随机行走桥梁的记录统计

特别是，可以很容易地检查onerecovers的结果是否与之前（2.4）、（2.8）获得的平均记录数hRdB（n）i相同。此外，还可以计算RdB（n）的高阶矩。例如，第二个力矩由h给出RdB（n）我=n+1+√πΓ（n/2+1）Γ（n/2+1/2），n奇，0，n偶。（3.14）对于大n，其表现为灰分RdB（n）我~n、 n奇数，0，n偶数。（3.15）最后，从式（3.6）中，还可以提取大nlimit中PdB（m，n）的表达，这可以通过研究极限z获得→ 式（3.6）中GF的1。在这个极限下，我们设置z=e-沙调查极限→ 0，式（3.6）中GF的离散和可替换为积分。回想一下，如果n为isodd，则PdB（m，n）=0，则等式（3.6）的左侧可以写在极限s中→ 0∞Xn=0PdB（m，n）（0）e-s n=∞Xk=0PdB（2k，n）（0）e-2sk~Z∞迪耶-y sPdB（m，y）（0）。（3.16）另一方面，等式（3.6）的右侧采用limitz=e中更简单的形式-s→ 1使得等式（3.6）可以写入Z∞迪耶-y sPdB（m，y）（0）=2e-2米√2 s.（3.17）随机行走桥梁的记录统计数据16因此，可以通过拉普拉斯反演asPdB（m，n）（0）直接获得PdB（m，y）（0）~ 4rπmn3/2e-2m/n，对于n偶数。（3.18）最后，使用Gd（0，0，n）~p2/πn-1/2，发现分布PdB（m，n）采用缩放形式（对n偶数有效）：PdB（m，n）~√n~ndBX=m√N, νdB（X）=4Xe-2X，（3.19），如等式（1.20）中的引言所述。请注意，该分布φdB（X）与单位时间间隔上布朗桥的最大值的概率分布函数一致，直到比例因子，正如inEq中所述的关系所预期的那样。(3.1). 特别是，与自由随机游动（1.16）的结果不同，该PDF不是半高斯分布。

此外，很容易检查，从这个分布的时刻起，恢复hRdB（n）和h的渐近结果RdB（n）我分别得到了Eqs。（2.11）和（3.15）。指数分布对于指数跳跃分布pe（η）（1.4），我们分析的起点是等式（3.7）中给出的离散随机游动联合分布的等价物。然而，由于pe（η）是一个连续分布，这种计算比离散情况下更精细。实际上，当我们考虑随机步行桥时，步行者返回原点的最后一部分路径的权重，即持续时间An=a的最后一段（见图1），涉及传播者Ge≥（Y，0，a）=Ge>（Y，0，a）[见等式（3.3）]，其中Y=xmax，B（n）是最后一条记录的实际值，与最大值一致。对于离散随机游动，记录的数量RdB（n）和xmax，B（n）通过xmax，B（n）=RdB（n）直接相关-1但这种关系不适用于连续跳跃分布。因此，我们需要跟踪记录的数量和最后一条记录的价值。一种方便的方法是引入记录增量ρi\'s和τi\'s、ρi\'s、ReB（n）和xmax，B（n）的联合分布（见图1）：Pr[{τi=`i，ρi∈ [ri，ri+dri]}1≤我≤M-1，An=a，ReB（n）=m，xmax，B（n）∈ [Y，Y+dY]，n]=Pe（{`i，ri}1≤我≤M-1，a，m，Y）dr··drm-1dY，（3.20）其中联合PDF Pe（{`i，ri}1≤我≤M-1，a，m，Y）由pe（{\'i，ri}1给出≤我≤M-1，a，m，Y）=Ge（0，0，n）m-1Yi=1Z∞（易，0，`i- 1） pe（yi+ri）×Ge>（Y，0，a）δm-1Xi=1ri- Yδm-1Xi=1\'i+a，n！，（3.21）对于连续的指数跳跃分布，我们使用了它≥（x，0，n）=Ge>（x，0，n）表示x>0。特别是，τi’s的联合分布，记录了随机行走桥17An和ReB（n）的统计数据，即等式的等效值。

