依赖于状态的局部跳扩散模型的小时间展开

当ν（x，r）=h（r）时，验证上述展开式降低为[10]的展开式是乏味但不难的，在这种情况下，跳跃强度不取决于过程的状态{Xt}t>0.4。当γ（x，r）=r和ε∈ （0，1）足够小时，膨胀减小到零∞yν（x，r）dr+tbε（x）ν（x，y）+Z∞Yν（x，r）dr+σ（x）- ν（x，y）+Z∞Yν（x，r）dr+bε（x+y）- σ（x+y）σ（x+y）ν（x，y）-σ（x+y）ν（x，y）+ZZ∞Y-rν（x+r，r）dr-Z∞yν（x，r）dr- Rν（x，y）+Z∞Yν（x，r）drνε（x，r）dr+Z败走恶犬-rνε（x，r）′νε（x+r，r）dr- νε（x，y）r′νε（x+y，r）dr+Zνε（x，r）Z∞Y-rνε（x，r）drdrdr-Z∞yν（x，r）Zνε（x+r，r）drdr-Z∞yν（x，r）drZνε（x，r）dr+ o（t）。特别地，假设b和σ是常数。然后，回想一下bε=b-R | R | 61rν（x，R）φε（R）dr，正“漂移”b的影响是增加大于y bytb的“大”移动的概率2ν（x，y）+Z∞Yxν（x，r）dr（1+o（1））。请注意，如果没有与状态相关的跳跃强度，则缺少上面括号内的第二项。类似地，非零常数波动率σ将改变大于y bytσ的“大”波动的概率-yν（x，y）+Z∞Yxν（x，r）dr（1+o（1）），在短时间内。同样，括号内的第二项是依赖于状态的强度的影响。对于一般情况下的b，净效应取决于初始点和终点x和x+y的平均漂移（b（x）+b（x+y））/2，这也是直观的。

一般函数σ对大于y的大正移动概率的净影响取决于函数∧（x，y）：=-Yν（x，y）σ（x）+σ（x+y）+σ（x）Z∞Y7 OTM看涨期权价格的小时间二阶展开式在这一节中，我们推导出了短期内的二阶展开式，适用于到期日为t，行使日为K的非分割支付股票上的OTM欧洲看涨期权的价格，其风险中性价格过程由t=SeX（0）t，t>0，其中{X（0）t}t>0的过程由（2.1）给出，初始条件为X=0。为了简单起见，在本节的其余部分中，我们省略了X（0）中的上标。正如引言中所解释的，我们将考虑与股票相关的股票度量（即，通过将股票作为num’eraire获得的鞅度量）来评估OTM期权的溢价。具体地说，假设k:=log（k/S）是该看涨期权的所谓log moneymes，并且通常假设无风险利率r为0。然后，该期权的价格可以写为[（St- K） +]=E[（St）- K） 1St>K]=SP#[Xt>K]- SekP[Xt>k]，（7.1），其中P#是一个概率度量，局部等价于P，定义为P#[B]：=E[eXtB]对于任何可测量集B。下文中，E#表示相应的期望。对于P#要得到很好的定义，{St/S}t>0必须是一个F-鞅，我们对其施加以下漂移限制：（7.2）b（x）+σ（x）+Zeγ（x，r）- 1.- 1 | r | 61γ（x，r）ν（x，r）dr=0。（7.2）中的积分将在第2节中的条件（S3-i）和（S1）以及条件Z|r|>1eγ（x，r）ν（x，r）dr<∞.{Xt}t>0是（7.2）下的F-鞅，这是它^o公式的结果。（7.1）第二项出现概率的二阶展开式在第2节中处理。接下来，我们寻求t中尾部概率P#[Xt>k]的二阶展开式。

