依赖于状态的局部跳扩散模型的小时间展开

让我们先用z+γ（z，J）的密度Γ（·；z）来表示（A.4），这是映射r的倒数→ ~γ（z，r）：=z+γ（z，r），以及微分同态Φt的逆：η→ Yt（ε，, η） ：（A.5）H（t，z，q）：=EZeΓ（r；z）’ν（z，Γγ-1（z，r））1{Yt（ε，,r） >q}dr= 简单∞Φ-1t（q）eΓ（r；z）’ν（z，~γ-1（z，r）博士！。设Yt（q）：=Φ-1t（q）并回顾[10]中引理C.1的证明，Yt（q）是SDE的解Yt（η）=η-Ztbε（Yv（η））dv+Ztσ（Yv（η））σ（Yv（η））dv+Ztσ（Yv（η））dWTv+cX0<v≤tδ（Yv）-(η), \'Z*Tv），式中δ（u，ζ）：=\'\'δ（u，-ζ) - u，其中δ（u，ζ）是映射z的倒数→ u:=z+δ（z，ζ）。在上面，{WTt}06t6Tand{Z*Tt}06t6tar是W的时间反转过程*还有勒维过程*t:=RtRru*（ds，dr）（有关时间可逆性的信息，请参见[22，第VI.4节]）。特别是，WT·是一个维纳过程，而`Z*T·是一个独立的L’evy过程，具有相同的定律-Z*（参见[22]中的定理VI.20和VI.21）。接下来，我们以H（t，z，q）=ehz的形式写出（A.5）Yt（q）i、 式中ehz（q）：=R∞qeΓ（r；z）’ν（z，Γγ-1（z，r））dr，并旨在应用Dynkin公式（3.8）来推导：（A.6）H（t，z，q）=EheHzYt（q）i=eHz（q）+t（LεeHz）（q）+tZ（1）- α） Eh（LεeHz）Yαt（q）idα，其中Lε是{Yt（η）}t>0的最小生成元。我们现在开始证明（A.6）和期望的有界条件（5.3）。为此，很容易看出以下两个条件是有效的：（A.7）（i）eHz∈ Cb（R），（ii）Lεf∈ Cb（R），代表f∈ Cb（R）。条件（A.7-i）直接来自条件（S1）和引理3.1。对于（A.7）中的另一个条件，让我们注意（见[10，等式（3.5）]）Lεf（y）：=bε（y）f（y）+σ（y）f（y）+Iεf（y），其中（A.8）Iεf（y）=Z Zf（y+δ（y，r）β）（1）- β） dβδ（y，r）εh(-r） 博士（A.9）和bε（y）：=-bε（y）+σ（y）σ（y）。显然，当f∈ Cb，假设σ，bε∈ Cb，根据条件（S1）、（S2-i）和（S3-i），它是正确的。

如果f∈ Cband（A.10）supu |δ（u，r）|≤ k | r |，r∈ (-ε、 ε），对于某些常数k，由于δ（u，0）=0，因此必须证明∈R、 R∈Dε|rδ（u，r）|<∞, 式中Dε：=(-ε, 0) ∪ (0, ε). 注意rδ（u，r）=-(δ）（u，-r）=(δ） （？（u，-r） ,，-r） 1+(δ） （？（u，-r） ,，-r） ，r∈ Dε，由命题4.1限定在R×Dε上。Iεf（y）的形式微分yIεf（y）=Zf（3）（y+δ（y，r）β）（1）- β)1+(δ）（y，r）βdβδ（y，r）εh(-r） dr（A.11）+2zzf（y+δ（y，r）β）（1）- β） dβδ（y，r）(δ）（y，r）`hε(-r） dr，很明显，要使导数得到很好的定义和有界，f∈ Cb（R）、（A.10）和（A.12）supu|(δ（u，r）|≤ k | r |，r∈ (-ε、 ε），注意(δ（u，r）=(δ）（u，-r）- 1 =(δ） （？（u，-r） ,，-r） 1+(δ） （？（u，-r） ,，-r） ，r∈ Dε，可由命题4.1在r×Dε上的k | r |限定。