随机行走桥梁的记录统计

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英文标题：
《Record statistics for random walk bridges》
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作者：
Claude Godreche, Satya N. Majumdar, Gregory Schehr
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We investigate the statistics of records in a random sequence $\\{x_B(0)=0,x_B(1),\\cdots, x_B(n)=x_B(0)=0\\}$ of $n$ time steps. The sequence $x_B(k)$\'s represents the position at step $k$ of a random walk `bridge\' of $n$ steps that starts and ends at the origin. At each step, the increment of the position is a random jump drawn from a specified symmetric distribution. We study the statistics of records and record ages for such a bridge sequence, for different jump distributions. In absence of the bridge condition, i.e., for a free random walk sequence, the statistics of the number and ages of records exhibits a `strong\' universality for all $n$, i.e., they are completely independent of the jump distribution as long as the distribution is continuous. We show that the presence of the bridge constraint destroys this strong `all $n$\' universality. Nevertheless a `weaker\' universality still remains for large $n$, where we show that the record statistics depends on the jump distributions only through a single parameter $0<\\mu\\le 2$, known as the L\\\'evy index of the walk, but are insensitive to the other details of the jump distribution. We derive the most general results (for arbitrary jump distributions) wherever possible and also present two exactly solvable cases. We present numerical simulations that verify our analytical results.
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中文摘要：
我们研究了$n$时间步长的随机序列$\\{x_B（0）=0，x_B（1），\\cdots，x_B（n）=x_B（0）=0\\}中记录的统计。序列$x_B（k）$表示从原点开始和结束的$n$步数的随机游走“桥”在步骤$k$处的位置。在每一步中，位置的增量是从指定的对称分布中提取的随机跳跃。我们研究了这种桥序列在不同跳跃分布下的记录统计和记录年龄。在没有桥条件的情况下，即对于自由随机游走序列，记录的数量和年龄的统计数据对所有$n$都表现出“强”的普遍性，也就是说，只要分布是连续的，它们就完全独立于跳跃分布。我们证明了桥约束的存在破坏了这种强大的“全部n$”普适性。然而，对于较大的$n$来说，仍然存在一个“较弱”的普遍性，我们表明，记录统计数据仅通过一个参数$0<\\mu\\le 2$依赖于跳跃分布，该参数被称为行走的列维指数，但对跳跃分布的其他细节不敏感。我们在可能的情况下得出了最一般的结果（对于任意跳跃分布），并给出了两种完全可解的情况。我们通过数值模拟验证了我们的分析结果。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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关键词：随机行走 distribution random walk Independent Statistics

随机步行桥的记录统计数据包括奥雷德·戈德·埃切伊物理研究所、巴黎萨克莱大学、CEA和CNRS、伊维特河畔91191Gif、弗朗西萨蒂大学、巴黎南部大大学、LPTMS、CNRS（UMR 8626）、91405奥赛赛德克斯、法国格里-谢尔大学、LPTMS、CNRS（UMR 8626）、91405奥赛赛德克斯、法国斯特拉特。我们研究了n个时间步的随机序列{xB（0）=0，xB（1），···，xB（n）=xB（0）=0}中记录的统计特性。序列xB（k）代表n个步骤的随机行走“桥”在步骤k处的位置，该随机行走“桥”从原点开始并结束。在每一步中，位置的增量都是从不对称分布中提取的随机跳跃。我们研究了这种桥序列的不同跳跃分布的记录和记录年龄的统计。在没有桥接条件的情况下，即对于自由随机游走序列，记录的数量和年龄的统计数据对所有n都显示出“强”普遍性，即，只要分布是连续的，它们完全独立于跳跃分布。我们证明了桥约束的存在破坏了这种强大的“全n”普适性。然而，对于大n，仍然存在“较弱”的普适性，我们表明记录统计量仅通过单个参数0<u依赖于跳跃分布≤ 2.知道步行的L’evy指数，但对跳跃分布的其他细节不敏感。我们在可能的情况下得出了最一般的结果（对于任意跳跃分布），并给出了两种完全可解的情况。我们给出了数值模拟，以验证我们的分析结果。记录随机行走桥梁的统计数据21。