（3.7）对于离散情况，通过将（3.20）中的公式与ri和Y:Pe（`，`，··，`m）积分得到-1，a，m，n）=Pr（τ=`，…，τm）-1=`m-1，An=a，ReB（n）=m，n）=Pe（~`，m，n）（0）Ge（0，0，n），（3.22）其中Pe（~`，m，n）（0）=m-1Yi=1Z∞driT（`i，ri）×Z∞dY-Ge>（Y，0，a）δm-1Xi=1ri- Yδm-1Xi=1\'i+a，n！，（3.23）式中t（`r）=Z∞（y，0，`- 1） pe（y+r）。（3.24）注意，该公式（3.23）和（3.24）实际上适用于任何连续跳跃分布pc（η）（1.3）——上标“e”替换为“c”。然而，它的分析通常很难进行，主要是因为受约束的传播函数C>（x，0，n）没有任何显式表达式，这使得人们无法对这个重积分进行分析。幸运的是，对于指数跳跃分布pe（η）=1/（2b）e的情况，存在这样一个显式表达式-|η|/b，这是我们现在关注的。在这种情况下，受约束传播子Ge>（x，0，n）的生成函数由等式（2.13）给出，从中可以得到构造块T（`，r）inEq的GF。（3.24）通过[使用等式（2.13）]∞X`=1T（`，r）z`=zZ∞dyGe>（y，0，z）pe（y+r）=b（1）-√1.-z） e-r/b（3.25）来自等式（3.25）一个获得（`，r）=bfe（`）e-r/b，∞X`=1fe（`）z`=1-√1.-z，（3.26），其产生系数fe（`）asfe（`）的表达式(-1)`+1√π2 Γ(3/2 - `)Γ(` + 1)~√π\'3/2，as`→ ∞ . （3.27）通过比较等式（3.27）中fe（`）和fd（`）的表达式，我们很容易看到fe（`）=fd（2`- 1). 通过注射T（`，r）（3.26，3.27）inEq的这种显式表达。（3.23），联合概率分布Pe（~`，m，n）（0）可以写成Pe（~`，m，n）（0）=m-1Yi=1fe（`i）Z∞dY Ge>（Y，0，a）e-Y/b×m-1Yi=1Z∞dribδm-1Xi=1ri- Yδm-1Xi=1`i+a，n！。

（3.28）最后，使用identitym记录随机行走桥梁的统计数据-1Yi=1Z∞driδm-1Xi=1ri- Y=嗯-2（m）-2)!, （3.29）这可以通过在（3.29）关于Y的两边进行拉普拉斯变换很容易地表示出来，我们得到了τi\'s，ana和ReB（n）asPe（~`，m，n）（0）=m的联合概率表达式-1Yi=1fe（`i）qe（m，a）δm-1Xi=1\'i+a，n！，（3.30）量化宽松（m，a）=（m-2)!bm-1Z∞迪耶-Y/bYm-2Ge>（Y，0，a），（3.31），其结构与离散情况（3.8）中的结构非常相似，但具有不同的构建块。此外，式（3.31）中qe（m，a）的GF可以明确地表示为（见附录B）~qe（m，z）=∞Xa=1qe（m，a）za=b1-√1.-z（1）+√1.-z） m-1=(1 -√1.-z） mb zm-1.（3.32）来自该联合分布（3.30），以及等式。（3.26）和（3.32），我们有可能计算出我们在本文中要研究的所有观测值的统计量。特别是，通过将记录数PeB（m，n）加在`，``M-1和a与之前在离散情况下所做的相同（3.11）。ThisyieldsPeB（m，n）=PeB（m，n）（0）Ge（0，0，n）∞Xn=0znPeB（m，n）（0）=[~fe（z）]m-1qe（m，z）=b（1-√1.-z） m（1）+√1.-z） m-1=b（1-√1.-z） 2米-1zm-1，（3.33）其中一个得到speb（m，n）=2n-1.2n-2n-1.(-1） n+m-1（n+m）- 1)!2米-1Xj=0(-1） j2米-1jΓ（j/2+1）Γ（2+j/2）- N- m） ，（3.34）为1≤ M≤ n、 这与比例参数b无关【Q.（3.33）中的系数1/b确实被等式（3.33）第一行的分母Ge（0，0，n）抵消】=2n-2n-1./（b）22n-1)]. 通过将指数分布（3.34）的结果与之前在公式（3.13）中获得的离散跳跃的相应结果进行比较，我们很容易发现Pe（m，n）=Pd（m，2n- 2） ，代表n≥ 1.原则上，ReB（n）的矩可以从（3.34）中完整分布的显式表达式中获得。然而，从式（3.33）中的GF计算它们更简单。

