随机行走桥梁的记录统计

右图：n=30和n=40的阶跃指数分布的概率密度V（n）=n/`max（n），从左面板获得。时间，这确实可以通过为布朗桥写一个有效的朗之万方程来实现[33,34]。将这种方法扩展到离散时间随机游动——包括离散和连续跳跃——是一个非常有趣的开放问题。记录随机行走桥梁的统计数据346。结论为了得出结论，我们研究了不同类型对称跳跃分布的RW桥的记录统计。我们的结果表明，这种经过训练的随机游动的记录统计数据，在数量上与自由RWs的记录统计数据不同，后者可以在实轴上的任何位置结束，而这些随机游动在开始和结束时都被限制在原点。我们首先表明，记录数RαB（n）的统计不仅在离散（α=d）和连续（α=c）分布中有所不同，而且，即使在连续跳跃分布中，也取决于该分布的细节。我们得到了平均记录数shrαB（n）i的精确结果~ AαB√n，并特别表明AcB≡ AcB（u）取决于表征RW的L’evy指数u。这与Rc（n）的自由情况截然不同~ 空调√n其中Ac=2/√π、 独立于u。此外，我们精确计算了两种不同类型跳跃分布的完整记录统计数据：离散RW（α=d）和指数分布（α=e）。我们强调，这些计算在技术上比免费RWs要困难得多，因为RW桥梁的记录统计不仅需要跟踪记录的年代，还需要跟踪连续记录之间的增量[参见图1和等式（3.21）]。

对于这两个跳跃分布，我们还计算了打破记录的概率QαB（n）和最长持续记录的平均年龄h′αmax，B（n）i，并表明它们产生了两个新的非平凡常数，我们已明确计算了这两个常数（见表1）。尽管连续跳跃分布的记录统计数据最终取决于该分布的细节，但人们预计，对于较大的n，它只取决于等式（1.3）中的Lèevy指数u。尽管我们无法证明这一说法，但我们的数字数据表明，至少对于u=2，情况确实应该如此。这意味着，我们在指数情况下获得的渐近结果（见表1）应该能够描述任意连续跳跃分布的大n极限，且u=2。将我们的结果推广到L’evy指数0<u<2的任意值是一个具有挑战性的开放问题。感谢NSNM和GS感谢项目4604-3下的印度-法国先进研究促进中心。附录A.离散随机游走的有用公式我们考虑一个离散RW，从x（0）=0开始，不断演化的viax（k）=x（k）- 1） +η（k），（A.1），其中跳跃变量η（k）\'s是根据topd（η）=δ（η+1）+δ（η）分布的i.i.d.随机变量-1). 让我们用W（x，n）表示随机游走桥35的晶格RW（A.1）记录统计数，从x（0）=0开始，在n个时间步后以x结束。