主要结果的介绍和总结在过去的几年里，人们对记录的研究越来越感兴趣。记录不仅在我们的社会中变得流行起来，因为人们经常在媒体上听到和阅读关于打破纪录的事件，例如体育[1]或天气记录[2]，而且它们还发现了在科学的各个领域中有趣的应用。记录通常用于描述（离散）时间序列x（0），x（1），x（n）如果x（k）大于之前的值x（0），x（1），··，x（k），则记录发生在时间k- 1). 因此，他们已经在多个方面进行了研究，从领域壁动力学[3]、自旋眼镜[4]和随机游动[5,6,7,8,9,10]到雪崩[11]、股票价格模型[8,12,13]、增长网络模型[14]或全球变暖研究[15,16,17]以及进化生物学[18,19]（最近的综述见参考文献[20]）。在考虑记录统计时，最自然的问题如下：（a）时间n之后的记录数是多少？（b） 记录在步骤n中被破坏的概率是多少？一张唱片能保存多久，特别是最长的唱片的年龄是多少？在变量x（i）独立且分布相同（i.i.d.）[21,22]的情况下，这些问题得到了充分的理解（参见参考文献[23]中的简短回顾），尽管最近才对关于该i.i.d.案例中记录的首次通过属性的更多问题进行了调查[24,25]。然而，统计物理中记录的许多应用都强调了随机变量x（i）之间强相关性的重要性，对此我们知之甚少。

从这个角度来看，最近的研究表明，一维随机游动提供了一个非常有用的强相关变量实例，可以通过分析研究相关对记录的影响[5,6,7,8,9,10]。正如我们在下面回忆的那样，具有连续跳跃的RWs记录统计数据的一个显著特征是，它是完全通用的，即独立于跳跃分布，即使是对于有限数量的步骤[5]。因此，我们很自然地会问，这种普遍性是否仍然适用于受约束的随机游动。这个问题是当前工作的主要动机，我们考虑了随机游走桥，其中游走者被限制在同一点开始和结束，这与研究周期相关时间序列有关。让我们考虑一个时间序列，其中x（k）\'是一个随机行走者（RW）在步骤k之后的位置，根据马尔可夫规则演化：x（0）=0，x（k）=x（k）- 1） +η（k），（1.1），其中η（k）是i.i.d.随机变量。我们用p（η）表示它们的对称概率分布函数（PDF）[其中p（η）=p(-η)]. 在下面，我们将重点讨论RW桥{xB（k）}，0的位置≤ K≤ n为（1.1）中定义的RW，附加约束条件是它们在n个时间步后返回原点，xB（n）=xB（0）=0（见图1）。在我们的研究中，区分离散分布和连续分布是很重要的。随机游走桥记录统计的代表性3离散类是所谓的晶格RWpd（η）=δ（η+1）+δ（η- 1） ，（1.2）上标d指的是这种特殊的离散情况。在这种情况下，walkermove在整数的晶格上。相反，当跳跃分布是连续的时，我们通常用上标c表示它，即pc（η）。

设^pc（k）=R∞-∞dηpc（η）ei kη表示跳跃分布的傅里叶变换。事实证明，对于与记录统计数据相关的许多属性，只有跳跃分布的小k行为起作用。一般来说，对于小k，一个人通常有^pc（k）=1- |k |u+o（|k |u），（1.3），其中0<u≤ 2被称为行走的L’evy指数，a>0只是设置跳跃的长度尺度。对于u=2，方差σ=hηi是有限的。因此，a=σ/2，对于大量的步骤n，RW收敛于布朗运动。相比之下，对于u<2，跳跃分布有一个重尾pc（η）~ |η|-1.-u表示大η，导致出现发散的二阶矩。u<2的随机游动称为指数为u的L’evy flight。在一类具有有限σ的连续跳跃分布中，指数分布pe（η）=2 be起着特殊作用-|η|/b（1.4），其中b>0设置跳跃的长度刻度，上标“e”表示指数。这显然属于等式（1.3）中的类，其中u=2，a=b。我们将在后面看到，这个指数分布属于连续族，而等式（1.2）中的晶格RW属于离散族，代表两个罕见的情况，其中桥序列的记录统计量是完全可解的。当研究时间序列x（0），x（1），···，x（n）的记录序列时，如果记录严格大于之前的条目，即x（k）>max（x（0），x（1），··，x（k），则在步骤k发生记录- 1） 根据惯例，x（0）是一项记录。我们强调等式（1.5）中的严格不等式在离散随机游动（1.2）的情况下特别重要。我们用R（n）表示≥ 1 n步后的记录数。我们研究的其他重要观察结果是这些记录的年龄（见图1）。

