长期互换利率与长期利率的一般分析

很明显，sn（t）=nXi=1δiP（t，Ti），t≥ 0，（3.3）如果ξ（dT）=P+∞i=1δiδ{Ti}，其中δi:=Ti- 钛-1和狄拉克的δ{Ti}函数。然后是利米林→∞ucp中的Sn（·）（3.4）始终存在，无论是固定的还是固定的。在s等式中，我们用s表示这个极限∞如果存在且不确定。所有债券价格都严格为正，因此对allt来说≥ 0，n∈ N我们有P-a.s.Sn（t）>0和s∞（t） >0.4长期掉期利率我们现在引入长期掉期利率R:=（Rt）t≥0asR·：=limn→∞R（·，Tn）如果ucp中存在限制，其中R（t，Tn）在（2.7）中定义。这里首次定义的长期swaprate可以理解为始于t的ANOI的公平固定利率，它的支付流包含很多交易所。从OIS的初始值等于零的意义上来说，固定汇率是公平的。我们调查了长期掉期利率的存在性和真实性。我们首先为掉期利率提供了一个无模型公式，当S∞存在并且是有限的。特别是，我们在这里关注的是当SNI由（3.3）给出，并且榫结构是C<infi时的情况∈N\\{0}（Ti）- 钛-1） （4.1）c>0。该假设避免了| Ti- 钛-1| → 对我来说→ ∞, 对应于固定期限的现实设置（但日期数量可能会变得非常大）。本节依赖于S的一些属性∞, 我们在附录A定理4.1中证明了这一点。假设SNI定义为（3.3）中的n∈ N和榫结构满足条件（4.1）。（i） 如果Snn→∞-→ s∞在ucp中，则P-a.s.Rt=s∞（t） 对于所有t，均>0（4.2）≥ 0.（ii）如果Snn→∞-→ +∞ 在ucp和P中，如（3.2）所定义，完全存在，那么对于所有t≥ 0.（iii）长期掉期利率不会爆发，即P（|Rt |<+∞ ) = 1为所有t≥ 0.证明。

我们在ucplimn有这个→∞R（·，Tn）（2.7）=limn→∞1.- P（·，Tn）Sn（·）=limn→∞序号（·）- 画→∞P（·，Tn）Sn（·）=limn→∞Sn（·）=S∞（·）>0根据定理B.2。To（ii）：我们在ucplimn中有→∞R（·，Tn）（2.7）=limn→∞1.- P（·，Tn）Sn（·）=limn→∞序号（·）- 画→∞P（·，Tn）Sn（·）=limn→∞序号（·）- 画→∞P（·，Tn）Sn（·）=- 画→∞P（·，Tn）Sn（·）=-P·林→∞根据定理B.2，Sn（·）=0。到（iii）：既然（i）和（ii）成立，我们只需要研究Snn时的情况→∞-→ +∞在ucp和P中=+∞. 我们在这个案子里有这个→∞R（·，Tn）=- 画→∞ucp中的P（·，Tn）Sn（·）。我们注意到P-a.s.0≤ sup0≤s≤tP（s，Tn）Sn（s）=sup0≤s≤tδn1.-锡-1（s）序列号（s）≤ 1/C适用于所有t≥ 0 w，δn=Tn- Tn-1.亨塞普inf0≤s≤tP（s，Tn）Sn（s）>MN→∞-→ 0对于所有M>1/c。这与ucp收敛到+∞ 适用于| R |，因此长期掉期利率始终存在，且为固定的P-a.s。。备注4.2。如果现在我们考虑一个带有Ti的男高音结构- 钛-1=alli的δ∈ N\\{0}，那么Sn（t）=δPni=1P（t，Ti）和（4.2）归结起来就是δP∞i=1P（t，Ti），即RTI与永久债券的收益率成正比。有关债券的更多详细信息，请参阅Delbaen[1993]，D Uffee等人[1995]，以及中的参考文献。然而，我们的建设是更普遍的，并将继续存在的控制台债券利率。我们的方法的优点是与利率建模的多曲线理论一致，并且提供了一个长期利率，该利率始终是确定的。根据定理4.1（i）和（ii），如果P完全存在，我们得到长期掉期利率作为一个有限极限的存在性。然而，这个结果总是成立的，如定理4.1（iii）所示。推论4.3。如果Snn→∞-→ +∞ 在ucp中，则保持不变-∞ < Rt≤ 全日制每年0美元≥ 0.证明。这是定理4.1（ii）和（iii）的结果。提案4.4。假设Snn→∞-→ +∞ 在ucp。

