Et（mσ）E（m-m） /2Rtσ（ys）ds≤ 另一方面，通过通常的调节技术，我们得到exmt=ENtYj=1（1+ξj）m=exp{θt（E（1+ξ）m）- 1） ，这意味着期望的结论。引理B.2。在引理B.1的假设下≤ U≤ 五、≤ 1，E（苏- Sv）≤ C|u- v |，用于一些常数C证明。

为了0≤ u<v≤ 1，putebv/u:=eRvubs，Xu/v:=QNvj=Nu+1（1+ξj）和v/u（σ）：=expZvuσ（ys）dW（1）s-Zvuσ（ys）ds.然后，Ev/u（σ）和Xu/vare独立且SUP0≤U≤五、≤1（EEv/u（σ）+EeRvubs）∞ （B.1）因为B和σ是有界的。表示δ=θ（v- u） 。这很容易检查（Xu/v）- 1） =eδ（eξ+eξ）- 2eδEξ+1。（B.2）首先让我们展示E（Xu/v- 1)≤ Cδ，对于某些常数C.显然，对于任何单位区间[a，b]，|ex- 1| ≤ 根据泰勒近似。根据条件（C），Eξ<∞.如果Eξ=0，那么E（Xu/v- 1） =eδeξ- 1.≤ Cδ。类似地，在Eξ+Eξ=0的情况下，一个有Eξ6=0，因此E（Xu/v- 1） =eΔξ- 1.≤ Cδ。最后，如果Eξ和Eξ+Eξ都是非零的，则可以估计E（Xu/v）-1） 由| eδ（eξ+eξ）-1 |+2 | eδeξ-1| ≤ Cδ。用同样的论点，我们可以很容易地证明e（Eu/v（σ）- 1)≤ Cδ和E（ebv/u）- 1)≤ Cδ。（B.3）显然，E（Su- Sv）=ESuESvSu- 1.和SuSv- 1.≤ 2.ebv/u（Eu/v（σ）- 1） +（ebv/u）- 1） +ebv/uEu/v（σ）（Xu/v）- 1). （B.4）引理B.1，sup0≤U≤1ESv<∞. 现在，通过（B.4）中的期望，并使用（B.1），（B.2）和（B.3）得出结论。C带跳跃的随机微分方程在本节中，我们回顾了带跳跃的随机微分方程（SDEJ）理论的基本结果，其形式为Dyt=α（t，yt）dt+α（t，yt）dWt+dζt，（C.1）在初始值为y的时间间隔[0，t]，其中（3.2）中定义的过程ζtde与布朗运动（Wt）t无关≥0和Ey<∞.我们首先回顾Novikov不等式[35]（也称为Bichteler–Jacod不等式，见[6,30]），它提供了纯间断局部鞅的上确界矩的上界：E sup0≤T≤n |Υ* （J）- ν） t|p≤ 内容提供商E|Υ|* νnp/2+E|Υ| p* νn, （C.2）对于p≥ 2和任何n≥ 0，其中CPI是一个正常数。定理C.1。假设αi，i=1，2是局部Lipschitz和线性有界函数，Ey<∞ 这个条件（3.4）成立。

然后，存在一个初始值为yandE（sup0）的唯一解ytto（C.1）≤T≤Tyt）<C（T）（1+ey）<∞. （C.3）此外，对于任何0≤ s≤ T≤ T，存在一个正常数C，使得e | yt- Y|≤ C|t- s |。（C.4）证据。解的存在性和唯一性取决于SDE使用的经典方法，例如参见[16]中的定理2.2。为了证明（C.4），我们注意到e | yt- Y|≤ 3EZtsα（u，yu）du+ 3ZtsEα（u，yu）du+3E（ζt- ζs）。利用α，α和（C.3）的线性有界性Ztsα（u，yu）du≤ C|t- s|Zts（1+Eyu）du≤ C|t- s |。类似地，Eα（u，yu）du≤ CRts（1+Eyu）du≤ C|t- s |。不等式（C.2）（p=2）直接表示e（ζt- ζs）≤ C|t- s |对于某些常数C>0。因此，结论如下。参考文献[1]H.Ahn、M.Dayal、E.Grannan和G.Swindle。带有交易成本的期权复制：一般差异限制。安。阿普尔。Probab。，8(3):676–707, 1998.[2] 安徒生和皮特伯格。随机波动模型中的矩爆炸。《金融与随机》，2007年11:29-50。[3] D.阿普尔鲍姆。鞅值测度，hilbert空间中具有跳跃和算子自分解的ornstein-uhlenbeck过程。在S\'eminaire de Probabilit\'es 39，《1874年数学课堂讲稿》，第171-196页。柏林斯普林格，2006年。[4] 巴兰先生。按比例交易成本市场上的分位数套期保值。华沙应用数学，30:193–208，2010。[5] 巴尔斯基先生。多资产衍生工具的分位数套期保值。预印本可用athttp://arxiv.org/PScache/arxiv/pdf/1010/1010.5810v2。pdf，2011年。[6] K.比切特勒和J.贾科德。随机测度与随机积分。随机场的理论和应用，第1-18页。斯普林格，1983年。[7] M.Bratyk和Y.Mishura。

