市场、羊群和对外部信息的反应

因此，w空穴系统的速率为e，π+（n）=π（n）→ n+1）=（n- n） （a+hn），π-（n） =π（n）→ N- 1） =n（a+h（n- n） ）。（1） 模式l中有两个参数，a和h，但其中一个可以用作时间变量的a4/30重缩放，因此只有一个相关参数，例如=a/h。对于后续的分析推导，替换范围为n的扩展变量n是有用的∈ [0，N]，通过一个可被视为大系统尺寸连续的密集函数N-然而，请注意，在实际的社会和经济系统中，无穷多个变量的极限永远不是这种情况，其中有限尺寸效应可能起作用[36]-。特别地，我们选择x=2n/N- 1作为持续变量，给出x范围内的意见指数∈ [-1, +1]. 我们为密集变量选择这个范围，如[29]中所述，以便使其与稍后将使用的外部信息信号（区域中的lso）相比较[-1, +1]. 请注意，意见指数x=0意味着意见的完美平衡，而x=-1和x=+1分别表示对悲观和乐观观点的完全一致。还要注意的是，关于新的密集型变量的偏导数，就前一个广义变量而言，/x=（N/2）/因此，它们的亲子关系是P（x，t）=P（n，t）n/2。通过在N中进行系统且一致的展开，已经证明，上面定义的马尔可夫随机过程可以近似为由福克-普朗克方程[29]描述的连续扩散过程，P（x，t）t=xh- u（x）P（x，t）i+xhD（x）P（x，t）i=xh2axP（x，t）i+十、4aN+2h（1- 十）P（x，t）,（2） 式中，u（x）起漂移项的作用，D（x）是扩散系数。

作为分析模型动力学的替代方法，可以推导随机过程x（t）的随机微分方程，称为Langevine方程。使用福克-普朗克方程（2）并应用通常的变换规则[37]，在It^o约定[38]中，我们发现描述过程的朗之万方程，˙x=u（x）+pD（x）·ξ（t）=-2ax+r4aN+2h（1- x） ·ξ（t），（3）式中，ξ（t）是高斯白噪声，即具有零均值高斯分布的随机变量，hξ（t）i=0，相关系数hξ（t）ξ（t′）i=δ（t- t′）。让我们首先分析等式（3）中平方根内的噪声或扩散项所起的作用，D（x）=4aN+2h（1）- x） 。第一项依赖于a，与系统大小N成反比，与系统的“粒度”有关，因此在连续极限N中消失→ ∞. 它指出，对于任何有限系统，总是存在有限大小的随机波动，这与代理人有能力随机改变他们的选择有关。扩散函数的第二项是乘性噪声项，即强度与状态变量本身无关的噪声。此外，它是唯一依赖于放牧系数的项，因此我们在下文中将其称为放牧项。当这个乘性噪声在x=0时为最大值，在x=±1时为零时，从等式（3）中可以清楚地看出，它倾向于通过对一个或其他可能的观点进行随机的局部讨论，使系统远离中心，走向这些极端，从而形成一个完整的共识。关于确定性漂移项u（x）=-2ax，从等式（3）中可以明显看出，它具有将系统驱动回小齿轮分度中心的平衡位置的能力，x=0。因此，我们在两种相反的驱动力5/30之间进行竞争。

其中一个是随机性的，主要由大N的羊群效应决定，它倾向于形成大多数交易者，他们对未来的价格演变有相同的看法。另一种是决定论性质的，它与特质转换有关，它倾向于打破这些多数，使系统回到平衡状态，在这种状态下，交易者在两种观点之间平均分配。这两种驱动力的大小与它们的特定参数s、a和h有关。注意，在纯放牧的极端情况下，a=0，一致状态x=±1变得吸收：一旦所有代理同意使用某一策略，系统就被冻结，没有进一步的进化[见等式（3）]。相反，在意见纯随机变化的极端情况下，h=0，系统的特征是围绕平均意见指数hxi=0的有限大小高斯波动。对于特质参数和羊群参数的非零值，上述两种驱动力之间存在竞争，并且取决于它们的相对大小，一种或另一种行为占主导地位：要么形成大多数具有相同观点的代理人的倾向，要么将任意多数扭转到平衡状态的倾向。事实上，Kirman模型中噪声的特殊函数形式在增加h相对于a的值时，会导致系统的动力学从一种不稳定转变为双稳定行为。这种转变，以及单稳态和双稳态的特殊含义，可以用概率分布Pst（x）来解释，福克-普朗克方程（2）的稳态解，可以写成st（x）=Z-1.a2Nh+（1）- 十）啊-1.

