随机行走桥梁的记录统计

最后，从记录的角度来看，自由RWs和RWs桥之间的另一个显著区别是，桥的QαB（n）和h′αmax，B（n）i之间没有简单的关系，而它们与自由随机游动（1.13）直接相关。因此，人们期望QαB（n）和h′αmax，B（n）i通常会导致两个不同的普适常数，我们可以在离散α=d和指数α=e分布的情况下明确计算。我们的主要结果总结如下（另见表1）。首先，对于离散随机游动（1.2），我们得到了记录SPDB（m，n）=Pr（RdB（n）=m，n）的完整分布的精确结果。特别是，对于大n（即使是离散的步行桥也必然有偶数个台阶），我们表明HRDB（n）i~ 亚行√亚洲开发银行=√π3/2. （1.19）因此它也会像√n、 至于自由RW（1.15），但a的前导因子不同：AdB/Ad=π/4<1。另一方面，对于大n和大m，保持X=m/√固定，分布PdB（m，n）采用缩放形式PdB（m，n）~√n~ndBX=m√N, νdB（X）=4 X e-2X，X>0，（1.20），这与自由RW的对应值（1.16）不同。对于连续跳跃分布pc（η），我们得到了hRcB（n）iashRcB（n）i的大n行为~ AcB（u）√n，作为n→ ∞ , （1.21）式中，AcB（u）以明确依赖于u的积分形式给出[见等式（2.23）和（2.24）]。在u=2的情况下，该振幅可以明确地作为CB（u=2）进行评估=√π、 （1.22）应与振幅Ac=2的值进行比较/√π、 对于自由RWs（1.10），因此AcB（u=2）/Ac=π/4<1，独立地为u。通过将随机游动的记录统计数据与离散随机游动的结果（1.22）进行比较，我们得出AdB/AcB（u=2）=1/√2.至于免费RWs。

尽管除了第一时刻，RcB（n）的统计分析非常困难，但在指数分布pe（η）（1.4）的情况下，对于任意有限的n，都可以精确计算记录数ReB（n）的完整分布PeB（m，n），这是u=2的代表性情况[见等式（1.3）]。特别是，对于大n和大m，保持X=m/√n固定，分布PeB（m，n）采用比例形式PeB（m，n）~√n~neBX=m√N, ~neB（X）=2 X e-十、 X>0，（1.23），这与自由RW（1.11）的对应值不同，也与离散桥（1.20）的相应分布洎dB（X）略有不同。另一方面，对于破纪录概率QαB（n），我们得到了离散（α=d）和指数（α=e）跳跃分布的精确结果。特别是，对于大n，我们证明了这些量收敛到相同的常数，该常数可以用等式（4.9）中给出的单个积分精确计算。这个积分可以很容易地以任意精度进行数值计算→∞QdB（n）=limn→∞QeB（n）=QdB(∞) = QeB(∞) = 0.6543037 . . . , （1.24）与自由RWs（1.12）的特征不同，QdB(∞) > 量子点(∞).此外，对于离散分布和指数分布，我们精确地计算了最长持续记录h′αmax，B（n）i的平均年龄，并表明limn→∞h`dmax，B（n）in=limn→∞h`emax，B（n）in=λdmax，B=λemaxB=0.6380640。（1.25）式中，该常数可以用公式（4.41）中给出的积分表示。特别注意λαmax，B6=QαB(∞), 而对于自由RW，两个相应的量是一致的[见等式（1.14），（1.18）]。

虽然我们无法证明这一点，但我们希望我们在指数情况下获得的结果，即记录数（1.23）分布的大n行为、破纪录概率（1.24）和最长持续记录的年龄（1.25）对于任何具有有限σ的连续分布pc（η）都是有效的，即u=2。我们对具有高斯跳变分布的RW桥记录统计数据的数值模拟证实了这一猜想。论文的结构如下。在第2节中，我们精确计算了RW桥的平均记录数hRαB（n）i、离散分布和指数分布（在这些情况下，n的任何值）以及一般连续分布（在大n极限下）。在第3节中，我们精确地计算了任意n的离散和指数分布的记录数RαB（n）的完整分布。第4节专门讨论记录的年龄统计，其中我们计算了离散和指数跳跃分布的QαB（n）和h′αmax，B（n）i。在第5节中，我们将精确的分析结果与数值模拟进行比较，然后得出第6节的结论。附录A、B和C中留下了一些技术细节。随机行走桥梁9xxB（i）时间步长snkxmax的记录统计，B（n）图2。n=20步的离散随机行走桥。这里记录的数量R=xmax，B（20）+1=6.2。平均记录数let RαB（n）是随机游走桥在步骤n之前的记录数。我们可以写出αB（n）=nXk=0σα（k，n），（2.1），其中σα（k，n）是取值为0或1的二元随机变量。如果记录发生在步骤k，变量∑α（k，n）=1，否则∑α（k，n）=0，对于在n步后返回原点的随机游走器。按照惯例，σα（k=0，n）=1as xB（0）=0是一个记录。

