布朗半平稳过程的混合格式

此外，我们注意到g（x）≤ （|α|+|β|）g（x），x∈ [1, ∞),暗示∞g（x）dx<∞ 因为g是平方可积的。2.3混合模式∈ R，考虑根据X（t）在gridGn（t）上的积分表示（2.1）离散X（t）：={t，t-n、 t-n、 …}为了n∈ N.为了推导我们的离散化方案，让我们首先注意，如果波动过程σ变化不大，那么使用近似值x（t）是合理的=∞Xk=1Zt-kn+nt-kng（t）- s） σ（s）dW（s）≈∞Xk=1σT-千牛Zt-kn+nt-kng（t）- s） dW（s），（2.3）也就是说，我们在每个离散单元中保持σ常数。（在这里，以及在续集中，”≈” 代表纯粹用于启发目的的形式近似。）如果k是“小的”，那么由于（A1），我们可以近似于（t- （s）≈ （t）- s） αLg千牛, T- s∈K- 1n，千牛\\ {0}，（2.4）由于缓慢变化的函数lg比幂函数y7变化“小”→ yα接近于零，参见（2.2）。如果k是“大的”，或者至少是k≥ 2.然后选择bk∈ [k]-1，k]提供了足够的近似值（t- （s）≈ Gbkn, T- s∈K- 1n，千牛, （2.5）通过（A2）。将（2.4）应用于第一个κ项，其中κ=1，2。，和（2.5）到（2.3）中近似级数中的剩余项∞Xk=1σT-千牛Zt-kn+nt-kng（t）- s） 德国西部(s)≈κXk=1Lg千牛σT-千牛Zt-kn+nt-千牛（吨）- s） αdW（s）+∞Xk=κ+1gbknσT-千牛Zt-kn+nt-kndW（s），（2.6）为了完整性，我们还允许κ=0，在这种情况下，我们需要b∈ （0，1），并将（2.6）右侧的第一个和解释为零。为了使数值实现可行，我们截断（2.6）右侧的第二个和，使两个和都有Nn≥ 总共κ+1项。

因此，我们得到了X（t）的一个离散化方案，我们称之为混合方案，给定byXn（t）：=71xn（t）+^Xn（t），其中71xn（t）：=κXk=1Lg千牛σT-千牛Zt-kn+nt-千牛（吨）- s） αdW（s），（2.7）^Xn（t）：=NnXk=κ+1gbknσT-千牛WT-kn+n- WT-千牛!, （2.8）和b:={bk}∞k=κ+1是一个实数序列，计算点，必须满足bk∈[k]- 1，k]\\{0}每k≥ κ+1，但在其他方面可以自由选择。目前，离散化网格Gn（t）取决于时间t，对于不同时间t同时采样Xn（t）而言，这似乎很麻烦。但是，请注意，当时间t和皮重被倍数ofn分开时，相应的网格Gn（t）和Gn（t）将相交。事实上，（2.7）和（2.8）中定义的混合方案可以有效实施，我们将在下面的第3.1节中看到。自从bkn= GT-T-bkn,退化情况κ=0，所有k的bk=k≥ 1对应于X（t）的常规Riemann-Sum离散化方案，其（It¨o型）的正向和来自（2.8）。从今往后，我们表示相关序列{k}∞k=κ+1由bFWD表示，其中下标“FWD”暗指正向和。然而，包括（2.7）给出的幂函数的维纳积分项，ishavingκ≥ 1，极大地提高了离散化的精度，我们将看到。有在间隔[k]内选择BK的途径- 1，k]\\{0}，所以函数g（t- ·) 在不一定属于Gn（t）的情况下进行评估，会导致额外的中度改善。求和（2.8）中的凸出意味着定义X的随机积分（2.1）在t处被截断-Nnn。实际上，参数nn的值应该足够大，以减轻截断的影响。

