布朗半平稳过程的混合格式

然后首先生成{Wni}bnT c-1i=-Nn，使用（3.6）生成{Z（i+1n）-Z（in）}bnT c-1i=-n并采用适当的近似方法产生{σni}bnT c-1i=-之后。然而，这种方法有一个警告，即它会导致额外的近似误差，而不是定理2.5中所量化的。备注3.1。在第2.5节介绍的T BSS过程Y的情况下，观测值Yn（In），i=0，1，混合方案（2.15）给出的bnT c可以通过viaYn计算得出在里面=min{i，κ}Xk=1Lg千牛σni-科尼-k、 k+iXk=κ+1gB*千牛σni-科尼-k、 （3.7）使用随机向量{Wni}bnT c-1i=0和随机变量{σni}bnT c-1i=0。在混合方案中，通常需要κ最多为3。因此，在（3.4）中，firstsumˇXn（in）只需要微不足道的计算效果。相比之下，第二和^Xn（in）中的项数随着n的增加而增加→ ∞. 然后注意到^Xn是有用的在里面=NnXk=1ΓkΞi-k=（Γ？Ξ）i，其中Γk：=0，k=1，κ、 gB*千牛, k=κ+1，κ+2，Nn，Ξk:=σnkWnk，k=-Nn，-Nn+1，bnT c- 1.和Γ？Ξ代表序列Γ和Ξ的离散卷积。众所周知，使用快速傅里叶变换（FFT）可以有效地计算离散卷积。同时计算（Γ？Ξ）如果所有i=0，1，使用anFFT的bnT c是O（Nnlog Nn），参见[23，第79-80页]（A4）下的转换为O（nγ+1log n）。整个混合格式的计算复杂度为O（nγ+1logn），前提是{σni}bnT c-1i=-使用复杂度不超过O（nγ+1logn）的方案生成NNI。作为比较，我们提到使用循环嵌入精确模拟平稳高斯过程的复杂度为O（n logn）[2，第316页]，而Cholesky分解的复杂度为O（n）[2，第312页]。备注3.2。

对于T-BSS过程，via（3.7）混合方案的计算复杂度为O（n logn）。图2展示了使用κ=1、2和b=b的混合方案的BSS过程X的轨迹示例*. 我们选择核函数g作为λ=1的伽马核（例2.3）。我们还使用黎曼和格式，κ=0和b离散X∈ {bFWD，b*} （即，前向黎曼和格式及其对应的最佳选择的评估点）。我们可以做两个观察：首先，我们看到粗糙度参数α如何控制X轨迹的正则性——随着α的减小，X的轨迹变得越来越长。其次，也是更重要的一点，我们看到，尽管我们对驱动布朗运动使用了相同的创新，但来自塞里曼和和混合方案的模拟轨迹可能会有很大不同。事实上，混合方案（κ=1,2）的两种变体产生了几乎相同的轨迹，而黎曼和方案（κ=0）产生了相对平滑的轨迹，随着α的接近，这种差异变得更加明显-. 实际上，在α=-0.499时，两种不同的黎曼和格式都会崩溃，并产生变化很小的异常轨迹，而混合格式会继续产生精确的结果。事实上，混合方案能够重现粗糙BSS过程的精细特性，即使α值非常接近-, 下面一节将进一步报道这一点。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.-10123α = -0.15tXn（t）κ=0κ=1κ=20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.-10123α = -0.45Xn（t）t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.-10123α = -0.499Xn（t）t图2：BSS过程的离散化轨迹，其中g是伽马核（例2.3），λ=1，σ（t）=1表示所有t∈ R

用混合方案（κ=1,2和b=b）生成了由n=50个[0,1]观测值组成的轨迹*) 和黎曼和格式（κ=0和b=b）*（实线），b=bFWD（虚线）），在所有情况下对驱动布朗运动使用相同的创新，Nn=b501。5c=353。对模拟过程进行归一化处理，使其具有单位（平稳）方差。3.2粗糙度参数的估计假设我们有观测值X（im），i=0，1，m、 （2.1）给出的BSS过程X的∈ N.Barndor ff-Nielsen等人[6]和Corcuera等人[16]讨论了如何将粗糙度指数α一致地估计为m→ ∞. 该方法基于频率变化（COF）统计COF（X，m）=Pmk=5十、公里- 2XK-2米+ 十、K-4米Pmk=3十、公里- 2XK-1米+ 十、K-2米, M≥ 5，使用二阶增量和两种不同的滞后长度，比较X的已实现二次变化。Corcuera等人[16]已经证明，在对过程X的一些假设下，它认为^α（X，m）：=log，这些假设类似于（A1）、（A2）和（A3），尽管限制性稍强COF（X，m）2日志2-P-→ α、 m→ ∞. （3.8）关于该COF估计器的有限样本性能的深入研究见[12]。为了检验混合方案在规则性/粗糙度方面如何再现BSS过程的精细特性，我们将COF估计器应用于X的离散化轨迹，其中核函数g再次是λ=1的伽马核（例2.3），使用κ=1、2、3和b=b的混合方案生成*. 我们考虑波动过程满足σ（t）=1的情况，即过程X是高斯的。