涉及有限个布朗运动和分数布朗运动的价格过程模型分位数套期保值问题的推广。随机过程理论，14（3-4）：27-382008。[8] 蔡俊杰和福泽明。小交易成本下波动率修正的渐近复制。《金融与随机》，20（2）：381-4312016。[9] R.康特和P.坦科夫。具有跳跃过程的金融建模。CRC数学系列。查普曼与霍尔，2004年。[10] J.Cvitani\'c和I.Karatzas。交易成本下的套期保值和投资组合优化：鞅方法。《数学金融》，1996年6:133–165。[11] S.Darses和L.L\'epinette。不稳定交易成本率下修正leland套期保值策略的极限定理。在Musiela Festschrift Springer音乐厅。斯普林格，2013年。[12] R.埃利和L.伊皮内特。对交易资产量的非线性交易成本进行近似对冲。《随机与金融》，19（3）：541-5812013。[13] B.埃雷克。股票价格波动率和波动率会上升吗？核对现货和期权价格的证据。《金融杂志》，59（3）：1367-14042004。[14] B.埃拉克里、M.约翰尼斯和N.波尔森。波动性和回报率跳跃的影响。《金融杂志》，58（3）：1269-1300，2003年。[15] H.Follmer和P.Leucert。分位数对冲。《金融随机》，3:251–273，1999年。[16] A.弗里德曼。随机微分方程及其应用。学术出版社，1975年。[17] Fukasawa先生。交易成本下的保守三角洲对冲。《金融工程近期进展2011》，第55-72页。2012年[18]M.Fukasawa。有效地离散随机积分。《金融与随机》，18（1）：175–208，2014年1月。[19] E.R.格兰南和G.H.诈骗。最小化期权对冲策略的交易成本。《数学金融》，6（4）：341-3641996。[20] P.霍尔和C.C.海德。鞅极限理论及其应用。学术出版社，1980年。[21]Y。

卡巴诺夫和S·佩尔加门奇科夫。l′evy驱动线性随机方程的破产问题及其在负风险和精算模型中的应用。arXiv预印本XIV:1604.06370，2016年。[22]Y.卡巴诺夫和M.萨法里安。论leland的交易成本期权定价策略。《金融与随机》，1:239-250，1997年。[23]Yu M.Kabanov和M.Safarian。有交易成本的市场：数学理论。施普林格-柏林维拉格酒店。，2009年[24]郭世杰。金融工程中资产定价的跳差模型。在R.B.Johnand V.Linetsky的《运筹学与管理科学手册》第15卷第2章第73-116页中。爱思唯尔，2007年。[25]H.利兰。带有交易成本的期权定价和复制。《金融杂志》，40:1283-13011985。[26]E.L\'epinette和T.Tran。具有比例交易成本的局部波动模型中的近似套期保值。《应用数学金融》，21（4）：3132014。[27]伊皮内特。3月e日avec c^outs de transaction：近似利兰套利。博士论文，法国巴黎大学，2008年。[28]伊皮内特。修改了leland的恒定交易成本率策略。《数学金融》，第22（4）页，2012年。[29]P.-L.狮子和M.穆西埃拉。随机波动率模型的相关性和界。安。I.H.Poincar\'e，24:1-162007。[30]C.Marinelli和M.R¨ockner。关于有限维纯间断鞅的极大不等式。在S\'eminaire de Probabilit\'es XLVI中，第293-315页。斯普林格，2014年。[31]R.C.默顿。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，3:125-1441976。[32]H.T。。阮。交易成本的近似套期保值和随机波动市场中的Leland算法。鲁昂大学博士论文，2014年。[33]T.Nguyen和S.Pergamenschikov。

随机波动市场中具有交易成本的近似套期保值问题。《数学金融》，27（3）：832–8652017。[34]T.H.阮。多资产按比例交易成本的近似套期保值。工作文件，2013年。[35]A.诺维科夫。关于间断鞅。概率论及其应用，20（1）：11-261975。[36]A.诺维科夫。以给定的概率对期权进行套期保值。概率论及其应用，43（1）：135–143，1997。[37]S.M.佩尔加门希科夫。利兰策略的极限定理。《应用概率年鉴》，13:1099-11182003。[38]W.J.伦格尔迪耶。跳跃扩散模型。在S.T Rachev主编的《金融中的重尾分配手册》第5章第1099-1118页。Elsevier，2003年。[39]P.坦科夫和M.布罗登。指数l’evymodels中离散套期保值的跟踪误差。《理论与应用金融》，2011年第14期，第1-35期。[40]P.坦科夫和E.沃尔奇科娃。跳跃模型中套期保值误差的渐近分析。《随机过程及其应用》，119:2004–2027，2009。