为此，我们施加以下条件：（S5）假设（S4）中引入的函数g是这样的：rr>1ecrg（r）dr<∞, 其中c由c定义：=supx，r|γ（x，r）|<∞.我们的第一项任务是确定P#下{Xt}t>0过程的最小生成器。为此，我们计算期望E#[q（Xt）]=EeXtq（Xt）对于任意函数q∈ Cb（R）。设f（x）=exq（x）。然后，应用It^o公式（参见[1]定理4.4.7），f（Xt）=Mt+At，其中Mt=q（0）+ZteXsq（Xs）+q（Xs）σ（Xs）dWs+Z[0，t）×EeXs-heγ（Xs-,r） q（Xs）-+ γ（Xs）-, r） )- q（Xs）-)iθ（Xs）-,r、 u）=1μp（ds，dr，du），At=ZteXsq（Xs）+q（Xs）b（Xs）ds+ZteXsq（Xs）+2q（Xs）+q（Xs）σ（Xs）ds+ZteXsZeγ（Xs，r）q（Xs+γ（Xs，r））- q（Xs）- 1 | r | 61γ（Xs，r）q（Xs）+q（Xs）ν（Xs，r）drds。因此，E#[q（Xt）]=q（0）+中兴通讯#hL#q（Xs）id，其中l#q（x）=b（x）q（x）+q（x）+σ（x）q（x）+2q（x）+q（x）+Zheγ（x，r）q（x+γ（x，r））- q（x）- 1 | r | 61γ（x，r）[q（x）+q（x）]iν（x，r）dr.将上述公式与Dynkin公式（3.7）相比较，我们可以确定L#是P#下{Xt}t>0的整数发生器。利用鞅条件（7.2），我们可以进一步写出L#asL#q（x）=b#（x）q（x）+σ（x）q（x）+Zq（x+γ（x，r））- q（x）- 1 | r | 61γ（x，r）q（x）ν#（x，r）dr，（7.3）式中ν#（x，r）：=eγ（x，r）ν（x，r），b#（x）：=b（x）+σ（x）+Zeγ（x，r）- 1.|r|61γ（x，r）ν（x，r）dr.（7.4）注意，在第2节中的条件（S3-i）和（S1）下，（7.4）中出现的积分是明确的，而且，不难看出b#属于cb，可以写成b#（x）=σ（x）-Zeγ（x，r）- 1.- eγ（x，r）|r | 61γ（x，r）ν（x，r）dr，（7.5）根据（7.2）。为了得出看涨期权价格的二阶展开式，仍需证明测量值满足条件（S1）和（S4）。这是通过以下结果得出的，其证明见附录A.5：推论7.1。

在条件（S1）-（S5）下，对于任何y>0，我们有p#[Xt>y]=tP#（0，y）+tP#（0，y）+o（t），作为t→ 0，式中，P#和P#作为定理6.1给出，但分别用（7.4）中定义的v#和b替换v和b。最后，使用本节开头介绍的欧式看涨期权的定价公式，OTM欧式看涨期权的价格在短期到期t内具有以下扩展，即k>0:E圣- 瑞典克朗+= SP#[Xt>k]- SekP[Xt>k]=tSP#（0，k）- ekP（0，k）+tSP#（0，k）- ekP（0，k）+ oT.（7.6）公式（7.6）扩展了[10]中给出的非状态依赖跳跃强度过程（即，当ν（x，r）=h（r））的期权价格的一阶展开式。备注7.2.1。根据公式z{r:γ（0，r）>k}eγ（0，r）ν（0，r）dr，前导项仅由跳跃分量确定，这并不奇怪- ekZ{r:γ（0，r）>k}ν（0，r）dr！=tSZeγ（0，r）- 埃克+特别是，如果C（t，K）：=E（St- K） +表示到期时间为t和strikeK且γ（x，r）=r（7.6）-（7.7）表示，对于κ：=log（K/S）>0，C（t，K）K≈ te-κν(0, κ) <==> ν(0, κ) ≈teκC（t，K）K因此，调用溢价K的曲率→ C（t，K）由跳跃强度ν（0，κ）决定。将注释6.2-4中给出的展开式代入（7.6）并使用（7.2）和（7.4），我们注意到，当γ（x，r）=r时，非零常数波动率σ（x）的影响≡ OTM看涨期权价格中的σekν（0，k）+Z∞K+ekν（0，r）dr+Z∞克尔- 埃克ν（0，r）dr（1+o（1）），t→ 0，这扩展了[11]中关于指数L’evy模型的结果。