如果一切顺利∈ 氮磷（总氮）≥P（t，Tn+1）表示所有t∈ [0，Tn]，然后nRT=-一个过程的kt（kt）t≥0和0≤ kt≤ 1个P-a.s.代表所有t≥ 0.证明。毕竟∈ N、 Sn（t）≤ Sn+1（t）P-a.s.适用于所有t≥ 0，所有n∈ N我们有P-a.s.P（t，Tn）Sn（t）=P（t，Tn）βtβtSn（t）≥P（t，Tn+1）βtβtSn+1（t）=所有t的P（t，Tn+1）Sn+1（t）≥ 0.这个小鬼撒谎说P-a.s.1≥ sup0≤s≤tP（s，Tn）Sn（s）≥ sup0≤s≤所有t的tP（s，Tn+1）Sn+1（s）≥ 0.HenceP（·，Tn）Sn（·）n→∞-→ ucp中的k，带0≤ kt≤ 1个P-a.s.代表所有t≥ 特别是通过定理4.1（ii），我们得到所有t的kt=0 P-a.s≥ 如果Pt<+∞P-a.s.适用于所有t≥ 0.备注4.5。1.注意如果rt≥ 0代表所有t≥ 0，则债券价格随着到期时间的延长而下降。2.我们注意到，如果Snn为零，命题4.4中的过程k不一定为零→∞-→ +∞ 在ucp。特别考虑P（t，Tn）：=1+（t）时的（不现实的）情况- t） 对于某些t>0。然后p（t，Tn）Sn（t）=1+（t- t） nPni=1（1+（t- t） i）=1+Pn-1i=11+（T-t） i1+（t-t） nn→∞-→ 1.如果我们假设存在永续OIS的流动市场，这意味着OIS有固定利率对应于长期掉期利率的固定多个交易所，我们可以陈述以下定理。我们记得，我们是在假设P是债券市场的一个等价鞅测度的情况下工作的，即债券市场在无渐近自由的风险为零的情况下是无套利的，见Cu chiero等人[2016b]。定理4.6。在第2.1节所述的设置中，长期掉期利率为常数或非单调。证据首先，我们假设≥ RtP-a.s.带P（Rs>Rt）>0表示0≤ 然后，让我们考虑以下投资策略。在时间t时，我们输入一个具有永久年金、票面价值N、固定利率R和以下期限结构t<s的付款人ROI≤ T<··<Tn（4.3），其中n→ ∞.

这项投资在t中的价值为零，因此目前还没有净投资。我们在每个Ti、i中收到以下付款：∈ N\\{0}L（Ti）-1，Ti）- RtδiN。然后，在时间s，我们输入一个具有永久年金、名义价值、固定利率和与（4.3）相同期限结构的接收人OIS。在s中，thisOIS的值为零，因此仍然没有净投资，并且每个Ti的收益为∈ N、 由此产生的OIS是：Rs-L（Ti）-1，Ti）δiN。这一策略带来了TiHi的回报：=L（Ti）-1，Ti）- RtδiN+Rs-L（Ti）-1，Ti）δiN=δiN（Rs- （右）≥ P（Hi>0）>0，即套利。如果我们认为是≤ RtP-a.s.与P（Rs<Rt）>0表示0≤ T≤ s≤ T、 我们使用模拟套利策略，唯一的区别是我们投资于接收方OIS和支付方OIS中的s。因此，在无套利的市场环境中，长期掉期利率不能是非递减或非递增的，也就是说，如果它是常数，它只能是单调的。5长期利率之间的关系我们现在研究第3节和第4节中介绍的长期利率之间存在的关系。有关更多详细信息，请参阅H¨artel[2015]。为了简单起见，我们现在假设一个带有Ti的男高音结构- 钛-1=所有i的δ∈ N\\{0}。当我们根据市场上现有的OIS合约推断长期掉期利率时，情况当然就是这样。我们选择此设置是为了关注T的债券价格行为→ ∞, i、 e.第（3.2）条中定义的P，与期限结构中的到期距离无关。5.1长期收益率对长期利率的影响在本节中，我们研究了长期收益率的存在对长期掉期和简单利率的影响。由于典型的市场数据表明长期收益率为正，我们仅限于以下情况：l ≥ 0

