随机时间博弈中的对称均衡

因此，当L>M时，关节质量点是不可能的。然而，如果L≡ M（例如，在消耗模型中）；见附录中的备注B.1。定理5.1的平衡到目前为止只能处理满足Mθ的子对策≥ Fθon{Lθ>Fθ}。因此，如果我们想将它们聚合为一个子博弈完美均衡，我们必须假设目前所有的子博弈都是这样。然后设置τθ=inf{t≥ θLt>Ft或Mt>Ft}将满足存在条件。在特殊情况下，F≥ max（L，M）贯穿始终，这意味着s意味着τθ≡ ∞ 然后，Lτθ=L和DτθL=DL。在这种情况下，停止率不依赖于θ，这确保了时间的一致性。然而，一般来说，我们可能有DτθL6=DLon[θ，τθ]，特别是当max（F，M）>Lor max（F，M）<ULatτθ∞. 如果未通过，则τθ的时间一致性要求不会改变，但对于任意两个τ，τ′∈ T，我们应该把τθ=τθ′放在{θ≤ θ′≤ τθ}反之亦然，或者总之τθ=τθ′on{（θ∨ θ′) ≤ (τθ∧ τθ′)}.然后，我们确实获得了具有标准混合策略的支付对称子博弈完美均衡，例如，具有系统后动优势的博弈。在这种情况下，dGθi将是一个奇异测度，这通常出现在布朗模型的最优控制中。参见Riedel和Steg（2017）中的定理3.3，以及他们关于不对称博弈问题的第4.3节。示例：如果L（>M）不是右连续的，则没有对称的支付公式。FLMTT对于t的玩家i来说是绝对最优的∈ （T，T）如果Gj（T-) > Gj（t），so-Gi（t-) = Gi（T）和Gj（T）-) = Gj（T）通过payoff对称，给出（T，T）上的一个连续payoff（T）。唯一的对称延续payoff是从Gi（T）=Gj（T）∈ (0, 1). 等待在[0，T]上也是严格占主导地位的，但在低于T时停止比在T时停止产生更高的报酬。定理5.3.修正i，j∈ {1,2}，i6=j。

如果（Gθi；θi）∈ T），（Gθj；θ∈ T）真的如此吗∈ T，Gθi，Gθj在Orem 5.1中满足子博弈中从θas开始的均衡条件，以及相关的（τθ；θ）∈ T）在{（θ）上满足τθ=τθ′a.s∨ θ′) ≤ (τθ∧ τθ′）对所有人来说∈ T，那么（Gθi；θi）∈ T）和（Gθj；θ∈ T）代表标准混合策略的子博弈完美均衡。例如，如果最大（英尺-中尉，Mt-（英国《金融时报》）≥ 0代表所有t∈ R+a.s.和τθ=inf{t≥ θLt>Ftor Mt>Ft}∈ T证据：见附录B.1。即使家庭所需的时间一致性条件（τθ；θ）∈ T）保持，家族（DτθθL；θ∈ T）需要诱导时间一致的停止率（dGθi；θ∈ T）。这是定理5.3（证明）的要点，给出了定理5.1.6的最优性示例：退出双寡头垄断在本节中，我们说明了定理5.1中指出的系统后动优势所导致的简化。特别是，我们通过明确推导示例2.3中一个市场退出博弈版本的斯奈尔包络及其补偿函数来确定子博弈完美均衡策略。因此，损耗期间的停止率表示为不可恢复操作造成的持续损失。为了指定模型，假设在每个时间t，折扣双寡头利润由πDt=e给出-rt（Yt）- c） ，其中c>0是一个恒定的运营成本和收入（Yt）t≥0遵循几何布朗运动解dYt=uYtdt+σYtdBt。剩余垄断者的利润流为πMt=e-rt（mYt）- c） ，其中m>1。每个企业都可以决定离开市场，并获得累计回报Lt=Mt=Rte-rs（Y）- c） 例如，当Y非常低，以至于收入不足以支付生产成本时。在这样一个阶段，如果垄断似乎仍然有利，那么游戏就是一场消耗战。

