随机时间博弈中的对称均衡

因此，Z[θ，τ）（F）- 五十） dGi=Z[θ，τ）（1）- Gi）1{F>L}dD＠L=Z[θ，τ）（1）- Gi）dDLa。s、 ，（B.3）其中，由引理A.1和（D）类的引理L定义的DGII。将部件积分应用到右侧（调整[θ，τ）左侧闭合，右侧打开，并重新校准DLis连续）yieldsZ[θ，τ）（1- Gi）dDL=Z[θ，τ）DLdGi+1.- Gi（τ）-)DL（τ）-1.- Gi（θ-)DL（θ）。（B.4）使用（B.3）、（B.4）和Gi（θ）-) = 0，nowSj（τ）=Z[θ，τ）F dGi+Gi（τ）Mτ+1.- Gi（τ）Lτ=Z[θ，τ）L+DLdGi+Gi（τ）Mτ+DL（τ）+1.- Gi（τ）Lτ+DL（τ）- DL（θ）。接下来，由于斯奈尔包络的鞅分量MLof是一致可积的，所以RMldgi由引理A.1定义得很好，我们可以将变量的变化转化为Z[θ，τ）M~LdGiFθ= EhM~L（τ）Gi（τ）-) - Gi（θ-)Fθi=- EhM~L（τ）1.- Gi（τ）-)Fθi+MθL（θ）1.- Gi（θ-)就像M~Lis是鞅一样。事实上，与引理3.1的证明类似，EZ[θ，τ）ML（t）dGi（t）Fθ- EhM~L（τ）Gi（τ）-) - Gi（θ-)Fθi=EZMLτGi（x）- M~L（τ）{τGi（x）∈[θ，τ）}dxFθ不能超过ess supτ′≥θE[（M~L（τ′）-M~L（τ））1{τ′∈[θ，τ）}Fθ，通过在τ′处迭代期望值，其为零，带有E[（M~L（τ′）- 由于鞅性质，在{τ′<τ}上M L（τ））|Fτ′]=0。然后，切换符号会产生之前声明的身份。将最后两个结果与Gi（θ）相结合-) = 0，ESj（τ）Fθ= EZ[θ，τ）L+DL- MLdGi+Gi（τ）Mτ+DL（τ）- M~L（τ）（B.5）+1.- Gi（τ）Lτ+DL（τ）- M~L（τ）Fθ- L（θ）+M（θ）。关于[θ，τ），L+DL- M~L=~L- ULbyτ≤ τi≤ τθ，因此积分消失。事实上，dgis是绝对连续的w。r、 t.dD)Lon[θ，τi），andR（U)L-~L）dD~L=0；参见（3.7）。福瑟莫尔，在{τ<τi}上，Gi（τ）=0，在{τ=τi}上，UL（τ）=Lτ。具体地说，在{τi<τθ}上，它们的定义意味着τi处的1{F=L}dD＠L>0，因此U＠L（τi）=Lτi=Lτi=Lτi=Fτi；参见（3.6）。在{τi=τθ}上，U?L（τi）=?Lτias?Ltis常数f或t∈ [τθ, ∞].

最后，当τ时，期望中的最后一项消失≥ τθ，否则又有Lτ=~Lτ。（B.5）因此Sj（τ）Fθ= Eh{τ=τi}Gi（τi）Mτi-Lτi+1.- Gi（τ）~Lτ- UL（τ）Fθi+UθL（θ）≤ Eh{τ=τi}Gi（τi）Mτi-LτiFθi+UθL（B.6）由UθL≥L，等于τ=τiby U＠L（τi）=Lτi（分别为dGj（τ）>0，因为τ=inf{t≥ 在{τ<τi}上的τ| D＠L（t）>D＠L（τ）}；参见（3.6）。现在我们移除限制τ≤ τiby是一个估计值。Sj（t）对t是常数∈ （τi，∞], 带Sj（t）- Sj（τi）=Gi（τi）（Fτi）-Mτi）。因此，Sj（τ）≤ Sj（τi）+Gi（τi）（max（Fτi，Mτi）- Mτi）在{τ>τi}上。这个估计也适用于{τ=τi}，所以对于任何停止时间τ≥ θ我们与（B.6）一起Sj（τ）Fθ= EhSj（τ）∧ τi）+1{τ>τi}Gi（τi）Fτi- Mτi费伊≤ EhSj（τ）∧ τi）+1{τ≥τi}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- Mτi费伊≤ Eh{τ∧τi=τi}Gi（τi）Mτi-Lτi+ 1{τ≥τi}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- MτiFθi+UθL（θ）=Eh{τ≥τi}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）-LτiFθi+UθL（θ）。（B.7）回想一下)Lτθ=max（Fτθ，Mτθ），正如刚刚观察到的，U)L（τi）=Lτi=Lτi=Fτ离子{τi<τi}。因此，我们可以总结（B.7）asESj（τ）Fθ≤ Eh{τ≥τi}{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- FτiFθi+UθL（θ）≤ Eh{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- FτiFθi+UθL（θ）。（B.8）这是一个τ独立的界。构造一个停止时间τa≥ θ实现了这一点，letC={Gi（τi）（Fτi）- Mτi）>0}，所以C∈ Fτi，我们可以定义τa=τ离子c和τa=∞ onC；参见引理A.3。注意，τi<τaon C由约定F决定∞= M∞. 然后Sj（τa）=Sj（τi）+1CGi（τi）Fτi- Mτi= Sj（τi）+Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- Mτi因此，我们对Sj（τ）的估计对τ=τa具有约束力，因此也是（B.7）中的第一个不等式。第二个是绑定，因为它代表τ=τa的（B.6）∧ τi=τi。因此，（B.8）中的第一个等式是结合的，最后第二个等式是τa≥ τi。