正式区分（A.11）产生以下术语：yIεf（y）=Zf（4）（y+δ（y，r）β）（1）- β)1 + (δ）（y，r）βdβδ（y，r）εh(-r） dr（A.13）+Zf（3）（y+δ（y，r）β）（1）- β)(δ）（y，r）βdβδ（y，r）εh(-r） dr+4zf（3）（y+δ（y，r）β）（1）- β)1 + (δ）（y，r）βdβδ（y，r）(δ）（y，r）`hε(-r） dr+2Z-Zf（y+δ（y，r）β）（1）- β） dβ(δ）（y，r）εh(-r） dr，+2zf（y+δ（y，r）β）（1）- β） dβδ（y，r）(δ）（y，r）`hε(-r） dr.前面的表达式表明，为了使二阶导数得到很好的定义和有界，必须满足条件（A.10）和（A.12）以及（A.14）supu|(δ（u，r）|≤ k | r |，r∈ (-ε, ε).后一个条件同样来自命题4.1，因为∈ Dε(δ（u，r）=-(δ） （？（u，-r） ,，-r）1 + (δ） （？（u，-r） ,，-r）.进一步的代数表明，（A.6）中的术语sehz（q）和（LεeHz）（q）与（5.2）中给出的表达式H（z；q）和H（z，q）一致。根据（A.7）和导数seh（i）z（q），i=0。

，4，在z和q上都有界，很明显，supz，q |（LεeHz）（q）|<∞ 和supz，q|（LεeHz）（q）|<∞, 这意味着等式（5.3）中的条件。A.3引理5.2证明：在整个证明过程中，我们写出Yxt:=Yt（ε，, z） 。首先，让我们注意到SDE（4.2）满足了[3]中的假设5-9，其中E=(-ε、 ε），G（dr）=φε（r）h（r）dr，η（r）=r，因为明显的ε-ε|η（r）| ph（r）dr<∞, 对于任何p>2，并且，根据定理4.1，两者δ（z，r）r和zδ（z，r）r是有界的。然后，文献[3]中的定理5-10保证了（4.2）的唯一解的存在性。反过来，后者表明SDE（3.3）存在唯一的弱解。使用类似于[1]定理6.2.9中使用的交错技术，可以继续证明（3.1）的唯一弱解的存在，这反过来意味着SDE（2.1）的唯一弱解的存在。得出结论x→ YXT是一个微分同态，让我们来构造解{Yzt}z的族∈Rof SDE（4.2），其形式为[3]中的（5-22），由x的有界邻域U中的初始状态z索引∈ R、 其中HZ=z，Az=bε，Bz=σ，Cz=δ。首先，请注意，SDE（4.2）满足[3，假设5-23]的条件（i）、（ii）和（iv），因为系数bε（y）、σ（y）和δ（y，r）/r是两次可微分的，并且根据假设（S1）-（S3）和命题4.1，它们各自对y的偏导数是有界的。[3，假设5-23]中的假设（iii）和[3，定理5-24]中的（i）-（ii）是微不足道的，因为Az=bε，Bz=σ，Cz=δ是独立于z的确定函数。

因此，根据理论5。24在[3]中，映射Φ：x 7→ 不同的Yxtis及其衍生物，XYX是通过（4.2）的形式微分得到的DE的唯一解：xYxt=1+Zsbε（Yxv）xYxvdv+Ztσ（Yxv）xYxvdW*v+ZsZδ（Yxv）-, r）xYxv-u*（dv，dr），（A.15）注意，（4.2）的系数是确定性函数，而不是随机过程，因此A.B和[3]的（5-25）中的C在上文（A.15）中缺失。特别地，xYxtis由xYxt=exp及物动词-Ztσ（Yxv）dv-ZtZln（1+δ（Yxv）-, r） ）u*（dv，dr）,式中Vt:=Rtbε（Yxv）dv+Rtσ（Yxv）dW*v+RtRδYxv-, Ru*（dv，dr）。根据（4.8），很明显，a.s。，xYxt6=0，对于所有t。因此，映射Φ允许隐函数定理的可微分逆，并且Φ最终是R上的一个微分同构。A.4定理6.1证明：在整个证明过程中，我们只假设ν（x，r）6 h（r）和函数ν（x，r）：=ν（x，r）/h（r）允许对r×r进行扩展，即Cbin x，这比第2节中的技术假设（S1）弱。情况Nεt=0。回想一下，我们用过程定律V（分别是给定事件B的条件定律V）来表示过程定律V（分别是L（V | B）），我们有nXθs（ε，x）o06s6tNεt=0= LnXθs（ε，, x） o06s6t.因此，不等式（3.4）意味着phxθt（ε，x）>x+yNεt=0i6 CtN，对于任何y>0，其中N>0可以通过将ε>0取得足够小而任意大。情况Nεt=1。在跳跃时间的条件下，我们有phxθt（ε，x）>x+yNεt=1i=tZtPhXθt（ε，{s}，x）>x+yids。设J和U分别表示密度函数为hε（r）=hε（r）/λε的随机变量和（0,1）上标准均匀分布的独立随机变量。

