长期互换利率与长期利率的一般分析

我们注意到，这类模型还包括一个有效的利率模型。让(Ohm, F、 F，P）是第2.1.6.1节Flesaker-Hughston模型中长期利率中引入的过滤概率空间。我们现在推导Flesaker-Hughston利率模型中的长期掉期利率。该模型已在Flesaker和Hughston[1996]中引入，并在Musiela和R utkows k i[1997]和Rutkowski[1997]中进一步发展，参见alsoRogers[1997]。这种方法的主要优点是，它只指定非负利率，并且具有高度的可处理性。应用程序的另一个特点是，除了债券价格、短期和远期利率的相对简单的模型外，还有可用的上限、下限和互换期权的封闭式公式。在下文中，我们首先简要概述了Rutkowski[1997]中详细阐述的广义Flesaker-Hughston模型，然后考虑两个具体案例。该模型的基本输入是一个严格正的上界(Ohm, F、 F，P）表示国家价格密度，因此零息债券价格可以表示为asP（t，t）=EP[AT | Ft]AT，0≤ T≤ T，（6.1）表示所有T≥ 0.对于所有T，它紧跟在P（T，T）=1之后≥ 0和P（t，U）≤P（t，t）表示所有0≤ T≤ T≤ U、 也就是说，零息债券价格在到期时是一个递减过程。这种选择保证了所有到期日的正向远期和短期利率（参见Flesaker和Hughston[1996]的方程式（10）和（11））。在这种方法中，要对长期收益率和wap率进行建模，需要有一个特定的选择。关于这一点，我们关注第2节中介绍的两个特殊情况。鲁特科夫斯基[1997]第3页。例6.1。上鞅A由at=f（t）+g（t）Mt，t给出≥ 0，（6.2）式中f，g:R+→ R+是严格正的递减函数，M是严格正的鞅(Ohm, F、 F，P），其中M=1。

我们将在这个问题中考虑M的c`adl`ag版本。从（6.1）可以看出，对于所有0≤ T≤ TP（t，t）=f（t）+g（t）Mtf（t）+g（t）Mt.（6.3）通过选择严格的正递减函数f和g，可以很容易地拟合初始收益率曲线，即p（0，t）=f（t）+g（t）f（0）+g（0）（6.4）对于所有t≥ 0.对于长期收益率和掉期利率的计算，我们假设f和g hold渐近行为的以下条件：f：=∞Xi=1f（Ti）<+∞ , G:=∞Xi=1g（Ti）<+∞ , （6.5）带F，G∈ R+。从（6.5）开始，紧接着就是极限→∞f（t）=limt→∞g（t）=0，因此所有t的Pt=0≥ 0.在Flesaker和Hughston[1996]中假设了这种情况，而在这里，它来自（6.5）。我们也得到了所有的t≥ 0秒∞（t） =δF+GMtf（t）+g（t）MtP-a.s.sincesup0≤s≤TnXi=1f（Ti）+g（Ti）Msf（s）+g（s）Ms-F+GMsf（s）+g（s）Ms= sup0≤s≤TMsf+g（s）MsnXi=1g（Ti）- G+Pni=1f（Ti）- Ff（s）+g（s）Ms→ 所有t组均为0个P-a.s≥ 因此概率为0，因为≤s≤tMsf（s）+g（s）Ms≤ sup0≤s≤tMsg（s）Ms≤g（t）<+∞.然后，通过命题4.1，它保持P-a.s.Rt=f（t）+g（t）Mtδ（f+GMt），t≥ 0.（6.6）现在，我们还想计算该模型规范中的长期收益率。这是我的全部≥ 0l·（3.1）=极限→∞Y（·，T）（2.1）=（6.3）- 极限→∞T-ucp中的1log（f（T）+g（T）M·）。（6.7）我们从5.5号提案中得知：lT≥ 所有t组均为0个P-a.s≥ 由于（6.6）和P消失，长期掉期利率严格为正。让我们考虑一个简单的例子，其中f（t）=exp(-αt），g（t）=exp(-βt）和0<α<β。然后，f和g是严格正函数，并且理论检验表明f和g的有限和是存在的。我们用α来表示它们∞:=∞Xi=1exp(-αTi），β∞:=∞Xi=1exp(-βTi）和0<β∞≤ α∞.

