随机市场中具有比例交易成本的近似套期保值

考虑由一项非风险资产和一项风险资产（例如股票）组成的金融市场，前者被设定为数量，后者被定义为（dSt=St-btdt+σ（yt）dW（1）t+dζt,dyt=α（t，yt）dt+α（t，yt）dW（2）t，（3.1），其中St-= 林斯↑t跳跃L’evy过程定义为ζt=x* （J）- ν） t，（3.2）独立于维纳过程（W（1）t）和（W（2）t）。这里，J（dt，dx）是ζ的随机测度，具有确定性补偿器ν（dt，dx）=dt∏（dx），其中∏（·）是为任何Borel集合A定义的L’evy测度 R*= R\\{0}as∏（A）=EX0≤s≤1{ζs∈A} 及ζs=ζs- ζs-. （3.3）为了使St为正值，我们假设∏（]- ∞, -1]) = 0. 此外，我们假设∏（x）=ZR*z∏（dz）<∞. （3.4）在续集中，我们使用符号∏（f）=RR*f（z）π（dz）。我们记得这个符号* 表示随机积分，即对于任意t>0和任意函数h:[0，t]×R→ R、 h* （J）- ν） t=ZtZR*h（u，x）deJ（du，dx），eJ（dt，dx）=（J- ν） （dt，dx）。我们假设系数αi，i=1，2是局部Lipschitz和线性增长函数，这为第二个方程[16]提供了唯一强解y的存在性。此外，我们假设过程（W（1）t）为0≤T≤1，（W（2）t）0≤T≤1和（ζt）0≤T≤你是独立的。请注意，如果波动率函数σ（·）是常数，我们得到了一个在金融界非常流行的L’evy金融市场，参见例[21]和其中的参考文献。我们进一步假设ζt>-1，即∏(-∞, -1]) = 0. 因此，在这种情况下，使用Dol’s Dade指数，我们可以表示价格过程asSt=SexpZtˇbudu+Ztσ（ys）dW（1）s+ˇζt, （3.5）式中，ζt=ln（1+x）* （J）- ν） tandˇbt=bt- σ（yt）/2+π（ln（1+x）- x） 。请注意，（3.3）中定义的L’evy度量可能是有限的，即∏（R*) = +∞. 如果θ=∏（R*) < ∞, 我们可以将（3.1）中的跳跃过程表示为ζt=NtXj=1ξj- θEξt，（3.6）式中（Nt）t≥0是具有强度参数θ和（ξj）j的泊松过程≥1是身份证吗。

随机变量取值(-1, +∞). 我们进一步假设泊松过程n和跳跃大小（ξj）j≥你是独立的。在这种情况下，股价可以用asSt=Sexp表示Ztˇbudu+Ztσ（ys）dW（1）s+NtXj=1ln（1+ξj）, （3.7）式中Gbt=bt- σ（yt）/2- θEξ。备注1。漂移在近似中不起作用。事实上，我们的渐近结果对任何BT0都是有效的≤T≤1E|bt|∞.备注2。本文不讨论测度变化和跳跃风险问题，而是以资产动力学的自由风险假设为出发点。很明显，跳差设置会导致不完全市场，这也是随机波动设置的一个重要特征。因此，有很多方法可以通过Girsanov的技术来选择价格测量。这样的程序不仅对资产动态的差异，而且对资产动态的跳跃部分产生了根本性的改变[9,31]。在[24]中，使用了一个期望均衡参数，以获得从原始物理概率到风险中性概率的简单转换，其中许多资产（债券、股票、股票衍生品）可以在同一框架中同时定价。3.2假设和示例在我们的考虑中，我们接受以下关于跳跃大小的条件：（C）跳跃大小的L’evy度量满足∏（R*) < ∞ 安兹(-1,0]（1+z）-1∏（dz）<∞.第一个可积条件就是尺寸分布的有限方差条件。第二个等价于E（1+ξ）-1< ∞. 这些条件不太强，在默顿跳跃扩散模型[31]中自动填充，其中跳跃大小分布假定为对数正态分布。在[24]中，在基于平衡的设置中，建议采用对数指数分布，以便在分析计算中实现方便的特征。

