随机市场中具有比例交易成本的近似套期保值

因此，n4βb概率有界。等式（ii）用同样的方法证明。7.4消除跳跃在本小节中，我们建立渐近结果，用于消除近似中的跳跃效应。引理7.3。假设| A（λ，x，y，z）|≤ $（z） ψ（λ）U（x，y），对于所有x>0，z∈ R、 λ>0，其中∏（$+$）<∞, U是一个满足sup0的连续函数≤T≤1E U（S*t） <∞ 对于τ定义中大于0的anyL*在（7.7）中。假设是nrz∞L*λ4β-1（ψ（λ）+ψ（λ））dλ→ 0，对于任何r>0。（7.19）然后，对于任何r>0，ZZR*A（λt，St-, yt-, z） J（dt，dz）=o（n-r） 。（7.20）证据。为了便于记法，可以缩写为B（t，z）：=|A（λt，St）-, yt-, z） |。让我们在（7.20）asZt中分解积分*锆*B（t，z）J（dt，dz）+Zt*锆*B（t，z）J（dt，dz）。（7.21）使用表示（3.7），我们得出结论，对于任何δ>0和r>0，概率nrRt*RR*B（t，z）J（dt，dz）> δ比P（N）小- 新界*≥ 1) = 1 - E-θ(1-T*), 当t*转到1。因此，必须证明（7.21）中的Firstingegral具有相同的性质。事实上，这个术语可以表示为ZT*锆*B（t，z）eJ（dt，dz）+Zt*锆*B（t，z）dt∏（dz）。我们记得ej（dt，dz）=J（dt，dz）- dt∏（dz）。我们现在证明，最后一项几乎肯定是指数可忽略的，即对于任何r>0limn→∞nrZt*锆*B（t，z）dt∏（dz）=0a.s。（7.22）事实上，根据假设和（7.1）中定义的变量变化，其估计值为4∏（$）βmax0≤T≤1U（St）nrλ-4βZ∞L*λ4β-1ψ（λ）dλ，由于（7.19）和U的连续性，其中t（λ）=1，a.s.收敛到零-(λ/λ)4β.因此，仍然需要证明，对于任何r>0，Rt*RR*B（t，z）eJ（dt，dz）=o（n-r） 有可能→ ∞. 为此，请注意B（t，z）≤ U（S*T-)ψ（λt）$（z）：=eB*集{τ上的（t，z）*= 1} ，即B（t，z）=B（t，z）1{B（t，z）|≤电子束*（t，z）}：=B（t，z）在这个集合上。

对于任意δ>0和L>0，利用切比雪夫不等式，我们得到了该pnrZt*锆*B（t，z）eJ（dt，dz）> δ!≤ P（τ）*< 1） +PnrZt*锆*ˇB（t，z）eJ（dt，dz）> δ!≤ P（τ）*< 1） +n2rERt*RR*ˇB（t，z）eJ（dt，dz）δ.这里使用p=2的不等式（C.2），并考虑Ezt*锆*电子束*2（t，z）∏（dz）dt≤ ∏（$）sup0≤T≤1E U（S*t） Zt*ψ（λt）dt∏（$）≤ CZ∞L*λ4β-1ψ（λ）dλ，极限方程（7.20）来自（7.19）。7.5近似极限定理我们首先回顾了[20]中的以下结果，这对研究离散鞅的渐近分布很有用。定理7.1。[定理3.2和推论3.1，第58页[20]]设Mn=Pni=1Xibe为零均值、平方可积鞅，为a.s.有限随机变量。假设以下收敛在概率上满足：nXi=1EXi{Xi}>δ}Fi-1.-→ 对于任何δ>0且nxi=1E的情况，均为0希菲-1.-→ .然后，序列（Mn）按规律收敛到特征函数为E exp的X(-t），即X具有高斯混合分布。下面我们将建立定理7.1的一些特殊版本。特别地，我们的目标是研究由命题7.1中的近似（7.14）得到的离散鞅的渐近分布。设Ai=Ai（λ，x，y），i∈ I:={1,2,3,4}be具有性质（H）且考虑离散鞅（Mk）m的函数≤K≤曼德（Mk）m≤K≤MK定义的mde=%-1kXj=mXi∈I\\{4}Ai，j-1Zi，jλjand Mk=%-1kXj=mXi∈I\\{3}Ai，j-1Zi，jλj，（7.23），其中Ai，j=Ai（λj，Stj）和Zi，jare定义为（7.2）和（7.4）。