对于更一般的分析，也考虑到长期收益率为负的可能性，我们参考H¨artel[2015]。定理5.1。如果0<lt<+∞ P-a.s.适用于所有t≥ 0，然后0<Rt<+∞ P-a.s.所有t≥ 0和L=+∞.证据首先，我们展示了Snn→∞-→ s∞在ucp。对于这一点，有必要证明≥ 0，林→∞sup0≤s≤tSn（s）<+∞ P-a.s.，因为这也意味着→∞sup0≤s≤tSn（s）<+∞ 在概率上。我们都知道这一点≥ 而所有这些都是旧的sup0≤s≤t|Y（南，田纳西州）- ls|≤ （2.1）=Psup0≤s≤TlogP（南部，田纳西州）田纳西州- s+ls≤ N→∞-→ 1≥ 0和所有>0存在Nt∈ N这样的话≥ 新台币sup0≤s≤TlogP（南部，田纳西州）田纳西州- s+ls≤ > 1.- δ（）（5.1）与δ（）→ 0代表→ 0.定义>0，u≥ 0和d n∈ NA，u，n：=ω ∈ Ohm : sup0≤s≤UlogP（南部，田纳西州）田纳西州- s+ls≤ . （5.2）那么对于n≥ 有了u>t，我们就有了P（A，u，n）>1- δ（）乘以（5.1）和a，u，n {ω ∈ Ohm : |logP（t，Tn）+（Tn- （t）lt|≤ （Tn）- t） 哦。因此对于n≥ 努安，努安，新哈维[- ( + lt） （Tn）- t） ]≤ P（t，Tn）≤ exp[（）- lt） （Tn）- t） （5.3）有关长期利率市场数据，请参考欧洲中央银行[2015]的欧元市场数据，以及联邦储备系统理事会[2015]的美元市场数据。尽管如此，t∈ [0，u]之后l≤ lT≤ lufor all t∈ [0，u]根据DIR定理（例如，参见Hubalek等人[2002]），我们得到了n≥ Nuon Au，nit holdsep[- ( + lu） （Tn）- u） ]≤ sup0≤s≤总磷（硫、氮）≤ exp[（）- l) [Tn]。（5.4）对于t≥ 0我们定义（t）：=ω ∈ Ohm : 画→∞sup0≤s≤tSn（s）<+∞.

（5.5）然后我们得到t<u和n≥ NuP（B（t））=Psup0≤s≤tSNu-1（s）<+∞∩画→+∞sup0≤s≤tnXi=NuP（s，Ti）<+∞= P画→∞sup0≤s≤tnXi=NuP（s，Ti）<+∞= P画→∞sup0≤s≤tnXi=NuP（s，Ti）<+∞A，u，nP（A，u，n）+P画→∞sup0≤s≤tnXi=NuP（s，Ti）<+∞Ohm\\A，u，nP(Ohm\\A，u，n）≥ P画→∞sup0≤s≤tnXi=NuP（s，Ti）<+∞A，u，nP（A，u，n）≥ P画→∞nXi=Nusup0≤s≤tP（s，Ti）<+∞A，u，nP（A，u，n）（5.4）≥ P画→∞nXi=Nuexp[（- l) Ti]<+∞A，u，nP（A，u，n）≥ (1 - δ()) → 1关于→ 0，因为它持有P-a.s.limn→∞经验(-lTn+1）经验值(-lTn）=exp(-lδ) ∈ （0,1），这意味着通过r atio测试→∞Pni=0exp[（）- l) Ti]<+∞的P-a.s→ 这意味着，它持有Snn→∞-→ s∞在ucp。因此，通过定理4.1（i）和（iii），我们得到所有t≥ 0表示0<Rt<+∞P-a.s.带RT=s∞（t） 。爆炸式增长的长期简单利率，L=+∞, 是罗迪和休斯顿[2016]提案5.4的结果。现在，让我们研究一下，如果长期收益率消失或爆炸，长期收益率会发生什么变化。我们发现，除了收益率的渐近行为外，还需要关于长期零息债券价格的信息来说明对其他长期利率的影响。用于案例分析当l 是负面的，我们参考H¨artel[2015]。提议5.2。允许lt=0 P-a.s.适用于所有t≥ 0.如果P完全存在于0中≤s≤tPs>0 P-a.s.适用于所有t≥ 0，则所有t的Rt=0和Lt=0 P-a.s≥ 0.证明。根据推论A.2，Snn→∞-→ +∞ 在ucp中，通过应用定理4.1（ii），我们得到Rt=0 P-a.s。

