依赖于状态的局部跳扩散模型的小时间展开

将（A.40）和（A.41）相加，我们得到（A.42）T（x，y）=λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr-λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）drZνε（x，r）dr+λεZνε（x，r）Z∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x，r）drdrdr+o（1）。因此，将（A.35）和（A.42）中的T（x，y）和T（x，y）相加Xθt（ε，{s，s}，X）>X+y= H2,0（x；y）+o（1）与（A.43）H2,0（x；y）=λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr-λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）Zνε（～γ（x，r），r）drdrdr-λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）drZνε（x，r）dr+λεZνε（x，r）Z∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x，r）drdrdr，由于（A.28），PhXθt（ε，x）>x+yNεt=2i=H2,0（x；y）+o（1）。（A.44）将（A.27）及（A.44）代以（6.1），并使用以下事实—-λεt=1- λεt+（λεt）+O（t）as t↓ 我们得到p[Xt>x+y]=tP（x，y）+tP（x，y）+O（t），其中p（x，y）=λεH0,0（x；y）=Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr，P（x，y）=-2λεH0,0（x；y）+λε[H0,1（x；y）+H1,0（x；y）]+λεH2,0（x；y）。一些进一步的简化导致了Theorem声明中P（x，y）和P（x，y）的表达式。A.5推论7.1预防：让我们首先注意，由于条件（S3-i），|γ（x，r）| 6 cr，对于所有x和r，其中c定义为条件（S5）。接下来，定义g#（r）：=g（r），并注意，鉴于条件（S5），h#（r）：=g#（r）|r|-α-1是一个有效的列维密度。此外，g#明显满足条件（S4）的其他要求，而#（x，r）：=ν#（x，r）h#（r）=eγ（x，r）ν（x，r）ecrg（r）|r|-α-1=eγ（x，r）-cr′ν（x，r）可以很容易地看出满足条件（S1）的所有要求。结果就是6.1的结果。A.6引理8.1屋顶。从{Xt}t>0和{eXεt}t>0的半鞅特征（B，C，θ）和（Bε，Cε，θε），分别相对于截断函数r1{r|61}：Bt=Zt^B（Xs）ds，Ct=Ztσ（Xs）ds，θ（dt，dr）K（Xt）-, dr）dt，（A.45）Bεt=Zt^BeXεsds，Cεt=Zt^σεeXεsds，ε（dt，dr）=eKεeXεt-, 博士dt。其中K（x，A）：=RA（γ（x，r））ν（x，r）dr，\'bε（x）。

我们还把bε（x）和（x）作为bε（x）的bε（x）的bε（x）的b（x）的b（x）的b（x）的b（x）的x（x）和（x）的b（x）和（x）的ε（x）的x（x）和（x）的x）作为我们也定义为bε（x）的b（x）的b（x）的b（x）x）的x，dr，dr（x，dr（x，dr）的）的1 \\\\\\124124124124124| | | 124; | | | 124 | 124 \\124 | | | | | 124 | \\显然，对于ε∈ （0,1），\'bε=^b（x）+RK（x，dr）r1{r|r>1}和‘∑ε（x）=σ（x）+RK（x，dr）r，根据^σε的定义。此外，ZeKε（x，dr）g（r）=Zg（γ（x，r））ν（x，r）1{|γ（x，r）|>ε}drε→0-→Zg（γ（x，r））ν（x，r）dr=ZK（x，dr）g（r），对于在原点附近消失的任何有界连续函数g。因此，根据[15，定理IX.4.15]，{eXεt}t>0D-→ {Xt}t>0前提是唯一性假设[15，IX.4.3]成立。根据[15，定理III.2.26]，在[15，IX.4.3]中陈述的唯一性要求相当于SDE定义X的解的弱唯一性。这一事实在引理5.2中建立。因此，我们得出[15，定理IX.4.15]在引理中声称的收敛结果。参考文献[1]D.Applebaum。列维过程和随机微积分。第二版。剑桥高等数学研究，116。剑桥大学出版社，剑桥，2009年。ISBN:978-0-521-73865-1。[2] I.G.贝切里、F.C.德罗斯特和B.J.M.沃克。具有状态依赖强度的跳跃微分的渐近推断。工作文件，可在http://ssrn.com/abstract=2292486[3] K.比切特勒、J.格雷沃和J.贾科德。《带跳跃过程的Malliavin演算》，Gordon and Break科学出版社，纽约，1987年。x+161页ISBN:2-88124-185-9。[4] P.布勒马德。点过程和队列：鞅动力学，统计学中的斯普林格级数。斯普林伯格，纽约柏林，1981年。十八+354页ISBN:0-387-90536-7。[5] P·卡尔和D·马丹。期权定价的鞍点方法。《计算金融杂志》，第13卷（2009年），第1期，第49-61页。[6] R.康特和P.坦科夫。具有跳跃过程的金融建模，Chapman&Hall/CRC金融数学系列。

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