这意味着Gj是对Giif的最佳回复，并且只有当Vj（Gj，Gi）=E[RSjdGj|Fθ]=E[Sj（τa）|Fθ]时。为了将其降低到索赔条件，我们可以使用（B.6）-（B.8）如下。总之τ≥ θ：ESj（τa）Fθ= ESj（τ）+Sj（τa）- Sj（τ）∧ τi）- 1{τ>τi}Sj（τ）- Sj（τi）Fθ= EhSj（τ）+1{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- Fτi- 1{τ∧τi=τi}Gi（τi）Mτi-Lτi-1.- Gi（τ）∧ τi）~Lτ∧τi- UL（τ）∧ τi）- 1{τ>τi}Gi（τi）Fτi- MτiFθi.左手边与τ无关，因此通过（B.1）后面的参数。（B.2）我们可以用dGj（t）在右侧的期望值内进行积分，用t代替τ，从而得到Z[0，∞]Sj（t）dGj（t）+Z[0，∞]{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- FτidGj（t）-Z[0，∞]{t∧τi=τi}Gi（τi）Mτi-LτidGj（t）-Z[0，∞]1.- Gi（t）∧ τi）~Lt∧τi- UL（t）∧ τi）dGj（t）-Z[0，∞]{t>τi}Gi（τi）Fτi- MτidGj（t）Fθ.当dGjis绝对连续w.r.t.dD＠Lon[0，τi）和u＠L（τi）=＠Lτi（分别为as（B.6）在dGj（τ）>0时结合时，第四个积分再次消失Sj（τa）Fθ- EZ[0，∞]Sj（t）dGj（t）Fθ= Eh{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- Fτi-1.- Gj（τi）-)Gi（τi）Mτi-Lτi-1.- Gj（τi）Gi（τi）Fτi- MτiFθi=Eh{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- Fτi+ Gj（τi）Gi（τθ）最大值（Fτθ，Mτθ）- MτθFθi，其中最后一步从Gj（τθ）=1开始，定义＠Lτθ，以及定义{τi<τθ}，Gj（τi）=0，并且Gi（τi）>0，仅当Lτi=Lτi=Fτi。当且仅当a.s。Gi（τi）（Mτi）-Fτi）≤ {τi<τθ}上的0和Gi（τθ）（Mτθ）- Fτθ）≥ 0，没关系Gi（τθ）>0意味着τi=τθ和Gj（τθ）=Gi（τθ）。在这种情况下，在（B.8）和thusofvj（Gj，Gi）=E[RSjdGj | Fθ]=E[Sj（τa）| Fθ中建立的界的值变成了简单的U＠L（θ）。前面的参数也用于显示GI何时是Gj的最佳代表，但分两步进行。

GJ也满足dGj=（1-Gj）（F）-L）-1{F>L}dD＠Lon[θ，τi），但可能Gj（τi）<1。然而，（B.6）仅在τi处使用U＠L=＠L，因此我们得到了切换角色的U＠L，并且仍然τ≤ τi.由于Si（t）不必为t的常数，现在必须逐步消除该限制∈ （τi，∞]关于{τi<τθ}。因此，与C和τa类似，设D={Gj（τi）（Fτi）- Mτi）>0}∈ Fτi和τb∈ T满足τb=τ离子dC和τb=∞ 否则，τb>τ仅在{τi=τθ}上Gj（τi）=0。假设τ≤ τba。s、 在{τi=τθ}上τ>τ，其中Si（t）变为常数，因此估计值f或Sj（τ）也适用于切换角色，导致j和每个τ的（B.8）≤ τb.现在τ控制着界，它由1{τi<τθ}变成了μL（θ）Gj（τi）=0。Asτb≥ τi，R[0，∞]（·）dGi=R[0，τb]（·）dGi，因此Vi（Gi，Gj）=E[Si（τb）| Fθ]通过切换角色当且仅当E[Gi（τθ）Gj（τθ）（最大值（Fτθ，Mτθ）-Mτθ）|Fθ]消失，即当且仅当Gi（τθ）（Mτθ）- Fτθ）≥ 0 a.s.然后也是Vi（Gi，Gj）=U＠L（θ）。证明E[Si（τb）|Fθ]≥ E[Si（τ）|Fθ]对于任何τ≥ θ，我们现在从τ开始≤ τθ然后得到一个不等式，而不是（B.3）中的第二个不等式，如1{F>L}（1）- Gj）dD~L≤(1 - Gj）dD不需要在{τ>τi}上绑定。然而，继续这个不等式，我们可以对转换角色应用后续步骤，并用τθ代替τi，得到（B.8）的类似物，表明实际上E[Si（τ）|Fθ]≤ 对于每个τ，UL（θ）≥ θ.用于GJ的论点表明，GI是对自身的最佳回答，当且仅当ifEh{τi<τθ}Gi（τi）最大值（Fτi，Mτi）- Fτi+Gi（τi）Lτi- MτiFθi=0<=> Eh{τi<τθ}Gi（τi）(1 - Gi（τi））（Mτi- Fτi）++Gi（τi）（Fτi）- Mτi）+Fθi=0，使用{τi=τθ}上的Lτi=max（Fτ，Mτθ）和{τi<τθ}上的Lτi=Lτθ=Fτθ，如前所述。当且仅当Gi（τi）（Mτi）- Fτi）≥ 0，在{τi<τθ}上相等Gi（τi）<1。

