依赖于状态的局部跳扩散模型的小时间展开

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英文标题：
《Small-time expansions for state-dependent local jump-diffusion models
  with infinite jump activity》
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作者：
Jos\\\'e E. Figueroa-L\\\'opez and Yankeng Luo
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this article, we consider a Markov process X, starting from x and solving a stochastic differential equation, which is driven by a Brownian motion and an independent pure jump component exhibiting state-dependent jump intensity and infinite jump activity. A second order expansion is derived for the tail probability P[X(t)>x+y] in small time t, for y>0. As an application of this expansion and a suitable change of the underlying probability measure, a second order expansion, near expiration, for out-of-the-money European call option prices is obtained when the underlying stock price is modeled as the exponential of the jump-diffusion process X under the risk-neutral probability measure.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们考虑一个马尔可夫过程X，从X开始，求解一个随机微分方程，它由一个布朗运动和一个独立的纯跳跃分量驱动，表现出与状态相关的跳跃强度和无限的跳跃活动。在小时间t内，当y>0时，导出了尾概率P[X（t）>X+y]的二阶展开式。作为该展开式的应用和基础概率测度的适当变化，当基础股票价格在风险中性概率测度下被建模为跳跃扩散过程X的指数时，得到了货币外欧洲看涨期权价格在到期时的二阶展开式。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Small-time_expansions_for_state-dependent_local_jump-diffusion_models_with_infin.pdf (759.79 KB)

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关键词：扩散模型 Differential Mathematical Quantitative Applications

具有有限跳变活动的依赖于状态的局部跳变扩散模型的小时间展开*Yankeng Luo+2018年10月15日摘要在本文中，我们考虑一个马尔可夫过程{Xt}t>0，从x开始∈ R和求解一个随机微分方程，该方程由布朗运动和一个独立的纯跳跃分量驱动，表现出依赖于状态的跳跃强度和有限的跳跃活动。在小时间t内，当y>0时，导出了尾概率P[Xt>x+y]的二阶展开式。作为该展开式的一个应用，并适当改变基础概率测度，当基础股票价格在风险中性概率测度下被建模为跳跃扩散过程{Xt}t>0的指数时，得到了货币外欧洲看涨期权价格的二阶展开式，即将到期。关键词和短语：短时渐近性；局部跳变扩散马尔可夫模型；带跳跃的随机微分方程；期权定价。1引言在这项工作中，我们考虑了一个马尔可夫过程X:={Xt}t>0，其形式为（1.1）Lf（X）=b（X）f（X）+σ（X）f（X）+ZR的极小生成元f（x+γ（x，r））- f（x）- 1{r | 61}γ（x，r）f（x）ν（x，r）dr，其中r:=r\\{0}和b，σ，γ和ν是满足此类过程存在的适当条件的确定性函数（详见下文）。广义上，X可以用随机微分方程（SDE）来定义，其形式为：dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+dJt，其中W:={Wt}t≥0是一个维纳过程，J:={Jt}t≥0是一个独立的纯跳跃过程，其跳跃行为由ν和γ决定，如下所示：#{s∈ [t，t+δ]：Xs∈ （a，b）}= E#{s∈ [t，t+δ]：Js∈ （a，b）}= EZt+δtZ{γ（Xs-,r）∈（a，b）}ν（Xs）-, r） drds,(1.2)*圣路易斯华盛顿大学数学系。