请注意，这一系列跳跃大小分布也满足条件（C）。让我们把注意力转向波动性假设。[33]之后，我们假设波动过程满足可积条件。（C） σ是一个满足0<σmin的两次连续可微函数≤ 英菲∈Rσ（y）和sup0≤T≤1E最大值{σ（yt），|σ（yt）|}∞.事实上，对于几乎广泛使用的随机波动率模型，条件（C）已经满足，更多讨论请参见【33】。备注3。注意，在目前的情况下，随机波动和跳跃的组合意味着资产价格不是一个L’evy过程，而是一个半鞅过程。如[33]所述，SV模型中的资产过程的有限时刻一般不保证，见[2,29]。这一关键特性使我们无法像确定性波动率模型[22,27,28]中那样进行基于L的近似。因此，对于下面的近似过程，我们遵循[33,34]中基于截断技术的方法。下面得到的收敛结果只在概率上实现。我们用一些著名的带跳跃的随机波动率模型来结束这一小节，更多例子见[9]和第4节。贝茨模型：贝茨模型是一种跳跃扩散随机波动率模型，通过将比例对数正态跳跃添加到赫斯顿随机波动率模型中获得：dSt=St（adt+√ytdWSt+dZt）；dyt=a（m）- yt）dt+b√ytdWyt，（3.8），其中，具有相关系数ρ和Z的WS、Wyare布朗运动是强度θ和对数正态分布的复合泊松过程。由于跳跃符合对数正态定律，因此条件（C）得到了明确验证。从实用的角度来看，贝茨模型表现出一些很好的性质。首先，原木价格的特征函数是封闭的，这对于定价非常重要。

其次，长期和短期期权的隐含波动率模式可以分别调整[9]。Ornstein-Uhlenbeck随机波动模型：在价格和波动过程中引入跳跃成分是可能的。巴恩多夫·尼尔森（Barndor ff Nielsen）和谢泼德（Shephard）建议采用这样的模型来考虑杠杆效应：St=SeXt，dXt=（a+aσt）dt+σtdWt+ρdZt，dσt=-θσtdt+dZt。（3.9）如果ρ=0，波动率会跳跃移动，但价格过程有连续路径。ρ6=0代表波动性和价格之间的强相关性，这一情况更加灵活，但计算现在具有挑战性。注意，在这种情况下，σ不是“真实”的波动率，因为这些波动率也会受到L’evy过程Zt变化的影响。如果跳跃仍然遵循对数正态律，则条件（C）已满。3.3具有交易成本的近似套期保值：主要结果在本节中，我们使用Leland算法中的增加波动率原理，按照[33]中的设置，研究了比例交易成本下的离散套期保值问题。更准确地说，我们假设，对于每一笔成功的交易，交易者的成本与交易量成正比，成本系数为k。这里κ是市场调节者定义的一个积极的常数。假设投资者计划在ti=g（i/n），g（t）=1的日期（ti）修改其投资组合- (1 - t） u，1≤ u<2，（3.10），其中n是修订数。参数u用于控制复制错误的收敛速度。

投资组合的价值越大，修改的频率就越高。很明显，对于u=1，我们得到了众所周知的均匀重新调整。为了补偿对冲活动造成的交易成本，建议期权卖方遵循分段过程γnt=nXi=1^Cx定义的利兰策略钛-1、Sti-1.（ti）-1，ti]（t），（3.11），其中bc是以下调整波动率Black-Scholes PDECt（t，x）+bσtxCxx（t，x）=0，0的解≤ t<1，C（1，x）=h（x）：=（x- K） +。（3.12）这里调整后的波动率bσ由bσ（t）=%pnf（t）和f（t）=g给出-1（t）=1- (1 - t） 1/u。（3.13）第2节讨论了这种简单形式的动机，详见[33]。我们指出，当波动率具有确定性时，可以使用经典的修正波动率形式（1.1）。这种特殊情况将在第5节中处理。现在，使用策略γn要求以美元价值计量的累计交易量，由Γn=nXi=1Sti |γnti给出- γnti-1|.通过它^o引理，1代表了payoff ash（s）=bC（0，s）+ZbCx（t，St-)dSt+ZbCt（t，St）+σ（yt）StbCxx（t，St）dt+X0≤T≤1B（t，圣-, 圣/圣-) ,其中B（t，x，z）=^C（t，x（z+1））-^C（t，x）- zx^Cx（t，x）和St=St- 圣-是时间t时股价的跳跃大小。上述跳跃之和可以表示为3，n=ZZR*B（t，圣-, z） J（dt，dz）。（3.14）假设初始资本（期权价格）由Vn=bC（0，S）给出，并使用（3.12）表示对冲误差为Vn- h（S）=I1，n+I2，n- I3，n- κΓn，（3.15）式中I1，n=Rbσt- σ（yt）StbCxx（t，St）dt和I2，n=Rγnt--bCx（t，圣-)dSt。注意，对于Lebesgue积分和It^o积分，可以替换St-现在的目标是研究复制误差Vn的渐近性质-h（S）。为了描述交感性质，让我们引入以下函数sv（λ，x）=ln（x/K）√λ+√λ、 q（λ，x）=ln（x/K）2λ-和eа（λ，x）=а（v（λ，x）），（3.16），其中а是标准正态密度函数。