另一方面，对于k，显然σα（k，n）=0≥ n[尤其是σα（n，n）=0，因为xB（n）=xB（0）=0从来都不是记录——因为记录是由等式（1.5）中的严格不等式定义的]。因此，步骤n之前的平均记录数由以下公式得出：hRαB（n）i=n-1Xk=0hσα（k，n）i=n-1Xk=0rα（k，n），（2.2），其中rα（k，n）=hσα（k，n）i是记录率，即记录在步骤k发生的概率。因此，为了计算hRαB（n）i，我们将首先计算rα（k，n），然后求和k（2.2）。为了n≥ 1.rα（k，n）的计算依赖于以下两个量：o自由格林函数（传播子）Gα（x，x，n），表示arandom walker从x开始，经过n步后在x处移动的概率（离散分布）或概率密度（连续分布）约束格林函数Gα>（x，x，n），表示随机步行者在n步后从x开始，在x处移动，并在两者之间保持严格正的概率（离散分布）或概率密度（连续分布）。为了计算rα（k，n），我们假设一条记录发生在步骤k，记录值为x（见图2）。这相当于步行者在第0步从原点开始，在第k步第一次达到x级，并在第n步后返回原点的事件——我们正在考虑随机步行桥。在随机行走桥梁10interval[0，k]的时间记录统计中，行走者从0传播到x，被严格限制在x以下。为了计算相应的传播子，我们将x作为新的空间原点，然后反转时间轴和坐标轴。因此，我们看到在时间间隔[0，k]上，粒子以Gα>（x，0，k）传播。

另一方面，在步骤k和步骤n之间（步行者在原点结束），步行者是自由的，因此以gα（0，x，n）传播-k） =Gα（x，0，n-k） ，因为跳跃分布是对称的。然后，将该事件的概率积分到x上，得到记录速率≥ 0，因为记录可以在任何级别x发生≥ 0（请注意，只有第一条记录，即k=0，才是x=0）。利用时间间隔[0，k]和[k，n]（马尔可夫）中随机游动的统计独立性，我们可以得出≥ 1:rα（k，n）=Gα（0，0，n）Z∞dx Gα>（x，0，k）Gα（x，0，n- k） ，0≤ K≤ N- 1，（2.3）其中我们除以Gα（0，0，n），因为我们考虑的是在n个时间步（桥）后返回原点的随机游动。注意，在离散随机游动的情况下，即α=d，等式（2.3）中x上的积分必须由离散和代替。现在让我们分析这个公式（2.3）对于不同类型的随机行走。2.1. 离散随机游动在离散随机游动的情况下，计算hRdB（n）i=Pnk=0rd（k，n）ashRdB（n）i=hRdB（n）i（0）Gd（0，0，n）（2.4）是很方便的，其中，在这里和下面，下标“（0）”指从x（0）=0开始，在x（n）=0结束的随机游动，经过n步，Gd（0，0，n）是该事件的概率。分子hRdB（n）i（0）的生成函数来自等式（2.3）∞Xn=0znhRdB（n）i（0）=∞Xx=0Gd>（x，0，z）~Gd（x，0，z），（2.5），其中传播子可以显式计算（见附录A）：~Gd（x，0，z）=∞Xn=0znGd（x，0，n）=√1.-Z1.-√1.-zzx（2.6）和<<Gd>（x，0，z）=∞Xn=0znGd>（x，0，n）=1.-√1.-zzx、 （2.7）因此，我们可以通过公式（2.5）中的x求和，使用公式。（2.6）和（2.7）∞Xn=0znhRdB（n）i（0）=2（1）-z）+√1.-z、 （2.8）记录随机行走桥梁的统计数据11因此获得一个SHRDB（n）i（0）=+2k+12kk, 对于n偶数，n=2k0，对于n奇数。（2.9）使用等式中的分母。

