依赖于状态的局部跳扩散模型的小时间展开

然而，为了得出形式（1.4）的模型是同构的结论，我们需要一些关于其系数的正则性条件。以下相对温和条件的主要目标是建立此类条件（见下文命题4.1）。我们指的是Remark4。下文第2节进一步讨论并可能放宽该条件。（S4）在条件（S1）中引入的L′evy密度h对于某些α∈ （0,2），g（r）：=h（r）| r |α+1在(-, 0) ∪ (0, ), 对一些人来说> 0，andlim infr→0±g（r）>0，直线上升→0±g（r）<∞, 林苏普→0±| rg（r）|∞.‘3一些必要的符号和初步结果对于截断函数| r | 61，设Z:={Zt}t>0是一个纯跳跃L | evy过程，具有L | evy三重态（0，h（r）dr，0）。过程Z的跳跃测度用q（dt，dr）表示：=#{（t，（Zt）∈ dt×dr：Zt6=0}=Pδ（Ti，Ri）（dt×dr），其中{（Ti，Ri）}是量度q（dt，dr）的原子。在这种情况下，（2.1）中的泊松随机测度p（dt，dr，du）与{（Ti，Ri）}上的标记点过程具有相同的分布，标记{Ui}i>1是（0，1）上标准均匀分布的随机样本。在续集中，过程X（X）在法律上被分解为一个具有小跳跃的过程和一个独立的有限跳跃活动过程。为了正式定义X的小跳跃分量，我们首先需要为任意ε的泊松随机测度p引入合适的构造∈ （0,1），lethε（r）：=φε（r）h（r），\'hε（r）：=\'φε（r）h（r）：=（1）- φε（r））h（r），其中φε∈ C∞（R） 是一个“截断”函数，使得1 |R |>ε6φε（R）6 1 |R |>ε/2，φε（w）不随|w |的增加而减少，且supp（φε）=（ε/2，∞) ∪ (-∞, -ε/2). 接下来，让Z（ε）：={Zt（ε）}t>0和Z（ε）：={Zt（ε）}t>0是独立的纯跳L\'evy过程，分别具有L\'evy三元组（bZ（ε）、hε（r）dr，0）和（0，\'hε（r）dr，0），对于截断函数1 |r | 61，其中bZ（ε）：=r |61rhεdr。

注意Z（ε）是一个复合泊松过程，我们用λε：=Rφε（R）h（R）dr来表示其强度，用hε（R）来表示跳跃概率密度函数：=φε（R）h（R）/λε。设{τi}i>1、{Nt}t>0和{Ji}i>1denote，分别计算Z（ε）的跳跃时间、跳跃计数过程和概率密度函数hε中的独立同分布随机样本。此外，U和J:=Jε分别表示均匀分布在（0，1）中的一般随机变量和具有概率密度函数hε（r）的一般随机变量。下面[10]中的引理将在续集中有用。引理3.1。根据第2节中的条件（S1）和（S3），以下陈述成立：1。设∧γ（z，r）：=z+γ（z，r）。然后，对于每个z∈ R、 映射R→ γ（z，r）（分别为→ γ（z，r））是不可换的及其逆γ-1（z，r）（分别为γ）-1（z，r））属于“Cb（r×r）”。Γγ（z，J）和γ（z，J）都允许密度，分别表示为Γ（r；z）：=eΓε（r；z）和Γ（r；z）：=Γε（r；z），它们属于Cb（r×r）。此外，它们的表示形式为：eΓε（r；z）=hε（Γγ）-1（z，r））γRz、 γ-1（z，r）-1，ε（r；z）=hε（γ-1（z，r））γRz、 γ-1（z，r）-1.3. 映射z→ u:=z+γ（z，r）允许一个逆，在下文中用‘γ（u，r）表示，它属于‘Cb（r×r）。现在，我们已经准备好定义X（X）的“小跳跃分量”。设M（dv，dr）：=Mε（dv，dr）表示过程Z（ε）的跳跃测度，设p（dv，dr，du）：=pε（dv，dr，du）（分别为p（dv，dr，du）：=pε（dv，dr，du）- dv¨hε（r）drdu）表示（0，1）上具有独立均匀分布标记的Mw原子上的标记点过程（分别为补偿标记点过程）。

