随机行走桥梁的记录统计

（4.37），我们推断H\'emax，B（n）i（0）~ （2cemax/（b）√π))√n表示大n.使用该Ge（0，0，n）~ 1/（2b）√πn），forn 1.我们最终获得→∞h`emax，B（n）in=λemax，B=4 cemax（4.39）=4Z∞dt- I（t）(4.40)= 0.6380640 . . . , （4.41）与等式（4.30）中离散情况下出现的常数完全相同。随机行走桥梁的记录统计25我们通过研究αmax，B（n）的全概率分布来总结本节。我们在这里对指数情况进行分析，但也可以对离散情况进行分析，从而在大n极限下得到相同的结果。对于指数情况，我们得到了Fe（`n）（0）=Pr[`emax，B（n）的GF≤ `]（0）来自Eqs。（4.33）和（3.22）作为∞Xn=0Fe（`，n）（0）zn=`Xa=1za∞Xm=1h~he（z，`）im-1qe（硕士，硕士）。（4.42）同样，为了研究Fe（`，n）（0）的大n行为，我们需要在极限z=e下分析这个GFP-s→ 1，即s→ 0.根据之前进行的分析，特别是使用等式中的渐近行为。（4.12）和（4.13）一个∞Xn=0Fe（`n）（0）e-sn=b√sI（s`），（4.43），其中函数I（t）在等式（4.26）中给出。从式（4.43）中，我们得到，对于拉根，Fe（`，n）是比率`/n的函数，正如我们之前的计算所预期的那样，h`emax，B（n）i~ λemax，Bn（4.41）。这表明，对于大n，随机变量R（n）=`emax，B（n）/n独立于n，R（n）→ R whenn→ ∞, 免费RWs也是如此[29]。这个随机变量R，FeR（R）的累积分布由fe（`，n）=FeR给出`n=r, 费尔（r）=2√πZΓdu2πieuI（ur）√u、 （4.44）式中，Γ是复平面上的Bromwich轮廓，r∈ [0, 1].

从这个表达式（4.44）中，可以研究R，feR（R）=dFeR（R）/dr的PDF的各种特征。特别是，我们发现，在R=1/2时，feR（R）是非解析的，我们可以在区间[1/2，1]上明确计算，其中取一个简单的公式（R）=1+4r3/2，≤ R≤ 1.（4.45）另一方面，对于小r，它有一个本质的奇点，在这里它表现为Ln-feR（r）~在r2r中，作为r→ 0 . （4.46）参考文献[29]最近对免费RW的相应PDF进行了研究（另见参考文献[30]）。在这种情况下，PDF在r=1/2时也表现出非解析性，但在这种情况下，当r→ 1，而对于桥梁，不存在奇点[见等式（4.45）]。另一方面，当r→ 0，如等式（4.46）所示，但没有对数校正，这是RW电桥的一个特点。在下一节中，我们将给出这个PDF feR（r）的数值评估（参见图11的左面板）。数值结果在本节中，我们将展示随机步行桥的数值模拟结果，并将其与精确的分析计算结果进行比较。我们考虑随机游走桥26（α=d）的离散记录统计以及连续（α=c）跳跃分布，对于u=2，特别关注指数跳跃分布（α=e）。5.1。离散随机游动桥为了模拟离散RW桥，我们根据等式生成n步的简单自由随机游动。（1.1）和（1.2），只保留行走，使x（n）=x（0）=0。然后在这个受限的RW桥集合上执行统计。在图3中，我们展示了记录的平均数量hRdB（n）i的曲线图，数值计算，作为√n、 这与（2.10）中的精确结果完全一致。无花果。