例如，从这个表达式中，可以很容易地恢复由前面的methodRecord统计公式（2.17）中给出的随机游走桥19获得的hReB（n）i的值。此外，从这个关系式（3.33），我们还可以计算ReB（n）的高阶矩。特别是，第二个时刻由∞Xn=0znh[ReB（n）]i（0）=z4b（1）-z） 3/2+z4b（1-z） （3.35）一个人从中获得≥ 1h[ReB（n）]i=n-+√πΓ（n）Γ（n）-1/2)~ n，作为n→ ∞ . （3.36）最后，从式（3.33）中，我们可以得到记录数分布的极限比例形式，即m的PeB（m，n） 1，n 1.留住我/√n固定，asPeB（m，n）~√n~neBX=m√N, ~neB（X）=2X e-十、 X>0，（3.37），其中我们使用了Ge（0，0，n）~ 1/（2b）√πn），表示n 1.该公式（3.37）使等式（1.23）引言中公布的结果更为精确。在这里，我们也可以很容易地检查，从等式（3.37）中分布的力矩φeB（X）中，我们可以恢复在等式（3.37）中分别获得的hReB（n）i和h[ReB（n）]i的更大行为。（2.18）和（3.36）。记录年龄的统计在本节中，我们详细研究了与记录年龄相关的两个量：（i）最后一条记录的年龄为arandom步行桥最长的概率QαB（n）（1.7）和（ii）αmax，B（n）（1.8）的统计，这是最长记录的年龄。与前一节一样，我们将重点讨论离散（α=d）和指数（α=e）分布。4.1. 破纪录概率QαB（n）对于随机游走桥和任意跳跃分布p（η），计算QαB（n）通常是一项非常困难的任务。我们在这里表明，它可以精确地计算上述两种特殊情况：离散随机游动（α=d）和指数跳跃分布（α=e）。离散随机游走。

概率QdB（n）（1.7）可以简单地从公式（3.7）中给出的区间的完整联合PDF计算，方法是将其与适当的变量相加。对于记录数m和An=a的给定值，我们必须将变量\'i\'s上的联合PDF求和，从1到a–因为An=a是长区间（见图1）。最后，我们将a的所有可能值相加≥ 1超过记录数，对于m≥ 1.QdB（n）=∞Xm=1∞Xa=1aX`=1···aX`m-1=1Pd（~`，m，n），（4.1）随机行走桥的记录统计数据，其中Pd（~`，m，n）在等式（3.7）和（3.8）中明确给出。同样，我们分离了算符和分母，并写出QdB（n）=QdB（n）（0）Gd（0，0，n）∞Xn=0QdB（n）（0）zn=∞Xa=1zaaXx=0hd（z，a）xGd≥（x，0，a），（4.2）其中我们对变量x=m进行了更改- 其中hd（z，a）=aXk=1fd（k）zk。（4.3）从式（4.2）中，原则上可以使用式（4.3）和Gd的显式表达式获得QdB（n）（0）的值≥式（a.5）中给出的（x，0，a）–例如使用Mathematica–尽管对于任何n似乎很难获得QdB（n）（0）的闭式表达式。然而，通过分析极限z=e中的等式（4.2），可以提取大n渐近行为QdB（n）（0）-斯威茨→ 1，因此对应于→ 0.在这个极限中，等式（4.2）右侧的双和由大a和大x控制。在这个极限中，保持x/√固定的，固定的≥（x，0，a）允许以下缩放形式（对于x+a偶数）：Gd≥（x，0，a）~ 2rπa√agd十、√A., gd（y）=ye-y、 （4.4）而≥（x，0，a）=0表示x+a奇数。类似地，使用给定inEq的fd（`）表达式。（3.10），我们在标度极限a中得到→ ∞, s→ 0（即z=e-s→ 1） ，保持产品的a固定，公式（4.3）中的hd（z，a）采用缩放形式hd（z，a）~ 1.-√2s F（as），F（y）=1+√πZ∞yduu3/2e-u（4.5）=erf(√y）+√πe-Y√y、 从这些方程中的渐近行为。