为了描述极限分布，让我们引入l=A+2AA（2Φ（p）- 1） +A∧（p）+A，L=A+A+（1）- 2/π）A，（7.24），其中p在（7.3）中定义。现在定义=u%u+1Z+∞λbuL（λ，S）dλ和=u%u+1Z+∞λbuL（λ，S）dλ（7.25），其中u=（u+1）eu+1和bu=（u- 1)/(u + 1). （7.26）提案7.2。假设Ai=Ai（λ，x，y），i=1，2，3及其第一次偏导数λAi，xAi，满足条件（H）的yAiare函数。

然后，对于任何固定的%>0，序列（nβMm）弱收敛到一个混合高斯变量，其均值为零，方差定义如（7.25）所示。如果部分（或全部）函数被重新替换，则相同的属性仍然有效∞λAi（z，x，y）dz。证据注意，对于随机变量（Γj），不能保证平方可积性。为了克服这个问题，让我们回忆一下停止时间τ*= τ*定义在（7.7）和puteAi（λ，x，y）=Ai（λ，x，y）bφ中-1（λ，x）φL（λ），其中φL（λ）在（7.12）中定义。让我来*j=Pi=1eAi（λj，S*tj）子，jλjand M*k=Pkj=m~n*j、 第一步：我们将在定理7.1中证明，对于任意L>0，鞅nβM*mweakly收敛到均值为零且方差为的混合高斯变量*2（L）定义为*2（L）=u%u+1Z+∞λbueL（λ，S）dλ，（7.27），其中，通过将（7.24）中L的公式中的所有Ai替换为相应的修改函数seAi，i=1,2,3来获得eL。为此，设置一个*j=E（Γ）*2jnυ*J>δo | Fj-1） ，我们首先展示n2β| Pmj=ma*j |>ε收敛到0。根据假设，maxi=1,2,3eAi（λu，S*u）≤ U（S*u） （1+λ）-γu）φL（λ）≤ U（S*u） （1+λ）-对于某些γ>0和满足（7.11）的正函数u（S），γu）（7.28）。我们观察到这一点n2β| mXj=ma*j |>ε= Pn2β| mXj=ma*j |>ε≤ ε-1n2βmXj=mE a*jby-Markov不等式。利用切比雪夫不等式和马尔可夫不等式*j=Eυ*2jnυ*J>δo≤qE~n*4jqP（|~n）*j |>δ）≤ δ-2E~n*4j≤ 9δ-2(1 + λ-γu）(λj）eu（S*u） Xi=1Zi，j。考虑到所有Zi，j都有有界矩，利用（7.28）我们得到ε-1n2βmXj=mE a*J≤ 9Cε-1δ-2n2βmXj=m（1+λ）-γu）(λj），通过引理A.1收敛到0。让我们验证条件方差之和E（Γ）的极限*2j | Fj-1). 设置Γ*i、 j=eA*i、 j-1Zi，jλj，一个得到Eυ*1，j*3，j | Fj-1.= Eυ*2，j*3，j | Fj-1.= 自Z1起为0，jand Z2，jareindependent。

接下来就是这个*2j | Fj-1） =E（Γ）*21，j | Fj-1） +E（ν）*22，j | Fj-1） +E（ν）*23，j | Fj-1） +2E（ν）*1，j*2，j | Fj-1).注意这一点~ N（0，1）和一些常数a，E（Z | Z+a |）=2Φ（a）-1和E（Z+a）-（E | Z+a |）=∧（a），其中Φ是标准正态分布函数，∧在（7.5）中定义。另一方面λj=n-2β（1+o（1））u%u+1λbuj-引理A.1。所以，n2βE（Γ）*2j | Fj-1） =（1+o（1））u%u+1λbuj-1eL（λj）-1，S*T-J-1)λj。因此，通过引理A.5，和n2βPmj=mE（γ*2j | Fj-1） 概率收敛到*2（L）在（7.27）中定义。