随机市场中具有比例交易成本的近似套期保值

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英文标题：
《Approximate hedging with proportional transaction costs in stochastic
  volatility models with jumps》
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作者：
Thai Huu Nguyen and Serguei Pergamenschchikov
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study the problem of option replication under constant proportional transaction costs in models where stochastic volatility and jumps are combined to capture the market\'s important features. Assuming some mild condition on the jump size distribution we show that transaction costs can be approximately compensated by applying the Leland adjusting volatility principle and the asymptotic property of the hedging error due to discrete readjustments is characterized. In particular, the jump risk can be approximately eliminated and the results established in continuous diffusion models are recovered. The study also confirms that for the case of constant trading cost rate, the approximate results established by Kabanov and Safarian (1997)and by Pergamenschikov (2003) are still valid in jump-diffusion models with deterministic volatility using the classical Leland parameter in Leland (1986).
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中文摘要：
在随机波动和跳跃相结合的模型中，我们研究了在固定比例交易成本下的期权复制问题，以捕捉市场的重要特征。假设跳跃大小分布上的一些温和条件，我们证明了交易成本可以通过应用Leland调整波动率原理来近似补偿，并且刻画了由于离散调整而产生的套期保值误差的渐近性质。特别是，可以近似地消除跳跃风险，并恢复在连续扩散模型中建立的结果。该研究还证实，在交易成本率不变的情况下，卡巴诺夫和萨法里安（1997年）以及佩尔加门奇科夫（2003年）建立的近似结果仍然适用于使用利兰（1986年）中经典的利兰参数的具有确定性波动性的跳跃扩散模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Approximate_hedging_with_proportional_transaction_costs_in_stochastic_volatility.pdf (731.56 KB)

2022-5-8 05:08:51 上传

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关键词：交易成本 套期保值 Mathematical proportional Quantitative

使用jumpsThai Nguyen的金融市场中具有恒定比例交易成本的近似套期保值*Serguei Pergamenschikov+2019年9月25日摘要我们在模型中研究了在恒定比例交易成本下的期权复制问题，其中随机波动和跳跃被结合起来以捕捉市场的重要特征。假设跳跃大小分布上存在一些温和的条件，我们证明了交易成本可以通过应用Lelandadjusting波动率原理来近似补偿，并且刻画了由于离散调整而产生的套期保值误差的渐近性质。特别是，跳跃风险可以被近似地限制，并且可以恢复在连续扩散模型中建立的结果。该研究还证实，在交易成本率不变的情况下，卡巴诺夫和萨法里安[22]以及佩尔加门奇科夫[37]所建立的近似结果仍然适用于[25]中使用经典Leland参数的具有确定性波动性的扩散模型。关键词：交易成本；利兰战略；跳跃模型；随机波动；近似套期保值；极限定理；超级对冲；分位数hedging2010理学硕士课程：91G20；60G44；JEL分类：G11、G131简介许多建议的股票价格数学模型一直试图捕捉重要的市场特征，例如轻量级特征、波动聚类效应、隐含波动微笑。这些市场属性在随机波动模型中是可处理的。然而，基于差异的随机波动率模型假设市场波动率可以自动波动，但不能突然变化，因此，它们不能考虑突然和不可预测的市场变化。

因此，在更现实的情况下（著名的BlackScholes框架的扩展），应该放松股票价格的连续性假设，以考虑由于市场好消息或坏消息而导致的突然市场冲击。这些突发事件可以按照泊松过程发生。在市场收到好/坏消息后，资产价格的变化可以用跳跃大小和连续两次跳跃时间来描述，*乌尔姆大学和胡志明市经济大学；电子邮件：thaibopy@ueh.edu.vn;泰国人nguyen@uni-乌尔姆。德+法国鲁昂大学UMR 6085 CNRS Rapha-el Salem数学实验室和俄罗斯托木斯克州立大学SSP&QF国际实验室，电子邮件：serge。pergamenchtchikov@univ-鲁昂。资产价格遵循经典Black-Scholes模型中的几何布朗运动。这种组合被称为跳跃扩散模型。如[24]所示，跳跃差分模型不仅比经典几何布朗运动更好地拟合数据，而且还能重现收益分布的轻量级特征。此外，[9]认为，资产价格出现跳跃可以被认为是期权市场参与者的存在。详细讨论见[9,38,24]及其参考文献。请注意，在完全差异模型中，可以使用不断调整的德尔塔策略完全复制选项。然而，具有跳跃的模型并非如此。事实上，即使在连续的时间策略下，跳跃风险也无法完全释放，而要完美对冲跳跃风险的看涨期权，唯一的方法就是购买并持有标的资产。