3.我们还画出了hRdB（n）i的渐近估计(√n） 任期。事实上，从等式（2.10）中的精确公式可以得出：hRdB（n）i~√π3/2√n++o（1），（5.1），如图3所示，这是对√N≥ 5.0246801234567模拟XACT1/2+( n/23）1/2自由RW，exacthRdB（n）i，hRd（n）ipnFigure 3。平均记录数hRdB（n）i作为√n表示离散桥。完整的蓝色圆圈是数值模拟的结果。绿色的空圆对应于公式（2.10）中给出的精确结果，而完整的红线是公式（5.1）中给出的渐近形式的一部分。为了进行比较，我们还绘制了自由RW的hRd（n）i的精确结果，如[5]所示，其中显示了更快的hRd（n）i增长~ (2/√π)√n换n 1.我们还根据等式（3.13）中的分析公式计算了RdB（n），PdB（m，n）=Pr（RdB（n）=m）在n=40和80时的分布，并对n=40进行了数值计算。如图4所示，数值结果与我们的精确分析结果完全一致。此外，对于大n和大m，保持m/√n=X012300。511.5n=40，exactn=80，Exact渐近N=40，模拟（m 1/2）/PNPDB（m，n）图4。情节√n PdB（m，n）作为（m）的函数- 1/2)/√n对于离散RW——见等式（5.2）和下文中的讨论。对于n=40（蓝色）和n=80（绿色）的不同值，填充圆对应于从等式（3.13）中获得的精确值。开放圆对应于n=40的数值模拟结果，与精确结果完全一致。最后，实线是等式（1.19）中给出的精确比例函数φdB（X）。固定的，人们期望公式（1.20）中给出的缩放形式。

我们对Fn的有限值进行的模拟显示，对这种极限缩放形式的有限尺寸修正很小。如图4所示，这些定义实际上对应于标度变量的简单移动/√N→ （m）-1/2)/√n、 即PdB（m，n）~√n~ndBM-1/2√N, （5.2）式（1.20）中给出了标度函数φdB（X）。虽然我们尚未对极限PDFin公式（1.20）的有限n修正进行详细的分析研究，但公式（5.2）中的这种形式，尤其是1/2的位移，与平均数hRdB（n）i的渐近展开一致，超出了领先的范围(√n） 式（5.2）中给出的术语。然后，我们通过数值模拟和公式（4.2）中的精确公式，数值计算了破纪录QdB（n）的概率。如图5的左面板所示，两个估计值之间的一致性非常好。此外，我们还看到在该图上，QdB（n）收敛到其渐近值QdB(∞)随机行走的记录统计数据相当缓慢。图5的右面板表明收敛速度与1成比例/√n、 即QdB（n）- QdB(∞) ∝ 1/√n、 此外，QDB的估计(∞) 通过外推，以这种方式获得的结果与公式（4.9）中的精确结果非常一致，参见图5.0204060800.60.70.80.91exactsimulationQ的右面板∞0.1 0.20.640.660.680.70.720.740.76exactsimulationQ∞1/√nnQdB（n）QdB（n）QdB(∞) QdB(∞)图5。左图：离散随机步行桥的QdB（n）破纪录概率。蓝色的开放圆对应于我们的数值模拟，而黄色的完整圆是QdB（n）的精确值，从等式（4.2）中的生成函数中提取。右：QdB（n）缓慢收敛到其渐近值QdB(∞) = 0.6543037 . . . 在等式（4.9）中。全文是眼睛的指南，与QdB相对应(∞) + 康斯特/√n、 最后，在Fig。

6.我们展示了从数值模拟中获得的h`dmax，B（n）i/n的数值结果，并将其与从等式（4.22）中的母函数直接获得的精确结果进行了比较。在这里，数学和理论之间的一致性也很好。我们还注意到，正如在破纪录概率的情况下（见图5），h`dmax，B（n）i/n收敛到渐近值λdmax，B[见等式（1.25）]实际上相当缓慢。5.2. u=2的连续跳跃分布。为了生成具有连续跳跃分布且u=2（即具有有限方差σ）的RW桥，我们首先生成n步的自由随机游动，从x（0）=0开始，并根据等式（1.1）进行演化。我们随后使用以下构造xb（k）=x（k）-knx（n）（5.3）为0生成RW桥{xB（k）}≤ K≤ n、 特别地，等式（5.3）显然意味着xB（0）=xB（n）=0。这个简单的构造（5.3）适用于任何有限的高斯跳跃分布。对于其他跳跃分布，尤其是指数跳跃分布（α=e），这种结构只是近似的，因为在大n的极限下，xB（k）/√n、 为了k~ O（n），汇入布朗桥。在图7中，我们展示了随机游走桥290 20 4060800.650.70.750.8simulationexact0的平均记录数hRαB（n）i和记录统计的曲线图。6380nh`dmax，B（n）i/ndmax，B=0.6380640。。。图6。离散随机游走桥的h`dmax，B（n）i/n作为n函数的图。开放圆对应于根据公式（4.22）中的生成函数计算出的精确分析值，而完整圆对应于直接数值模拟得到的估计值。实线对应于渐近值λdmax，B=0.6380640。，见等式。