因此，nβM*mweakly收敛到N（0，）*2（L））贯穿定理7.1。第二步：让我们展示一下sup>0limL→∞林尚→∞P|nβM*M- nβMm |>= 最后，回想一下bφ（λ，St）=φL（λ），因此，对于集合{τ上的i=1,2,4，eAi=aii*= 1}.然后，直接从P得出结论nβ| M*M- 嗯|>≤ Pnβ| M*M- 嗯|>, τ*= 1.+ P（τ）*< 1） 和（7.9）。此外，考虑到*2（L）将a.s.收敛到as L→ ∞, 我们得出结论，nβmmn在定律上收敛于n（0，），这就完成了证明。让我们考虑以下形式的鞅，由L’epinette策略的近似得到，Mk=Pkj=mA1，j-1Z1，j+A2，j-1Z2，j+A4，j-1Z4，jλj.它们的极限方差在整个函数l（λ，x，y）=A（λ，x，y）+A（λ，x，y）+（1）中定义- 2/π）A（λ，x，y）。（7.29）以下结果与命题7.2相似。提议7.3。假设Ai=Ai（λ，x，y），i=1，2，4以及它们的第一个偏导消息满足条件（H）。然后，对于任何固定的%>0，序列（nβMm）弱收敛于混合高斯变量，平均值为零，方差由（7.25）给出。如果部分（或全部）函数被替换，则相同的属性仍然有效∞λAi（z，x，y）dz。证据

结论直接来自命题7.2的证明和Ez4，j=E（|Z1，j |-p2/π=1- 2/π，E（Zi，jZ4，j）=0，对于i=1，2和m≤ J≤m、 本节的剩余部分将按照[33]的模式证明主要结果。我们的第一步是为套期保值误差中的每个术语建立以nβ为速率的渐近表示。近似过程还将剩余部分作为离散鞅提供，最后一步将应用命题7.2和7.3来实现限制分布。7.6 I1的近似值，以下近似值在[33]中获得。提议7.4。设H=R∞λ（z）-1/2/2 - Z-3/2ln（x/K））eа（z，x）dz和defineu1，K=%-1kXj=mσ（ytj-1） Stj-1Hj-1Z1，jλj，m≤ J≤ m、 然后，在（C）和（C）下，P- 画-→∞nβI1，n- 2分钟（S，K）- U1，m= 0.证明。通过（3.15），一个代表I1，nasI1，n=ZbσtStbCxx（t，St）dt-Zσ（yt）StbCxx（t，St）dt。最后一项可以被引理7.2的（ii）忽略。为了研究第一个积分，让我们引入函数A（λ，x）=xbCxx（t，x），并将其拆分为ZbσtStbCxx（t，St）dt=ZbσtSbCxx（t，S）dt+Zbσt（A（λt，St）- A（λt，S））dt。第一个积分RbσtSbCxx（t，S）dt几乎肯定比nR快2分钟（S，K），对于任何r>0的情况，参见[33]。让我们研究描述A跳跃的最后一个术语。使用A（λt，St）的It^oLemma- A（λt，S），我们将其改写为1，n+2，n+ZZtbσtxA（λt，Su）σ（yu）SudW（1）udt，（7.30），其中1，n:=ZZtbσtA（λt，Su，yu）du dt和2，n:=Zbσtzr*\'A（λt，Su-, z） J（du，dz）dta（λ，x，y）=tA（λ，x）+xxA（λ，x）σ（y）x，\'A（λ，x，z）=A（λ，x（1+z））- A（λ，x）。然后，利用命题7.1的近似过程得到（7.30）的It^o积分的离散鞅近似U1，mf。现在，让我们展示一下i、 n=o（n-β） ，i=1，2。

