对利他主义态度开放的经济体中的不平等和风险厌恶

第2节回顾了弱帕累托定律的定义，并讨论了如何根据第1小节给出的基尼指数来衡量其集中度的问题。1.1. 接下来的第3C节包含了上述结果的精确公式。第4节讨论了这些结果的一些影响，以期它们适合于政治行动。第5节以第2节和第3.2节中陈述的命题证明的技术细节结束本文。关于弱帕累托定律的一些注记根据Mandelbrot（1960），R上的p.m.πα被认为是指数α>0的弱帕累托定律→+∞xαπα(-∞, -x] =c，limx→+∞xαπα（x+∞) = c（4），c+c>0。根据第1分节中的说明，本节旨在解释α是浓度w.r.t.的测量值，即完全平等分布。1.1. 首先，请注意，在包含s trict Pareto p.d.函数的子类中，bydF（x）=11[x+∞)（x） αxαxα+1dx（x>x）（5）当x>0且α>1时，由洛伦兹-库维贝克诱导的部分有序度为Ome total，并由指数α简单地指示：（5）的浓度曲线读数为аF（θ）=1- (1 - θ)1-1/α(θ ∈ （0，1）），因此很容易检查它是否增加，即经济不平等性随着α的增加而减少。顺便说一句，贝尼尼（1908）是第一个否认这一事实的人。类似的情况也适用于弱帕累托定律的整个类别。事实上，使用P。d、 函数及其相应的p.m.符号可互换，一个是命题2.1。设πα和πα是R上的p.m.，如t hatlimx→+∞xαiπαi(-∞, -x] =c-i、 利克斯→+∞xαiπαi（x+∞) = c+即Perversi和E.Regazzini/14含c-当i=1、2和1<α<α<2时，i+c+i>0。

然后，在（0，1）中有一个合适的θ，使得ππα（θ）≤ 对于（θ，1）中的每个θ，ππα（θ）都成立。证明推迟到第5小节。1.最后一个命题可以用来证明采用α的任何严格递减函数，取[0,1]中的值，作为α>1的弱帕累托定律族内集中度的度量。事实上，除了与（5）相关的函数的行为有关外，我们应该回忆一下Herzel（1968），其中一些浓度指数是根据分别为0和1的小邻域的斜率定义的。对于（0，1）中的α，以下参数有助于将对应的弱pare视为最大集中。事实上，设Fα为与πα相关的p.d.泛函，F（ω）α为Fα的条件限制(-ω、 ω），对于任何ω(-ω、 ω）由Fα充电。定义A（ω）Fα为对应的p。d、 绝对值的函数，也就是R x7→ A（ω）Fα（x）=AFα（x）∧ ω） AFα（ω）。关于第5小节中相应的浓度函数φF（ω）α。1以下事实将得到证明。事实2.2。如果α属于（0，1），那么limω→+∞对于（0，1）中的每一个θ，φF（ω）α（θ）=0。因此，对于较大的ω值，将аF（ω）α视为аFα的近似值-由于a（ω）Fα是AFα的近似值- 我们可以考虑弱Pareto p.d.的πα，0<α≤ 1从基尼的指数观点来看，这是最集中的。鉴于本论文的目的，没有必要确定任何特定的浓度指数，因为主要结论将取决于以下三种关系之一：α=1- 2λ, α > 1 - 2λ, α < 1 - 2λ，α是（3）中描述初始数据u的弱帕累托定律的指数。

原因将非常详细地解释- 但这很容易从第1小节推断出来。2.- 一种经济状况被称为保护导向的奥利加利主义导向或不平等导向，这取决于上述三种关系中的哪一种得到满足。主要结果的精确表述本节致力于第1小节中已阐述的主要结果的完整表述。2.事实上，我们的角色仅限于以适合当前环境的形式重新安排E.Perversi和E.Regazzini/15，巴塞蒂等人（2011年）、巴塞蒂和Perver si（2013年）以及Perversi和Regazzini（2015年）提出的一些著名主张。值得一提的是，限制∞溶液的μtof（3），ast→ +∞, 是指p.m.的弱收敛：ut收敛到p.m.u∞关于R ifut(-∞, x]→ u∞(-∞, x] 在每个x上∞{x} =0。请注意下面的初步陈述，这些陈述将在第5小节中得到证实。3.事实3.1。如果p.d.是（3）的稳态，则存在一个初始p.d.对应的解utof（3）弱收敛，如t→ +∞, 相反，如果对于给定的初始数据，ut弱收敛到p.d.，那么这种极限p.d.是一种稳定状态。因此，当初始数据u发生变化时，描述平衡相当于描述f（3）溶液的极限。关于稳定状态的存在，有一份经济文献，其中保证稳定状态的存在与初始数据的形式无关，但没有提供这些状态的分析定义。