因此，所有要求的条件都已满足，我们得到了长期掉期利率和长期收益率的以下等式，分别为Lyrt（6.6）=exp(-αt）+exp(-βt）Mtδ（α∞+ β∞Mt），t≥ 0，以及l·(6.7)= - 极限→∞T-1log（f（T）+g（T）M·=- 极限→∞T-1log（exp(-αT）（1+exp(- (β - α） T）M·））=α+limT→∞T-1日志（1+exp）(- (β - α） T）M·）=uc p中的α。根据定理5.1，L（T，Tn）n→∞-→ +∞ 在ucp。这个结果也可以通过直接计算得到，因为对于所有的t≥ 0sup0≤s≤特克斯(-αs）+exp(-βs）MsT试验(-αT）+T exp(-βT）MsT→∞-→ +∞ P-a.s.，即概率，因为M是c`adl`ag。例6.2。在Flesaker-Hughston模型的第二个特例中，超鞅A定义为asAt=Z∞tφ（s）M（t，s）ds，t≥ 0，其中对于每一个s>0，过程ss M（t，s），t≤ s、 是严格正鞅(Ohm, F、 F，P）与M（0，s）=1∞φ（s）M（t，s）ds<+∞ 所有的P-a.s≥ 0和φ：R+→ R+是一个严格正的连续函数。从（6.1）到0≤ T≤ TP（t，t）=R∞Tφ（s）M（T，s）dsR∞tφ（s）M（t，s）ds，（6.8）对于所有t≥ 0.通过对ze ro息票债券价格与到期日的差异，我们发现初始期限结构满足φ（t）=-P（0，t）t（参见Flesaker和Hughston[1996]的等式（6））。根据（6.8）我们得出，对于所有t，Pt=0 P-a.s≥ 0.我们定义Qn:=（Qn（t））t≥0为所有n≥ 0带qn（t）：=nXi=1Z∞Tiφ（s）M（t，s）ds，并假设对于Q:=（Q（t））t≥我们有Q（t）：=∞Xi=1Z∞Tiφ（s）M（t，s）ds<+∞尽管如此，t≥ 0，那是Qnn→∞-→ Q在u cp中。然后，我们→∞-→ s∞< +∞ 因此，长期掉期利率和长期收益率也在ucp中趋同。根据定理4.1（i）长期掉期利率isRt=R∞tφ（s）M（t，s）dsδP∞i=1R∞Tiφ（s）M（t，s）ds，t≥ 0 . （6.9）现在，我们再次想知道这种情况下的长期收益率。

它坚持住了l·= - 极限→∞T-1日志Z∞Tφ（s）M（·s）ds在ucp。从命题5.5我们知道lT≥ 0 P-a.s.f或所有t≥ 0，因为所有t的Rt>0 Pa.s≥ 0因（6.9）而消失。还有，上尉≥ 所有t组均为0个P-a.s≥ 0根据命题5.5.6.2线性理性方法中的长期利率，菲利波维奇等人[2017]首次引入了线性理性期限结构模型。这门课有几个优点：它很容易处理，并且对1997年以来的利率互换和互换数据有很好的帮助。此外，非负利率是有保证的，影响波动性和风险溢价的未经规划的因素是可容纳的，对期权的分析解决方案是可接受的。我们假设存在状态p赖斯密度，即正适应过程a:=（At）t≥0on(Ohm, F、 F，P）使得任何时间t现金流t的时间t的价格∏（t，t）由∏（t，t）=EP[ATCT | Ft]at，0给出≤ T≤ T，（6.10）表示所有T≥ 0.我们特别假定，状态价格密度A由多变量因子过程X:=（Xt）t驱动≥0与状态空间E Rd，d≥ 1，其中dxt=k（θ- Xt）dt+dMt，t≥ 0，（6.11）对于某些k∈ R+，θ∈ 和一些鞅M:=（Mt）t≥0在E上。我们假设使用X的c`adl`ag版本。接下来，A定义为asAt:=exp(-αt）φ + ψXt, T≥ 0，（6.12）带φ∈ R和ψ∈ 使得φ+ψx>0表示所有x∈ E、 和α∈ R.it保持α=su-px∈Ekψ(θ-x） φ+ψxto担保非负短期利率（参见方程式（6）和Vi\'c等人[2017]）。然后，方程（6.10），（6.11），（6.12），以及所有T的P（T，T）=1的事实≥ 0，导线顶部（t，t）=φ + ψθ经验(-α（T）-t） ）+ψ（Xt）- θ） 经验(- （α+k）（T）-t） ）φ+ψXt（6.13）适用于所有0≤ T≤ T因此，Pt=0 P-a.s。