如下所示，我们的近似值的收敛速度将由以下公式定义的参数β控制：≤ β：=u2（u+1）<，表示1≤ u < 2. （3.17）在说明我们的主要结果之前，让我们强调一下，使用波动率增大的方法，这意味着对冲误差的渐近性质强烈依赖于接近到期日的交易时间。但请记住，跳跃是罕见的事件，因此，接近成熟期的可能跳跃可以以很小的概率忽略。因此，在这种情况下，由于套期保值修正的频率更高，跳跃不会对套期保值误差的渐近性质产生太大影响。这意味着增加波动性对具有跳跃的模型仍然有帮助。下面的定理是[33]中连续随机波动率模型成果的推广。定理3.1。在条件（C）下- （C） nβ（Vn）的序列- h（S）- 当n趋于一致时，min（S，K）+κΓ（S，y，%）收敛到一个中心混合高斯变量，其中正函数Γ是定义为Γ（x，y，%）=xZ的交易量极限+∞λ-1/2e~n（λ，x）Eσ（y）%-1Z+q（λ，x）dλ，（3.18），其中Z是独立于S，y的标准正态变量。交易成本限额中的术语q（λ，x）可以使用‘γnt=nXi=1’定义的修正Leland策略（所谓的L’epinette策略）删除^Cx（ti）-1、Sti-1) -Zti-1^Cxt（t，St）dt（ti）-1，ti]（t）。（3.19）定理3.2。假设伊皮内特的策略用于选项复制。然后，在条件（C）下- （C） nβ序列“Vn- h（S）- ηmin（S，K）当n趋于一致时，收敛到中心混合高斯变量，其中η=1- κσ（y）%-1p8/π.3.4超级套期保值和价格降低我们首先强调，即使在恒定波动性模型中，在存在交易成本的情况下，也不可能获得非平凡的完美套期保值。

为了完全覆盖期权收益，卖方可以采取买入并持有策略，但这会使期权价格过于昂贵。Cvitani\'c和Karatzas[10]表明，如果一个人希望成功复制期权，并且在存在交易成本的情况下获得超级复制价格，那么买入并持有策略是唯一的选择。正如[33]中所证明的，适当选择%可以在一定程度上实现超级复制。提议3.1。Let条件（C）-（C） hold和σ是一个两次连续微分且有界的函数。然后就有了%*> 0以至于limn→∞越南≥ h（S）表示任何%≥ %*.这一性质适用于利兰的策略和伊皮内特的策略。从买方的角度来看，超边际成本太高了，尽管它确实让卖方在概率为1的情况下进行了成功的对冲。更实际地说，我们可以问，通过接受复制目标中的短缺概率，可以减少多少初始资本。从布莱克-斯科尔斯一级方程式中可以看出，两种策略γn和γn都接近于买入并持有一个作为n→ ∞. 在[37,33]中，建议采用一种简单的方法，按照分位数套期保值精神降低期权价格。让我们将这些作品中的主要思想改编为当前的背景。自从-= 毫无疑问，我们定义了Δε=inf{a>0:Υ（a）≥ 1.- ε} 式中Υ（a）=P（（1- κ） 最小（S，K）>（1）- a） S）。数量Δε被称为ε级期权的分位数价格和差异（1-Δε）是期权价格的减少量（分位数套期保值的初始成本），更多讨论请参见[15,36,37,4,7,5]。显然，Δε的值越小，选择的成本就越低。我们表明，与参数ε的幂函数相比，期权价格显著降低。提议3.2。设Δε为（3.20）定义的利兰价格，并假设跳跃大小几乎肯定是非负的，即ξj≥ 0，a.s。