对于每个ε∈ （0，1），我们构造了一个过程Xθ：=Xθs（ε，X）s> 0，定义为SDE（3.1）Xθs（ε，X）=X+Zsbε（Xθv）的解-（ε，x））dv+ZsσXθv-（ε，x）dfWv+NsXi=1γXθτ-i（ε，x），JiθXθτ-i（ε，x），Ji，Ui+ZsZEγXθv-（ε，x），rθXθv-（ε，x），r，up（dv，dr，du），其中{fWv}v>0是独立于p（dv，dr，du）的维纳过程，和（3.2）bε（x）：=b（x）-Z | r | 61Zγ（x，r）θ（x，r，u）duhε（r）dr=b（x）-Z | r | 61γ（x，r）ν（x，r）φε（r）dr。通过比较它们的微型发生器，不难看出过程（3.1）与过程（2.1）具有相同的分布规律（更多详细解释见[10]第2节）。接下来，我们让xθ（ε，, x） :=Xθs（ε，, 十）s> 0be是SDE的解：（3.3）Xθs（ε，, x） =x+Zsbε（xθv）-(ε, , x） ）dv+ZsσXθv-(ε, , 十）dfWv+ZsZEγXθv-(ε, , x） ，rθXθv-(ε, , x） ，r，up（dv、dr、du）。过程法则Xθs（ε，, 十）06S6t以上可以解释为{Zs（ε）}06S6t没有任何跳跃的{Xθs（ε，X）}06S6t调节定律。注意，根据条件（S2）和（S3-i），过程（3.3）是一个局部鞅，其有界漂移的跳跃由一个常数限定。利用[19]中的等式（9）以及[10]中命题3.1和引理3.2的证明，我们得到了（3.4）sup0<η<ε，x∈RP[|Xθt（η，, 十）- x |>y]<cty对于任何y>0，其中N>0可以通过将ε>0取得足够小而变得任意大。我们现在开始定义其他相关流程。对于0<s<···<sn的时间集合，让Xθs（ε，{s，…，sn}，X）s> 0be是SDE的解：Xθs（ε，{s，…，sn}，X）=X+Zsbε（Xθv-（ε，{s，…，sn}，x））dv+ZsσXθv-（ε，{s，…，sn}，x）dfWv+Xi:si6sγXθs-i（ε，{s，…，sn}，x），JiθXθs-i（ε，x），Ji，Ui+ZsZEγXθv-（ε，{s，…，sn}，x），rθXθv-（ε，{s，…，sn}，x），r，up（dv、dr、du）。过程法则Xθs（ε，{s。

，sn}，x）06S6t可以解释为{Xθs（ε，X）}06S6t对{Zs（ε）}06S6t的调节定律，在0<s<s<·s<·sn<t的时刻有n个跳跃。为了将来的参考，让我们注意到，小跳跃分量{Xθt（ε）}，, x） t>0，以下用Lε表示，可以写成（3.5）Lεf（y）：=Dεf（y）+Iεf（y），其中Dεf（y）=bε（y）f（y）+σ（y）f（y），Iεf（y）=Zf（y+γ（y，r））- f（y）- f（y）γ（y，r）ν（y，r）¨φε（r）dr，其中bε在（3.2）中定义，且¨φε（r）=1- φε（r）。注意，对于f∈ Cb（R），Iεf可以写成Iεf（y）=Zf（y+γ（y，rβ））(γ（y，rβ））+f（y+γ（y，rβ））γ（y，rβ）（3.6）-f（y）γ（y，rβ）(1 - β） dβν（y，r）¨φε（r）rdr，由于条件（S1-i）和（S3-i）的限制，它是有限的。以下是过程{Xθt（ε）的一阶和二阶Dynkin公式，, x） 在续集：Ehf（xθt（ε，, x） i=f（x）+tZEhLεf（xθαt（ε），, x） ）idα，F∈ Cb（R），（3.7）Ehf（Xθt（ε，, x） i=f（x）+tLεf（x）+tZ（1）- α） Eh（Lε）f（Xθαt（ε），, x） ）idα，F∈ Cb（R）。（3.8）此外，对于f∈ Cb（R）（分别为f）∈ Cb（R）），supx | Lεf（x）|<∞ （分别为supx|Lεf（x）|<∞) 因此，（3.7）（resp.，（3.8））中的提醒是O（t）（resp.，（O（t））在x和t上的一致性。（3.7）-（3.8）的证明遵循它的^O公式，与[10]中引理3.3的证明一样。备注3.2。根据第2节中的条件（S3 ii），映射r→ γ（x，r）是r中的双射。然后，生成器（3.5）可以重写为lεf（y）=bε（y）f（y）+σ（y）f（y）+Zf（y+z）- f（y）- 采埃孚（y）Kε（y，dz），（3.9），其中核Kε（y，dz）可以用以下两种等价形式表示：∈ B（R），Kε（y，A）=ZRA（γ（y，R））ν（y，R）¨φε（R）dr=ZAνy、 γ-1（y，z）φεγ-1（y，z）zγ-1（y，z）dz。（3.10）4弱解过程本节的主要目的是介绍一种克服（3.1）和（3.3）中不连续跳跃分量γ（x，r）θ（x，r，u）所带来困难的方法。