事实上1，n=o（n-β） 引理7.2的第（iii）部分。跳转术语2、NCA可以代表为2，n=RRR*摩擦σt′A（λt，Su-, z） dtJ（du，dz）byFubini定理[3]。改变变量v=Rubσtdt，如（7.1）中所示，一个得到szubσt′A（λt，·z）dt=zλu′A（v，·z）dv:=D（λu，·z），因此，2，n=RRR*D（λu，Su）-, z） J（du，dz）。另一方面，对于任何Υ>0D（λu，Υ，z）=zλu′A（v，Υ，z）dv=zΥ（1+z）ΥzλuxA（v，x）dvdx。直接计算表明xA（v，x）=2xbCxx（v，x）+xbcxx（v，x）和bcxx（v，x）=x√ve~n（v，x），bCxxx（v，x）=-xve~n（v，x）√v+ln（x/K）√五、,式中：φ（v，x）=√xφ（v）e-ln（x/K）2v，φ（v）=rK2πe-v/8。利用zke-z/2对于所有k都是一致有界的|xA（v，x）|≤ C√x（1+v）-1） φ（v），对于某些正常数C。该估计意味着对于任何Υ>0 | D（λu，Υ，z）|≤ CZΥ（1+Z）Υ√xdxZλu（1+v）-1） φ（v）dv≤ C | z | eφ（λu）√Υ，（7.31），其中eφ（λ）=R∞λ（1+v）-1） φ（v）dv。显然，引理7.3中的条件（7.19）成立，因此，2，n=o（n-r） 对于I2的任何r>0.7.7近似值，建议7.5。在（C）和（C）下，nβI2，n收敛到0的概率为n→ ∞.证据我们表示I2，nasZσ（yt）StA（t）dW（1）t+ZZR*zSt-A（t）-)eJ（dt，dz）：=b1，n+b2，n，（7.32），其中A（t）=bCx（ι（t），Sι（t））-bCx（t，St）。我们首先声称，引理7.1可以忽略（7.32）的It^o积分。要看到这一点，必须应用it^o公式，一代表差异AtasZtι（t）bCxt（u，Su）+σ（yu）subxxx（u，Su）du+Ztι（t）bCxx（u，Su）σ（yu）SudW（1）u+Ztι（t）ZR*（bCx（u，Su）-（1+z）-bCx（u，Su）-))J（du，dz）。鉴于（3.12），bCxt（u，x）=-bσu2xbCxx（u，x）+xbCxxx（u，x）:= bσueA（u，x）。（7.33）因此，b1等于以下sumZZtι（t）bσuσ（yt）SteA（u，Su）dudW（1）t+ZZtι（t）σ（yt）Stσ（yu）subxxx（u，Su）dudW（1）t+ZZtι（t）ZR*σ（yt）St（bCx（u，Su-（1+z）-bCx（u，Su）-))J（du，dz）dW（1）t.（7.34）前两个积分比n更快收敛到0-β通过引理7.1。让我们研究一下（7.34）中的跳跃项，它将由一个。

显然，根据富比尼定理Anequals1≤我≤nZtiti-1ZR*ψ（u，Su）-, z）Ztiuσ（yt）StdW（1）tJ（du，dz），（7.35），其中ψ（u，x，z）：=bCx（u，x（1+z））-bCx（u，x）。证明了an=o（n）-r） 对于任何r>0，在引理7.3的演示之后进行一些修改。特别是，我们将（7.35）中的和分解为两部分：a1，n，第一部分涉及指数i和m≤ 我≤ 第二个是a2，n，这是指数i，1其余部分的和≤ 我≤ m、 显然，P（nr | a1，n |<δ）≤ P（N）- 新界*≤ 1) = 1 - E-θ(1-T*), 收敛到0。为了研究a2，n，我们再次运行用于获得估计值的参数（7.31）。特别地，|ψ（u，x，z）|以φ（λu）为界Zx（1+z）xdaa3/2≤ 2φ（λu）√x$（z），其中φ（λ）=pK/2πλ-1/2te-λ/8和$（z）=|z|√1+z.（7.36）表示为ac2，n为a2，n的补偿器。那么，很明显，|ac2，n |≤X1≤我≤mZtiti-1ZR*|ψ（u，Su，z）|Ztiuσ（yt）StdW（1）tπ（dz）du≤X1≤我≤mZtiti-1φ（λu）pSuZtiuσ（yt）StdW（1）tdu∏（$）。