美国密苏里州路易斯，邮编63130(figueroa@math.wustl.edu).部分由NSF资助的研究：DMS-1149692.+弗吉尼亚联邦大学数学与应用数学系，弗吉尼亚州里士满23284(yluo@vcu.edu).任何一个t∈ (0, ∞), δ>0和（a，b）∈ R\\{0}。直观地，（1.2）告诉我们，过程“近”时间t的跳跃强度取决于它在t之前的状态，通过函数ν，在这里，如果ν（Xt-, r） 如果是大的（小的），那么我们期望在时间t之后立即出现更高（低）的跳跃强度。在γ（x，r）的特例中≡ r、 （1.2）减少到（1.3）E#{s∈ [t，t+δ]：Xs∈ （a，b）}= EZt+δtZbaν（Xs）-, r） drds,和ν（Xt）-, r） 具有[4]和[7]中定义的随机跳跃强度的通常解释。也就是说，当进程处于状态x时，ν（x，r）测量单位时间内的预期跳跃次数，大小接近r。如上所述的依赖于状态的跳跃行为是一个重要特征，它对其他常用研究的跳跃过程具有更大的建模灵活性。对于一些应用，我们将读者引用到[16]、[12]、[14]、[13]、[8]、[9]、[20]和[24]。发生器（1.1）涵盖了广泛的过程。对于L′evy过程，b和σ是常数，γ（x，r）=r，而ν（x，r）=h（r），对于L′evy密度h:r\\{0}→ [0, ∞) （即R（x）∧ 1） h（x）dx<∞). 当我们简单地得到ν（x，r）=h（r）时，我们恢复了[10]中研究的（局部）跳跃扩散模型。在这种情况下，X可以构造为（1.4）Xt=X+Ztb（Xs）ds+Ztσ（Xs）dWs+Xs∈（0，t]：|祖|≥1γ（Xs）-, Zs）+cXs∈（0，t）：0<|祖|≤1γ（Xs）-, Zs），其中Z是具有L'evy密度h的L'evy过程，cx表示termstherein的补偿泊松和。文献[24]研究了ν（x，r）=λ（x）p（r）且rp（r）dr=1的情况。

更一般地说，如果λ（x）：=Rν（x，R）dr<∞ 在局部有界的情况下，我们可以构造过程X asXt=X+Zt′b（Xs）ds+Ztσ（Xs）dWs+Xτi≤tγ（Xτ）-i、 ξi），式中b（x）=b（x）-R{R|R|61}γ（x，R）ν（x，R）dr，0<τ<τ<。是R+上的一个随机性{λ（Xs）的点过程-)}s≥0和，有条件地在Xτ上-i=z，ξi为密度ν（z，·）/λ（z），与任何其他过程无关。与刚才描述的具有有限跳变活动的过程（即在任何限定时间段内有无数跳变）不同，有限跳变活动（IJA）过程不仅从数学角度而且从实践角度都很重要。这在金融应用中尤其如此，因为基于高频观测的多个统计测试支持后一种功能。在这项工作中，我们研究了一类ijap过程（即Rν（x，R）dr=∞) 这是由aL’evy过程驱动的局部跳跃扩散过程变薄，具有稳定的小跳跃行为。应用上述过程类的一个重要障碍来自lackof可追踪的跃迁分布。在这方面，一系列文献集中于过程计算模拟的数值方法（例如，参见[13]和[21]以及其中的参考文献），而这些方法又可用于通过蒙特卡罗方法估计不同的分布特征。文献的另一个流已经发展了在不同渐近状态下这些分布性质的近似。由于其广泛的应用，例如统计估计和模拟方法，短时近似具有特殊的相关性。FigueroaL’opez等人[10]进一步发展了后一种方法，在很短的时间内，对过程的尾部概率（1.4）进行了二阶展开。

不幸的是，对于依赖于状态的跳跃扩散的分布性质，几乎没有涉及短时近似方法的工作。[24]是一个例外，其中在特殊情况下，在ν（x，r）=λ（x）p（r）且rp（r）dr=1的情况下，发展了过渡密度的短时近似方案。在本文中，我们推广了[10]中的结果，在很短的时间t内发展了尾概率P（Xt）的二阶展开式≥ 具有生成器（1.1）和初始值x的依赖于状态的跳跃扩散过程x的x+y）（y>0）∈ R.考虑最小生成概率（1.1）和尾部概率的主要动机之一是，当基础股票价格被建模为风险中性概率测度下依赖于状态的跳跃扩散指数时，它们在评估无现金（OTM）欧洲看涨期权价格中的作用：（1.5）t=Eh提取- eκ+i、 其中X的初始值为0，对数货币度κ为κ>0。评估（1.5）的一种有吸引力的方法是考虑所谓的份额度量P#（参见[5]），定义为dP#=eXtdP。在这种情况下，两个尾概率的∏tin项的以下简洁表示成立：（1.6）∏t=E提取- eκXt≥κ= EeXtXt≥κ- eκP[Xt≥ κ] =P#[Xt≥ κ] - eκP[Xt≥ κ] .当X是一个L’evy过程时，事实证明，P#下的X定律同样是L’evy，尽管有不同的L’evy，并且尾部概率的相同小时间展开可以用来处理（1.6）中的两个项，并获得期权价格∏t的展开式（参见[11]）。对于具有生成元（1.1）的一般过程X，P#下的X定律仍然是具有相同生成元形式（1.1）的马尔可夫定律，但用ν#（X，r）替换了ν和b:=eγ（X，r）ν（X，r），b#（X）=σ（X）-Zeγ（x，r）- 1.- eγ（x，r）|r | 61γ（x，r）ν（x，r）dr，分别为1.7。