（4.4）和（4.5）得到式（4.2）中的和overx，它成为极限s中的一个积分→ 0，a→ ∞ 保持y=固定，采用缩放形式（作为缩放变量y的函数）aXx=0hd（z，a）xGd≥（x，0，a）~ 2rπaaXx=0[1-√2sF（as）]xgd十、√A.(4.6)~rπaZadx e-十、√2sF（a s）gd十、√A.~rπaG（y=as）。请注意，在等式（4.6）第一行x上的离散和中，只有x+a为偶数的项起作用，而x+a为奇数的项仅为零。随机行走桥梁的HenceRecord统计21该离散和近似为x上积分的1/2倍，如等式（4.6）第二行所示。式（4.6）第三行中的函数G（y）由G（y）=1给出-√πy F（y）expyF（y）erfc[√yF（y）]。（4.7）最后，我们得到了QdB（n）（0）inEq生成函数的渐近行为。（4.2），作为z→ 1.∞Xn=0QdB（n）（0）zn~干熄焦√1.-z、 cdQ=rπz∞dy√ye公司-yG（y），（4.8）使得QdB（n）（0）~ 2干熄焦/√πn为n→ ∞, 对于n偶数（而QdB（n）（0）=0，如果n是奇数）。使用Gd（0，0，n）=2-Nnn/2~p2/πn-1/2，代表n 1，从等式（4.1）和等式（4.8）limn中得出→∞QdB（n）=QdB(∞) =√2干熄焦=√πZ∞dy√ye公司-yG（y）=0.6543037，（4.9）与自由随机游动的相应值Qd不同(∞) =0.626508 . . . [见等式（1.17）]4.1.2。指数跳跃分布我们现在来讨论QeB（n）inEq的计算。（1.7）在指数跳跃分布的情况下。在这种情况下，我们的起点是等式（3.22）中给出的记录年龄的联合分布。与之前一样，在离散随机游动（4.1）的情况下，一个hasQeB（n）=∞Xm=1∞Xa=1aX`=1···aX`m-1=1Pe（~`，m，n），（4.10），其中使用等式。（3.22）和（3.30），得到[类似于离散情形inEq.（4.2）]QeB（n）=QeB（n）（0）Ge（0，0，n）∞Xn=0QeB（n）（0）zn=∞Xa=1za∞Xm=1[he（z，a）]m-1qe（m，a），（4.11），其中式中给出了fe（`）。

(3.27).为了获得QeB（n）（0）的大n行为，我们需要在极限z=e下分析其在等式（4.11）中的生成函数-s→ 1，即s→ 0.在这个极限下，a的和由a的大值决定~ 1/s。在这个极限下，他（z，a）取s的比例形式→ 0，a s fixedhe（z，a）~1.-√sF（a-s）, （4.12）式（4.5）中给出了标度函数F（y）。此外，在limitz=e中-s→ 1（即s→ （4.11）中m的和由m的大值决定。在极限值中，m→ ∞, A.→ ∞, 留住我/√我们从式（3.32）中给出的qe（m，a）的GF中得到一个固定值，即它采用形式qe（m，a）~2 b√πma3/2e-m/（4a）。（4.13）记录随机行走桥梁22的统计数据。因此，通过将（4.12）和（4.13）中给出的这些渐近行为注入公式（4.11），我们可以得到∞Xn=0QeB（n）（0）e-s n~2 b√π∞Xa=1e-saa3/2∞Xm=1m1.-√sF（a-s）M-1e-m/（4a）。（4.14）然后，m上的和可以近似为一个极限为s的整数→ 0如下∞Xm=1m1.-√sF（a-s）M-1e-m/（4a）~∞Xm=1m e-（m）-1)√sF（as）e-m/（4a）~Z∞dm m e-（m）-1)√sF（as）-m/（4a）=2 a G（a s），（4.15），其中函数G（y）在等式（4.7）中定义。因此，最终，通过一个积分（在极限s内）来近似a上的剩余和→ 0）并执行变量y=s的变化∞Xn=0QeB（n）（0）zn~ceQ√1.-z、 ceQ=b√πZ∞染料-Y√yG（y），（4.16），这意味着，对于大n，QeB（n）（0）~ ceQ/√πn。因此，使用Ge（0，0，n）~1/（2b）√πn），对于较大的n，可以从式（4.11）的第一行得出：→∞QeB（n）=QeB(∞) = QdB(∞) , （4.17）与inEq离散情况下出现的常数相同。(4.9).4.2. 最长持续记录的年龄4。2.1. 离散随机游走。h`dmax的平均值，B（n）i在等式中定义。