一个hasW（x，n）=(nn+x, 如果n+x是偶数，如果n+x是奇数。（A.2）从W（x，n），我们立即得到离散传播子Gd（x，x，n）asGd（x，x，n）=W（x）- x、 n）nNnn+x-十、, 如果n+x- 如果n+x，则xis为0- 这很奇怪。（A.3）Gd（x，x，n）的生成函数＠Gd（x，x，n）可以由这个显式表达式（A.3）计算得出：＠Gd（x，x，n）=∞Xn=0Gd（x，x，n）zn=∞Xk=dx-xeZ2k-（十）-十）2k- （十）-x） k=√1.-Z1.-√1.-zz十、-x、 （A.4）其中due是不小于u的最小整数，并且最后一个等式可以使用Mathematica等方法获得。此外，从Gd（x，x，n）（A.2）的表达式中，我们还可以计算约束传播子Gd≥（x，0，n）使用图像的方法。一个确实是：Gd≥（x，0，n）=Gd（x，0，n）- Gd（x，-2，n）（A.5）=Nnn+x-nn+x+1, 如果n+x是偶数，如果n+x是奇数。（A.6）生成函数≥Gd的（x，0，z）≥（x，0，n）可以从这个显式表达式（A.5）中得到Gd≥（x，0，z）=∞Xn=0Gd≥（x，0，n）zn=∞Xk=dxeZ2k-十、2k- xk-∞Xk=dx+2eZ2k-（x+2）2k- （x+2）k=Z1.-√1.-zzx+1。（A.7）注意，我们在这里通过计算路径得到的这个结果（A.7）也可以使用向后的福克-普朗克方程得到。最后，还可以计算与RW相关联的传播子Gd>（x，0，n），该RW被限制为严格高于0。要做到这一点，可以简单地分析第一步。第一步必然是+1步，因此η（1）=+1，概率为1/2。在这第一步之后，剩下的传播子只需通过随机游走桥36Gd的Record统计信息即可得到≥（十）-1,0,n- 1). 因此，一个hasG>（x，0，0）=δx，0（A.8）G>（x，0，n）=Gd≥（十）-1,0,n- 1） ，n≥ 1.（A.9）因此，我们可以将生成函数G>（x，0，z）作为G>（x，0，z）=∞Xn=0G>（x，0，n）zn=1.-√1.-zzx、 （A.10）附录B。

具有指数跳跃分布的RW的有用公式这里我们考虑一个RW，从x（0）=0开始，经过演化的viax（k）=x（k）- 1） +η（k），（B.1），其中跳跃变量η（k）\'s是根据tope（η）=2 be分布的i.i.d.随机变量-|η|/b.指数跳跃分布的一个显著特征是，经过训练的格林函数Ge>（x，x，n）可以精确计算[31]。首先，计算跳跃分布^pe（q）=Z的傅里叶变换是有用的∞-∞dηpe（η）eiqη=1+（bq），（b.2），从中我们很容易得到自由传播源（x，x，n）=Z∞-∞dq2πe-q（x）-x） [1+（bq）]n.（b.3）最后，Ge（x，x，n）的GF由~Ge（x，x，z）给出=∞Xn=1Ge（x，x，n）zn=zZ∞-∞dq2πe-q（x）-x） 一,-z+（bq），（b.4），其中狄拉克δ函数δ（x）来自项n=0，而第二个来自项n=1到的和∞ 几何级数的一部分。最后，可以显式地计算（B.4）中的积分overq，得出式（2.12）~Ge（x，0，z）中给出的结果=∞Xn=1znGe（x，0，z）=z2b√1.-泽-|x | b√1.-z、 （B.5）现在我们来讨论约束传播子Ge>（x，0，n），它更难计算。最简单的计算方法是使用所谓的Hopf-Ivanov公式[35]（该结果的详细推导请参见[36]），该公式给出了以下表达式∞Xn=0znZ∞dx-Ge>（x，0，n）e-λx=φ（λ，z），（B.6），其中φ（λ，z）由φ（λ，z）=exp给出-λπZ∞dqln（1）- z^pe（q））λ+q, （B.7）随机行走桥梁的记录统计，其中^pe（q）是（B.2）中给出的跳跃分布的傅里叶变换。因此，函数φ（λ，z）由φ（λ，z）=exp给出-λπZ∞dqln1.-z+（BQ）1+（BQ）λ+q. （B.8）可以使用参考文献[37]Z中的公式4.295-7明确计算公式（B.8）中q上的积分∞dxln（a+bx）c+dx=πc-dlnd+b cd, 对于a、b、c、d>0，（b.9）最终产生身份∞Xn=0znZ∞dx-Ge>（x，0，n）e-λx=1+λb√1.-z+λb=1+1-√1.-Z√1.-z+λb。

