长期互换利率与长期利率的一般分析

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英文标题：
《The Long-Term Swap Rate and a General Analysis of Long-Term Interest
  Rates》
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作者：
Francesca Biagini, Alessandro Gnoatto, Maximilian H\\\"artel
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce here for the first time the long-term swap rate, characterised as the fair rate of an overnight indexed swap with infinitely many exchanges. Furthermore we analyse the relationship between the long-term swap rate, the long-term yield, see Biagini et al. [2018], Biagini and H\\\"artel [2014], and El Karoui et al. [1997], and the long-term simple rate, considered in Brody and Hughston [2016] as long-term discounting rate. We finally investigate the existence of these long-term rates in two term structure methodologies, the Flesaker-Hughston model and the linear-rational model. A numerical example illustrates how our results can be used to estimate the non-optional component of a CoCo bond.
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中文摘要：
我们在这里首次介绍了长期掉期利率，其特征是具有无限多个交易所的隔夜指数掉期的公平利率。此外，我们还分析了长期掉期利率与长期收益率之间的关系，见Biagini等人[2018]，Biagini和H\\“artel[2014]以及El Karoui等人[1997]，以及Brody和Hughston[2016]中考虑的长期简单利率作为长期贴现率。最后，我们用两种期限结构方法，即Flesaker-Hughston模型和线性理性模型，研究了这些长期利率的存在性。一个数值例子说明了我们的结果如何被用来估计可可键的非选择性成分。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Long-Term_Swap_Rate_and_a_General_Analysis_of_Long-Term_Interest_Rates.pdf (321.01 KB)

2022-5-8 11:29:28 上传

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关键词：Quantitative Mathematical relationship QUANTITATIV mathematica

长期掉期利率和长期利率的一般分析Fancesca Biagini*+, 亚历山德罗·格诺阿托，马克西米利安·哈特尔*2019年6月17日摘要我们在这里首次介绍了长期掉期利率，其特征是有大量交易的隔夜指数掉期的公平利率。此外，我们还分析了长期掉期利率、长期收益率、se e Biagini等人[2018]、Biagini and H¨artel[2014]和El Karoui等人[1997]与长期简单利率（Brody and Hughston[2016]将其视为长期贴现率）之间的关系。最后，我们采用两种长期结构方法，即Flesaker-Hughston模型和线性理性模型，研究这些长期利率的存在。一个数值例子说明了我们的结果如何被用来估计可可键的非选择性成分。关键词：期限结构，隔夜指数掉期，长期收益率，长期简单利率，长期掉期利率。JEL分类：E43、G12、G22。数学学科分类（2010）：91G30、91B70、60 F99。1简介长期利率建模对于投资具有长期期限的成熟证券的金融机构来说是一个非常重要的话题，例如人寿保险或基础设施项目。大多数关注长期利率模型的文章都研究了长期收益率，定义为到期日至到期日的连续合成即期利率，以及这些产品的贴现率，参见Biagini等人[2018]、Biagini and H¨artel[2014]、Dybvig等人[1996]、El Karoui等人[1997]或Yao[2000]。

长期收益率的一个重要特征是Dybvig Ingersoll-Ross（DIR）*LMU大学数学系，德国慕尼黑德雷西大街39号，D-80333，电子邮件：francesca。biagini@math.lmu.de.+中学：奥斯陆大学数学系，地址：挪威奥斯陆0316布林登1053号信箱维罗纳大学经济系，Via Cantarane 2437129维罗纳，意大利电子邮件：alessandro。gnoatto@univr.ittheorem，表明长期产量是一个非递减过程。首先在Dybvig等人[1996]中展示，然后在Goldammer and Schmock[2012]、Hubalek等人[2002]、Kardaras and Platen[2012]、McCulloch[2000]和Schulze[2008]中讨论。根据Bro-dy和Hughston[2016]的说法，DIR定理最终意味着，到期时间较长的贴现现金流被夸大了，因此使用这种长期利率不适合于对遥远未来到期的项目进行估值。为了克服这个问题，在Brody and Hughston[2016]中，作者建议使用长期简单利率贴现，该利率被定义为具有不确定性的简单即期利率。基于文献中正在进行的讨论，我们在本文中研究了替代长期利率。我们在这里首次介绍了长期掉期利率，我们将其定义为固定到流动掉期的公平固定利率，与众多交易所进行交易。据我们所知，到目前为止，还没有任何文献试图研究长期掉期利率。特别是，我们将注意力集中在掉期利率上，因为与零息债券不同，掉期利率在市场上是可以直接观察到的。我们对长期掉期利率的兴趣也源于观察到一些金融产品可能涉及在可能无限的时间范围内交换现金流。