为了确保截断点t-n打算-∞ 作为n→ ∞ 在我们的渐近结果中，我们引入了以下假设：（A4）对于某些γ>0，Nn~ nγ+1，n→ ∞.2.4均方误差的渐近行为我们现在准备陈述我们的主要理论结果，它给出了混合方案均方误差（MSE）的渐近行为的精确描述，即n→ ∞. 我们将这个结果的证明推迟到第4.2节。定理2.5（均方误差的渐近性）。假设（A1）、（A2）、（A3）和（A4）保持不变，那么γ>-2α+12β+1，（2.9）以及对于某些δ>0，E[|σ（s）- σ（0）|]=Os2α+1+δ, s↓ 0.（2.10）那么对于所有t∈ R、 E[|X（t）- Xn（t）|]~ J（α，κ，b）E[σ（0）]n-（2α+1）Lg（1/n），n→ ∞, （2.11）其中j（α，κ，b）：=∞Xk=κ+1Zkk-1（yα）- bαk）dy<∞. （2.12）备注2.6。注意如果α∈ (-, 0），则具有[|σ（s）- σ（0）|]=Osθ, s↓ 0表示所有θ∈ （0,1），确保（2.10）成立。（假设δ：=（1）-（2α+1））>0和θ：=2α+1+δ=α+1∈ (0, 1).)当混合方案用于在等距网格{0，n，n，…，bnT cn}上模拟BSS过程X，对于某些T>0（参见第3.1节关于实现细节），定理2.5的以下结果确保模拟过程的协方差结构与实际过程X的协方差结构近似。推论2.7（协方差结构）。假设定理2.5的假设成立。那么对于任何s，t∈ R和ε>0，| E[Xn（t）Xn（s）]- E[X（t）X（s）]|=ON-(α+)+ε, N→ ∞.证据让我们，t∈ R

应用柯西-施瓦兹不等式，我们得到| E[Xn（t）Xn（s）]- E[X（t）X（s）]|≤ E[Xn（t）]1/2E[|X（s）- Xn（s）|]1/2+E[X（s）]1/2E[|X（t）- Xn（t）|]1/2。我们有晚餐∈NE[Xn（t）]1/2<∞ 自E[Xn（t）]→ E[X（t）]<∞ 作为n→ ∞, 根据定理2.5。此外，定理2.5和界（2.2）暗示E[|X（s）-Xn（s）|]1/2=O（n）-（α++ε）和[|X（t）- Xn（t）|]1/2=O（n）-（α++ε）对于任何ε>0。在定理2.5中，MSE（2.11）的渐近性由核函数g在零附近的行为决定，如（A1）所述。条件（2.9）确保接近零的G的误差渐近大于t处随机积分（2.1）截断引起的误差-Nnn。事实上，在一些额外的假设下，当（2.9）不成立时，可以导出MSE的不同类型的渐近性，其中截断误差占主导地位，但我们在本文中不追求这个方向。虽然（2.11）中的收敛速度完全由粗糙度指数α决定，而粗糙度指数α一开始似乎令人沮丧，但事实证明，数量J（α，κ，b）可以变化很大，这取决于我们如何选择κ和b，并且对X的近似精度有实质性影响。从（2.12）可以看出，增加κ会减少J（α，κ，b）。此外，对于给定的α和κ，可以直接选择b，使J（α，κ，b）最小化，如下面的结果所示。命题2.8（最优离散化）。让α∈ (-,) \\{0}和κ≥ 0.在所有序列中sb={bk}∞k=κ+1与bk∈ [k]- 1，k]\\{0}表示k≥ κ+1、函数J（α，κ，b）以及由此离散化引起的渐近均方误差被序列b最小化*交给byb*k=kα+1- （k）- 1)α+1α + 11/α，k≥ κ + 1.证据显然，序列b={bk}∞k=κ+1使函数J（α，κ，b）最小化当且仅当bk最小化kk-1（yα）- 任意k的bαk）dy≥ κ + 1.

根据标准的L-空间理论，c∈ R使积分kk最小化-1（yα）- c） dy当且仅当函数y7→ yα- c在所有恒常函数中都是正交的。这无异于托兹克-1（yα）- c） dy=0，c yieldsc=kα+1的积分计算与求解- （k）- 1)α+1α + 1.设置b*k:=c1/α∈ （k）- 1，k）完成证明。了解κ增加多少，并使用最佳序列b*从命题2.8改进了近似，我们数值研究了渐近均方根误差（RMSE）pJ（α，κ，b）。特别是，我们使用渐近RMSE=-pJ（α，κ，b）-pJ（α，0，bFWD）pJ（α，0，bFWD）·100%。（2.13）结果如图1所示。我们发现使用κ的混合方案≥ 当α∈ (-, 0). 的确，当κ≥ 1，作为α的函数，渐近RMSE不会爆炸为α→ -, 当κ=0时，它是。这就解释了为什么渐近αRMSE-0.4-0.20.0.2 0.410-410-2100102κ=0κ=1κ=2κ=3α渐近RMSE的减少（%）-0.4-0.2 0.20.4020406080100κ=0κ=1κ=2κ=3∈ (-,) \\{0}对于κ=0，1，2，3，使用b=b*命题2.8（实线）和b=bFWD（虚线）的定义。右图：相对于由公式（2.13）给出的前向黎曼和格式（κ=0和b=bFWD）的渐近RMSE的减少，绘制为α的函数∈ (-,) \\{0}对于κ=0、1、2、3，使用b=b*（实线）和对于κ=1,2,3，使用b=bFWD（虚线）。在所有计算中，我们使用了备注2.9中概述的近似值，N=1 000 000。RMSE接近100%的α→ -.