然而，在跟随者的问题中，如果payoff Ft=Lt+ess supτF，立即停止也可能是最佳选择∈T：τF≥tEZτFte-rs（mYs）- c） ds英尺.后一个问题是在r>max（u，0）条件下的标准练习，其唯一性这也是必要的，并且对于根据假设2属于（D）类的过程是有效的。1.那么-c/r≤ 书信电报≤R∞E-卢比- c|ds∈ L（P）和类似地，对于F，插入m。当Y从Yt开始，低于阈值ym=ββ时，解就停止- 1r- urcm<cm，其中β是二次方程σβ（β）的负根- 1) + uβ - r=0。停止问题的值可以明确表示为ft- Lt=e-rt{Yt>ym}mYtr- u-铬-Ytymβmymr- u-铬, （6.1）表明F是一个连续过程，Fτ对应于τ的最优跟随决策∈ T和Ft=Lt（=Mt）<=> Yt≤ 嗯。因此，对于定理5.1中的任何平衡，我们需要τθ≥ inf{t≥ θ|Yt≤ ym}表示端点条件。另一方面，对垄断者来说，一旦停止，就意味着垄断的主导地位≤ ym，在双寡头垄断中也是如此，那里的收入永远不会超过垄断中的收入。因此，我们可以选择τθ=inf{t≥ θ|Yt≤ ym}而不丧失普遍性，它将在任何θ处导致s对称平衡∈ T如下所示。因为F是m的一个超鞅≥ 1支配了L，它也支配了后者的斯奈尔包络，所以我们有F=L=> F=UL=L。因此，理论5中的＠Lτθ。1就在这里，我在τθ停了下来，斯奈尔包络UτθθL包含了uUntilτθ。应用（6.1）的右侧，m=1，得到最优停止领导者（双头垄断）支付的解：UL（t）=ess supτ∈T：τ≥tE[Lτ| Ft]=Lt+e-rt{Yt>y}Ytr- u-铬-伊蒂β你- u-铬.应用o引理，证明了超鞅ULis的单调部分仅仅是dLiftddl（t）=-1{Yt<y}dLt=1{Yt<y}e-rt（c）- Yt）当立即停止时，DTL是最优的。

τθ=在f{t中≥ θ|Yt≤ ym}对于每一个θ∈ T，dDτθL=dDL，和（6.1），我们现在有了一个完全显式的对称子博弈完美均衡，其支付分别为Vθi（Gθi，Gθj）=UL（θ）。当ym<y<c时，我们看到DDL仅仅是由于不可操作的操作而导致的损失流。如果一个双头垄断者从未希望成为垄断者，这些损失将太大，无法继续经营下去。在这里，只要有人∈ （ym，y），两家公司正以直接取决于运营亏损的速度退出双寡头垄断；这一数字在下降。该州可能会在该地区（y，c）附近崛起。然后仍有亏损，但企业暂停混合，因为等待市场复苏的选择非常有价值。因此，不需要补偿。通常，会有连续和不混合的交替周期。然而，当国家降至[0，ym]时，即使一家公司是（可能会成为）垄断者，并且两家公司都立即退出，面对经营亏损，等待市场复苏的选择将毫无价值。7一般对称博弈的平衡7。1扩展混合策略的抢占在抢占情况下，即当存在先发优势L>F时，连续时间内纯策略通常不存在均衡。Fudenberg和Tir ole（1985年）以及Hendricks和Wilson（1992年）表明，当有等待的动机时，就会出现这个问题（Lis增加）。如果模型具有充分的规则性，且先发优势是严格的，那么在标准的混合策略中，一方可能存在均衡，一方立即停止，另一方以足够的速度停止，这样第一方将无法实现L的增加。因此，收益是不对称的，L和F。然而，这些平衡不能扩展到抢占区域的边界；如果L=F，那么支持任何平衡所需的停止率就会爆炸。

这种观察不依赖于任何规则性条件——支付过程可以是确定性的、任意平滑的。因此，如果我们想在先发制人即将开始时（或在L>F时也考虑对称支付）考虑任何均衡，那么我们需要丰富策略和结果空间。关键是当球员试图同时停球时，促进部分协调，但同时停球将是最糟糕的结果。因此，我们现在将使用定义2.4中的策略扩展。有了这些扩展策略，就有可能捕捉到对称、混合离散时间平衡点的连续时间极限，而这些平衡点没有以前的问题。然后，我们获得了具有绝对优势的su bgames的以下立即停止均衡——这里是s对称博弈：7.1号提案（参见Riedel and Steg（2017）中的3.1号提案）。修好∈ 假设θ=inf{T≥ θLt>Ft}a.s.然后（Gθ，αθ），（Gθ，αθ）由αθi（t）定义=1如果Mt≥ Ftand t=inf{s≥ t | Ls>Fs}，{Lt>Ft}Lt- FtLt- Mtelseforanyt∈ [θ, ∞) Gθi=1{t≥θ}，i=1，2，是θ子对策中的一个平衡点。在离散时间内，可能存在同时停止的正概率均衡，即使这是最坏的结果，因为参与者只能为单个周期分配正概率；一个人无法通过在对手质点后停止任意小的时间ε>0来避免协调失败。参见Steg（2017），了解离散化优先购买模型和正式极限分析。在对称情况下，Riedel和Steg（2017）中命题3.1的当前扩展到非空集{M>F}是直接的。由此产生的收益为Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=max（Fθ，Mθ）。备注7.2。