我们定义τkas是第k条记录和（k+1）条记录之间的步数：这是第k条记录的年龄，即第k条记录存活的时间。请注意，在步骤n之前出现的最后一条记录仍然是一条记录，我们用该记录在步骤n的当前年龄表示（见图1）。这些年龄序列的典型变化很容易研究。例如，一个记录的典型年龄只是通过\'typ\'与记录的平均数量hR（n）i相关~ n/hR（n）i.然而，已经表明，对于RWs，这些序列的统计特性主要由罕见事件控制[5,10]。为了描述随机行走桥4τ1Anτ3τ4ρ2时间步长snxmax的记录统计特性，B（n）xB（k）τ2ρ1ρ3ρ4图1。实现了n=20步的指数跳跃分布（α=e）的随机游走桥xB（k）。这里的记录数是ReB（n）=5。τi表示记录的年龄，ρi表示连续记录之间的增量。最后，安第斯记录了最后一张唱片的年代。式（3.21）给出了τi、ρi、An和ReB（n）的联合PDF，构成了本文的主要结果之一。鉴于这些罕见事件，考虑最后一个时间间隔为最长时间间隔的概率Q（n）是有用的，我们在下文中称之为破纪录概率。对于具有给定记录数R（n）=m的RW，记录的年龄顺序为τ，τm-还有一个。然后引入联合概率Q（m，n）定义为asQ（m，n）=Pr（An≥ 最大值（τ，…，τm）-1） ，R（n）=m）。（1.6）破纪录的概率Q（n）是通过对时间序列中所有可能的记录数Q（m，n）求和得到的，即Q（n）=∞Xm=1Q（m，n）。

（1.7）表征年龄序列罕见和极端变化的另一个重要观察值是最长持续记录的年龄\'max（n），定义为\'max（n）=max（τ，τ，…，τm）-1，An），（1.8），其对RWs的影响最近被证明对最新记录非常敏感[10]。注：在下文中，我们将用Rα（n）、Qα（n）和`αmax（n）表示上面定义的自由随机游动（1.1）的数量，其中上标α表示不同的跳跃分布（1.2,1.3,1.4），其中α=d对应于离散跳跃分布pd（η），c对应于一般连续跳跃分布pc（η），e对应于指数跳跃分布pe（η），（1.9）记录随机游走桥5的统计数据，其中pd（η），pc（η）和pe（η）分别在等式（1.2），（1.3）和（1.4）中定义。此外，我们将使用符号RαB（n）、QαB（n）和`αmax，B（n）表示随机桥的记录数、破记录概率（1.7）和最长持续记录的年龄（1.8），其中下标B表示桥。在讨论此类受限RW的结果之前，让我们首先提醒一下自由RW记录统计的主要已知结果，在n个时间步[5,6,7,8,9,10]之后，步行者可以到达任意位置。我们首先关注连续（对称）跳跃分布pc（η）（1.3）的情况。在这种情况下，一个值得注意的特性是记录的完整统计数据，包括记录的数量Rc（n）、Qc（n）（1.7）和`cmax（n）（1.8）是完全通用的，即独立于跳跃分布pc（η）——包括L’evy flights——即使对于有限的n[5]。这种普遍性行为源于Sparre-Andersen定理[26]的普遍性。

特别是，对于大n，大n的平均记录数hRc（n）i表现为[5]hRc（n）i~ 空调√n，Ac=√π、 作为n→ ∞ , （1.10）独立于0<u≤ 2表征（1.3）中的跳跃分布pc（η）。这种行为（1.10）应该与i.i.d.随机变量的对数增长进行比较[22]。此外，还可以精确计算记录数的全概率分布Pc（m，n）=Pr（Rc（n）=m，n），对于大和大m，保持X=m/√n固定，采用比例表[5]Pc（m，n）~√n k cX=m√N式中：φc（X）=√πe-十、 X>0。（1.11）对于自由随机游动，也可以精确计算公式（1.7）中的Qc（n），并证明它收敛于[5]limn给出的非平凡普适常数→∞Qc（n）=Qc(∞) =Z∞dx1+√πx exef(√x） =0.626508，（1.12）布朗运动的漂移理论中也出现了一个常数[27,28]。有趣的是，在自由RWs的情况下，这个概率Qc（n）通过关系[27]h`cmax（n+1）i=h`cmax（n）i+Qc（n），（1.13）与等式（1.8）中的h`cmax（n）i的平均值相关，这特别意味着→∞h`cmax（n）in=λcmax=Qc(∞) = 0.626508 . . . , （1.14）最近[29]研究了`cmax（n）/n的完整分布（另见[30]）。对于离散自由随机游动，等式（1.2）给出了跳跃分布，如[5]所示，记录的统计数据在数量上是不同的。