（2.4）由Gd（0，0，n）=2给出-Nnn/2如果n为偶数，则为0，否则得到最终的HRDB（n）i=（n-1.nn/2-1+，n偶数，0，n奇数。（2.10）第一项是hRdB（0）i=1、hRdB（2）i=3/2、hRdB（4）i=11/6。最后，对于大n，它的行为类似于hrdb（n）i~√π3/2√n表示n偶数，0表示n奇数，（2.11），如等式（1.19）所示。指数跳跃分布在这种情况下，跳跃ηi是连续变量，其分布由pe（η）=2be给出-|η|/b.我们将看到，指数分布的记录统计量是完全可解的。实际上，在这种情况下，自由格林函数和约束格林函数都可以精确计算[31]。相关的生成函数（GFs）~Ge（x，0，z）（自由）和~Ge>（x，0，z）（受限）读为[31]（另见附录B）~Ge（x，0，z）=∞Xn=1znGe（x，0，n）=z2b√1.-泽-|x | b√1.-z（2.12）~Ge>（x，0，z）=∞Xn=0znGe>（x，0，n）=δ（x）+1-√1.-zbe-|x | b√1.-z、 （2.13）请注意，等式（2.12）中自由传播子Ge（x，0，z）的GF定义不包含n=0项，因为它不会进入计算，而约束传播子必须保留该项n=0，并产生δ函数。平均记录数由hReB（n）i=Pn给出-1k=0re（k，n），其中记录率re（k，n）由等式（2.3）给出。为了继续，我们在等式（2.4）中写下：hReB（n）i=hReB（n）i（0）Ge（0,0,n），n≥ 1，（2.14）其中分子hReB（n）i（0）由hReB（n）i（0）=n给出-1Xk=0Z∞dx-Ge>（x，0，k）Ge（x，0，n- k） ，n≥ 1.（2.15）因此其GF由∞Xn=1znhReB（n）i（0）=Z∞dxGe>（x，0，z）~Ge（x，0，z）=4bz1-z+z√1.-Z,（2.16）记录随机游走桥12的统计数据，在上一个等式中，我们使用了等式中给出的Ge（x，0，z）和Ge>（x，0，z）的显式表达式。（2.12）和（2.13）。从公式（2.16）中，我们可以轻松地提取所有n的hReB（n）i（0）。

（2.14）获得记录的平均数ashReB（0）i=1，hReB（n）i=+2n-3.2n-2n-1.为了n≥ 1，（2.17）我们使用了Ge（0，0，n）=2n-2n-1./（b22n）-1） ，代表n≥ 1.有趣的是，通过比较等式。（2.10）和（2.17）我们可以看到hReB（n）i=hReB（2n）- 2） i.对于大n，从公式（2.17）hReB（n）i中可以看出~√π√n，（2.18）这是√公式（2.11）中离散随机游动结果的2倍。稳定跳跃分布现在我们考虑更一般的情况，其中跳跃是连续的随机变量，根据等式（1.3）中给出的pc（η）分布。尽管在这种情况下，精确计算任意有限元的hRcB（n）i似乎相当困难，但可以进行如下大n渐近分析。我们记得平均记录数由hRcB（n）i=Pnk=0rc（k，n）给出。可以证明，k上的这个和由k的值决定~ 当n 1.因此，为了计算公式（2.3）中给出的大k的记录速率rc（k，n），可以用传播子Gc（x，0，n）代替-k） 和Gc>（x，0，k），其缩放形式对k，n有效 1，k/n固定，x 1，x/n1/F固定。一个有索引c（x，0，n- （k）~a（n）-k） 1/uRxa（n）- k） 1/u, （2.19）Gc>（x，0，k）~A.√πk1/2+1/uR+xa k1/u, （2.20）其中标度函数被归一化，即R∞-∞dx R（x）=1 andR∞dx R+（x）=1。标度函数R（x）是一个L′evy稳定分布：R（x）=2πZ∞-∞dk e-ikxe-|k|u，（2.21），尤其是R（0）=Γ（1+1/u）/π。另一方面，对于一般u<2，R+（x）没有明确的表达，而对于u=2，R+（x）=2 x e-x、 通过这种标准化，我们可以通过将gc>（x，0，k）积分到等式中来特别检查。

（2.20）超过x one恢复生存概率q（k），这是步行者从x（0）=0到步骤k:Z保持正的概率∞dx Gc>（x，0，k）=q（k）~√πk，作为k→ ∞ , （2.22）符合Sparre-Andersen定理[26]。通过将这些比例表（2.19,2.20）插入（2.3）一个结果中的rc（k，n）表达式中，对于大k和随机行走桥13的nRecord统计，保持k/n=y，固定（0≤ Y≤ 1） ：rc（k，n）=√新罕布什尔州y=kn,H（y）=√πΓ(1 + 1/u)√y（1- y） 1/uZ∞dx R+（x）Rx（y）-1.- 1)1/u. （2.23）最后，从记录率（2.23）的比例表中，我们可以得到最终的YHRCB（n）i=nXk=0rc（k，n）~ AcB（u）√n，AcB（u）=Zdy H（y）。（2.24）因此hRcB（n）i也像√n用于电桥，但振幅取决于u，如等式（1.21）所示。特别是，可以检查AcB（u=2）=√π/2，如预期，与指数情况下获得的结果一致，见等式（2.18）。记录数量的完整分布在上一节中，我们计算了记录的平均数量hRαB（n）i。这里我们说明，在某些情况下，即对于离散（α=d）和指数（α=e）分布，RαB（n）的完整分布可以精确计算，适用于任何有限的n.3.1。离散随机游动在离散随机游动的情况下，RdB（n）的分布可以通过使用RdB（n）和到步骤n的随机游动的最大值之间的密切关系来计算，用xmax表示，B（n）=max0≤M≤nxB（m）[8]（另见图2）：RdB（n）=xmax，B（n）+1。（3.1）为了推导这个关系式（3.1），让我们考虑两个过程的时间演化：Db（n）和xmax，B（n）。在下一个时间步骤n+1中，如果第一次访问正轴上的新站点，则过程xmax，B（n）增加1，否则其值保持不变。