尽管如此，t≥ 通过比率测试我们知道≥ 0α∞（t） :=∞Xi=1exp(-α（Ti）-t） ）<+∞ , β∞（t） :=∞Xi=1exp(- （α+k）（Ti）-t） ）<+∞ .那么不管怎样≥ 每年0美元∞（t） （6.13）=φ + ψθα∞（t） +ψ（Xt）- θ) β∞（t） φ+ψXt<+∞ . （6.14）根据命题4.1，对于所有≥ 0p-a.s.Rt（6.13）=（6.14）φ+ψXtδ（（φ+ψ）θ) α∞（t） +ψ（Xt）- θ) β∞（t） ）。最后，我们想知道线性理性结构方法中长期收益率的形式。我们定义y:=φ+ψθ，看看这个≥ 0holdslogy+ψsup0≤s≤tXs-θE-k（T）-（t）≥ loghy+ψ（Xt）-θ） e-k（T）-t） ias well as loghy+ψ（Xt）-θ） e-k（T）-t） 我≥ 日志y+ψinf0≤s≤tXs-θE-k T.这就产生了所有t的P-a.s≥ 0sup0≤s≤Tα+logP（s，T）T（6.13）=sup0≤s≤TαsT+Tloghy+ψ（Xs）-θ） e-k（T）-s） 我≤ sup0≤s≤TαsT+ sup0≤s≤tTloghy+ψ（Xs）-θ） e-k（T）-s） 我T→∞-→ 0因为sup0≤s≤tXs<∞ P-a.s.适用于所有t≥ 0，因为X是c`adl`ag。因此，我们有所有的≥ 0那个极限→∞sup0≤s≤tY（s，T）=αP-a.s.，因此在概率上，即我们得到lt=所有t的αP-a.s≥ 0.在α为正的情况下，由于定理5.1.7的应用：可可债券非可选成分的估值，长期的简化率爆炸。在本节中，我们应用我们在长期掉期利率上的结果来评估可可债券的非可选成分。近年来，几家银行发行了具有永久特征的可可债券。它们是永久的，因为如果不执行转换期权，到期时间是无限的。因此，这种金融产品可以理解为一种结合了嵌入期权的永久浮动利率债券。对于投资者来说，了解期权和非期权的价值对于做出明智的投资决策至关重要。

我们校准长期wap利率的模型，并使用得到的规格计算对应于COCO债券非可选部分的个人浮动利率债券的价格。具体而言，我们考虑巴克莱发行的ISIN XS1002801758 CoCo债券，见PLC[2014b]。在与第6.1节相同的设置下，我们假设严格正鞅M=（Mt）t≥0in（6.2）满足度Dmt=σtMtdWt，M=1，（7.1），其中W=（Wt）t≥0是一个一维的布朗运动(Ohm, F、 F，P）和σ=（σt）t≥0是一个确定性连续函数+∞σsds<∞. 对于（6.3）中的函数f，g，我们设置f（t）=ke-αt，g（t）=ke-βt，t≥ 我们认为- 钛-1=δ，对于所有i=1，··。特别是，我们选择她的eδ=3个月，这是realmarkets掉期到期之间的典型间隔。作为第一步，我们估计贴现因子的期限结构。这是通过考虑2016年12月日隔夜指数掉期的市场数据得出的。根据隔夜指数掉期的市场价格，我们依靠Finmath Java库（见FR ies[2018]）建立了贴现因子的aterm结构。其次，我们通过最小化自举得到的零息债券的期限结构和（6.4）的右边之间的平方距离来估计（6.4）中函数f、g、f和g的参数。我们得到f函数f的k=0.4894723和α=0.1536072，函数g的k=8.6235042和β=0.0117588。通过使用这个结果，我们通过在1000年的时间范围内对（6.5）个时间离散化中的和进行评估来计算f=165.95163和g=11742.367。关于（7.1）中的波动率函数σ，我们设置σt=e-λt.对于参数λ的估计，我们依赖于备注4.2。