当α∈ （0，），使用混合方案实现的改进较为温和，但仍然相当可观。图1还强调了使用最佳序列b的重要性*, 而不是bFWD，作为方案中的评估点，尤其是当α∈ (0,). 最后，我们观察到，增加κ超过2似乎不会导致显著的进一步减少。事实上，在我们的数值实验中，报告在第3.2和3节。3下面，我们观察到使用κ=1，2已经产生了良好的结果。备注2.9。数值计算J（α，κ，b）是非常重要的。通过显式计算（2.12）中的积分，我们可以用jn（α，κ，b）近似J（α，κ，b）：=NXk=κ+1k2α+1- （k）- 1)2α+12α + 1-2bαkkα+1- （k）- 1)α+1α+1+b2αk用一些大的N∈ N.当α∈ (-, 0），但当α→. 特别是函数α7的奇异性→ J（α，κ，b）很难用数值上可行的N值来捕捉。为了克服这个数值问题，我们在α的情况下引入了一个修正项∈ (0,). 修正项可以非正式地导出如下。根据中值定理*K≈ K-对于大k，我们有（yα）- bαk）=αξ2α-2（y）- （bk）≈αk2α-2（y）- k） ，b=bFWD，αk2α-2（y）- k+，b=b*,式中ξ=ξ（y，bk）∈ [k]- 1，k]，对于大k.因此，对于大N，我们得到j（α，κ，b）- JN（α，κ，b）=∞Xk=N+1Zkk-1（yα）- bαk）dy≈αP∞k=N+1k2α-2Rkk-1（y）- k） dy，b=bFWD，αP∞k=N+1k2α-2Rkk-1（y）- k+）dy，b=b*,=αζ(2 - 2α，N+1），b=bFWD，αζ（2- 2α，N+1），b=b*,式中ζ（x，s）：=P∞k=0（k+s）x，x>1，s>0是Hurwitz-zeta函数，可以使用精确的数值算法来计算。备注2.10。与Benth等人基于傅里叶的方法不同。

[13] 当α为时，混合格式不需要截断核函数g的奇异性∈ (-, 0），这有助于在α接近时保持方案的精度-. 让我们简要分析g的奇异性对近似误差的影响，参见[13，第75-76页]。考虑一下，对于任何ε>0的情况，修改后的BSS过程Xε（t）：=Zt-∞gε（t）- s） σ（s）dW（s），t∈ R、 使用截断核函数gε（x）定义：=g（ε），x∈ （0，ε），g（x），x∈ (ε, ∞).以一种简单的方式修改定理2.5的证明，可以证明，在（A1）和（A3）下X（t）-~Xε（t）= E[σ（0）]Zεg（s）- g（ε）ds~2α + 1-α + 1+ 1| {z}=：J（α）E[σ（0）]ε2α+1Lg（ε），ε↓ 0，对于任何t∈ R.而收敛速度，如ε↓ 0，用gε代替g所产生的均方误差与混合格式的收敛速度类似，需要注意的是，因子J（α）变成了α↓ -. 实际上，~J（α）等于定义J（α，0，bFWD）和~J（α）的系列中的第一项~ J（α，0，bFWD），α↓ -,这表明截断奇点的效果，以MSE为单位，类似于在α接近时使用前向黎曼和格式离散过程的效果-.特别是，为了控制运行误差，截断阈值ε必须非常小。2.5截断布朗半平稳过程的推广将混合格式推广到一类与BSS过程密切相关的非平稳过程是有用的。这个扩展对于一个被称为粗糙Bergomi模型的应用非常重要，我们将在下面的第3.3节中讨论这个模型。

更准确地说，我们考虑了形式y（t）=Ztg（t）的过程- s） σ（s）dW（s），t≥ 0，（2.14），其中核函数g、波动过程σ和驱动布朗运动W与之前一样。我们称Y为截断布朗半平稳（T BSS）过程，因为Y是通过在0处截断（2.1）中的随机积分从BSS过程X获得的。在前面的假设中，只有（A1）和（A2）需要确保（2.14）中的随机积分存在——事实上，在（A2）中，只有g在（0，∞) 开始发挥作用。T BSS过程Y没有协方差平稳增量，因此我们将其（时间相关）变异函数定义为vy（h，T）：=E[|Y（T+h）- Y（t）|]，h，t≥ 0.扩展命题2.2，我们可以描述H7的行为→ VY（h，t）接近零，如下所示。因此，局部持续修改的存在是一个直接的结果。我们省略了对这个结果的证明，因为这将是对命题证明的直接改编。2.命题2.11（局部行为和连续性）。假设（A1）和（A2）保持不变。（i） 任何t的Y满意度的变异函数≥ 0，VY（h，t）~ E[σ（0）]2α + 1+ 1(0,∞)（t） Z∞（y+1）α-yαdyh2α+1Lg（h），h→ 0，这意味着H7→ VY（h，t）在指数为2α+1的零处有规律地变化。（ii）过程Y对任意φ的局部φ-H-连续轨迹进行了修改∈(0, α +).注意，虽然Y的增量不是协方差平稳的，但VY（h，t）的渐近行为与VX（h）和h的渐近行为相同→ 0（参见命题2.2）表示任何t>0。