（7.37）注意，鉴于条件（C），积分∏（$）<∞. 重要的是要强调Xu:=pSuRtiuσ（yt）StdW（1）t可能不是平方可积的。为了克服这个问题，考虑停止时间τ*在（7.7）中定义了一些L>0。关于集合{τ*= 1} 一个给你∈ [ti-1，ti]，E（X*u） =EqS*uZtiuσ（y）*t） S*tdW（1）t≤ 锿*乌兹提乌斯*2tdt≤ CLn-因此*U≤pE（X）*u）≤ CLn-1/2的柯西-施瓦特不等式。因此，P（nr | ac2，n |>δ，τ*= 1) ≤ nrδ-1X1≤我≤mZtiti-1φ（λu）EX*udu∏（$）≤ nrδ-1CLn-1/2X1≤我≤mZtiti-1φ（λu）du∏（$）≤ nrδ-1CLn-1/2Zt*φ（λu）du∏（$）。（7.38）考虑到nrRt*φ（λu）du变为0，我们得出结论，对于任何r>0，limn→∞P（nr | ac2，n |>δ，τ）*= 1) = 0. 注意到p（nr | ac2，n |>δ）≤ P（nr | ac2，n |>δ，τ）*= 1） +P（τ）*< 1） 使用（7.9）可以得到nrac2，n→ 任何r>0的概率为0。现在，把eα2，n=α2，n- αc2，n，我们需要证明P（nr | eα2，n |>δ）→ 0.为此，再次考虑停止时间τ*在（7.7）中定义了一些L>0。

关于集合{τ*= 1} ，onehas |ψ（u，Su，z）|≤qS*uφ（λu）$（z），其中S*ui是Su的停止版本。很明显，sup1≤我≤恩苏普蒂-1.≤U≤领带*u | W（1）ti-1.- W（1）u|≤ Cn-对于某个正常数C，随后是切比雪夫不等式thatP（nr | eα2，n |>δ，τ*= 1) ≤ n2rδ-2Eα*22，n，其中eα*22，通过替换Suby S获得nis*在函数ψ（u，Su，z）中。现在，著名的跳跃积分等距图适用于eα2，n=α2，n-αc2，等于Eα*22，nis受X1限制≤我≤梅兹蒂蒂-1ZR*|ψ（u，S）*u、 z）| | W（1）ti-1.- W（1）u∏（dz）du，比zt小*φ（λu）E（X*u） 杜泽*$（z） π（dz）≤ Cn-1Zt*φ（λu）duZR*$（z） π（dz）。再说一遍，RR*$（z） ν（dz）<∞ 根据条件（C）。因此，对于一些依赖于l的常数，P（nr | eα2，n |>δ，τ*= 1) ≤ C（L）n2rδ-2n-1Zt*φ（λu）du×ZR*$（z） π（dz），当r>0时收敛到0。现在让我→ ∞ 利用（7.9）我们得到| eα2，n |=o（n-r） 对于任何r>0的情况。通过同样的方式，我们可以证明nrb2，n→ 任何r>0的概率为0，且证明已完成。7.8 I3的近似值，建议7.6。假设（C）和（C）保持不变。然后，对于任何r>0，nr | I3，n |→ 0作为n的可能性→ ∞.证据到（3.15），一个人有B（t，St）-, z） =RSt（1+z）StRvStbCxx（t，u）dudv。回想一下bcxx（t，u）=u-1λ-1/2te~n（λt，u）≤ U-3/2φ（λt），其中φ（λ）=pK/（2π）λ-1/2te-λ/8. 直接微积分导致| B（t，St，z）|≤ CS1/2tφ（λt）| z |。因此，引理7.3中的所有假设都已完成，结论如下。7.9Γn的近似值让我们研究交易量Γn。很容易检查v≥ 0, 1 - Φ（v）≤ 个人简历-1~n（v）和RT*e~n（λu，Su）du+Rt*几乎可以肯定的是，e~n（λu，Su）du收敛到0的速度比n的任何幂更快。因此，可以截断和，只保留与指数m对应的部分≤ J≤ m、 接下来，我们可以通过区间[t]中的It^o公式忽略近似中可能出现的跳跃项*, 1].