相反，有些模型允许在特定初始p.d.回到第1小节所述框架的情况下，有时获得完美的p.d.均衡。1.3，我们面临一种中间情况，即仅在存在一类不同的初始数据u时，ut曲线才会收敛- 从本质上讲，弱者阶级是法律的一部分- 稳态完全由傅里叶-斯蒂尔杰斯变换确定。这些陈述源自Perversi和Regazzini（2015）中的定理1和定理4，它们被浓缩为以下事实3.2。假设（H）-（H）与τ的边缘p.d.是连续的（6）和以任何点（x，y）为中心的每个开口圆盘的附加条件一起有效∈ [0, +∞),哪个x1-2λ+y1-2λ=1，具有严格的正τ-概率。（7） 然后，为了使（3）的解收敛→ +∞, 对于稳定状态，必须满足以下条件之一：（a）相对r.a.i.λ小于-1/2，并且在时间零点，总收入降低到生存水平（也就是说，u是0时的点质量）。（b） 相对r.a.i.λ等于-1/2，在时间零点，S plus的分布具有零均值和有限方差σ。（c） 相对r.a.i.λ属于（0，1/2），并且在时间零点处的分布是弱帕累托分布（根据（4）），其分量α=1- 2λ.（d） 相对r.a.i.λ等于1/2，时间零点的分布是指数α=1和c=cin（4）的弱帕累托分布。（e） 相对r.a.i.λ属于(-1/2，0），并且在时间零点处的分布是弱帕累托分布（根据（4）），平均值为零，指数α=1- 2λ.E.Perversi和E.Regazzini/16备注3。

就涉及的ex-tra条件（6）和（7）而言，它们只起到技术作用，这可以在Perversi和Regazzini（2015）的定理1、2、4和5的证明中注意到。在任何情况下，（6）的含义都是明确的，而（7）的含义在每次增量时都会自动确定 （而且不仅仅是E()) 联合福利函数在每个契约中都等于零。备注4。值得注意的是，根据Fact3。2.如果u的预期值是有限的，那么它必须等于z e ro。这让人想起一种东西的状态，也就是说，盈余余额低于利润。该评论可以通过引用Perversi和Regazzini（2015）第3.3小节中使用的论点进行改进，从而得出如下结论：→ +∞, 该法律集中于（a+∞)[(-∞, -a） 每a>0，只要a或e所说的期望值为绝对正[分别为负]。在这个阶段，我们可以描述极限稳定状态的形式，结果是稳定定律的比例混合。这里出现稳定的法律并非偶然。事实上，一方面，中心极限定理和解的收敛性之间可以建立联系（3）- 见第5小节。2.- 另一方面，众所周知，稳定法则是i.i.d.随机数的标准和的极限法则。不幸的是，稳定定律g的闭合形式只在极少数情况下已知，但它们的傅里叶-斯蒂尔杰斯变换^g有一个显式表达式，即ISR ξ 7→ ^g（ξ；α，χ，kα，γ）=expniχξ- kα|ξ|α1.- iγξ|ξ|ω（ξ，α）o、 （8）其中α，γ，χ，kα是常数（kα≥ 0, 0 < α ≤ 2, |γ| ≤ 1，如果α=2，条件是γ=0，ω（ξ，α）=tan（πα/2）α6=1=2π-1log |ξ|α=1。在下文中，通过将^g（ξ；α，χ，kα，γ）=eiχξ（ξ），将^g（·；α，χ，kα，γ）推广到任何严格正α∈ R、 α>2）。事实3.3。