换言之，在存在跳跃的情况下，复制的概念并没有表明一个基于布莱克-斯科尔斯理论的完整市场模型的风险管理和套期保值的正确框架。如果将交易成本考虑在内，情况会变得更具挑战性。这种考虑是现实的，在过去20年里一直吸引着研究人员。直观地说，在存在交易成本和/或资产价格上涨的情况下，期权的风险更大，应该以比没有这些风险时更高的价格进行评估。然而，更昂贵的期权价格将意味着其波动性价值的增加。这是利兰算法背后的基本直觉。特别是，为了在没有跳跃的情况下补偿交易成本，Leland[25]提出了著名的Black-Scholes偏微分方程的修改版本，其中波动性在bσ=σ+σκn1/2时特别增加-αp8/π，（1.1），其中n是修订数，κn-α, 0 ≤ α ≤ 1/2是成本率。他声称，随着α=0（恒定利率）或α=1/2的套期保值时间距离变小，期权支付（到期日T=1）可以通过Vn（离散增量策略的最终投资组合值）渐进复制。Kabanov和Safarian[22]后来证明，Leland关于恒定交易成本的陈述在数学上是不正确的，套期保值误差实际上收敛到非零极限min（S，K）-J（S），因为投资组合经常被修改。这里J（S）是累积成本的极限。然后在[37]中研究了收敛速度和校正复制误差的渐近分布。特别是，后一篇论文显示序列1/4（Vn- h（S）- min（S，K）+κJ（S））（1.2）弱收敛于混合高斯变量n→ ∞.

这一结果在不同方向上引发了许多进一步的研究：非均匀调整的一般收益[27,28,11]，局部波动[26]，基于资产交易数量的交易成本[12]。最近，[33]表明，增加波动率原理仍然有助于控制交易成本造成的损失，在随机波动率框架中，交易成本与交易量成正比，调整后的波动率形式更简单。此外，本文还指出了高频市场中的资产套期保值，在高频市场中，买卖价格的形式可能是决定交易成本规律的一个重要因素。我们参考上面提到的论文和其中的参考文献进行更详细的讨论。交易成本下的套期保值问题已经向各个方向发展。在小比例交易成本的情况下，[19,1,17,18]将一系列止损时间作为再平衡日期来研究套期保值误差。正如[8]中所讨论的，这些策略中没有一种优于其他策略。后一篇论文[8]提出了一类导致有限交易成本的连续控制策略，并提供了一个条件，在该条件下，期权报酬是渐进复制的。然而，如上所述，连续交易策略不能用于实践。一般来说，交易活动只能在一天中的特定时段进行。因此，具有周期性再平衡日期的离散时间策略具有非常重要的相关性。在本文中，我们利用Leland的算法，通过考虑跳跃，对交易成本下的近似套期保值领域做出了贡献。

据我们所知，我们是第一个使用Black-Schole定价偏微分方程（PDE）中的离散时间策略，研究具有跳跃的模型在交易成本下的近似套期保值问题。本说明的目的是将[22、37、27、28、11、33、34]等研究的连续差异模型的现有结果与资产价格和/或波动率允许跳跃的不连续模型联系起来。事实上，我们不仅试图捕捉依赖结构（由随机波动率建模），还试图捕捉由于市场突然变化而导致的股价短期行为。由于随机波动率模型很好地补充了跳跃模型[24]，这种组合导致了金融市场的现实和一般模型。如上所述，套期保值问题中的跳跃风险很难处理，即使在简单的框架中也无法完全释放，例如，可以进行持续调整的跳跃扩散模型。本文的贡献是双重的。首先，我们证明了在一些温和的条件下，跳跃对跳跃大小的影响可以部分忽略。事实上，我们证明了套期保值误差的渐近分布与跳跃无关，并且与[33]中建立的纯扩散模型的结果一致。当资产价格及其波动率都允许跳跃时，情况也是如此。这样的一般框架提供了一些可能性来解释通常在危机期间观察到的大幅波动[14,13]。作为第二个贡献，我们证明了Kabanov SafarianPergamenshchikov的结果[22,37]也适用于跳跃扩散设置。最后，我们注意到，将这些结果推广到满足某种衰减假设[27,28,11]的一般凸支付情况是可行的。本文的其余部分组织如下。

我们将在第2节简要介绍Leland算法背后的关键思想。第三部分是模型的建立和主要结果的展示。第4节讨论了带跳跃的一般随机波动率模型。我们在第5节中考虑了波动率具有确定性的特殊情况，并在第6节中给出了一个数值样本。第7节报告了主要结果的证明。附录中有一些有用的引理。2 Leland算法和修正的波动率为了解释Leland算法中的关键思想，我们假设股票价格由套期保值区间[0,1]中的dSt=σstdw给出，利率为零，因此s是风险中性度量下的平均值。在存在比例交易成本的情况下，由[25]提出，然后由[22,23]推广，波动率应按照方程式（1.1）进行调整，以使期权价格C（t，St）出现艺术性的增长。这一事实部分解释了为什么跳跃式差异模型通常被认为是一个好的选择，尤其是在短期情况下。补偿可能的交易费用。这种形式的灵感来自于观察到的交易成本κnSti | Cx（ti，Sti）-Cx（ti）-1、Sti-1） |在时间间隔内[ti-1，ti]可以用κnSti近似表示-1Cxx（ti）-1、Sti-1)|斯蒂|≈ κnσSti-1Cxx（ti-1、Sti-1） E|Wti |。（2.1）为简单起见，我们假设投资组合在统一网格ti=i/n，i=1，nof选项生命周期[0,1]。考虑到|Wti/(ti）1/2 |=p2/πone通过κnσp2/π来近似（2.1）中的最后一项(ti）1/2Sti-1Cxx（ti）-1、Sti-1） ，这是在[ti]中为投资组合调整支付的成本-1.ti]。