由于模型的状态依赖特性，我们再次观察到一个额外的贡献。8尾部概率估计的数值示例在本节中，我们展示了通过小t中的二阶展开对尾部概率P[Xt>y]的数值估计与基于跳跃增强Euler-Maruyama方案模拟{Xt}t>0的蒙特卡罗估计（参见[21]）的比较，结合X的小跳跃分量的扩散近似。对于数值结果，我们使用以下参数（8.1）b（X）=sinx，σ（X）=+sinx，γ（X，r）=r，h（r）=r|-1.-α（α=1.01），ν（x，r）=2πtan-1（x）+|r|-1.-α=：c（x）h（r），满足第2节中的条件（S1）-（S4）。为了简单起见，在计算展开式（6.2）中的系数P（x，y）和P（x，y）时，我们设置φε（r）=1{r:|r |>ε}。这是有效的，因为P（x，y）和P（x，y）不依赖于φε，因此，我们可以考虑一系列光滑截断函数φε，n，收敛于φε（r）=1{r:|r |>ε，如n→ ∞.8.1尾部概率的二阶近似利用上述参数（8.1）和x=0，我们可以明确计算Remark6中所述的展开式。2-4，式中∧γ（0，r）=γ（0，r）=r，γ-1（0，y）=γ-1（0，y）=y，νε（0，γ）-1（0，y））=hε（y），γ（0，y）=γ-1（0，y）=我jγ（0，y）=我jγ-1（0，y）=0（i+j=2），γ（0，y）=γ-1（0，y）=~γ-1（0，y）=1，νε（～γ（0，r），r）=c（r）hε（r），νε(0, γ-1（0，y））=hε（y）。那么，P（0，y）=Z∞yhε（r）dr，Dε（0，y）=-hε（y）+hε（y）[bε（y）- σ（y）σ（y）]-σ（y）hε（y），Jε（0，y）=Zc（r）Z∞Y-rhε（r）dr-Z∞yhε（r）dr- Rhε（y）+2πZ∞yhε（r）dr\'hε（r）dr+Z败走恶犬-rc（r）hε（r）dr- c（y）hε（y）r\'hε（r）dr+Zhε（r）Z∞Y-rhε（r）drdr-λεZ∞yhε（r）c（r）dr-λεZ∞yhε（r）dr.8.2尾部概率的蒙特卡罗估计在续集中，我们提出了一种数值方法来模拟SDE（2.1）中定义的过程X:=X（X）。

这是基于过程中“小跳跃”部分的扩散型近似，以及“大跳跃”部分的ajump增强Euler Maruyama方案（参见[21]）。为了介绍本文的主要思想，让我们首先写出（1.1）中定义的X的最小生成元L，asLf（X）=^b（X）f（X）+σ（X）f（X）+Zhf（X+γ（X，r））- f（x）- γ（x，r）f（x）1{|γ（x，r）|61}iν（x，r）1{|γ（x，r）|>ε}dr+Zhf（x+γ（x，r））- f（x）- f（x）γ（x，r）iν（x，r）1{|γ（x，r）| 6ε}dr，（8.2）对于任何f∈ Cb（R）和ε∈ （0，1），其中^b（x）：=b（x）-Rγ（x，R）[1{| R | 61}- 1{|γ（x，r）| 61}]ν（x，r）dr.注意，作为ε→ （8.2）中的项可以近似为f（x）Zγ（x，r）ν（x，r）1{|γ（x，r）| 6ε}dr=：f（x）^σε（x）。因此，对于εsmall，生成器L“接近”Cb（R）上的运算符＠Lε，定义为（8.3）＠Lεf（x）：=^b（x）f（x）+＠σε（x）f（x）+Zhf（x+z）- f（x）- zf（x）1{z | 61}ieKε（x，dz），其中∑ε（x）：=σ（x）+^σε（x），eKε（x，A）：=ZA（γ（x，r））ν（x，r）1{γ（x，r）|>εdr.算子Lε是马尔可夫过程{Xt（εx，x）}t>0的有限跳跃活动的微元发生器。事实上，如备注7.2所述，条件（S3-i）意味着存在ε>0，仅取决于ε而不取决于x，因此{r:|γ（x，r）|>ε} {r：| r |>ε}，对于所有x∈ R