为此，我们首先证明依赖于状态的局部跳变差（3.1）和（3.3）等价于形式（1.4）的无状态局部跳变差，并证明其系数的一些必要规律性。注意，过程{Xθt（ε，, x） }t>0是一个半鞅（参见[15，III.2.18]），此外，将生成器（3.9）与[15，IX.4.6]中的生成器进行比较，它是一个齐次扩散过程，具有[15，IX.4.1]中定义的跳跃。然后，我们可以确定半鞅特征（B*, C*, θ*) 关于{Xθt（ε），, x） }t>0，相对于恒等式截断函数，如（4.1）B所示*t=ZtbεXθs（ε，, 十）ds，C*t=ZtσXθs（ε，, 十）ds，θ*（dt，dr）=KεXθt-(ε, , x） ，博士dt。根据[15]中的定义III.2.24和定理III.2.26，具有（4.1）规定特征的半鞅是SDE（4.2）Yt（ε，, x） =x+Ztbε（Ys（ε），, x） ds+Ztσ（Ys（ε），, x） ）dW*s+ZtZδ（Ys）-(ε, , x） ，r）u*（ds，dr），其中，在溶液测度P下*在规范空间中(Ohm*, F*, P*), {W*s} s>0是一维维纳过程，u*（ds，dr）是R+×rw上的一个独立泊松随机测度，其强度测量为sf（dr）和相应的补偿测度u*（ds，dr）：=u*（ds，dr）- dsF（dr）。这里，F是一个关于Rto的正σ-有限度量，可选择如下，而δ：R×R7→ R是一个Borel函数，由K，δ和F通过方程Kε（x，a）=ZA（δ（x，R））F（dr）隐式确定，A.∈ B（R），（4.3）我们从（3.10）中回忆起Kε（y，A）：=RRA（γ（y，R））ν（y，R）－φε（R）dr。

在下面的内容中，我们采用f（dr）=φε（r）h（r）dr表示ε<, 具有如条件（S4）所示。为了识别与上述测度F对应的函数δ（x，r），我们引入了以下函数ψ：r→ Rand′ψ：R×R→ R：（4.4）ψ（w）=-Z∞w′φε（r）h（r）dr，w>0，Zw-∞φε（r）h（r）dr，w<0，△ψ（x，w）=-Z∞w′φε（r）ν（x，r）dr，w>0，Zw-∞φε（r）ν（x，r）dr，w<0。注意，这两个映射的限制是w7→ ψ（w）和w7→在Dε上的ψ（x，w）：=(-ε, 0) ∪ （0，ε）随着范围R的增加而迅速增加，并且是一对一。因此，它们允许在范围Dε上定义“局部”逆，以下用ψ表示-1（x，w）=ψ-1ε（x，w）和ψ-1（x，w）=ψ-分别为1ε（x，w）。根据SDE（4.2）的形式和平均测量值ds¨φε（r）h（r）dru*在于(-ε、 ε），很明显，|r|的δ（x，r）值≥ ε是超丰满的，我们只需要定义r的δ（x.r）∈ Dε。