f或所有t≥ 0.为了证明长期简化率为零，我们证明了≥ 0它认为P（B（t））=1，其中B（t）定义为t≥ 0如下b（t）：=ω ∈ Ohm : 画→∞sup0≤s≤tL（s，Tn）=0.我们有所有的t≥ 0P（B（t））（2.2）=P画→∞sup0≤s≤t（Tn- s） P（s，Tn）=0≥ P画→∞（Tn）- t） inf0≤s≤tPs=0= 1.在下文中，我们研究了爆炸式增长的长期收益率。定理5.3。如果l = +∞, 然后0<Rt<+∞ P-a.s.适用于所有t≥ 0和L=+∞.证据首先，我们展示了Snn→∞-→ s∞在ucp。我们通过（B.6）知道这一点≥ 0和所有>0它保持着SPinf0≤s≤t | Y（南，田纳西州）|>(2.1)≥ Pinf0≤s≤t | logP（南，田纳西州）|>TnN→∞-→ 1≥ 0和all>0存在一个Nt∈ N这样的话≥ 新台币inf0≤s≤t | logP（南，田纳西州）|>Tn> 1.- δ（）（5.6）与δ（）→ 0代表→ +∞. >0的定义，u≥ 0和n∈ NA，u，n：=ω ∈ Ohm : inf0≤s≤u | logP（南，田纳西州）|>Tn. （5.7）那么对于n≥ Nu，t<u和B（t）定义为（5.5），我们得到P（B（t））=P画→∞sup0≤s≤tnXi=NuP（s，Ti）<+∞≥ P画→∞nXi=Nusup0≤s≤tP（s，Ti）<+∞A，u，nP（A，u，n）（5.7）≥ P画→∞nXi=Nuexp(-Tn）<+∞A，u，nP（A，u，n）≥ (1 - δ()) → 1关于→ + ∞ 由于比率测试。这意味着Snn→∞-→ s∞在ucp和随后的0<Rt<+∞ P-a.s。

尽管如此，t≥ 由于定理4.1（i），0。Brody and Hughston[2016]的提案5.4导致L=+∞.下表总结了长期收益率对长期掉期利率和长期简单利率的影响。如果长期收益率是P，那么长期收益率是掉期利率是简单利率l = 0<P<+∞ R=0 L=0l > 0 P=0<R<+∞ L=+∞l = +∞ P=0<R<+∞ L=+∞表1：长期收益率对长期利率的影响。5.2长期掉期利率对长期利率的影响在我们研究了长期收益率对长期掉期利率和长期短期利率的影响之后，我们还对这种关系的另一个方向感兴趣。提议5.4。如果Rt=0，则所有t≥ 0，那么lT≤ 所有t组均为0个P-a.s≥ 0.证明。首先，我们展示了Snn→∞-→ + ∞ 在ucp。为此，我们假设SNP在ucp中收敛。然后，根据定理4.1（i），allt为0<RtP-a.s≥ 0，但这是一个矛盾，因此会收敛到+∞ 在ucp。因此lT≤ 0 P-a.s.f或所有t≥ 0，根据定理5.1和5.3。现在，我们研究长期利率的行为，如果长期利率严格为正。提议5.5。如果0<Rt<+∞ P-a.s.适用于所有t≥ 0，那么lT≥ 0和Lt>0P-a.s.适用于所有t≥ 0.证明。我们从推论4.3得知Rt≤ 所有t组均为0个P-a.s≥ 如果SNS收敛，则为0+∞ 在ucp。因此，如果所有t的Rt>0 P-a.s≥ 0，我们有Snn→∞-→ s∞inucp。然后，根据H¨artel[2015]的命题3.2.3和3.2.9，它持有SP-a.s。lT≥ 0代表所有t≥ 0.此外，对于所有t≥ 0是阿尔特尔[2015]第3.2.11条命题的结果。现在唯一剩下的情况是严格负的长期掉期利率。提议5.6。如果-∞ < Rt<0 P-a.s.，适用于所有t≥ 0，那么lT≤ 0和Lt=0P-a.s.适用于所有t≥ 0.证明。首先，我们展示了Snn→∞-→ +∞ 在ucp。从定理4.1（i）可知，Rt>0p-a.s。