因此，{eXεt}t>0可以定义为SDE的解：eXεt=x+Zt＠bε（eXεv-)dv+Zt∑εeXεv-dfWv+eNεtXi=1γεeXετ-i、 额济市θeXετ-i、 eJi，eUi,（8.4）式中bε（x）：=b（x）-Rγ（x，R）[1{| R | 61}- 3.r）dr，γ（x，r）r：：：=γ（x，r）r：：=γ（x，r）x，r）r（x，r）γ（x，r）γ（x，r）1（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（r）γ（r）r）1（x，r）1（x，r），r）1）1（x，r）1（x，r）γ（x，r）1）1）1（x，r）γ（x，r）γ（r）1（r）1）γ（x，r）γ（r）1（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（r）r）r）r）r）1，（r）1）r）1，（r）r）r）1，（r）1）γ（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（r）1）|r |>ε}/λε和{eUi}i>1是来自标准均匀分布的随机样本。下面的结果（其证明被推迟到附录A.6中）证明{Xt}t>0可以通过{eXεt}t>0在法律上渐近逼近，如ε→ 引理8.1。在第2节的条件（S2）-（S4）下，{eXεt}t>0D-→ {Xt}t>0.8.3实现和数值结果通过引理8.1，我们可以通过模拟（8.4）中定义的过程{eXt}t>0来近似{Xt}t>0。由于{Nεt}t>0是一个强度为λε的泊松过程，（8.4）的到达间隔跳变时间具有独立的指数分布，平均值为1/λε。然后，我们通过设置τ=0，τk=τk来生成跳跃时间{τ，τ，··，τm}-1+λεek，其中m:=max{k:τk6 t}和{ek}k>0是参数为1的指数分布的随机样本。此外，我们使用逆变换采样方法来获得跳跃{eJi}mi=1的样本。最后，我们在跳跃增广时间步长{tk}n+mk=1:={sj}nj=0上构造{eXtk}n+mk=1∪ {τi}mi=1，sj=jtn，n∈ N+.该算法类似于[21]中的算法，但在每个跳跃时间τi处有一个额外的细化条件。图8.1-图8.3显示了由一阶和二阶展开以及蒙特卡罗近似估计的尾部概率P[Xt>y]，ε=0.1、0.01、0.001。我们发现二阶展开确实比一阶展开更好。

我们还观察到，作为ε→ 0，二阶展开式接近蒙特卡罗近似，此外，后一阶展开式显示了不同ε的微小变化，这在某种意义上证明了X的小跳跃分量的离散近似。图8.1：ε=0.1时P[Xt>y]的展开式和蒙特卡罗近似。图8.2：ε=0.01时P[Xt>y]的展开式和蒙特卡罗近似。图8.3：ε=0.001时P[Xt>y]的展开式和蒙特卡罗近似。证据。1命题4.1预测：自limw以来，第一个断言成立→0±ψ（w）=∞ 还有limw→±∞ψ-1（x，w）=0，因此，limw→0±δ（x，w）=γx、 利姆→0±ψ-1（x，ψ（w））= γ（x，0）=0。这表明函数δ可以在R×上连续扩展(-ε、 ε）通过定义δ（x，0）：=0。现在，我们继续展示（4.8）中关于任何w的前两个断言∈ (0, ε). 我们可以类似地展示w的情况∈ (-ε, 0).自始至终，我们使用符号F（x，w）=ψ-1（x，ψ（w）），回想一下δ（x，w）=γ（x，F（x，w））。为了将来的参考，让我们也注意到∈ Dε（A.1）|F（x，w）|≤ |w |和φε（w）6φε（F（x，w）），因为∞w′φε（r）h（r）dr>Z∞w′φε（r）ν（x，r）dr（w>0），Zw-∞φε（r）h（r）dr>Zw-∞φε（r）ν（x，r）dr（w<0），选择函数φε（w）随着w的增加而减小。我们开始为w证明（4.8-i）∈ (0, ε). 为此，请注意wδ（x，w）=(γ） （x，F（x，w））wF（x，w）和条件（S3-i），可以证明|wF（x，w）|是有界的。根据式（4.4）中的定义，并称之为ν（x，w）=ν（x，w）h（w）和h（w）=g（w）|w|-α-1.wF（x，w）=ψ（w）(？（x，F（x，w））=g（w）？（x，F（x，w））g（F（x，w））F（x，w）wα+1′φε（w）′φε（F（x，w）），（A.2）对于任何w∈ (0, ε). 注意，由于（A.1）和条件（S1 ii）和（S4），对于足够小的ε>0，对于任何0<w<ε，infx′ν（x，F（x，w））>η和infxg（F（x，w））>η。