然后，对Fs进行条件反射-, 上述积分可以写成：PhXθt（ε，{s}，x）>x+yi=EPhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=^Xs-(ε,,x） +γ（^Xs）-(ε,,x） ，J）θ（^Xs）-(ε,,x） ，J，U）= EU> ν（^Xs）-(ε,,x） ，J）PhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=^Xs-(ε,,十）+ EU<ν（^Xs）-(ε,,x） ，J）PhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=^Xs-(ε,,x） +γ（^Xs）-(ε,,x） ，J）,= E1.- ν^Xs-(ε, , x） ，JPhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=^Xs-(ε,,十）+ Eν^Xs-(ε, , x） ，JPhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=^Xs-(ε,,x） +γ（^Xs）-(ε,,x） ，J）.式中{^Xs（ε），, x） }06s6t是{xθs（ε，, x） }06s6t。我们分别用T（x，y）和T（x，y）表示上面的最后两项。根据ν6h的事实，根据马尔可夫性质，T（T）6ePXθt-s（ε，, z） >x+yz=^Xs-(ε,,十）= P[Xθt（ε，, x） >x+y]，根据（3.4），对于任何y>0和任意大的N>0，可以将其设为O（tN）。另一方面，T（x，y）=EhHT- s、 ^Xs-(ε, , x） ，x+yi、 其中h（t，z，q）=Eν（z，J）PhXθt（ε，, v） >qiv=z+γ（z，J）.利用定理5.1，T（x，y）可以写成（A.16）T（x，y）=EhH^Xs-(ε, , x） )；x+y+ （t）- s） H^Xs-(ε, , x） )；x+yi+O（t），其中H（z；q）和H（z；q）在（5.2）中给出。将H（z；q）写成λ-1εR∞γ-1（z，q）-z） 由引理3.1可知γ-根据（S1）的规律性，H（z；q）是。

然后我们可以将二阶Dynkin公式（3.8）应用于E[H（^Xs）（ε，, x） )；[x+y]得到（A.17）EhH^Xs（ε，, x） )；x+yi=H0,0（x；y）+sH0,1（x；y）+O（s），其中H0,0（x；y）：=H（x；x+y）=λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr，（A.18）H0,1（x；y）：=LεH（x；x+y）=bε（x）H（x；x+y）+σ（x）H（x；x+y）+^H0,1（x；y），（A.19）与^H0,1（x；y）=Z[H（x+γ（x，r）；x+y）- H（x；x+y）- H（x；x+y）γ（x，r）〕νε（x，r）dr.根据H（z；q）的定义：=λ-1εR∞γ-1（z，q）-z） νε（z，r）dr，可以很容易地检查λεH（x；x+y）=-νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）+Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr，（A.20）λεH（x；x+y）=-νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）+Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr（A.21）- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- 2.