这使我们能够通过最初将估计器应用于使用基于Cholesky分解的精确方法模拟的轨迹，来量化和控制估计方法本身的固有偏差和噪声（以标准偏差衡量）。然后，我们研究了在减小离散化方案步长的情况下，估计量在离散化轨迹上的行为。更准确地说，我们模拟了^α（Xn，m），其中m=500，Xn是X的混合方案，其中n=ms和s∈ {1, 2, 5}. 这意味着我们使用m个观测值来计算^α（Xn，m），这些观测值是通过对序列Xn（in），i=0，1，n、 作为比较，我们重复这些模拟，用Riemann和方案替换混合方案，使用κ=0和b∈ {bFWD，b*}.结果如图3所示。我们观察到，M=500个观测值的估值器的固有偏差可以忽略不计，因此，根据离散化系数计算的估值偏差可归因于相应离散化方案产生的近似误差，如果正（或负）偏差表明模拟轨迹比过程X的轨迹更平滑（或更粗糙）。首先关注基线情况s=1，我们注意到，当α∈ (-, 0），而当α∈ （0，），从κ=1传递到κ=3时消失，即使α值非常接近。（在我们的模拟中，α的最大值为α=0.49；人们预计随着α的接近，性能会减弱，cf。

图1，但这个参数值范围似乎实际意义有限。）标准差表现出类似的模式。Riemann和方案的相应结果明显较差，显示出明显的偏差，同时使用了最佳评估点（b=b）*) 稍微改善一下情况。特别地，-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.200.20.4αBiass=1精确κ=0κ=1κ=2κ=3-0.4-0.2 0 0.2 0.40.040.050.060.070.08α标准偏差=1精确κ=0κ=1κ=2κ=3-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.200.20.4α偏差=2-0.4-0.2 0.2 0.40.040.050.060.070.08α标准偏差=2-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.200.20.4α偏差=5-0.4-0.2 0 0.2 0.40.040.050.060.070.08α标准偏差=5图3：粗糙度指数α的COF估计器（3.8）的偏差和标准偏差，当应用于具有伽马核（例2.3）的BSS过程的离散化轨迹时，λ=1，且σ（t）=1，对于所有t∈ R.使用基于Cholesky分解的精确方法生成轨迹，即混合方案（κ=1,2,3和b=b）*) 和黎曼和格式（κ=0和b=b*（实线），b=bFWD（虚线）。在实验中，产生了n=ms的观测值，其中m=500和s∈ {1,2,5}，在[0,1]上使用Nn=bn1。5c。然后对每一次观测进行二次抽样，得出m=500次观测，用于计算粗糙度指数α的估计值α（Xn，m）。蒙特卡罗复制次数：10000次。案例α中的偏差∈ (-, 0）为正，表明离散化轨迹过于平滑，这与具有α近邻的黎曼和格式的失败有关-, 如图2所示。当s=2和s=5时，两种方案的结果都有所改善。值得注意的是，在s=5的情况下，即使k=1，混合方案的性能也与精确方法相当。