如果（3）在（H）-（H）下的解为ut，并且如果（a）-（e）中的一个条件成立，则ut收敛为t→ +∞, 到下午一点∞具有FourierStieltjes变换∞（ξ） =Z+∞^g（ξm1/（1）-2λ); 1.- 2λ，χ，k1-2λ, γ)ν1-2λ（dm）（ξ）∈ R） 在哪里-2λ是[0]上唯一确定的p.m+∞). 此外，函数^g具有以下形式之一，这取决于哪种条件（a）-（e）实际上由u3满足。2:（a\'）^g（ξ；1）- 2λ，χ，k1-2λ, γ) ≡ 1.（b\'）\'≡ E-σξ/2.E.Perversi和E.Regazzini/17（c\'）\'≡ 扩展- k1-2λ|ξ|1-2λ1.- iγξ|ξ| tan（π（1- 2λ)/2)o、 （d\'）\'≡ expniχξ- k|ξo（e\'）\'≡ 扩展- k1-2λ|ξ| 1-2λ1.- iγξ|ξ| tan（π（1- 2λ)/2)o、 k1的值-2λ和γ在第5小节中给出。2，而ν1-2λ与离散随机数序列的极限定律一致。备注5。关于τ的条件，其中u∞只是一个稳定的定律（也就是说，ν1-2λ在某一点降低为单位质量）由命题2 Inbasetti等人（2011）提供。更准确地说：如果-1/2 ≤ λ<1/2，则为极限p。m、 u∞当且仅当τ浓度等于{（x，y）上的整个质量时，约化为稳定定律∈ [0, +∞): x1-2λ+y1-2λ= 1} .基于观察到的收入分布尾部的丰富经验证据，最现实的形式应该是满足条件（e）和（e\'）的形式，在条件（e）和（e\'）下，收入分布的尾部∞与u的类型相同。这一事实可以用数学方法确定，即使无法获得混合的显式形式∞.事实3.4。在（H）-（H）下，让我们∞下午和事实上一样。3和ν1-2λ是非退化的。

然后：（i）如果（c）-（e）中的一个条件有效且c·c>0，则→+∞x1-2λu∞((-∞, -x] ）=cand limx→+∞x1-2λu∞（（x+∞)) = c、 （ii）如果（c）-（e）中的一个条件有效且c>0，c=0，则Limx→+∞x1-2λu∞((-∞, -x] ）=坎迪u∞（（x+∞)) = Oxp作为x→ +∞, 对于每一个正p，使得S（p）<0。（iii）如果（c）-（e）中的条件之一有效且c=0，c>0，则∞((-∞, -x] ）=Oxp还有limx→+∞x1-2λu∞（（x+∞)) = cas x→ +∞, 对于每一个正p，使得S（p）<0。（iv）如果（b）有效且S只允许一个零，则∞((-∞, -x] ）=u∞（（x+∞)) = oxp作为x→ +∞, 对于每一个正p.（v），如果（b）有效，并且S允许两个不同的零，比如1-2λ和l>1-2λ，然后是u∞((-∞, -x] ）=u∞（（x+∞)) ≥M2l1+δxl（logx）1+δ对于每个正δ，对于足够大的x和合适的常数M>0。E.Perversi和E.Regazzini/18因此，与（E）相对应的经济形势被证明是以保护为导向的。此外，一个自然的问题出现了，当u表现出比（e）所规定的更高或更低的不平等水平时，即α取的值小于或大于（1）时，s+分布的极限行为- 2λ).事实3.5。在满足（H）-（H）和（6）且相对r.a.i.λ在(-1/2,0），假设初始数据是（0,2）中指数α的弱帕累托定律。然后：（i）如果α>1，则解utto（3）弱收敛到零质量点- 2λ（以平均主义为导向）。（二）限制→+∞ut((-a、 如果α<1，则每a>0，a=0- 2λ（面向非质量）。第5.3小节将给出这一事实的证据提示。

文中使用的论证表明，当λ属于[0,1/2]时，也会出现收敛到零质量点的情况，如（i）所示，以及模糊收敛到零度量点的情况，如（ii）所示，这取决于弱帕累托初始数据的指数α是否大于或小于1- 2λ.4. 经济含义某些发达经济体的实际特征是，不平等程度会随着时间的推移而增加，因此，事实上，中产阶级也会随之增加。5.可能会被掏空。在前面的章节中进行的分析是否建议采取适当的措施来阻止这一过程，通常是消极的？要回答这个问题，我们必须从事实3中注意到。5（ii）结合事实3.2，该过程源于以下条件：最终弱概率定律的浓度w.r.t.对于给定的相对r.a.i.太高，无法及时保存。然后，针对事实3，旨在扭转这一趋势。3.有两种行动可以单独采取，也可以联合采取。在确定了一个可承受的集中度水平后，对应于指数α的弱帕累托定律，人们应该通过再分配计划（减少贫困的社会支出、高度累进的税收制度、增加高等教育机会等政府政策）将实际的s+分配改变为指数α的弱帕累托定律≤ 1.- 2λ. 这样做之后，政治权威面临以下两种选择：第一，α等于lto（1）- 2λ），λ为实际相对r.a.i。。第二，α比（1）小得多- 2λ). 在前一种情况下，无需采取进一步措施。在后者中，需要更多的假设来修改τ的形式，从而使S的最小零点与α重合。