2008年金融危机后，一种或有可转换债券（CoCo）成为了热门债券。这些产品是由信贷机构发行的债务工具，其中嵌入了银行将债务转换为股权的选项，通常是为了克服银行资本不足的情况（参见Albul等人[2010]、Brigo等人[2015]、Du ffie[2009]、Flannery[2005]和Flannery[2009]）。在危机过程中，伯南克[2009]指出了可可债券对于金融机构保持一定资本水平的重要性。在Dud ley[2009]中，它们在系统相关金融机构中的使用增加是危机后加强金融系统应实现的三个要点之一。正如Brigo等人[2015]所述，这些工具的价值可以分解为由普通债券和奇异期权组成的投资组合。Brigo等人[2015]提出了有限期限可可债券的估值方法，而Albul等人[2010]也考虑了无限期限的情况。这一结果具有实际意义，因为市场上销售的一些产品的成熟度相当于完整性（参见PLC[2014a]）。在CoCombond到期日不确定且非可选部分的息票即将到期的情况下，自然会要求提供一种工具，以对冲合同非可选部分涉及的利率风险。与众多交易所进行的固定利率互换可以作为可可债券承受的利率风险的对冲产品。定义此类掉期的主要输入是其固定利率，即长期掉期利率。此外，长期掉期利率在多曲线自举的情况下也可能发挥重要作用。

正如我们将在下文中看到的，我们将集中研究隔夜指数掉期（OIS）合约。根据后危机市场实践，此类OIS合同构成了自举程序的输入报价，该程序允许构建一条搜索曲线（参见Cuchiero等人[2016a]或Henrard[2014]）。有鉴于此，长期掉期成为一个自然对象，从中可以推断出贴现曲线长期的信息。本文的主要结果是对长期利率的定义及其性质以及与长期收益率和长期简单利率的关系的研究。特别是，我们得出长期掉期利率始终存在，且该利率为常数或非单调。在有限加权和收敛的情况下∞对于键，我们能够为R提供一个明确的独立于模型的公式，而ich只依赖于S∞, 见（4.2）。因此，长期掉期利率可以代表长期投资的另一种贴现工具，因为它始终是有限的、非单调的、可以明确描述的，并且可以由市场上现有的产品推断出来。作为对正在进行的关于长期投资的合适贴现因素的讨论的贡献，我们随后以无模型方法对长期收益率、长期简单利率和长期掉期利率之间的关系进行了全面分析。特别是，我们研究其中一个长期利率的存在如何影响其他利率的存在和完整性。该分析显示了使用长期swaprate作为贴现率的优势，因为当其他利率可能为零或爆炸时，它始终保持不变。本文的结构如下。