（4） 归一化因子Z-这是拜兹给的-1=2N+1-q2N+1Bh1+q2N+1; ，i- 伯克希尔哈撒韦1.-问题2N+1; ，i，（5）其中B[x；a，B]是不完全be-ta函数，定义为B[x；a，B]=Zxua-1(1 - u） b-1du，（6）和=a/h。观察稳定状态解（4）的函数形式，可以注意到指数的符号将决定概率分布是以x=0为中心的单峰分布，还是以x=0为中心的双峰分布-1和x=+1。因此，当特质转换a大于放牧强度h时，我们会发现单峰分布，这意味着，在任何时候，观察最有可能的结果是发现两种选择之间的贸易群体被平等分割。相反，当放牧h超过其异向开关强度a时，会发现双峰分布，这意味着在任何时间点，静态观察最有可能的结果是发现选择相同选项的绝大多数AGENT。然而，在不同的观察中，大多数人选择的选项可能不同。当a=h（=1）时，概率分布是均匀的，这意味着两个选项之间的任何代理份额的概率相等。

由于模型的可靠性，这些概率分布也可以通过系统在每个状态下所花费的分形时间来理解。6/30观察单稳态和双稳态行为之间的转变并将其解释为噪声诱导现象的另一种方法是引入有效势[39]：一种结合确定性驱动力和噪声效应的函数，其最小值是动力学的吸引点。我们可以通过对平稳概率分布Pst（x），Pst（x）的经验函数形式来定义有效势Ueff（x）≡ C-1exp-Ueff（x）D, （7） 式中，D是有效噪声强度，取D=h，常数C-1发挥正常化因素的作用。注意，这样定义，这个有效势函数的极小值对应于稳态概率分布的极大值。让我们在这里直接写出福克-普朗克方程（2）的有效势，该方程考虑了乘性噪声对与漂移项有关的确定驱动力的影响（见附录1：推导的有效势推导），Ueff（x）=（h- a） ln（1）- x） 。（8） 公式（8）中h=a标记的符号变化表明，当增加h时，从一个单井电位过渡到一个双井电位。图1显示了三种可能情况下的有效电位函数形式：a<h、a=h和a>h。-101X-0.010.000.01Ueff（x）a<h-10 1xa=h-1 0 1xa>有效势函数Ueff（x）图1。有效电位Ueff（x）。对于异向转换趋势的不同值s，a=10-4, 10-3, 10-2.其余参数值为h=10-3和N=200。

请注意，此处显示的a值对应于三种主要情况a<h、a=h和a>h。在a<h的情况下，值得注意的是，尽管意见指数空间的两个极端有效势的最小值在理论上都是有限的，但实际上，它们不是吸收态，因此系统将以与a成比例的概率离开它们。这可以通过重新检查朗格文方程（3）来理解，我们注意到，在极端状态x±1时，作用于系统的唯一项是将其推向意见指数中心的确定项。综上所述，在a<h的情况下，羊群效应（h）的作用是诱导一个双稳态有效势，其中两个阱处于观点指数的极端，而特殊转换（a）的作用是允许这两个阱之间的跃迁。原始Kirman模型的两个随机实现示例如图3（本节第三小节）第一行（标记为F=0）的两个面板所示。第一个例子，独特的s-w瘙痒系数小于放牧强度（a=5·10）-4，h=10-3） ，对应于状态的双峰概率分布。我们可以观察到，在这个面板中，7/30系统的趋势是，在conse-nsus状态附近，通过它们之间的随机开关暂时被吸收。其中一些转换没有成功，系统在达成相反的共识之前回到了先前的共识。这种类型的演变对应于一个市场，在这个市场上，交易者强烈倾向于就他们对未来价格演变的看法达成一致，但这种预测协议不时地从乐观转向悲观，反之亦然。

第二个面板显示了状态的单模态概率分布的情况，对应于大于放牧强度（a=5·10）的非同步切换系数-3，h=10-3). 请注意，与上一个示例一样，意见索引大部分时间都在意见集的中心部分，x=-0.5和x=0.5。这相当于一个市场，在这个市场上，交易者大多受自身特质驱动的引导，很少关注其他交易者的态度，因此统计上倾向于在两种可能的观点之间平分。金融市场框架为了对金融市场进行建模，我们需要将上述随机羊群理论嵌入到资产定价框架中。文献[6,8,11,35,40]中提出了不同的市场实施方案，其特点是复杂程度不同。我们将在这里使用一个非常简单的noise trader框架，沿袭之前的作品[29]。为此，我们需要定义在市场中起作用的不同年龄段的nts类型，并将其与两个州的放牧动态联系起来。特别是，市场被假设为由两种代理人组成：原教旨主义者和噪声交易者。原教旨主义交易者假设交易资产存在一个“基本”价格，实际市场价格倾向于回归该价格。因此，如果实际市场价格p低于（高于）他们感知的基本价值pf，他们就会买入（卖出）。假设他们的反应取决于基本价值和当前市场价格之间的对数相对差异，而不是绝对差异，原教旨主义团体的超额需求由EDF=NfTfln给出亲民党, （9） 其中NFI是市场上原教旨主义者的数量，TF是他们的平均交易量。