当L>F时≥ M、 然后，αθi的选择使相应的其他p层在停止和等待之间有所不同，并且αθi（·）是正确连续的，允许极限结果论证。当M>F时，停止当然是唯一的最佳回复。在极性情况下Lt=Ft=Mt，可能没有1{Lt>Ft}Lt的右手极限-FtLt-Mt，所以我们设置αθi（t）=1。如果极限确实存在，那么它可以用来使αθi（·）即使在这里也是连续的，因为在这种情况下，层是不同的。如果Lθ=Fθ>Mθ，那么每个玩家都有可能成为领导者或追随者。这与富登堡和蒂罗尔（1985）的光滑确定性模型的结果相同。如果Lθ>Fθ>Mθ，那么同时停止的概率是正的，这是抢占的代价，将支付降低到Fθ。7.2一般对称平衡我们现在可以组合F的平衡≥ L或L>F。对于标准混合策略，定理5.1中（暂时）后动优势的均衡取决于“终端条件”Gθi（M）-F）≥ 0，例如，当一个先发制人机制开始时，两个参与者都试图立即停止。然而，命题7.1为我们提供了“持续”平衡，即在这种转变时立即停止，并支付最大值（F，M）。事实上，如果playerj使用扩展的混合策略，那么当Gθj在^τθj=inf{t处跳到1时，玩家i在s领先和等待之间的差距≥ θ|αθj（t）>0}从Gθj（M）- F）到GθjαθjM+1.- αθjL- F,如果αθjis如建议7.1所示，则为非负。

因此，这种在抢占中进行部分协调的可能性也会在我们不能拥有M时为消耗机制生成合适的端点≥ 在到达{L>F}之前。因此，我们得到了一个支付对称子博弈完美均衡f或任何对称计时博弈，其中支付过程L、f和M不依赖于单个参与者。定理7.3。在假设2.1下，扩展混合策略（Gθ，αθ）存在一个支付对称的子博弈完美均衡；θ ∈ （Gθ，αθ）；θ ∈ T）如下所示：选择i，j∈ {1，2}，i6=j.对于任何θ∈ T，setτθ：=inf{T≥ θLt>Ft或Mt>Ft}。定义定理5.1中的Gθi，Gθjas和命题7.1中的αθi=αθjas。此外，如果L、F和M对于每个停止时间τ∈ T它认为lτ=Fτ=> 如果τ=Mτ或τ=inf{t>τ| Lt>Ft}a.s.，则存在一个对称的子博弈完美均衡，其中每个参与者的策略由（Gθi，αθi）给出∈ T那么，lim inf和lim sup in定义C.1都与命题7.1的策略有关。证据：见附录B.1。这些均衡的想法基本上是在{F}上粘贴消耗战≥ 五十} 利用定理5.1中的连续策略和命题7.1中的扩展混合策略在{L>F}上立即停止的抢占均衡。然而，我们必须为这样做做好准备，因为精确的磨损行为在很大程度上取决于连续性。当抢占开始时。根据假设2.1（iii）的上半连续性，在磨损期间，各层在未来的连续性平衡上与payoff s max（F，M）协调是可行的。那么，从开始先发制人开始，支付不会出现明显的下降。