(1.25).对于指数分布，α=e，对于高斯分布，它们都属于连续跳跃分布的类别α=c，如等式（1.3）所示，μ=2。对于大n，我们期望，在这两种情况下，hReB（n）i~ hRcB（n）i~ AcB（u=2）√N含AcB（u=2）=√π/2[见等式（1.21）和（1.22）]，与我们的数值模拟（见图7）非常一致。事实上，我们的数值模拟表明，对于指数和高斯情况，对这种渐近行为的第一次修正是相同的，并且可以根据公式（2.17）中的hReB（n）i的精确公式计算，Yieldingheb（n）i~√π√n++o（1）。（5.4）注意，第一个O（1）修正，即1/2，与离散情况（5.1）相同。对于较小的n值，图7中指数情况下的数据α=e表明，数值结果与我们在inEq中给出的hReB（n）i的精确公式之间存在细微差异。(2.17). 这是因为在这种情况下，我们建造的RW步行桥（5.3）仅近似于较小的n值。请注意，在这种指数情况下，为了模拟精确的桥梁，可以使用参考文献[32]中使用的蒙特卡罗方法，但这需要更多的数值效果，超出了当前工作的范围。在这两种情况下，指数和高斯跳跃分布，我们计算了随机游走桥300246802468指数1/2+（n)1/2/2Gaussianaxponential，如图7所示。与等式（5.4）中给出的精确渐近值（全黑线）相比，通过模拟指数跳跃分布为α=e（蓝色圆圈）和高斯跳跃分布为α=c（绿色圆圈）的RW获得的平均记录数hRαB（n）i。红色圆圈对应于等式（2.17）中的指数情况的结果。

对于较小的n值，在指数情况下，精确结果与数值结果之间存在细微差异，这是因为我们生成桥（5.3）的数值过程仅近似于有限的n。为了进行比较，我们还绘制了（用青色圆圈）自由RW的精确结果，并在[5]中获得了连续跳跃分布，这显示出更快的增长HRC（n）i~ 2/√π√n换n 1.PeB（m，n）和PcB（m，n）记录数的分布。结果如图8所示。在左图中，我们展示了指数跳跃分布的结果，α=e，这表明我们的数值估计与等式（3.34）中给出的PeB（m，n）的精确公式非常一致。这些有限n的数据显示，与等式（1.23）中的渐近结果存在一定偏差，该结果对n有效 1.如图4所示，与离散情况（5.2）类似，这些有限n校正实际上对应于缩放变量m的简单移位/√N→ （m）-1/2)/√n、 即PeB（m，n）~√n~neBM-1/2√N, （5.5）其中，通过inEq给出的表达式正确预测标度函数φeB（X）。(1.23). 请注意，1/2的位移与式（5.4）中前导阶以外的hReB（n）i的渐近展开完全一致。在图8的右面板中，我们展示了高斯跳跃分布的PcB（m，n）的数值数据。这些数据特别具有指导意义，因为我们没有任何关于随机游走桥310123400.20.40.60.8渐近n=40、指数步长sn=80、指数步长sn=40、精确0123400的记录统计数据的分析结果。20.40.60.8渐近（指数）n=160，高斯阶跃sn=320，高斯阶跃（m-1/2)/√n（m）-1/2)/√N√nPcB（m，n）√nPeB（m，n）图8。左：地图√n PeB（m，n）作为（m）的函数-1/2)/√n表示指数跳跃分布。