请注意，特别是，即使X的跳跃动力学不是状态依赖的（即，ν（X，r）=ν（r）），X在P#下仍然是状态依赖的（即，ν#将依赖于r）。这促使我们立即研究统一框架（1.1），如上所述，统一框架本身就很重要。我们的主要结果明确地量化了跳跃状态依赖在小时间背景下对尾部概率和OTM看涨期权溢价的前导和二阶项的影响。因此，例如，当γ（x，r）=r（在这种情况下，当过程状态为x时，ν（x，r）真的测量大小接近r的跳跃强度），正常数漂移b的影响是将时间t内大于y的大移动概率改变（1.8）tb2ν（x，y）+Z∞Yν（x，r）xdr（1+o（1）），（t→ 0).类似地，非零常数波动率σ将改变大于y的大幅度波动的概率（1.9）tσ-ν（x，y）y+Z∞Yν（x，r）xdr（1+o（1）），（t→ 0）和OTM看涨期权溢价（1.5）乘以（1.10）tσekν（0，k）+Z∞K+ekν（x，r）十、x=0dr+Z∞克尔- 埃克ν（x，r）十、x=0dr（1+o（1）），（t→ 0），这扩展了[11]中关于指数L’evy模型的结果。我们获得X的尾部概率展开式的方法与[10]基于过程X的小跳跃分解的方法相同，类似于[18]引入的方法。这种方法的一个重要组成部分是表明小跳跃分量是一种异态性，这在所考虑的模型中表现出一些有趣的微妙之处。更具体地说，为了在新的状态相关跳跃结构下获得后一个性质，我们证明了状态相关小跳跃分量与具有充分正则系数的正则（即无状态）跳跃微分具有相同的规律（详情见第4节）。

这项工作的另一个新颖之处是，基于刚才提到的微分同态性质、时间可逆性，以及无标记Dynkin公式的适当应用（详情见引理5.1），对所谓的一跳过程（该过程有条件地在特定时间有一个大跳）的尾部概率进行了新的、简单得多的估计。论文的结构如下。在第2节中，我们正式定义了模型以及整篇文章中的标准假设。第3节介绍了一些必要的符号和概率工具。第4节和第5节介绍了获得主要结果的关键因素。第6节给出了尾部概率的二阶展开式，第7节给出了其在期权定价中的应用。最后，第8节给出了一个数值例子来说明展开式的性能。为此，我们还为依赖于状态的局部跳跃扩散模型开发了一种模拟方法，该模型基于过程中小跳跃分量的适当扩散近似。最后，所有的证明都被推迟到几个附录部分。一般表示法：在整个欧几里德域E中，\'Ckb（E）（分别，Ckb（E））表示第k次可微分（分别，有界和第k次可微分）函数f:E→ n=1阶连续有界偏导数的R，k、 特别是Ckb（E）“Ckb（E）。而且土地n分别表示多元函数关于第i个变量的导数和n阶偏导数算子。2设置和假设在本节中，我们给出了感兴趣的过程的结构，并建立了所需的假设。正如引言中所提到的，我们想考虑一个具有极小生成器（1.1）的有限跳跃活动马尔可夫过程X。

我们使用细化技术基于合适的L’evy过程Z的跳跃构造X的跳跃结构。为此，我们施加了以下假设：（S1）（i）存在一个L’evy密度h支配跳跃强度函数ν：R×R→ (0, ∞); i、 e.，ν（x，r）6h（r），对于所有（x，r）∈ R×R；（ii）我们还假设|（x，r）：=ν（x，r）/h（r）和h是Cb（r×）[, ]c） 和Cb([, ]c） ，分别适用于任何 > 0，此外，lim infr→0±infx∈R′ν（x，R）>0，lim supr→0±supx∈R | Rν（x，r）|<∞, 林苏普→0±supx∈R|i′ν（x，r）|<∞, i=0,1,2。前一个条件中第一个要求的一个必要且充分的条件是，\'h（r）：=supxν（x，r）是一个L′evy密度。在这种情况下，我们可以取h=\'h；然而，在应用中，可能更方便地选择另一个h，其关联L’evy过程可以更容易地模拟。其中的第二个条件提出了一些规则性要求。请注意，在尾部概率和OTM看涨期权溢价的展开式中确实出现了ν的导数（参见，例如，（1.8）-（1.10）），这使我们相信，需要对ν进行一些平滑性质。我们现在准备给出X的构造。自始至终，我们考虑一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 F:={Ft}t>0，P）配有标准布朗运动{Wt}t>0和R+×E上的独立泊松随机测度P（dt，dr，du）：=R+×R×（0，1）和平均测度dth（R）dr du。p的补偿泊松测度用‘p（ds，dr，du）：=p（ds，dr，du）- ds h（r）杜博士。