首先，我们在第2节中介绍一些必要的先决条件，例如不同种类的利率和利率互换，特别是OIS。然后，第3节和第4节描述了三种渐近利率，以及长期掉期利率的一些重要特征，如无模型公式。在第5节中，我们研究了每个长期利率对其他利率的存在和确定的影响。最后，在第6节中，我们将分析一些选定的期限结构模型中的长期利率。我们选择了Flesaker和Hughston[1996]提出的Flesaker-Hughston方法，以及Filipovi\'c等人[2017]提出的线性有理项结构方法，因为它们还包括广泛的有效兴趣模型，并具有一些吸引人的特征，如高度可处理性和差异的简单形式。在这两种情况下，我们计算长期掉期利率和其他长期利率。最后，我们用一个数值例子来说明如何利用我们的结果来估计可可键的非选择性成分。2固定收益设置2。1.利率我们现在介绍一些符号。假设以下所有数量与无风险曲线相关，在危机后的市场环境中，可以用抵押交易中使用的隔夜曲线近似（参见Cuchiero等人[2016a]第1.1节）。首先，我们定义了一种零息票债券在t时刻的合同价值，其成熟度t>t为P（t，t）。它保证持有人在时间T支付一个单位的货币，因此P（T，T）=1代表所有T≥ 0.我们假设存在一个无摩擦的零息票债券市场，时间T>0，且p（T，T）在T中是可微的。下面我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）被赋予过滤F:=（Ft）t≥0满足正确连续性和完整性的通常假设。

此外，我们只考虑有限正息债券价格，即0<p（t，t）<+∞ 所有0人的P-a.s≤ T≤ T然后，我们将[t，t]的收益率定义为[t，t]Y（t，t）的连续合成即期汇率：-对数P（t，t）t- t、 （2.1）isL（t，t）的简单即期汇率：=t- TP（t，t）- 1.. （2.2）时间t的短期利率定义为rt:=limT↓tY（t，t）P-a.s.（2.3）相应的货币市场账户由（βt）t表示≥0带βt:=expZtrsds. （2.4）特别是我们假设一个无套利的环境，其中贴现债券价格过程p（t，t）βt，t∈ [0，T]是所有T>0的（F，P）-鞅。这意味着，大型金融市场由大量债券组成，在没有风险消失的渐近自由午餐的意义上是无套利的，见Cuchiero等人[2016b]假设2.2和Cuchiero等人[2018]。这也意味着β的定义很明确，即Rt|rs|ds<∞ a、 为所有人服务≥ 0.我们假设使用p（t，t）βt，t的c`adl`ag版本∈ [0，T]，对于所有T>0。结果是p（t，t），Y（t，t），L（t，t），t∈ [0，T]都是序列中的c`adl`ag过程。2.2利率掉期合约是两个交易对手交换ge现金流的衍生品。存在不同种类的掉期合同，包括来自商品、信用风险或不同货币贷款的现金流。

就利率互换而言，由于最近的金融危机，对此类债权的评估代表了多曲线模型讨论的一个方面。虽然对多曲线模型文献的调查超出了本文的范围，但我们仅限于指出，即使在危机后，也有一些特定类型的利率互换，其评估公式与单曲线危机前标准利率互换的评估公式相同。由于这种被称为OIS的工具在贴现曲线的构建中起着关键作用，我们将重点研究它们，避免定义一个完整的多曲线模型。我们认为n的格式为0<T<T<····<Tn<··，（2.5）∈ N.我们设置δi:=Ti- 钛-1.我∈ N\\{0}。在OIS合同中，流动支付与EONIA等复合隔夜利率挂钩。每次Ti，i=1，2，…，一方必须支付的可变利率，是δi′L（Ti-1，Ti）和“L（Ti-1，Ti）表示[Ti]的复合隔夜利率-1.Ti]。该比率由（参见菲利波维奇和特罗尔[2013]的方程式（10））L（Ti）给出-1，Ti）=δIexpzTi-1rsds！- 1.固定n，指[T，Tn]期间的OIS利率，即初始时使theOIS值等于零的固定利率，指的是T≤ TROIS（t；t，Tn）=Pni=1EPhexp-RTitrsdsδi′L（Ti）-1，Ti）FtiPni=1P（t，Ti）δi=P（t，t）- P（t，Tn）Pni=1P（t，Ti）δi（2.6）或一般情况下（t；t，Tn）=P（t，t）- P（t，Tn）RTnTexp(- （s）- t） Y（t，s））ξ（ds），其中ξ是（R+，B（R+）的度量，Y是（2.1）中定义的产量。注（2.6）中的th对应于单曲线设置中的par掉期利率公式。在下面的例子中，我们只考虑了O是交换和setR（t，Tn）：=ROIS（t；t，Tn）（2.7）表示所有t≤ 注2.1。注意，在（2.7）中，我们设置了T=T。