因此，根据Black-Scholes理论的标准论点，包含交易成本的期权价格应该满足YCT（ti）-1、Sti-1)ti+σSti-1Cxx（ti）-1、Sti-1)ti+κnσp2/π(ti）1/2Sti-1Cxx（ti）-1、Sti-1) = 0.自从ti=1/n，可以推断出-1、Sti-1) +σ+κnσpn8/π性病-1Cxx（ti）-1、Sti-1） =0，这意味着期权价格包含的交易成本应通过Black-Scholes PDEbCt（t，x）+bσxbCxx（t，x）=0，bC（1，x）=max（x）的以下修改波动率版本进行评估- K、 0），（2.2），其中调整后的波动率bσ由（1.1）定义。（a） 均值-方差（b）经验密度图1：利兰策略的均值-方差及其归一化修正对冲误差利润/损失Vn的模拟结果- 图1a中的h（S）表明，在交易成本存在的情况下，Leland策略优于Black-Scholes离散deltaA策略，如果它在给定的回报水平下提供最低的风险。在文献中，预期复制误差，也称为预期利润和损失，似乎是一个很好的回报衡量指标，而复制误差的方差是最常用的风险衡量指标。高度宽容的套期保值者更喜欢平均复制误差高、风险高的头寸，而高度规避风险的套期保值者更喜欢平均复制误差低、风险低的头寸。策略，即使它们以相同的初始成本开始。Pergamenschikov定理[37]（见等式（1.2））中归一化修正套期保值误差的经验分布和密度如图1b所示。

事实证明，修正后的套期保值在经验上收敛于一个中心变量，该变量可能表现为正态分布，但具有不对称尾。如上所述，Leland方法在实际应用中非常重要，因为它只需要对在实践中广泛使用的著名Black-Scholes框架的参数进行微小的更改。然而，当波动率是随机的，比如说σ=σ（yt），其中yt是另一个随机过程，该策略不再适用于柯西问题（2.2）。事实上，这种随机波动率（SV）环境下的定价和套期保值本质上不同于Leland模型，即使在没有交易成本的情况下，期权价格也强烈依赖于波动率水平和波动过程y的未来信息。为了了解这个问题，我们假设y是一个马尔可夫过程。根据预期的迭代性质，不含交易成本的期权价格由c（t，x，y）=E[CBS（t，x；K，σ）| yt=y]，（2.3）给出，其中K是履约价格，CBS是Black-Scholes期权价格函数，σ是由σ=1定义的平均波动率- tZtσ（ys）ds。这意味着期权价格是在波动过程y的所有可能未来轨迹上Black-Scholes价格的平均值，这在现实中是无法直接观察到的。因此，SV模型中的期权价格和套期保值策略非常复杂，通常通过渐近分析进行研究。现在让我们把注意力转向交易成本的存在。上述讨论强调，从实际角度来看，利兰萨尔戈里希姆的调整后波动率的著名形式（1.1）不再有用。此外，即使对于σ仅取决于时间和现货价格的局部波动性模型，从技术上讲，也很难证明（2.2）的解的存在，因为微分算子不是统一的协同学。

此外，期权价格衍生工具的估值对近似分析至关重要，但不容易实现，参见示例[27]。幸运的是，对套期保值误差近似值的深入研究表明，复制误差的极限并不强烈依赖于调整后的波动率的形式，而仅取决于最后一项κn√n当后一种产品出现差异时。这个重要的观察意味着一个更简单的形式%k n√n具有一定的常数%，可用于获得套期保值误差的相同渐近性质。[33,32]对SV模型的这种修改进行了全面研究。注意，如果将新形式应用于柯西问题（2.2），期权价格和套期保值策略很容易获得，而经典问题（1.1）在实践中是不可能的。在本文中，我们表明，即使考虑到资产价格和/或随机波动性的波动，这个建议仍然有用。最后，我们将介绍跳跃模型中套期保值的一些重要特征。首先，即使采用连续时间调整政策，也不能简单地使用经典的增量策略来覆盖跳跃风险。第二，如果股票价格允许跳跃，那么应该区分两种类型的套期保值错误：一种是由于与跳跃有关的市场不完全性，另一种是由于套期保值组合的离散性。这两种类型的套期保值错误有不同的行为。关于跳跃离散享乐的文献非常丰富，我们只提到[40,39]最近的成就。然而，这些论文都没有讨论交易成本。3带跳跃和主要结果的模型3。1市场模型Ohm, F、 （英尺）0≤T≤1，P是两个标准独立（Ft）0的标准过滤概率空间≤T≤1自适应维纳过程（W（1）t）和（W（2）t）取R中的值。