填充的圆圈对应于n=40（蓝色圆圈）和n=80（绿色圆圈）的模拟。空圆对应于公式（3.34）中给出的n=40的精确分析结果。实线对应于等式（1.23）中给出的精确比例函数φeB（X）。右图：地图√n PcB（m，n）作为（m）的函数-1/2)/√n=160和n=320的高斯跳跃分布。实线对应于等式（1.23）高斯跳跃中给出的精确标度函数φeB（X）。我们的数据实际上表明，在这种情况下，对于大n，记录数的分布也用与等式（5.5）中的指数跳跃分布相同的标度形式描述，具有相同的标度函数φeB（X）。这些数据支持我们的猜测，即等式（1.23）中的这个结果（我们只能在指数情况下明确显示）实际上应该适用于等式（1.3）中u=2的任何连续跳跃分布。我们还数值计算了指数跳跃分布的破纪录QeB（n）概率，如图9所示。在这里，我们再次看到我们的精确结果[摘自等式（4.11）中的生成函数]与数值估计之间非常一致。这些数据也证实了无症状行为QeB（n）→ QeB(∞) = 0.654304 . . . 当n→ ∞, QeB在哪里(∞) = QdB(∞) 式（4.9）中给出，与渐近值QdB一致(∞) 为谨慎的人找到的。注意，我们的数值结果表明，收敛到渐近值是∝ 1/n，这比离散情况下的速度更快，在离散情况下，收敛速度是∝ 1/√n（参见图5的右面板）。在图9中，我们还用公式（5.3）绘制了从数值模拟获得的具有高斯跳变分布的随机行走桥的QcB（n）估计值。

对于n，指数跳跃和高斯跳跃的数据非常大，不可区分，这加强了我们的主张，即对于μ=2的任何连续跳跃分布，指数情况下的所有渐近结果也应适用于极限n→ ∞.类似地，在图10中，我们展示了指数跳跃分布的h`emax，B（n）i/n图和高斯跳跃分布的h`cmax，B（n）i/n图。在指数情况下，我们绘制了精确结果（可从公式（4.33）得出）和通过使用公式（5.3）模拟随机行走桥获得的估计。我们看到协议很好。有趣的是，我们还看到随机游走桥的指数记录统计数据320 20 4060800.60.70.80.91精确，指数阶跃模拟，指数阶跃模拟，高斯阶跃0。654304nQeB（n），QcB（n）QeB（1）=0.6543037。。。图9。指数跳跃分布的破纪录概率QeB（n）和高斯跳跃分布的破纪录概率QcB（n）。在指数情况下，我们展示了与精确结果（开放圆）相对应的数据，这些数据来自等式（4.11）中的生成函数，以及使用等式（5.3）直接数值模拟（完整圆）获得的数据。高斯跳跃分布的数据对应于使用公式（5.3）的数值模拟。精确渐近值qeb的收敛性(∞) = 0.654304 . . . 很快(∝ 1/n）。对于n个足够大的变量，高斯跳跃分布几乎无法区分。最后，我们给出了在大n极限下分布feR（n）=dFeR（r）/drof`emax，B（n）/n的数值计算[见等式（4.44）]。通过从等式（4.42）中明确计算的生成函数中计算Fe（`，n），可以得到feR（r）的数值估计，我们将其展开到接近z=0的位置。我们在参考文献中使用了相同的程序。

[29]为免费RW绘制相应的PDF。图11的左面板显示了用这种方法获得的具有指数跳跃分布的RW桥的feR（r）图。r=1/2时的非解析性清晰可见，此外，我们观察到feR（r）的数值计算结果与1/2的精确结果完全一致≤ R≤ 1[见等式（4.45）]。最后，为了完整起见，在图11的右面板中，我们展示了V=1/R的PDF图，其PDF更易于研究（见参考文献[29]和附录C）。我们在结束本节时注意到，模拟数字随机步行桥的一种自然方法是为xB（k）编写一个有效的局部运动方程，该方程将考虑步行者在n个时间步后必须返回原点的条件。对于布朗运动，它在随机游走桥330 20 4060800.60.70.80.91模拟、指数阶跃模拟、指数阶跃模拟、高斯阶跃模拟中都是连续的。63806h`emax，B（n）i/n，h`cmax，B（n）i/nnemax，B=0.6380640。。。图10。指数跳跃分布的h`emax，B（n）i/n图，以及高斯跳跃分布的h`cmax，B（n）i/n图，作为n的函数。对于指数跳跃分布，精确的结果从等式（4.33）中获得，而在这两种情况下，数值模型是通过使用适当的跳跃分布模拟等式（5.3）中的随机行走桥获得的。0.2 0.40.60.8 100.511.52n=30n=401+r-3/2/41234500.511.53040v-2+v-1/2/4feR（r）feV（v）Rv图11。左：对于指数跳跃分布，对于n=30和n=40，比率R（n）=`max（n）/n的概率密度。这些点由累积分布Fe（`，n）（4.42）的母函数的精确表达式获得。红色曲线是有效期为1/2的极限PDF feR（r）（4.45）的分析预测≤ R≤ 1.