另一方面，当该事件发生时，recordnumber RdB（n）也会增加1，否则保持不变。因此，我们看到这两个过程在所有步骤上都是相互锁定的：对于随机游动的任何实现，我们有xmax，B（n+1）-xmax，B（n）=RdB（n+1）-RdB（n）。考虑到这一点，一开始有xmax，B（0）=xB（0）=0和RdB（0）=1（因为按照惯例，第一个位置是一个记录），一个人立即得到等式（3.1）中的关系。因此，这个关系允许我们计算RdB（n）asPdB（m，n）=Pr（RdB（n）=m）=Pr（xmax，B（n）=m）的PDF- 1） （3.2）=PdB（m，n）（0）Gd（0，0，n），PdB（m，n）（0）=nXk=0Gd>（m）-1,0,k）Gd≥（m）-1,0,n- k） （3.3）如果≥（x，x，k）是从x开始的随机行走者在k步后到达x的概率，同时保持非负（即，它可能触及0，但不触及0）-1） 介于两者之间。记录随机游走桥的统计数据，然后读取等式（3.3）中分子PdB（m，n）（0）的生成函数∞Xn=0PdB（m，n）（0）zn=~Gd>（m）-1,0,z）~Gd≥（m）-1,0,z），（3.4）式中Gd>（m-1,0,z）在等式（2.7）中给出，并且≥（x，0，z）由（见附录A）~Gd给出≥（x，0，z）=∞Xn=0Gd≥（x，0，n）zn=z1.-√1.-zzx+1。（3.5）因此，等式（3.4）明确表示：∞Xn=0PdB（m，n）（0）zn=z1.-√1.-zz2米-1.（3.6）在这里，为了进行这种计算，我们展示了另一种方法，它也将有助于计算年龄的统计数据。为此，我们首先介绍记录τi的年龄，并写出τi的联合概率分布（见图1）和记录数RdB（n），Pd（`，··，`m）-1，a，m，n）=Pr（τ=`。

，τm-1=`m-1，An=a，RdB（n）=m，n）=Pd（~`，m，n）（0）Gd（0，0，n），（3.7），其中分子Pd（~`，m，n）（0）由Pd（~`，m，n）（0）=fd（`）·fd（`m）给出-1） Gd≥（m）-1,0,a）δm-1Xi=1\'i+a，n！，（3.8）式中，fd（`）是第一次通过的概率，离散RW从x开始，在步骤`第一次到达x+1，δ（a，b）表示δ-Kronecker函数。由于RW在平移下是不变的，因此该概率与X无关。对于离散RW，其生成函数由fd（z）给出=∞X`=1fd（`）z`=1-√1.-zz，（3.9），从中我们推断出Fd（`）=“甚至(-1)(`-1)/2√π2Γ(1 -`/2） Γ（3/2+`/2），\'奇数。（3.10）这个联合分布（3.7）包含了我们希望在这里计算的所有可观测信息。特别地，记录数rrdb（n）的概率分布是通过将其积分到\'i\'s:PdB（m，n）上而获得的=∞X`=1∞X`=1。∞嗯-1=1∞Xa=1Pd（`m、`m、`m）-1，a，m，n）=PdB（m，n）（0）Gd（0，0，n），（3.11）记录随机游走桥的统计数据，其中分子的母函数由以下公式给出：∞Xn=0znPdB（m，n）（0）=[~fd（z）]m-1Gd≥（m）-1,0,z）=z1.-√1.-zz2米-1、（3.12）其中我们使用了等式。（3.5）和（3.9）。因此，我们发现这个结果（3.12）与之前通过一个完全不同的方法（3.6）得到的结果一致。根据这个表达式（3.12），我们可以计算PdB（m，n）（0）（使用柯西公式），最终PdB（m，n）为（forn偶数）PdB（m，n）=n+1nn/2(-1） n/2+m（n/2+m）！2米-1Xj=0(-1） j2米-1jΓ（j/2+1）Γ（j/2+1）- n/2- m） ，（3.13）为1≤ M≤ n/2+1（而对于m>n/2+1的情况，PdB（m，n）=0，因为离散RW电桥的最大值不能超过n/2）。虽然可以从公式（3.13）中的完整分布中获得力矩hRdB（n）i，但从（3.12）中的GF计算它们更方便。