为了方便起见，让我们回忆一下[33]中得到的Γn的近似结果。提议7.7。在条件（C）下- （C） ，总交易量Γn表示如下渐近形式Γn=Γ（S，y，%）+（U2，m+U3，m）+o（n-β） .7.10定理3.1的证明通过命题7.4-7.7，套期保值误差表示为Vn- h（S）=分钟（S）-, （K）-κΓ（S）-, y、 %）+Mm，其中套期保值误差的鞅部分由Mk=U1，k给出-κ（U2，k+U3，k），因此nβMm通过命题7.2，证明了定理3.1在定律上收敛于混合高斯变量。7.11定理3.2的证明现在证明了L‘epinette策略’γNTI适用于复制问题。类比里昂可以将相应的套期保值误差表示为“Vn”- h（S）=I1，n+-I2，n- I3，n- κΓn，其中I2，n=I2，n+Xi≥1.斯蒂兹蒂-1bCxt（u，Su）duandΓn=Pni=1Sti|γnti- γnti-1 |是交易量。回想一下I2，7.5提案。让我们来调查一下上面的总数。通过（7.33），它可以表示为xi≥1Zλi-1eA（u，Su）dvZtiti-1σ（yt）StdW（1）t+Xi≥1Zλi-1eA（u，Su）dvZtiti-1zdSt-eJ（dt，dz）使用上述变量变化，其中ea在（7.33）中定义。现在，命题7.1的近似技术可用于用鞅U2代替第一和，由U2定义，k=%-1kXj=mσ（ytj-1） 圣-J-1Yj-1Z1，jλj，m≤ K≤ mand Y（λ，x）=R∞λz-3/2ln（x/K）eа（z，x）dz。另一方面，对于被积函数，我们得到了相同的估计（7.31），这意味着第二个和可以通过引理7.3在nrforany r>0的阶忽略。现在，我们考虑交易量Γn的近似表示，遵循Γn的近似过程。以下内容建立在[33]中。提议7.8。

在条件（C）下- （C） ，P- 画→∞nβ|Γn- ηmin（S，K）- （U2，m+U3，m）|=0。因此，Mm=U1，m+U1，m-κ*（U2，m+U3，m）是L’epinette策略对冲误差的鞅部分，可以用formMk=%-1kXj=m（A1，j-1Z1，j+A4，jZ4，j-1+A2，j-1Z2，j）λj对于满足命题7.3假设的一些显式函数。然后，收敛到一个混合高斯变量的序列nβMm由命题7.3保证，因此定理3.2被证明。7.12定理4.1的证明首先注意复制误差的近似表示与SVJ情况相同。特别是，Ii，n，i=1，2，3的近似值是相同的，因为鞅和是由一维It^o公式得到的。唯一的区别是，在确定总交易成本的上限时，一家公司已经取代了第一家公司-J-1和yt-J-1通过终端值S-安迪-. 现在，应用于差异的It^o公式的二维版本提供了有关yt动力学的公式。根据泊松过程的一个基本性质，我们可以知道在时间间隔[t]内y的跳跃部分*, 1]. 因此，这种差异的鞅近似与SVJ情形相同。然而，我们需要检查αi（t，yt）的可积性，i=1，2。为此，条件sup0≤T≤1E yt<∞ 需要，但在条件（C）以及这些系数的线性增长和Lip*****z性质下，这是完整的，见附录C.7.13定理5.1的证明可以以与定理3.1和定理3.2类似的方式进行，但需要更简单的论证。事实上，使用bσ=σ+%pnf（t）和简单形式bσ=%pnf（t）之间的差异仅来自于替代bλ=Rtbσsds的近似值。特别地，bλt=σ（1- t） +%√nZtpf（t）=σ（1）- t） +λt，其中λ由简单形式的相同公式定义。