然而，当α接近时，由于存在相当大的偏差，黎曼和方案的改进更为微弱-.3.3粗糙波动下的期权定价作为另一个实验，我们研究了Bayer等人[10]的粗糙Bergomi（rBergomi）模型中的蒙特卡罗期权定价。在rBergomi模型中，标的物价格的对数现货方差由粗糙高斯过程建模，这是（2.14）的特例。通过粗略波动过程的验证，该模型很好地符合观察到的隐含波动率微笑[10，pp.893-895]。更准确地说，时间范围T>0的rBergomi模型中的标的价格是在一个等价鞅测度下定义的，即P，asS（T）：=S（0）expZtpv（s）dZ（s）-中兴电视台（s）ds, T∈ [0，T]，使用即期方差过程v（T）：=ξ（T）expη√2α+1Zt（t- s） αdW（s）|{z}=:Y（t）-ηt2α+1, T∈ [0，T]。上面，S（0）>0，η>0和α∈ (-, 0）是确定性参数，Z是由Z（t）：=ρW（t）+p1给出的标准布朗运动- ρW⊥（t） ，t∈ [0，T]，（3.9）式中ρ∈ (-1，1）是相关参数，{W⊥（t） }t∈[0，T]是独立于W的标准布朗运动。过程{ξ（t）}t∈[0，T]是所谓的前向方差曲线[10，p.891]，我们在这里假设，对于所有T，它是fl，ξ（T）=ξ>0∈ [0，T]。我们的目标是使用蒙特卡罗模拟计算到期日为T的K>0的欧式看涨期权的价格，它由c（S（0），K，T）：=E[（S（T）- K） +]。（3.10）拜耳等人[10]提出的方法涉及使用精确模拟在离散时间网格上采样高斯过程，然后使用欧拉分解近似S和v。我们修改了这种方法，使用混合方案模拟Y，而不是计算成本更高的精确模拟。

由于混合格式涉及模拟布朗运动W驱动Y的增量，我们可以使用表示（3.9）方便地模拟S的Euler离散所需的Z增量。表1：rBergomi模型中使用的参数值。S（0）ξηαρ1 0.2351.9-0.43-0.9-0.4-0.2000.20.40.60.8kIV（k，T）T=0.041精确κ=0κ=1κ=2-0.5 0 0.500.10.20.30.4kIV（k，T）T=1精确κ=0κ=1κ=2图4：与期权价格（3.10）相对应的隐含波动率微笑，使用蒙特卡罗模拟（500个时间步，100万次重复）计算，有两个到期日：T=0.041（左）和T=1（右）。用一种精确的方法——混合方案（κ=1,2和b=b）模拟了斑点方差过程v*) 和黎曼和格式（κ=0和b=b）*（实线），b=bFWD（虚线）。rBergomi模型中使用的参数值如表1所示。我们将期权价格C（S（0），K，T）映射到相应的Black-Scholes隐含波动率yiv（S（0），K，T），参见，例如[19]。使用log strike k:=log（k/S（0））重新参数化隐含波动率可以降低对初始价格的依赖性，因此我们会稍微滥用符号，并为相应的隐含波动率写入IV（k，T）。图4显示了使用混合和黎曼和模式模拟Y（如上所述）从rBergomi模型中获得的隐含有用性微笑，并将其与通过Cholesky分解使用精确模拟Y获得的微笑进行了比较。表1给出了参数值。它们是从拜耳等人[10]那里获得的，他们证明了它们能产生真实的波动性微笑。我们考虑两种不同的到期日：“短期”，T=0.041，“长期”，T=1。我们观察到Riemann和格式（κ=0，b∈ {bFWD，b*}) 能够捕捉隐含波动微笑的形状，但不能捕捉其水平。

唉，这种方法甚至会出现更极端的对数打击（价格如此之低，以至于用于计算隐含波动率的寻根算法将返回零）。相反，κ=1、2和b=b的混合方案*收益率隐含波动率微笑与使用XACT模拟获得的基准微笑无法区分。此外，使用κ=1和κ=2获得的微笑之间没有明显差异。如前一节所述，我们观察到混合方案确实能够产生非常精确的T-BSS过程轨迹，尤其是在α情况下∈ (-, 即使当κ=1.4证明通过下面的证明，我们也依赖于两个有用的不等式。第一个是0时缓慢变化的Potter边界，它紧跟着缓慢变化的相应结果∞ [15，定理1.5.6]。也就是说，如果L：（0，1]→ (0, ∞) 在0处缓慢变化，从0到∞ 在任意区间（u，1），u∈ （0，1），那么对于任何δ>0的情况，存在一个常数Cδ>0，使得L（x）L（y）≤ Cδmaxxyδ,xy-δ, x、 y∈ 第二个是初等不等式| xα- yα|≤ |α|（min{x，y}）α-1 | x- y |，x，y∈ (0, ∞), α ∈ (-∞, 1） ，（4.2），这可以很容易地用中值定理来表示。此外，我们使用Karamata定理的以下变体来表示0处的正则变分。它的证明类似于usualKaramata的正则变分定理∞ [15，提案1.5.10]。引理4.1（卡拉马塔定理）。如果α∈ (-1.∞) L:（0，1]→ [0, ∞) 在0时缓慢变化，然后zyxαL（x）dx~α+1yα+1L（y），y→ 0.4.1命题2.2的证明命题2.2的证明。