因此，Y的增量（除了从时间0开始的增量）在局部类似于X的增量。我们定义了混合方案来离散Y（t），对于任何t≥ 0，asYn（t）：=ˇYn（t）+^Yn（t），（2.15），其中ˇYn（t）：=min{bntc，κ}Xk=1Lg千牛σT-千牛Zt-kn+nt-千牛（吨）- s） αdW（s），^Yn（t）：=bntcXk=κ+1gbknσT-千牛WT-kn+n- WT-千牛!.因此，我们只需将（2.7）和（2.8）中的和与负实线上的积分和增量相对应。我们在第三部分对该计划的实施进行了说明。1，下面。T-BSS过程Y的混合格式的均方误差具有如下渐近行为asn→ ∞, 这实际上与BSS过程的混合模式的均方误差的渐近行为相同。我们省略了这个结果的证明，这将是对定理2.5的简单修正。定理2.12（均方误差的渐近性）。假设（A1）和（A2）保持不变，对于某些δ>0，E[|σ（s）- σ（0）|]=Os2α+1+δ, s↓ 0。然后对于所有t>0，E[| Y（t）- Yn（t）|]~ J（α，κ，b）E[σ（0）]n-（2α+1）Lg（1/n），n→ ∞,其中J（α，κ，b）如定理2.5和2.13所示。在定理2.12的假设下，推论2.7的结论经过修改后成立。特别是，当n时，离散化T-BSS过程的协方差结构接近Y→ ∞.3实现和数值实验3。1实际实现在等距网格{0，n，n，…，bnT cn}上模拟BSS进程X，对于某些T>0，使用混合方案需要生成xn在里面, i=0，1，bnT c.（3.1），前提是我们可以模拟随机变量Wni，j:=Zi+1nini+jn- sαdW（s），i=-Nn，-Nn+1，bnT c- 1，j=1，κ、 （3.2）Wni:=Zi+1nindW（s），i=-Nn，-Nn+1，bnT c- 1，（3.3）σni:=σ在里面, 我=-Nn，-Nn+1。

，bnT c- 1，我们可以通过公式xn计算（3.1）在里面=κXk=1Lg千牛σni-科尼-k、 k |{z}=71xn（in）+NnXk=κ+1gB*千牛σni-科尼-k{z}=Xn（in）。（3.4）为了模拟（3.2）和（3.3），有必要注意到κ+1维随机向量Wni：=Wni，Wni，1，Wni，κ, 我=-Nn，-Nn+1，bnT c- i.i.d.是否根据均值为零的多元高斯分布，协方差矩阵∑由∑1,1=n，∑1，∑j=j，1=（j）给出- 1)α+1- （j）- 2） α+1（α+1）nα+1，∑j，j=（j）- 1)2α+1- （j）- 2） 2α+1（2α+1）n2α+1，对于j=2，κ+1，∑j，k=（α+1）n2α+1（j- 1） α+1（k）- 1） αF- α、 1，α+2，j- 1k- 1.- （j）- 2） α+1（k）- 2） αF- α、 1，α+2，j- 2k- 2.!, （3.5）对于j，k=2，κ+1，使得j<k，其中f代表高斯超几何函数，定义见[17，第56页]。（当k<j时，设置∑j，k=∑k，j。）为了方便读者，我们在第4.3节中提供了（3.5）的证明。因此，{Wni}bnT c-1i=-nn可以通过从多元高斯分布Nκ+1（0，∑）中独立抽取来生成。如果波动过程σ与W无关，则{σni}bnT c-1i=-可以单独生成NNP，可能使用精确的方法。（确切的方法可用，例如引言中提到的高斯过程，以及差异，见[14]。）在σ依赖于W的情况下，模拟{Wni}bnT c-1i=-n和{σni}bnT c-1i=-这就不那么直截了当了。这就是说，如果σ由标准布朗运动Z驱动，与W相关，比如说，我们可以依赖于一个因子复合Z（t）：=ρW（t）+p1- ρW⊥（t） ，t∈ R、 （3.6）式中ρ∈ [-1，1]是相关参数，{W⊥（t） }t∈[0，T]是独立于W的标准布朗运动。