这相当于将利率R（t，t）视为与OIS合同的展期相关。这在我们的模型中是可能的，因为我们承认存在任何期限T>0的债券。有关参考文献的完整列表，感兴趣的读者可参考Cuchiero等人[2016a]。3长期利率在本节中，我们考虑一些可能的长期利率。我们特别关注长期收益率和长期简单利率，这已经在文献中有所定义（参见El Karoui等人[1997]和Brody and Hughston[2016]）。长期收益率可以用不同的方式定义。一些文章研究了具有一定到期时间的利率，以接近“长期”的概念，例如，在Yao[2000]中，研究了到期时间超过30年的收益率曲线，Shiller[1979]认为超过20年的收益率是“长期”的，而欧洲央行将10年视为一个barr ier，参见欧洲中央银行[2015]。另一种方法是通过确定到期日来观察收益率曲线的不对称行为。Biagini等人[2018]、Biagini and H¨artel[2014]、Dybvig等人[1996]、El Karoui等人[1997]使用了这种方法。根据上述原则，我们介绍了我们的第一个研究对象，并确定了长期收益率l:= (lt） t≥0asl·:= 极限→∞Y（·，T），（3.1）如果极限存在于紧集上概率一致收敛的意义上（ucp收敛）。如果（3.1）中的限制存在，但它是有限的、正的或负的，请参见定义B.3，我们将l = ±∞ 为了简单起见。在本文的后半部分，我们还将对其他长期利率使用这种不恰当的表示法。我们记得长期收益率的过程l 是DIR定理（参见Dybvig等人[1996]的定理2]）的一个非递减过程，Dybvig等人对此进行了验证。

[1996]并在Goldammer和Schmock[2012]、Hubalek等人[2002]以及Kardaras和Platen[2012]中进一步讨论。Brody and Hughston[2016]建议考虑一种特定的长期简单利率模型，用于贴现遥远未来发生的现金流。通过使用指数贴现系数，长期项目的贴现价值将在很长一段时间内实现，在大多数情况下将被过度贴现，因此无法证明总体项目成本的合理性。为了解决这个问题，布罗迪和休斯顿[2016]的作者提出了“社会贴现”的概念，即长期简单利率用于贴现遥远未来的现金流。为了将这一有趣的方法融入我们的考虑，我们现在定义了长期简单速率过程l:=（Lt）t≥0asL·：=极限→∞L（·T），如果ucp中存在限制，其中L（T，T）在（2.2）中定义。注意≥ 0P-a.s.适用于所有t≥ 0乘以（2.2）。我们介绍了过程P:=（Pt）t≥0asP·：=limT→∞P（·，T），（3.2）关于ucp收敛的定义和一些附加结果，读者可参考附录B部分。如果ucp中存在限制（有限或有限）。关于longbond的另一种定义，请参见秦和林茨基[2018]。备注3.1。我们注意到，由于我们假设债券价格为c`adl`ag，我们还得出，上文和第4节中引入的所有长期利率均为c`adl`ag。在续集中，我们将使用Protter[2005]第一章第一节的定理2，它告诉我们，对于两个右连续随机过程X和Y，它认为Xt=YtP-a.s≥ 0相当于所有t的toP-a.s≥ 0，Xt=Yt。我们定义Sn:=（Sn（t））t≥0带N（t）：=ZNTEXP(- （T）- t） Y（t，t））ξ（dT），t≥ 0，考虑到具有有限多个交换日期的期限结构。