由于长期掉期利率与永久债券的综合利率成比例，我们使用aconsol债券的时间序列数据来估计缺失的波动率参数。我们考虑Isin BMG7498P 3093永久债券的收益率，并进行最大似然估计，得到λ=0.0748829。在给定工艺R的完整规格的情况下，我们估计可可债券XS1002801758的非可选部分的价值。让PNO（T）表示时间T时非可选部分的价格。从CoCo的条款清单中，我们观察到，到2020年，投资者最初收到8%的固定息票，不可能进行转换。另一方面，当债权开始表现出期权特征时，投资者将获得6.75%加上中端市场掉期利率。CoCo中涉及的支付流的非可选部分的简单估算是通过考虑以下单位名义上的永久债券给出的：PNO（T）=NXi=0P（T，Ti）（RTi+S），其中我们将有限总和截断为N=50。欧元银行间同业拆借利率Eonia利差S=0.0011的长期估计值是通过假设欧元银行间同业拆借利率Eonia利差f为常数或期限大于50年的自举曲线得出的。使用（6.6）我们模拟了长期掉期利率R的动态，并通过蒙特卡罗模拟得出PNO（T）=0.1969。通过使用2016年12月22日观察到的XS1002801758的市场价格p ricePMKT（T）=1.05386，我们立即推断出我们对嵌入可选部件价值的估计，其等于0.85695。这一结果表明，可可债券的价格主要由嵌入期权驱动。

由于期权是在一个名义单位上书写的，因此可以得出这样的结论：期权倾向于标的资产的头寸。暴徒的行为∞为了研究第3节中的长期掉期利率以及第5节中不同的长期利率之间的关系，我们需要获得关于固定金额的一些结果∞（3.4）中定义的债券价格。我们还记得，我们考虑了一个c<supi的男高音结构∈N\\{0}（Ti）- 钛-1） <C对于某些C，C∈R+，c<c。接下来的两个陈述给出了长期零息票债券价格和这些价格之和的渐近行为之间的关系，而引理A.3告诉我们，如果P爆炸，长期简单利率将消失。提议A.1。如果Snn→∞-→ s∞在ucp中，则所有t的Pt=0 P-a.s≥ 0.证明。来自Snn→∞-→ s∞在ucp中，S∞（t） <+∞ P-a.s.适用于所有t≥0.我们得到所有>0和t≥ 0与C，t，n:=ω ∈ Ohm : sup0≤s≤t | P（s，Tn）|>PC，t，n≤ Psup0≤s≤t | Sn（s）- 锡-1（s）|>c= Psup0≤s≤t | Sn（s）- s∞（s） +s∞（s）- 锡-1（s）|>c≤ Psup0≤s≤t（| Sn（s）- s∞（s） |+|Sn-1(s)- s∞（s） |）>c≤ Psup0≤s≤t | Sn（s）- s∞（s） |+sup0≤s≤t | Sn-1(s)- s∞（s） |>c≤ Psup0≤s≤t | Sn（s）- s∞（s） |>c∪sup0≤s≤t | Sn-1(s)- s∞（s） |>c(*)≤ Psup0≤s≤t | Sn（s）- s∞（s） |>c+ Psup0≤s≤t | Sn-1(s)- s∞（s） |>cN→∞-→ 0由于Sn的ucp收敛。因此，Pt=0 P-a.s.f或所有t≥ 0.推论A.2。对于某些t，如果P（Pt>0）>0≥ 0，然后是Snn→∞-→ +∞ 在ucp。证据这是命题a.1的直接结果。引理A.3。如果P=+∞, 对于所有t，它遵循Lt=0 P-a.s≥ 0.证明。它跟在s L（·，Tn）n后面→∞-→ ucp中的0由（2.2）和convergenceto定义+∞ 在ucp中（参见定义B.3）。B UCP收敛概率紧集上一致收敛（UCP收敛）的定义见Protter[2005]第二章第4节。为了方便读者，我们在这里重复这一点。