然后，在条件（S1-i）下，我们对过程X（X）有如下构造：={X（X）t}t>0:（2.1）X（X）t=X+Ztb（X（X）s）ds+Ztσ（X（X）s）dWs+ZtZE | r |>1γ（X（X）s）-, r） θ（X（X）s-, r、 u）p（ds，dr，du）+ZtZE | r | 61γ（X（X）s-, r） θ（X（X）s-, r、 u）p（ds，dr，du），其中θ：r×r×（0，1）是一个细化函数，其形式为（2.2）θ（x，r，u）：=1nu<ν（x，r）h（r）o。当（2.1）的解的存在唯一性时，解过程x（x）将是带有极小生成元（1.1）的马尔科夫函数。关于b，σ和γ的下列条件保证了（2.1）的适定性（如下面引理5.2所证明的）和过程的其他必要特征：（S2）（i）函数b:R→ R和σ：R→ R属于Cb（R）；（ii）存在一个常数η>0，使得σ（x）>η对于所有x∈ R（S3）函数γ（x，r）：r×r→ 满足以下条件：（i）它属于‘Cb（R×R），且γ（x，0）=0表示所有x∈ R（ii）对于所有x，r∈ R|对于某些常数η>0，γ（x，r）|>η；（iii）对于所有x，r∈ R、 |1+对于某些常数η>0，γ（x，r）|>η；备注2.1。关于上述条件，有必要说几句话：1。条件（S2 ii）是[10]中规定的标准非简并条件。条件（S3-i）意味着，对于每一个ε>0且i=0，3, |iγ（x，r）| 6cε| r |对于任何| r | 6ε和一些常数Cε<∞.3.条件（S3 ii）意味着映射R7→ γ（x，r）与值域是严格单调的(-∞, ∞)因此，允许一个逆，用γ表示-1（x，r）以后。在不丧失普遍性的情况下，我们假设R7→ γ（x，r）是严格单调递增的。4.条件（S3 iii）对映射x至关重要→ X（X）t是一个差同态（见下面的引理5.2）。值得指出的是，Figueroa Lopez等人[10]对其SDE的系数施加了更强的规律性。

然而，我们将看到，在本手稿中施加的更温和的规则下，其中的大多数结果仍然有效。备注2.2。如引言中所述，在ν（x，r）=h（r）的情况下，对于L′evy密度h，我们恢复了[10]中研究的模型（1.4）。尽管不明显，但在条件（S3 ii）下，过程（2.1）的规律实际上相当于形式（1.4）的过程的规律，具有合适的霍森系数函数γ和b（更多细节见下面的备注4.3）。然而，由此产生的γ相对难以处理，并且不满足[10]中直接应用二阶展开式的正则条件。此外，直接考虑该过程还有两个重要原因（2.1）。首先，该过程（2.1）允许通过参数ν（x，r）直接建模和更清晰地解释跳跃强度，该参数不知何故隐藏在模型（1.4）中的函数γ内。第二，正如引言中已经提到的，为了开发货币期权价格的小时间扩展，需要处理具有最通用生成器（1.1）的流程，即使原始流程X的形式为（1.4）。我们的最终假设可能不那么直观。正如引言中提到的，在我们获得X的尾部概率的小时间扩展的方法中有两个关键因素。首先，我们使用过程X的小-大跳跃分解。其次，我们需要小跳跃分量是微分同态。为此，我们使用所得到的与状态相关的小跳跃模型与形式（1.4）的无状态跳跃扩散过程的等价性，这在上述条件（S3 ii）下是可能的，如前面的备注2.2所述。