对相对低估而非绝对低估的反应不仅使EEM更可信，而且有助于后续的验证。在任何情况下，每天观察到的价格变化都很小(~ 1%）确保如果使用绝对差异，结果不会有太大差异。第二类的代理人，噪音交易者，根据他们对未来价格演变的特殊预测做出反应，可能是乐观的，也可能是悲观的。因此，他们被分为两个小组：乐观的噪声交易者预计交易资产的价格在未来上涨，从而决定以当前市场价格购买，而悲观的噪声交易者预计价格下降，从而选择出售。正是在这里，前一节介绍的羊群模型进入了市场框架：这是噪音交易者用来选择他们是否对交易资产的未来价格持乐观或相似态度的决策机制。通过这种方式，这类代理人的超额需求成为他们中间乐观或悲观占主导地位的直接后果，由意见指数x=2n/N量化- 1如上所述，可以写成asEDc=N Tcx，（10），其中N是市场上噪声交易者的数量及其平均交易量8/30。请注意，在上一节所述的放牧模型中，仅考虑噪声交易者N。通过使用Walrasian假设，可以找到价格演变方程，即相对资产价格变化与资产的出口需求成正比[41]。通常被称为Walrasian t^atonnement，它已成为一般均衡理论[42]中的标准方法。

价格调整的动态可以连续表达为βpdt=NfTfln亲民党+ NTcx，（11），β表示价格调整速度。我们进一步假设，在不损失一般性的情况下，瞬时市场清算（β→ ∞) 两组试剂的总容量相同（NfTf=NTc）。通过这种方式，我们发现了一个由基础论者感知的基本价值和噪声交易者的意见指数驱动的均衡价格，p（t）=pfexp（x（t）），（12），其中我们还考虑了独立于时间的基本价值。这种近似似乎适用于噪音传播者之间的意见变动发生在比交易资产基本面变化短得多的时间尺度上的情况，我们对短时间尺度的行为感兴趣。请注意，由于价格是由喧闹者意见指数的严格递增函数给出的，遵循多数（羊群效应）相当于遵循价格的趋势。为了研究收益率和波动率的非平稳性质，我们定义了任意时间窗口上的连续复合收益率t表示价格的对数变化，R（t，t） =lnp（t+（t）- lnp（t）=x（t+（t）- x（t），（13），我们使用绝对收益率作为波动率的度量，V（t，t） =| R（t，t） |。为澄清起见，我们将在下文中参考《每日邮报》(t=1天）收益率和波动率分别为R（t）和V（t）。此外，为了与结果和讨论部分中的实际数据进行比较，我们将使用标准化的每日回报率和波动率，定义为R（t）=R（t）- hRiσ（R），v（t）=|R（t）|，（14），其中hRi和σ（R）分别是每日收益时间序列的平均值和标准偏差。

最后，归一化日波动率的自相关关系也将用于与实际数据进行比较：ACF（v）=Dv（t）- hviv（t+τ）- hviEσ（v），（15），其中h·i表示一段时间内的平均值，σ（·s表示标准偏差，τ起时滞的作用。使用此资产定价框架和上一小节介绍的s-to仓促羊群形式，可以建立一个与任何外部信息都不接触的市场模型。结果和讨论部分将分析此市场模型的影响，作为一个更一般的市场模型的特例，该模型对外部信息的到来开放（在以下小节中发展）：零影响外部信号的情况。9/30具有外部信息的模型迄今为止所描述的模型将金融市场表示为完全封闭的实体，即仅由噪声交易者意见指数的内生演化决定的给定资产的价格变化[见等式（12）]。即使我们考虑到一段时间内的独立基本价值pf，这也只能解释有关资产本身基本面的客观信息的即时到达。例如，公司季度收益报告中转载的信息直接影响其股票在市场上的基本价值[43]。另一个例子是特定货币贬值对其在外汇市场上的基本价值的即时影响。然而，我们不感兴趣的是，根据基础理论分析得出的资产基本价值的变化，以及由此引起的市场价格的可怕和线性比例变动[se e Eq.（12）]。