为此，值得回顾一下众所周知的不平等+∞xpdF（x）=pZ+∞xp-1(1 - F（x））dx≤ pZ+∞xp-1(1 - G（x））dx=Z+∞xpdG（x）。（9） E.Perversi和E.Regazzini/19适用于任何p>0以及[0+∞)这样F（x）≥ G（x）表示每一个x。事实上，因为我们必须改变相对的r.a.i.，使得它可以增加到（1）- α） /2和sincep 7→ S（p）取决于τ的边际p.d.（9）表明，必须确保，由于上述规定（例如，为了阻止任何寻租现象），边际会逐点增加，即确保代理人满足于随机较小的l，尤其是随机较小的r。相反，在事实3所设想的情况下。5（i），经济是以m为导向的，因此有理由预计这种情况可能会遇到障碍。一定程度的不平等可能是不可避免的：事实上，在任何经济体中，比其他人工作更努力、更长时间的个人，基本上都会因为他们投入工作的精力而得到回报。镜面。r、 t.在以不平等为导向的情况下，我们可以通过将实际μt改变为指数接近（且不小于）所需水平α的弱帕累托定律，或者通过修改τ的边际p.d.，使∧l和∧r变得随机更大（即边际增加幅度），来获得不平等的增加。最后一次修改让人想起了所谓的“竞相触底”现象，例如，可以通过削弱商业监管来实现。综上所述，上述考虑的意义在于，它们导致了一些特定的行动，以增加或减少s+的p.d.中的不平等。一方面，人们可以通过资金转移直接影响收入。

另一方面，人们可以采取影响τ形式的独立行动，以改变代理人在风险面前的态度。5.技术补充本节收集了一些必要的评论和证据，主要是从技术角度来完成前几节中提出的一些论点。5.1. 关于弱帕累托定律的集中函数，这一小节提供了关于弱帕累托定律洛伦兹曲线的陈述的证明，这些陈述位于第2节。命题的证明2。1.让我们看看命题措辞中考虑的两条定律中的任何一条。那么limx→+∞xαi1.- Aαi（x）= c+i+c-因此，对于每一个正ε，都有一个正的“xisuch that”-c+i+c-i+εxαi≤ Aαi（x）≤ 1.-c+i+c-我- εxα即Perversi和E.Regazzini/20对每一个x都适用≥ xi。因此，我们可以立即得到c+i+c-我- ε1 - θ1/αi≤ A.-1μαi（θ）≤c+i+c-i+ε1- θ1/αi对每个θ>θi有效，其中θi:=1- （c+i+c）-我- ε） /xαii。从那里，因为αi（θ）=M（Aμαi）ZθA-1μαi（t）dt=1-M（Aμαi）ZθA-1μαi（t）dt，从上面的不等式中可以推断出-M（Aαi）αi（c+i+c）-i+ε）1/αiαi- 1(1 - θ)1-1/αi≤ αi（θ）≤ 1.-M（Aαi）αi（c+i+c）-我- ε） 1/αiαi- 1(1 - θ)1-1/αi对每个θ>θi有效。那么，为了完成证明，验证1就足够了-M（Aα）α（c++c-- ε)1/αα- 1(1 - θ)1-1/α≤ 1.-M（Aα）α（c++c-+ ε)1/αα- 1(1 - θ)1-对于每一个θ<θ<1，1/α保持不变，其中θ：=maxn1-hM（Aμα）M（Aμα）（c++c-- ε） 1/α（c++c）-+ ε)1/αα(α- 1 )α(α- 1）iα/（α）-α） ，θ，θo.事实证明2.2。通过证明与p.d.函数A（ω）Fα相关的浓度函数φF（ω）α，在事实2的陈述前立即引入b e，从而得到证明。2，在（0，1）中逐点收敛到零，ω为+∞.首先，别提那个极限→+∞xα（1）-AFα（x））存在并且等于一个正数，比如l。