和以前一样，我们考虑随机基(Ohm, F、 P）被赋予过滤F:=（Ft）t≥0和F∞ F满足通常的假设。所有流程均适用于F.B.1定义。一系列过程（Xn）n∈如果对于每一个t>0，sup0，则Rd中的值以概率一致收敛于紧集上的过程X≤s≤TXNS-Xsk在概率上收敛到0，即对于所有>0的情况，它保持SPsup0≤s≤TXNS- Xsk>N→∞-→ 0 . （B.1）我们写Xnn→∞-→ ucp中的X。定理B.2。让（Xn）n∈南德（Yn）n∈实值过程的Nbe序列。如果（Xn，Yn）n→∞-→ 带sup0的ucp中的（X，Y）≤s≤t|Xs|<+∞ 和sup0≤s≤t|Ys|+∞P-a.s.适用于所有t≥ 0，那么f（Xn，Yn）n→∞-→ 所有f:R的ucp中的f（X，Y）→ 连续的。证据让我们定义νns:=（Xns，Yns），νs:=（Xs，Ys），并让k·k是R上的欧几里德形式。我们必须证明，对于所有的t≥ 0和>0保持SPsup0≤s≤t|f（νns）- f（νs）|>N→∞-→ 0.（B.2）让k≥ 0.那么不管怎样≥ 0它能坚持下去sup0≤s≤t|f（νns）- f（νs）|>sup0≤s≤t|f（νns）- f（νs）|>，sup0≤s≤tkνsk≤ K∪sup0≤s≤tkνsk>k. （B.3）根据海涅-康托定理（参见Canuto和Tabaco[2015]的定理A.1.1），从f continuous可以看出，f在任何有界区间上都是一致连续的，因此对于给定的>0 Aδ>0sup0≤s≤t|f（νns）- f（νs）|>，sup0≤s≤tkνsk≤ Ksup0≤s≤tkνns- νsk>δ，sup0≤s≤tkνsk≤ Ksup0≤s≤tkνns- νsk>δ（B.4）将（B.4）替换为（B.3）会使我们sup0≤s≤t|f（νns）- f（νs）|>sup0≤s≤tkνns- νsk>δ∪sup0≤s≤tkνsk>k.亨塞普sup0≤s≤t|f（νns）- f（νs）|>≤ Psup0≤s≤tkνns- νsk>δ+ Psup0≤s≤tkνsk>k. （B.5）自sup0以来≤s≤t|Xs|<+∞ 和sup0≤s≤t|Ys|+∞ P-a.s.适用于所有t≥ 0，它始终保持不变≥ 0即Psup0≤s≤tkνsk>kK→∞-→ 0.让我们先k→ ∞ 先是d，然后是n→ ∞,从（B.5）中获得（B.2）。为了处理长期利率爆炸的情况，我们现在提供了收敛到±的定义∞ 在ucp。定义B.3。

实值过程序列（Xn）n∈nConverge到+∞在概率上一致地在紧集上，如果对于每一个t>0和M>0，它保持spinf0≤s≤tXns>MN→∞-→ 1.（B.6）我们写Xnn→∞-→ +∞ 在ucp。相应地，实值过程的序列（Xn）n∈接近-∞在概率上一致地在紧集上，如果对于每一个t>0和M>0，它保持spsup0≤s≤tXns<-MN→∞-→ 1.（B.7）然后，我们写Xnn→∞-→ -∞ 在ucp。致谢作者感谢达米尔·菲利波维奇、保罗·瓜索尼、亚历山大·利普顿、克里斯·罗杰斯和沃尔夫冈·伦加尔迪耶在2015年9月于埃弗林·洛桑举行的第七届阿马梅夫将军和Sw Issquet大会上对本文发表的有趣评论。我们也感谢Tomislav Maras在一些模拟方面的帮助。参考资料b。Albul、D.M.Ja ffee和A.Tchistyi。或有可转换债券和资本结构。科尔曼·冯风险管理研究中心工作文件2006-2013、2010年1月1日。伯南克。监管改革。在金融服务委员会的证词，2009年。美国众议院代表。F.比亚基尼和M.H–artel。L’evy期限结构中长期收益率的行为。《国际理论与应用金融杂志》，17（3）：2014年1月至24日。F.比亚基尼、A.格诺阿托和M.赫特尔。关于S+D和长期收益率的有效HJM框架。《应用数学与优化》，77（3）：405–4412018。美联储理事会。选定的利率（每日）。2015年统计发布和历史数据。可从美联储获得：http://www.federalreserve.gov/releases/h15/，查阅日期：2016-07-11。D.布里戈、J.加西亚和N.佩德。CoCo债券的信用和股权定价已通过首次通过公司价值模型的验证。《国际理论与应用金融杂志》，18（3）：2015年1月至31日。D.C.布罗迪和L.P.休斯顿。社会贴现和长期利率。《数学金融》，28（1）：306–334，2016年5月。C