（1.8）可根据其累积分布计算，如下所示：=∞X`=0（1）-Fd（`n）），Fd（`n）=Pr[`dmax，B（n）≤ `] , （4.18）其中Fd（`n）=Pr[`dmax，B（n）≤ `] 简单地将联合PDF inEq求和得到。（3.7）超过`，··，`m-1和a从1到-，因为它们都必须小于-，最终超过记录数m，如下所示：Fd（`，n）=Pr[`dmax，B（n）≤ `] =∞Xm=1`Xa=1`X`=1·····························-1=1Pd（`m、`m、`m）-1，a，m，n）。（4.19）因此，一个hash`dmax，B（n）i=h`dmax，B（n）i（0）Gd（0，0，n），（4.20）其中分子由h`dmax，B（n）i（0）=Gd（0，0，n）给出-∞Xm=1`Xa=1`X`=1·····························-1=1Pd（`m、`m、`m）-1，a，m，n）（0）（4.21）记录随机行走桥梁的统计数据，因此其生成函数如下所示：∞Xn=0h`dmax，B（n）i（0）zn=∞X`=0~Gd（0，0，z）-`Xa=1zaa+1Xm=1hd（z，`）M-1Gd≥（m）-1，0，a）！，（4.22）式（4.3）中定义了函数hd（z，`）。在极限z=e-s→ 1，即s→ 0，一个可以代替Gd≥（m）- 1，0，a）通过其在等式（4.4）中给出的标度形式，hd（z，`）通过其在等式（4.5）中给出的渐近行为，在a和`较大的标度范围内，保持乘积s a和s`固定。然后，可以按照前面等式（4.6）中的相同行分析等式（4.22）中m的和，得出：a+1Xm=1hd（z，`）M-1Gd≥（m）-1,0,a）~rπa1.-√πsa F（s`）expsaF（s`）erfc√saF（s`）, （4.23）式（4.5）中定义了函数F（y）。将这一渐近行为（4.23）插入式（4.22）中，即∞Xn=0h`dmax，B（n）i（0）zn~cdmax（1-z） 3/2，作为z→ 1，（4.24），其中振幅cdmax由[记住只有N的偶数值贡献于左侧等式（4.24）]cdmax给出=√Z∞dt- I（t）, （4.25）其中函数I（t）由I（t）给出=√πZtdy√ye公司-Y1.-√πyF（t）eyf（t）erfc(√yF（t））（4.26）=F（t）e-t+tf（t）erfc[√tF（t）]- E-t/√πt1-F（t）。（4.27）情商中的行为。

（4.25）意味着h`dmax，B（n）i~ （4cdmax）/√π)√n、 对于大n（偶数）。最终使用Gd（0，0，n）~p2/（πn）（再次表示n偶数）一个最终得到的→∞h`dmax，B（n）in=λdmax，B=2√2 cdmax（4.28）=4Z∞dt- I（t）(4.29)= 0.6380640 . . . , （4.30）严格小于恒定QdB(∞) 如式（4.9）4.2.2所示。指数跳跃分布。h`emax的平均值，B（n）i定义为inEq。（1.8）可根据其累积分布计算，如下所示：=∞X`=0（1）-Fe（`，n）），Fe（`，n）=Pr[`emax，B（n）≤ `] , （4.31）随机行走桥梁的记录统计数据，其中Fe（`n）=Pr[`emax，B（n）≤ `] 简单地将联合PDF inEq求和得到。（3.22）超过`，··，`m-1和a从1到`并最终超过记录的数量，如下所示：Fe（`，n）=Pr[`emax，B（n）≤ `] =∞Xm=1`Xa=1`X`=1·····························-1=1Pe（`，`，··，`m）-1，a，m，n）。（4.32）因此h`emax，B（n）i可以写成ash`emax，B（n）i=h`emax，B（n）i（0）Ge（0，0，n），（4.33）h`emax，B（n）i（0）=∞X`=0Ge（0，0，n）-∞Xm=1`Xa=1`X`=1·····························-1=1Pe（`，··，`m-1，a，m，n）（0）.同样，为了提取h`emax，B（n）i（0）的大n行为，可以方便地分析h`emax，B（n）i（0）的母函数，这可以通过使用之前的分析轻松完成。事实上，一个人有Ge（0，0，e）-（s）=∞Xn=1Ge（0，0，n）e-锡~2b√s、 作为s→ 0 . （4.34）另一方面，根据上述等式进行的分析。（4.12,4.13,4.15）∞Xn=1e-锡∞Xm=1`X`=1···`X`m-1=1Pe（`，··，`m-1、a、m、n）（4.35）~B√πa1.-√πas F（s`）expasF（s`）erfc√saF（s`）, （4.36）在极限s→ 0，a→ ∞, ` → ∞, 保持s a和s固定，函数f（y）在等式（4.5）中定义。因此，使用Eqs。（4.34）和（4.35），我们得到∞Xn=1h`emax，B（n）i（0）zn~cemaxb（1）-z） 3/2，作为z→ 1，（4.37），其中振幅Cemax=Z∞dt- I（t）, （4.38）式（4.26）中给出了函数I（t）。从Eq。