设δ：R×Dε→ R定义为（4.5）δ（x，w）：=γx、 ψ-1（x，ψ（w））.为了证明上述功能满足（4.3），请注意，对于每个x∈ R和w∈ Dε，映射w→ δ（x，w）是严格单调的，因此，它的逆，以下用δ表示-1（x，w），存在并满足（4.6）δ-1（x，w）=ψ-1.ψ（x，γ）-1（x，w））.那么，ψ（δ）-1（x，w））＝ψ（x，γ-1（x，w）），根据ψ和ψ的定义，我们得到了恒等式-Z∞δ-1（x，w）φε（z）h（z）dz，w>0，zδ-1（x，w）-∞φε（z）h（z）dz，w<0=-Z∞γ-1（x，w）φε（z）ν（x，z）dz，w>0，zγ-1（x，w）-∞φε（z）ν（x，z）dz，w<0。在对w进行微分后，我们得到φε（δ-1（x，w））h（δ-1（x，w））δ-1（x，w）=φε（γ-1（x，w））ν（x，γ-1（x，w））γ-1（x，w），（4.7），这意味着（4.3）对于所选择的度量F（dr）=¨φε（r）h（r）dr。我们现在开始展示函数δ：r×Dε的一些必要的正则性性质→ R、 通过[3]中的结果（见下面的引理5.2），可以保证与下面的SDE（4.2）相关的随机微分同态流的几乎确定存在。命题4.1的证明推迟到附录A。1.提案4.1。在第2节中的条件（S1）、（S3）和（S4）下，（4.5）中定义的函数δ可以在R×上连续扩展(-ε、 ε）与δ（x，0）：=0，对于任何ε>0。此外，对于ε>0足够小的情况，（4.8）（i）supx∈R、 w∈Dε|δ（x，w）|<∞, （二）|iδ（x，w）|≤ k | w |，（iii）1+δ（x，w）|>η，对于任何0 6 i 6 2，w∈ Dε和一些常数η，k>0，与x和w无关。备注4.2。第2节中假设（S4）的主要目的是简化命题4.1中所述δ规则性的验证。

然而，重要的是要注意，如果ν和h的函数F（x，w）=ψ，则包括主要定理6.1在内的所有结果都成立-1（x，ψ（w））满足下列条件：（4.9）supx∈R、 w∈Dε|wF（x，w）|<∞, 好的∈R、 w∈Dε|ixF（x，w）|∞, i=0,1,2。特别是，如果ν（x，r）=h（r），对于任意的L′evy密度h，它在原点的任何邻域之外都足够光滑，那么（4.9）很容易成立，因为F（x，w）=w。在这种情况下，我们恢复了[10]中的结果。备注4.3。使用与本节开头的论点类似的论点，不难检查，在条件（S3 ii）下，模型（2.1）在法律上等同于模型（1.4），用适当的函数Υ替换γ。具体来说，我们需要取Υ（x，w）=γx、 eψ-1.x、 bψ（w）,式中bψ（w）：=-Z∞wh（r）dr，w>0，Zw-∞h（r）dr，w<0，eψ（x，w）：=-Z∞wν（x，r）dr，w>0，Zw-∞ν（x，r）dr，w<0。然而，Υ的规律性比（4.5）中δ的规律性更难研究。实际上，例如，函数ef（x，w）：=eψ的一阶偏导数-1（x，bψ（w））由eF（x，w）=h（eF（x，w））ν（x，eF（x，w）），eF（x，w）=-(eψ）（x，eF（x，w））ν（x，eF（x，w）），以及h（w）和ν（x，w）作为w的行为→ ±∞ 现在也很重要。5一个大跳跃过程的尾部估计在本节中，我们给出了（3.1）中定义的过程Xθ的尾部概率在仅存在一个跳跃的条件下的扩展。下面的引理（附录A.2中的证明）是[10]中引理A.1的对应物，尽管本文中给出的证明是新的且简单得多。下面，我们重新命名表示法v（x）=σ（x）/2，并设置νε（x，r）：=ν（x，r）φε（r），‘νε（x，r）：=ν（x，r）（1）- φε（r））。引理5.1。