γ-1（x，y）+γ-1（x，y）λε^H0,1（x；y）=ZZ∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x+γ（x，r），r）dr（A.22）-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr- λεH（x；x+y）γ（x，r）接下来，为了将一阶Dynkin公式（3.7）应用于E[H（^Xs）（ε，, x） )；x+y）]，我们需要证明映射z 7→ H（z；x+y）属于Cb。因为H（z；q）=D（z；q）+I（z；q）和D（·；q）∈ 通过z中v（z，r）的正则性和引理3.1-1，我们只需要证明I（·q）∈ Cb。为此，让我们写出（A.23）I（z；q）=zC（z，βr；q）（1）- β） dβh（r）φε（r）rdr，其中c（z，r；q）：=Zq′γ（q，r）νεz、 γ-1（z，η）~γ-1（z，η）／（η，r）dη- νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）γ（q，r）／（q，r）表示法（A.23）遵循泰勒定理和C（z，0；q）=C（z，0；q）=0。接下来，观察C（z，r；q）是Cbin（z，r），因为所有涉及的函数都是Cb。

因此，支配收敛定理的标准应用意味着I（z；q）是Cbin z，而且，iI（z；q）=z我(C（z，βr；q））（1- β） dβh（r）¨φε（r）rdr，i=1,2。然后，我们将一阶Dynkin公式（3.7）应用于E[H（^Xs）（ε，, x） )；x+y）]：EhH^Xs-(ε, , x） )；x+yi=H1,0（x；y）+O（s），（A.24），其中，使用通过隐式函数定理∧γ获得的以下关系-1（x，x+y）=γ-1（x，y），~γ-1（x，x+y）=γ-1（x，y），~γ-1（x，x+y）=γ-1（x，y），我们有（A.25）H1,0（x；y）：=H（x；x+y）=D1,0（x；y）+I1,0（x；y），其中D1,0（x；y）：=λεbε（x+y）- v（x+y）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- v（x+y）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）+ νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）,I1,0（x；y）：=λεZZx+y′γ（x+y，r）νεx、 γ-1（x，η）~γ-1（x，η）／νε（η，r）dη- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）γ（x+y，r）′νε（x+y，r）最后，将（A.17）和（A.24）代入（A.16），我们有phxθt（ε，{s}，x）>x+yi=H0,0（x；y）+sH0,1（x；y）+（t- s） H1,0（x；y）+O（t），（A.26），其中H0,0，H0,1和H1,0分别在（A.18），（A.19）和（A.25）中给出。因此，PhXθt（ε，x）>x+yNεt=1i=H0,0（x；y）+t[H0,1（x；y）+H1,0（x；y）]+O（t）。（A.27）在Nεt=2的情况下，在跳跃次数的条件下，我们有phxθt（ε，x）>x+yNεt=2i=tzphxθt（ε，{s，s}，x）>x+yidsds。（A.28）用At（s，s，x，y）表示上述积分中的概率。下面，让Jand Ui（i=1，2）分别成为J和U的独立副本。