尽管如此，t≥ 如果SNS收敛到S，则为0∞在ucp中，但这与Rt<0 P-a.s.的所有t≥ 0.根据定理5.1和5.3，它是lT≤ 0 P-a.s.f或所有t≥ 0.自Snn以来→∞-→ +∞ 在ucp和R<0中，根据定理4.1（ii），我们得到P不完全存在，因此Lt=0 P-a.s.f或所有t≥ 因为引理A.3。在下表中，我们使用之前的结果以及引理A.3总结了长期掉期利率对其他长期利率的影响。注意-∞ < Rt<+∞ P-a.s.适用于所有t≥ 定理4.1（iii）中的0。因此，只需区分三种不同的情况，Rt=0，0<Rt<+∞, 和-∞ < Rt<0 P-a.s.，适用于所有t≥ 0.如果长期利率为P，则长期利率为收益率为简单利率isR=0≤ P<+∞ l ≤ 0 0 ≤ L≤ +∞0<R<+∞ P=0l ≥ 0<1≤ +∞-∞ < R<0 P=+∞ l ≤ 0 L=0表2：长期掉期利率对长期利率的影响。5.3长期简单利率对长期利率的影响最后，我们想知道长期简单利率对长期收益率和长期掉期利率的影响。自从≥ 所有t组均为0个P-a.s≥ 0，则有必要调查三种不同的情况，其中Lt=0或0<Lt<+∞P-a.s.适用于所有t≥ 0或L=+∞.定理5.7。如果≥ 所有t组均为0个P-a.s≥ 0，那么lT≤ 0和Rt≤ 全日制每年0美元≥ 0.此外，对于所有t≥ 如果Pt<+∞ P-a.s.适用于所有t≥ 0.证明。为了便于模拟，我们证明了Lt=0 P-a.s.情况下的结果≥ 0.0的一般情况≤ L<+∞ 这是完全相似的。首先，我们来看看Snn→∞-→ +∞ 在ucp。我们都知道这一点≥ 而所有这些都是旧的sup0≤s≤t | L（南，田纳西州）|≤ N→∞-→ 1，即所有t的（2.2）≥ 0和所有>0存在Nt∈ N这样的话≥ 新台币sup0≤s≤TTn- sP（s，Tn）- 1.≤ > 1.- δ（）（5.8）与δ（）→ 0代表→ 0

>0的定义，u≥ 0和d n∈ NA，u，n：=ω ∈ Ohm : sup0≤s≤UTn- sP（s，Tn）- 1.≤ . （5.9）让我们定义t≥ 0B（t）：=ω ∈ Ohm : 画→∞inf0≤s≤尖沙咀(s)+∞.对于t<u和n≥ 然后我们得到p（B（t））≥ P画→∞nXi=Nuinf0≤s≤tP（s，Ti）=+∞A，u，nP（A，u，n）（5.9）≥ P画→∞nXi=Nu1+Ti=+∞A，u，nP（A，u，n）≥ (1 - δ()) → 1关于→ 这意味着Snn→∞-→ +∞ 在ucp中，因此lT≤ 全日制每年0美元≥ 0，根据定理5.1和5.3。长期掉期利率的行为是理论4的直接结果。1（ii）和推论4.3。最后，我们对爆炸式增长的长期简单利率对长期收益率和长期掉期利率的影响感兴趣。定理5.8。如果L=+∞, 然后lT≥ 0和Rt>0 P-a.s.适用于所有t≥ 0.证明。我们证明了Snn→∞-→ s∞在ucp。通过（B.6）我们知道≥ 0和所有M>0Pinf0≤s≤tL（南、北）>MN→∞-→ 1.因此，对于所有t，它都是（2.2）≥ 0和存在Nt的所有>0∈ 这是所有人的≥ 新台币Tnsup0≤s≤总磷（硫、氮）≤ > 1.- δ（）（5.10）与δ（）→ 0代表→ 0.那么，让我们定义>0，u≥ 0和n∈ NA，u，n：=ω ∈ Ohm : Tnsup0≤s≤向上（南，田纳西州）≤ . （5.11）对于t<u和n≥ Nu我们通过（5.10）获得，其中B（t）定义为（5.5）thatP（B（t））≥ P画→∞nXi=Nusup0≤s≤tP（s，Ti）<+∞A，u，nP（A，u，n）≥ (1 - δ()) → 1关于→ 0.表3总结了长期简单利率对其他长期利率的影响。如果长期利率为P，那么长期利率为简单利率，收益率为掉期利率为0≤ L<+∞ 0≤ P<+∞ l ≤ 0 R=00≤ L<+∞ P=+∞ l ≤ 0-∞ < R≤ 0L=+∞ P=0l ≥ 0<R<+∞表3：长期简单利率对长期利率的影响。6特定期限结构模型中的长期利率在本节中，我们计算两种特定模型中的长期利率，即Lessaker-Hughston模型和线性理性模型。