使用第3节中介绍的符号，letH（t，z，q）：=Eν（z，J）h（J）PhXθt（ε，, v） >齐v=z+γ（z，J）.（5.1）然后，在第2节中的条件（S1）-（S4）下，H（t，z，q）=H（z；q）+tH（z；q）+tR（2）t（z，q），（5.2）式中，H（z；q）：=λεz∞γ-1（z，q）-z） νε（z，r）dr，H（z；q）：=D（z；q）+I（z；q）D（z；q）：=λεbε（q）- v（q）νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）- v（q）νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）+ νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）,I（z；q）：=λεzZq′γ（q，r）νεz、 γ-1（z，η）~γ-1（z，η）／νε（η，r）dη- νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）γ（q，r）／ε（q，r）dr，对于ε>0足够小的情况下，（5.3）lim supt→0supz，qR（2）t（z，q）< ∞, supz，q|H（z；q）|<∞.引理5.1的证明可以在附录A.2中找到，它建立在以下关键引理的基础上。可在附录A.3中找到预防措施。引理5.2。在第2节中的条件（S1）-（S4）下，SDE（4.2）允许唯一解，这意味着SDE（2.1）存在唯一弱解。此外，对于任何t>0，mappingx 7→ Yt（ε，, x） 在这一节中，我们在短时间t内得到了尾概率PhX（x）t>x+yi的二阶展开式，对于任何y>0的尾概率PhX（x）t>x+yi。其思想是利用X（X）定律和（3.1）中定义的过程Xθ的等价性，并以Z（ε）的跳跃次数为条件。具体来说，我们有（6.1）PhX（x）t>x+yi=PhXθt（ε，x）>x+yi=∞Xn=0PhXθt（ε，x）>x+yNεt=ni（λεt）nn！E-λεt.为了表示展开式，让我们首先回顾一下表示法νε（x，r）：=ν（x，r）φε（r）和ε（x，r）：=ν（x，r）φε（r）以及函数γ，γ-1, ~γ-引理3.1中引入的“γ”。以下定理（附录A.4中的证明）说明了本文的主要结果。定理6.1。

在第2节中的条件（S1）-（S4）下，下列渐近展开式成立，对于任何y>0，（6.2）PhX（x）t>x+yi=tP（x，y）+tP（x，y）+o（t），如→ 0，其中系数P（x，y）和P（x，y）允许以下表示，对于ε>足够小的0:P（x，y）：=Z{r:γ（x，r）>y}νε（x，r）dr，P（x，y）：=Dε（x，y）+Jε（x，y），其中Dε（x，y）=bε（x）”-νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）+Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr#+σ（x）- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）+Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- 2.γ-1（x，y）+γ-1（x，y）+bε（x+y）- σ（x+y）σ（x+y）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）-σ（x+y）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）+ νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）,Jε（x，y）=ZZ∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x+γ（x，r），r）dr-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr+γ（x，r）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）drνε（x，r）dr+ZZx+y′γ（x+y，r）νεx、 γ-1（x，r）~γ-1（x，r）／ε（r，r）dr- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）γ（x+y，r）′νε（x+y，r）dr+Zνε（x，r）Z∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x，r）drdrdr-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）Zνε（～γ（x，r），r）drdrdr-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）drZνε（x，r）dr.备注6.2.1。膨胀（6.2）确实不依赖于h，这是预期的，因为X的最小生成元（1.1）只依赖于（b，σ，γ，ν）。显然，系数与ε无关，即使给定的表示涉及ε。特别要注意的是，由于γ（x，0）=0，对于足够小的ε>0，P（x，y）=R{R：γ（x，R）>y}ν（x，R）dr.2。前导项中没有漂移和差异，这可以解释为过程在短时间内可能的“大”移动主要是由于“大”跳跃。这种现象也出现在[10]的扩展中。如果把ν（x，r）解释为驱动x的底层标记点过程的标记J的概率密度，那么P（x，y）=P[γ（x，J）>y]。