相应的对称性平衡结果由ESS supτ给出∈T：τ≥θEh{τ<τ}Lτ+1{τ≥τθ}max（Fτθ，Mτθ）Fθi，τθ=inf{t≥ θLt>Ft或Mt>Ft}∈ T而端点条件Gθi（M）-F）≥ τθ处的0现在被抢占继续平衡所取代，我们仍然需要确保第二个平衡，Gθi（M）- F）≤ τθi为0；强制执行第τθ章∧inf{t≥ Mt>Ft}在一般情况下有效，但在更具体的情况下也可能有其他选择。定理7.3的证明当然依赖于定理5的证明。1和P位置7.1。主要问题是前者是在一个简化的设置中用“标准”混合策略制定的，因此我们用扩展的混合策略建立了与当前设置的正式关系。8最优对称均衡定理7.3中的均衡涉及到最具攻击性的抢占，这是可以想象的——它出现在L>F的任何时候，并且仅适用于这个原因。因此，它们的结构相对简单：只要有严格的先发优势，游戏就开始。如果未来存在具有足够高（预期）收益的持续均衡，那么先占不必那么严重。在本节中，我们确定了具有最小可能先占的均衡，从而产生了最高可满足的均衡收益。我们关注的是一类收益-对称均衡，即在任何停止时间Vθ=Vθa.s.的su bgame完美均衡∈ T这些对均衡策略有着明确的影响。在竞争性游戏中，当M是最低的支付时，均衡支付最多是最优停止最小值（L，F）——无论玩家如何混合，可能使用公共关联（命题8.1）。这种均衡支付的边界使我们能够确定不可避免的优先购买点：当领先支付超过任何持续均衡支付时。

定理8.2建立了相应的galgorithm，并证明了“最优”子博弈完美均衡的存在性。很明显，如果M不是更好，在{F>L}上的任何停止都必须导致更低的支付。我们论点的基础是一个更微妙的结果，即玩家也不能通过在任何支付对称均衡中混合来利用F，即使他们没有时间限制。8.1号提案。假设M≤ 我在（L，F）。然后，在任何支付对称子游戏perfec龙舌兰酒和任何θ∈ T和我，j∈ {1,2}，其中i6=j，VθiGθi，αθi，Gθj，αθj≤ ess supτ∈T：τ≥θELτ∧ FτFθ=: UL∧F（θ），其中实际上足以考虑停止时间τ≤ inf{t≥ θGθi（t）∨ Gθj（t）≥ 1}.附录B.2中命题8.1的p屋顶基于任何支付的重要事实——对称均衡（不依赖于假设M≤ min（L，F）：首先，玩家的条件停止概率必须与{F 6=L}（引理B.2）上的相同，因为以较高条件概率停止的玩家也会以较高条件概率成为领先者，而另一个玩家则会成为该事件的跟随者。作为一个结果，Gθ和Gθ在{F=L}（引理B.3）上施加任何质量之前必须是相同的。此外，在{F6=L}上，只能同时跳转，并且只有当M≥ F或当L发生抢占时≥ F>M。最重要的是，当F>max（L，M）时，不会有任何跳跃。最后，来自任何终端jum p的局部支付由max（F，M）（引理B.4）约束。命题8.1的直觉如下。在平衡状态下，玩家我必须耐心等待，直到Gθi<1的任何时刻，然后在相应的条件概率下从那里停止。将第一个玩家在{F上施加质量的时间视为这样一个时间≥ 五十} )；称之为∧τ。

通过等待)τ，如果Gθjin增加，那么玩家i可能在{F<L}之前成为跟随者。至少有一个玩家愿意通过定义来超越。相应的（对称的）局部支付显然是Lτ≤ 当Gθ，Gθ是连续的时，F∧τ。只有当F)τ=L)τ时，才会发生跳跃，这也是最大的局部支付（假设为M≤ min（L，F），如我们所见，当F)τ>L)τ时，我们不能有任何跳跃。最后，Gθiis可能在{F<L}上耗尽，在到达θτ之前。然而，我们必须有Gθ=Gθ。如果跳转到1，则终端支付为atmost F<L；如果他们不断接近一个，这意味着最终肯定会成为{F<L}的追随者。总之，当停止发生时，玩家i从未收到超过分钟（L，F）的奖励。命题8.1意味着只要Lθ>UL∧F（θ），我们必须有G（θ）∨ Gθ（θ）=1优先购买权。如果未来有任何这样的抢占点，它们也会限制可行的停止时间τ，以最大化位置8.1中min（L，F）的预期值，该参数不会受到任何跳跃的影响Gθj（θ）∈ （0，1）由于哪个球员，我无法实现Lθ。L是连续的，所以我可以试着在θ之后停下来。形式上的论证见第8.2条的证明。这甚至进一步降低了最大可达到的平衡收益。通过迭代，我们可以确定什么时候先发制人是不可避免的。定理8.2。Su-ppose M≤ min（L，F）。然后，在这个类中存在一个支付-对称的子博弈完美均衡，其支付最大。