J∈ N、 （3.21）和σmax=supy∈Rσ（y）<∞. 然后，对于任何r>0，limε→0(1 - δε)ε-r=+∞. （3.22）证据。观察0<Δε≤ 1和Δε趋向于1作为ε→ 0.设置b=1- κ. 然后对于足够小的ε，使得Δε>a>1- bK/Sone有1个- ε>P（min（S，K）>1- a） S）=1- P（S/S）≤ (1 - a） ）。因此，ε<PS/S≤ (1 - a） （1）- κ)-1.= P（P（ξ）E（y）≤ za），（3.23），其中za=（1）- a） （1）- κ)-1eλEξandEt（σ）=expZtσ（ys）dW（1）s-Ztσ（ys）dsPt（ξ）=NtYj=1（1+ξj）。（3.24）乘以（3.21），Pt（ξ）≥ 1为所有t∈ [0,1]，这意味着（3.23）右侧的概率以P（E（y）为界≤ za）。因此，ε<P（E（y）≤ za）。此时，结论完全符合[33]中的命题4.2，证明已经完成。4.带跳跃的一般随机波动率模型4。1简介价格跳跃随机波动（SVJP）模型在期权定价文献中非常流行，因为它们提供了捕捉收益分布重要特征的灵活性。然而，实证研究[14,13]表明，在1987年、1997年和2008年等市场压力期间，它们不能很好地反映波动性资产的大幅变动。换言之，SVJP模型在这种情况下是错误的。这些研究还表明，在波动性动力学中加入一个额外的成分，使这个新的因素允许波动性迅速增加，这将是更合理的。请注意，仅使用收益跳跃（如跳跃-差异模型）或离散随机波动率无法产生这种预期效果。事实上，收益率的跃升只会造成大幅波动，但不会对未来的收益波动产生影响。

另一方面，布朗运动驱动的离散随机波动率仅通过小的正常增量序列产生小的增加。许多实证研究[14,13]表明，结合随机波动率的跳跃可以成功捕捉波动率的快速变化。值得注意的是，引入波动率的跳跃并不意味着消除回报率的跳跃。虽然回报率和波动率的跳跃都很罕见，但它们在产生类似崩盘的波动中都扮演着重要角色。在危机时期，收益率和波动率的跃升在产生大幅增长方面比分散的随机波动率更为重要。我们请读者参考[14,13]，了解更多关于波动率跳跃使用的财务证据的讨论。在本节中，我们研究了ageneral SV模型中交易成本下的期权复制问题，该模型考虑了资产价格和波动率的跳跃。这显然是对第3节设置的概括。我们表明，波动率的跳跃也可以被视为资产价格的跳跃，也就是说，第3节中获得的结果可以被恢复。4.2具有跳跃的SV模型的规格假设在客观概率测度下，股票价格的动态S假设为DST=St-bt（yt）dt+σ（yt）dW（1）t+dζSt, dyt=α（t，yt）dt+α（t，yt）dW（2）t+dζyt。（4.1）这里，ζSt=PNStj=1ξsj和ζyt=PNytj=1ξyjare是两个复合泊松过程。对于一般设置，两个泊松过程nr和两个跳跃大小序列（ξrj），r∈ {S，y}可以相互关联。让我们给出一些跳跃组件的可能规格。（i） 随机波动率模型（SV）：这对应于资产价格和波动率都没有跳跃的情况，即ζSt=ζyt=0，t、 这一基本SV模型已在文献中得到广泛研究。

[33,34]研究了近似对冲比例不足交易成本的问题。粗略地说，在经典BlackScholes设置的收益分布中添加一些由差异产生的额外成分，就可以得到SV模型。（ii）波动率跳跃的随机波动率（SVJV）：通过允许波动率过程y的跳跃，可以获得SV模型的扩展，即ζSt=0，但ζyt6=0。在这种情况下，期权定价的含义实际上继承自SV模型。（iii）价格跳跃的随机波动性（SVJP）：现在假设ζSt6=0，但ζyt=0。本案例将在第3节中研究。（iv）价格和波动率共同跳跃的随机波动率（SVCJ）：假设SV模型中的资产价格及其波动率都受到复合泊松过程建模的同一个超随机因素的影响。换句话说，资产价格和波动率的跳跃是由相同的复合泊松过程ζSt=ζyt驱动的。（v） 具有状态依赖和相关跳跃的随机波动率（SVJJ）：这是当前设置（4.1）中最常见的情况。4.3在一般SVJJ模型中具有交易成本的期权复制在本小节中，我们研究了第3节中针对一般VJJ模型（4.1）提出的期权复制问题。我们表明，在与第3节定义的SVJP相同的对冲政策中，资产和波动性的跳跃效应可以忽略。首先，让我们回顾第3节，套期保值错误采用formVn- h（S）=I1，n+I2，n- I3，n- κΓn，其中Ii，n，i=1，2，3和Γn的定义如（3.15）所示。本节中需要以下挥发性动力学条件。（C） 系数函数αi，i=1，2是线性有界的局部Lipschizt。条件（C）意味着sup0≤T≤1E yt<∞, 这对于近似过程是必要的。定理4.1。