用{Xs（ε，{s}，X）}06s6表示{Xθs（ε，{s}，X）}06s6的一个独立副本，并对Fs进行条件处理-, 我们有（s，s，x，y）=E“PhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=^Xs-（ε，{s}，x）+γ^Xs-（ε，{s}，x），Jθ^Xs-（ε，{s}，x），J，U#= Ehψs，t^Xs（ε，{s}，x）i+Eh′ψs，t^Xs（ε，{s}，x）i、 （A.29）式中ψs，t（x）：=E[1- ν（x，J）]PhXθt-s（ε，, x） >x+yi=E1.- ν（x，J）Xθt-s（ε，,x） >x+y,ψs，t（x）：=Eν（x，J）PhXθt-s（ε，, v） >x+yiv=x+γ（x，J）,我们用T（x，y）和T（x，y）分别表示（A.29）右侧的最后两项。Fs上的条件反射-, 我们可以写TasT=EEhψs，t^Xs-s（ε，, 十）我x=~Xs（ε，,x） +γ（~Xs（ε），,x） ，J）θ（~Xs（ε），,x） ，J，U）= E1.- ν~Xs（ε，, x） ，JEhψs，t^Xs-s（ε，, 十）我x=~Xs（ε，,十）+ Eν~Xs（ε，, x） ，JEhψs，t^Xs-s（ε，, 十）我x=~Xs（ε，,x） +γ（~Xs（ε），,x） ，J）=: T3,1+T3,2，（A.30），其中{Xs（ε），, x） }06s6t和{^Xs（ε，, x） }06s6是{xθs（ε，, x） }06s6t。利用这0 6′ν6 1和马尔可夫性质，很明显| T3,1 | 6 E嗯ψs，t^Xs-s（ε，, 十）我x=~Xs（ε，,十）= 嗯Ψ^Xs（ε，, 十）i6 EPhXθt-s（ε，, x） >x+yix=^Xs（ε，,十）= PhXθt（ε，, x） >x+yi=O（t），（A.31）作为t→ 0，取足够小的ε>0。为了处理（A.30）中的第二项，让我们定义ψs，t（x）：=Eh1.- νXθt-s（ε，, x） ，J{Xθt-s（ε，,x） >x+y}i，注意eψs，t（x）- ψs，t（x）=嗯ν（x，J）- νXθt-s（ε，, x） ，J{Xθt-s（ε，,x） >x+y}i6呃ν（x，J）- νXθt-s（ε，, x） ，Ji6 supx，r|ν（x，r）|EhXθt-s（ε，, 十）- 十、i、 利用Xθt-s（ε，, 十）- xD=Xθt-s（ε，, 0）和supx，r|ν（x，r）|<∞, 当s<t时，上述最后一项收敛到0→ 0

因此，有必要研究表达式3,2:=E的渐近行为ν~Xs（ε，, x） ，JEheψs，t^Xs-s（ε，, 十）我x=~Xs（ε，,x） +γ（~Xs（ε），,x） ，J）= Eν~Xs（ε，, x） ，J×呃1.- νXθt-s（ε，, x） ，J{Xθt-s（ε，,x） >x+y}ix=~Xs（ε，,x） +γ（~Xs（ε），,x） ，J）.再次使用supx，r |ν（x，r）|<∞, 好的，r|ν（x，r）|<∞ 还有EXθs（ε，, 十）- 十、= EXθs（ε，, 0)→0，在x中一致为s→ 0，eT3,2=EheH~Xs（ε，, x） ，t- s、 x+yi+o（1），（A.32），其中eh（z，t，q）：=Eν（z，J）n（1）- ν（x，J））PhXθt（ε，, x） >秋x=z+γ（z，J）.使用与引理5.1（a.33）eH（z，t，q）=E的证明中类似的论点ν（z，J）（1）- ν（z+γ（z，J），J））1z+γ（z，J）>q+ teRt（z；q），其中supz，q | eRt（z；q）|<∞ 因为它不够小。此外，（A.33）右侧的第一项可以用Z表示∞q′ν（z，～γ）-1（z，r））（1- η（r，r））eΓ（r；z）drhε（r）dr，即Cbin z。