特别是在这种情况下，平均记录数hRd（n）i也会像这样增长√n但有一个不同的参数hrd（n）i~ 公元√n，Ad=rπ，as n→ ∞ , （1.15）随机行走桥梁的记录统计6 =D =C =D =E =chR（n） 我r2pn2ppnhRB（n）iP232pnP2pn AcB（u）pnQ（n） Qd（1）=Qc（1）=0.626508。。。 Qd（1）=Qc（1）=0.626508。。。QB（n） QdB（1）=QeB（1）=0.6543037。。。 QdB（1）=QeB（1）=0.6543037。。。h`最大（n）英寸 dmax=cmax=Qd，c（1） dmax=cmax=Qd，c（1）h`麦克斯，B（n）英寸 dmax，B=emax，B=0.6380640。。。 dmax，B=emax，B=0.6380640。。。免费RW RW桥接跳线分配DiscreteDiscreteDiscreteContinuouseExponential？？表1。本文总结了RW桥梁的记录统计结果。为了进行比较，我们还在表格的左半部分展示了参考文献中获得的自由RW的结果。[5]. 注意，对于自由RW，连续分布的结果是完全通用的，因此也适用于指数分布，而对于RW桥则不适用。常数Qd，eB的表达式(∞) λd，emax，Bis在等式中给出。分别为（4.9）和（4.30）。QcB（n）和h`cmax，B（n）i的计算对于具有任意指数u的连续分布[见等式（1.3）]仍然是一个悬而未决的问题，因此问号（？）在桌子上。这是1/√连续情况下平均值表达式的2（1.10）。类似地，对于大n和保持X=m的大m，Rd（n），Pd（m，n）=Pr（Rd（n）=m，n）的分布采用以下标度形式/√n固定[5,8]：Pd（m，n）~√n k dX=m√N, νd（X）=rπe-十、 X>0，（1.16），这是简单地从等式（1.11）中的连续对应物φc（X）和替代物X中获得的→√2 X.另一方面，对于大n，破记录概率Qd（n）的结果与连续情况（1.12）的结果完全相同，即limn→∞Qd（n）=Qd(∞) = 质量控制(∞) =Z∞dx1+√πx exef(√x） =0.626508。

（1.17）此外，等式（1.13）中的关系也适用于相应的离散量，从中使用等式（1.17），thatlimn→∞h`dmax（n）in=λdmax=Qd(∞) = 0.626508 . . . . （1.18）对于随机行走桥梁，情况截然不同。正如预期的那样，离散（1.2）和连续（1.3）跳跃分布的记录统计仍然不同，正如随机游走桥7的记录统计一样，它们是自由随机游走的记录统计。但在这种情况下，对于连续分布，记录的统计，例如fitn，不再是通用的，取决于pc（η）。然而，我们可以明确地表明，对于大n，表征记录统计特性的各种观察值仅取决于指数u（1.3），而不取决于跳跃分布pc（η）的进一步微观细节。随机步行桥记录统计的另一个重要特征是，从技术上讲，它涉及的内容要多得多。实际上，对于自由随机行走，计算需要记录τ，τ，·τm的年龄的完全联合分布-1，但不需要跟踪记录在给定时间步的实际值。然而，对于桥梁来说，需要知道给定时间步下记录的实际值，其中随机游动在n个时间步后返回原始值。这是通过考虑年龄τi’s和记录增量ρi’s（这是两个连续记录之间的差异）的完整联合分布来实现的，见图1。这种联合分布的计算是本论文的主要技术成果[见下式（3.21）]。