使用后一种方法和（A.1），我们得出以下结论：sup0<w<ε，x∈R|wF（x，w）|<∞,如上所述，这意味着（4.8-i）。我们继续展示（4.8-ii），对于i=0，1，2。i=0的情况由（4.8-i）的平均值定理和δ（x，0）=0的事实得出。对于i=1，请注意xδ（x，w）=(γ） （x，F（x，w））+(γ） （x，F（x，w））xF（x，w）。根据条件（S3-i）和（A.1）|(γ） （x，F（x，w））|≤苏普兹，r|γ（z，r）||F（x，w）|≤ K | w |，对于某些常数K。同样地，由于supz，r|γ（z，r）|<∞, 必须证明这一点|xF（x，w）/w |是有界的。为此，请注意（A.3）xF（x，w）=-(ψ）（x，F（x，w））(ψ（x，F（x，w））=F（x，w）α+1R∞F（x，w）ν（x，r）g（r）r-α-1′φε（r）dr′ν（x，F（x，w））g（F（x，w））’φε（F（x，w））。自从在原点的一个小邻域中，对于r，v（x，r）和g（r）是有界的，对于某些常数K，K<∞ 任何0<w<ε，xF（x，w）w≤ KF（x，w）α+1R∞F（x，w）r-α-1′φε（r）drw′ν（x，F（x，w））g（F（x，w））’φε（F（x，w））≤ KF（x，w）α+1′φε（F（x，w））F（x，w）-α′ν（x，F（x，w））g（F（x，w））φε（F（x，w））w，可以使用与（A.2）中相同的参数来证明|xF（x，w）/w |在R×（0，ε）上有界，因此得出（4.8-i）对于i=1的有效性结论。为了将来参考，请注意，前面的论证也表明|xF（x，w）/F（x，w）|在R×（0，ε）上有界。对于i=2，请注意δ（x，w）可分解为灰分(γ） （x，r）+2(γ） （x，r）xF（x，w）+(γ） （x，r）(xF（x，w））+(γ） （x，r）xF（x，w）ir=F（x，w）。前三项由k | w |平凡地限定，对于某些常数k，由条件（S3-i），（A.1）和|xF（x，w）/w |。这有待证明|xF（x，w）/w |是有界的。

从直接的区别，xF（x，w）=-(ψ）（x，F（x，w））(ψ）（x，F（x，w））- 2(ψ）（x，F（x，w））xF（x，w）(ψ）（x，F（x，w））+(ψ）（x，F（x，w））(ψ）（x，F（x，w））xF（x，w）(ψ）（x，F（x，w））.我们分别在D、D、D上方的右侧表示这三个术语中的每一个，并分别对它们进行分析。对于第一项，我们有：D（x，w）w=F（x，w）α+1R∞F（x，w）(ν（x，r）g（r）r-α-1¨φε（r）dr¨ν（x，F（x，w））g（F（x，w））¨φε（F（x，w）），可以通过与用于方程式（A.3）之后的xF（x，w）。对于第二项，D（x，w）w=2(？（x，F（x，w））？（x，F（x，w））xF（x，w）w,从那以后，它也明显地受到了限制|xF（x，w）/w |是有界的。对于第三个任期，D（x，w）w=(xF（x，w））wF（x，w）α+1r（‘ν（x，r）g（r）’φε（r）r-α-1)r=F（x，w）¨ν（x，F（x，w））g（F（x，w））¨φε（F（x，w））。上述与r有关的衍生工具产生了以下简化条款：(xF（x，w））wF（x，w）(？（x，F（x，w））？（x，F（x，w））(xF（x，w））wF（x，w）F（x，w）g（F（x，w））g（F（x，w））(xF（x，w））w′φε（F（x，w））’φε（F（x，w）），-(α + 1)xF（x，w）w.根据条件（S1 ii）和（S4）以及|xF（x，w）/w |和|xF（x，w）/F（x，w）|是有界的，如上所述。最后，为了显示（4.8-iii），请注意，存在一个足够小的ε>0，使得对于任何|w |<ε，|1+xδ（x，w）|=|1+γ（x，F（x，w））+γ（x，F（x，w））xF（x，w）|>η，对于某些η>0，由于第2节中的条件（S3）以及|xF（x，w）|<k | w |，对于某些常数k。A.2引理5.1极限：我们想要得到函数h（t，z，q）：=Eh′ν（z，J）P[Yt（ε，, v） >q]| v=z+γ（z，J）i，（A.4），其中Y（ε，, x） 是（4.2）的解，其分布规律与xθ（ε）相同，, x） 。