（i） 通过波动过程σ的协方差平稳性，我们可以表示任意h的变异函数V（h）≥ 0 asV（h）=E[|X（h）- X（0）|]=Zh-∞g（h）- u）-g(-u） 一,(-∞,0）（u）E[σ（u）]du=E[σ（0）]Zhg（x）dx+Z∞（g（x+h）-g（x））dx.（4.3）调用（A1）和引理4.1，我们发现zhg（x）dx~2α+1h2α+1Lg（h），h→ 0.（4.4）我们可以清楚地假设h<1，这允许我们使用分解Z∞（g（x+h）-g（x））dx=Ah+Ah，其中h:=Z1-h（g（x+h）-g（x））dx，Ah:=Z∞1.-h（g（x+h）-g（x））dx。根据（A2），存在M>1这样的x7→ |g（x）|在[M]上不增加，∞).因此，利用中值定理，我们推导出| g（x+h）-g（x）|=|g（ξ）|h≤supy∈(1-h、 M]| g（y）| h，x∈ (1 - h、 M），|g（x）|h，x∈ [M，∞).式中ξ=ξ（x，h）∈ [x，x+h]。接下来就是Lim suph→0Ahh≤ （M）- 1） supy∈[1，M]g（y）+Z∞g（x）dx<∞,这反过来又意味着ah=O（h），h→ 0.（4.5）代换y=xh，我们得到ah=Z1-h（g（x+h）-g（x））dx=hZ1/h-1.g（h（y+1））- g（hy）dy=h2α+1Lg（h）Z∞Gh（y）dy，其中Gh（y）：=（y+1）αLg（h（y+1））Lg（h）- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y，y）∈ (0, ∞).通过定义0时的缓慢变化，limh→0Gh（y）=（y+1）α- yα, Y∈ (0, ∞).我们将在下面展示函数Gh，h∈ （0，1），有一个可积占优。因此，根据支配收敛定理，啊~ h2α+1Lg（h）Z∞（y+1）α- yαdy，h→ 0.（4.6）自α<以来，我们有了limh→0Ahh2α+1Lg（h）=0乘以（2.2）和（4.5），我们得到（4.4）和（4.6）Zhg（x）dx+Z∞（g（x+h）-g（x））dx~2α+1+Z∞（y+1）α- yαdyh2α+1Lg（h），h→ 0，与（4.3）一起表示断言。仍然需要证明使用支配收敛定理来推导（4.6）。对任何人来说∈ （0，1），我们有波特界（4.1）和初等不等式（u+v）≤ 2u+2v，Gh（y）≤ 2（y+1）2αLg（h（y+1））Lg（h）+ 2y2αLg（hy）Lg（h）≤ 2Cδ（y+1）2（α+δ）+y2（α）-δ),我们选择的地方∈ （0，α+）以确保2（α-δ) > -1.那么就考虑一下y∈ [1, ∞).

通过加和减项（y+1）αLg（hy）Lg（h）并再次使用不等式（u+v）≤ 2u+2v，wegetGh（y）=（y+1）αLg（h（y+1））Lg（h）- （y+1）αLg（hy）Lg（h）+（y+1）αLg（hy）Lg（h）- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）≤ 2（y+1）2αLg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）+ 2.（y+1）α- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）.我们记得Lg:=infx∈（0,1]Lg（x）>0乘以（A1），所以Lg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）≤Lg | Lg（h（y+1））- Lg（hy）|1（0,1/h）-1） （y）。利用中值定理和Lgfrom（A1）的导数的界，我们观察到| Lg（h（y+1））- Lg（hy）|=|Lg（ξ）|h（y+1）- hy|≤ hC1 +ξ≤ Ch+y,式中ξ=ξ（y，h）∈ [hy，h（y+1）]。注意到约束y<h- 1相当于h<y+1，我们进一步得到Lg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）≤CLgh+y（0,1/h）-1） （y）≤CLgy+1+y≤CLgy+1，作为y≥ 1，然后我们用它来推导2（y+1）2αLg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）≤18CLg（y+1）2（α-1).此外，我们观察到，通过（4.1）和（4.2），（y+1）α- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1） （y）≤ 2CΔαy2（α-1+δ），我们选择δ∈ (0,-α） ，确保2（α-1 + δ) < -1.