之前的事实连同Dynkin公式以及（A.32）-（A.33）都意味着ET3,2=e“z”∞x+y′ν（z，~γ）-1（z，r））（1- ν（r，r））eΓ（r；z）drhε（r）drz=~Xs（ε，,x） #+o（1）=Z∞x+y′ν（x，~γ）-1（x，r））（1- ν（r，r））eΓ（r；x）drhε（r）dr+o（1）。使用变量r=~γ的变化-1（x，r）和表示式eΓ（y；z）=yZz+γ（z，r）<yhε（r）dr=hε~γ-1（z，y）λε~γ-1（z，y），（A.34）加上（A.30）-（A.31），我们有t=λεz∞~γ-1（x，x+y）′ν（x，r）（1）- ν（γ（x，r，r））hε（r）drhε（r）dr+o（1）=λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr-λεZ∞γ-1（x，y）νε（x，r）Zνε（～γ（x，r），r）drdrdr+o（1）。（A.35）接下来我们考虑（A.29）中的第二项T（x，y）。

引理5.1，T（x，y）=EhH^Xs（ε，{s}，x）；x+yi+O（t）。Fs上的条件反射-,T（x，y）=E“E呃^Xs-s（ε，, v） )；x+yiv=z+γ（z，J）θ（z，J，U）z=~Xs（ε，,x） #+O（t）=E呃(1)- ν（z，J））EhH^Xs-s（ε，, z） )；x+y二、z=~Xs（ε，,十）+ E“E”ν（z，J）EhH^Xs-s（ε，, v） )；x+yiv=z+γ（z，J）z=~Xs（ε，,x） #+O（t）=EE[（1）- ν（z，J））]EhH^Xs-s（ε，, z） )；x+y我z=~Xs（ε，,十）（A.36）+E“Z′ν（Z，~γ）-1（z，r））EhH^Xs-s（ε，, r） )；x+yieΓ（r；z）博士z=~Xs（ε，,x） #+O（t）（A.37）让我们分别用T4,1和T4,2来表示（A.36）和（A.37）中的表达式。其次，因为H（z；q）是Cb，呃^Xs-s（ε，, z） )；Q我- H（z；q）6 supz，q|zH（z；q）|呃^Xs-s（ε，, z）- Zi、 （A.38）使用supz，q|zH（z；q）|∞ 和^Xs-s（ε，, z）- zD=^Xs-s（ε，, 0），上面的最后一项在z中作为s一致收敛到0- s<t→ 0.因此，回顾H（z；q）=R的定义∞γ-1（z，q）-z） νε（z，r）dr/λε，我们有4,1=EhE[（1- ν（z，J）]|z=~Xs（ε，,x） H~Xs（ε，, x） )；x+yi+o（1）=λεEZ∞γ-1（z，x+y）-z） νε（z，r）drZ（1）- ν（z，r））hε（r）drz=~Xs（ε，,十）+ o（1）。（A.39）由于上述期望中的表达式对z有偏导数，一致地限定在z中，再次使用~Xs（ε，, 十）- 十、i=呃~Xs（ε，, 0)我→ 当s<t时，x中的0是均匀的→ 0，T4,1=λεZγ-1（x，y）νε（x，r）drZ（1）- ν（x，r））hε（r）dr+o（1）=λεZγ-1（x，y）νε（x，r）dr-λεZγ-1（x，y）νε（x，r）drZνε（x，r）dr+o（1）。（A.40）我们接下来考虑（A.37）中的T4,2（t）一词。再次使用（A.38）和类似于（A.39）到（A.40）的论点，我们推断如下。T4,2=E“Z′ν（Z，~γ-1（z，r）H（r；x+y）eΓ（r；z）drz=~Xs（ε，,x） #+o（1）=λεZ′ν（x，~γ-1（x，r））Z∞γ-1（r，x+y）-r） νε（x，r）dreΓ（r；x）dr+o（1）=λεZνε（x，r）Z∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x，r）drdrdr+o（1），（A.41），其中，在最后一个等式中，我们使用变量r=~γ的变化-1（x，r）和eΓ（y；z）的表示（A.34）。