（B.10）然后很容易对x进行拉普拉斯变换求逆，以获得等式（2.13）~Ge>（x，0，z）中给出的~Ge>（x，0，z）=∞Xn=0znGe>（x，0，z）=δ（x）+1-√1.-zbe-|x | b√1.-z、 （B.11）最后注意，通过区分等式（B.10）（m）中的关系-2） 关于λ和设置λ=1/b的次数，可以直接得到等式（3.32）中给出的关系。附录C.`emax，B（n）/emax分布的分析在本附录中，我们首先推导了r的PDF feR（r）的行为∈ [1/2,1]然后是r→ 0在等式中的文本中给出。分别为（4.45）和（4.46）。附录C.1。在区间[1/2，1]中，我们从文本xn中给出的等式（4.43）开始≥0e-s nFe（`，n）（0）=b√sI（s`），（C.1）在极限s内有效→ 0, ` → ∞, 保持乘积x=s固定，其中函数I（t）在等式（4.26）中给出。在极限→ 式（C.1）中的离散和可以用积分代替，而Fe（`，n）（0）可以写成Fe（`，n）（0）=ZΓds2iπensb√sI（s`），（C.2），其中Γ是Bromwich轮廓。请注意，根据定义，我们有fe（`n）（0）=Prob（`emax，B（n）<`）（0）=Probn\'emax，B>n`(0). （C.3）在大n的极限下，该概率收敛到随机变量V=1/R=limn的互补分布函数→∞n/`max（n），`FeV（v）（0）=ProbV>V(0)=√vb√nZdx2iπexv√xI（x），（C.4）记录随机行走桥梁的统计数据，其中v=n/`和x=s`如上所述。最后，除以Ge（0，0，n）~ 1/（2b）√πn，`FeV（v）=2√πvZdx2iπexv√xI（x）。（C.5）我们想分析r接近1时的FeR（r）的行为，或者等效地分析¨FeV（v）的小vbehavior，其主要由等式（C.5）中Bromwich积分中被积函数的大x行为决定。因此，我们需要在小参数下展开（4.26）给出的I（x）（x） =e-x、 正规YZDX2iπexv√十一（十）≈Zdx2iπexv√十、I（x）+I（x）e-x+I（x）e-2x+。

., （C.6）函数Ik（x）允许√x、 因此，第一学期∝ E-对于v>1，第二项，∝ E-2 x，对于v>2，依此类推。一开始（x） =e-xwe haveI（x）≈+（4x）-1） e-十、√πx- （4x+1）erfc√十、+ O（e）-2x），（C.7）除以√x、 可以用拉普拉斯倒过来表示“FV（v）”FeV（v）=+v-√v（1）≤ 五、≤ 2） ，（C.8）和（v）=-ddv’FeV（v）=v+√v（1）≤ 五、≤ 2) . （C.9）最后，使用feR（r）=feV（1/r）/r，得到feR（r）=1+4r3/2≤ R≤ 1., （C.10）如等式（4.45）中文本所述。附录C.2。我们现在研究feR（r）的小r行为，或者相当于v（v）的大v行为（回想一下v=1/r）。可以证明函数I（x）/√x是复x平面上的一个整体。因此，积分（C.5）预计由x中的鞍点控制。让我们定义φ（x）=lnI（x）√x、 （C.11）鞍点方程为v+φ（x）=0，因此φ（x）较大且为负值，因此x也较大且为负值。设置x=-我们得到式（4.5）中F（x）的大负xbehavior的估计值asF（x=-y）≈ 艾伊√πy，（C.12），它产生φ（x=-y）~e2y4πy=e-2x4πx，（C.13）记录来自I（x）中的主导项ex（F（x））的随机游动统计数据。鞍点方程现在给出了SV~ E-2x，（C.14）因此，对于v大，使用指数级估计，我们发现FEV（v）=-ddv-FeV（v）~ E-v ln v，（C.15），也就是这个量的超指数衰减。因此，我们还可以预测，由fr（r）给出的feR（r）=feV（1/r）/ris原点的本质奇点~ eln r/（2r），（C.16），如等式（4.45）中的文本所示。参考文献[1]D.Gembris、J.G.Taylor和D。

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