然后我们最终可以表示Vi（Gi，Gi）=E[Sj（τa）|Fθ]asEh{τi<τ977;}{Gi（τi）>0}Mτi- FτiFθi+UθL（θ），其中UθL（θ）=E[~Lτ**带τ的L（θ）|Fθ**L（θ）=inf{t≥ θD|L（t）>DL（t）}；参见（3.6）。此外，τi<τθ和Gi（τi）=1当且仅当τi=τ**所以我们可以重写vi（Gi，Gi）=EhLτ**L（θ）+1{τ**L（θ）<τθ}∩{Lτ**L（θ）=Fτ**~L（θ）}Mτ**L（θ）-~Lτ**L（θ）Fθi.备注B.1。如果L从右（和左）到上半连续，定理5.1仍然成立，但≡ M然后Dτθθl将保持连续（见fn.28），并且存在一个可行的混合策略Gθigiven byGθi（t）：=1- 经验-Ztθ{Fs>Ls}d（dτθL）c（s）Fs- Ls-X[θ，t]ln{Fs>Ls}DτθL（s）Fs- Ls+1对于t∈ [θ，τθi），其中（DτθL）表示DτθLand的连续部分DτθL（s）=DτθL（s+）- DτθL（s），然后满足dgθi（t）=1.- Gθi（t）{Ft>Lt}dDτθL（t+）Ft- Lt.那么证明中唯一的区别就是我们把dDL（·+）放在（B.3）的右侧和左侧（仅！）（B.4）。我们没有正确的连续性-~L，butR[θ，τ）（U~L-~L）dGi=0在（B.5）中仍然成立：dGi（·）在[θ，τi]上是绝对连续的w.r.t.dD＠L（·+），对于这一点，我们可以应用一系列变量，如引理a.1中的τD＠L（x）：=inf{t≥0 | D)L（t+）>x}。然后τDL（x）=t<=> s>t:DL（t-) ≤ x<DL（s），表示τDL（x）处的UL=~L a.s；参见（3.5）。因此，E[R[0，∞){U~L>~L}dD~L（+）]=R∞E[1{U＠L（τD＠L（x））>L（τD＠L（x））}]dx=0。最后，当τ<τθ和Gi（τ）>0 in（B.5），则简单地说U)L（τ）=Lτ=Lτ≡ Mτ现在，soit仍然足以考虑Gi（τi）在以下所有情况下，其中Gi（τi）>0，仅当UL（τi）=Lτi=Lτi=Fτi.定理5.3的证明。我们只需要建立时间一致性。如果假设成立，那么{（θ∨ θ′) ≤ (τθ∧ τθ′）不同于{（θ）∨ θ′) ≤ τθ=τθ′：=A∈ F（θ∨θ′）最多由anullset提供。

只有该事件与时间一致性相关，因为（θ∨ θ′) > (τθ∧ τθ′）a.s.onac且当Gθi∨ Gθ′i=1。在a上有<<Lτθ=<<Lτθ′a.s.，也有<<Lτθa.s.\'∈T：τ′≥τE~Lτθ（τ′）Fτ= ess supτ′∈T：τ′≥τE~Lτθ′（τ′）Fτa、 关于{τ≥ (θ ∨ θ′)} ∩ A表示任意τ∈ T，意味着UτθL{T≥(θ∨θ′）}=Uτθ′L{t≥(θ∨θ′）a.s.onA（即后两个过程无法区分）由可选项目的唯一性决定。相应地，DτθθL=Dτθ′Lon[θ∨ θ′，∞] a、 Doob Meyer分解的独特性。等效形式的时间一致性（1- Gθi（t））=（1- Gθi（θ′）-))(1 - Gθ′i（t））读取给定的Gθias{t<τθi}exp-Ztθ{F>L}dDτθLF- L= 1{θ′≤τθi}exp-Zθ′θ{F>L}dDτθLF- L{t<τ′i}exp-Ztθ′{F>L}dDτθ′LF- L,在A和t上≥ (θ ∨ θ′）化简为真语句{t<τθi}exp-Ztθ{F>L}dDτθLF- L= 1{t<τθi}exp-Zθ′θ{F>L}dDτθLF- L经验-Ztθ′{F>L}dDτθLF- L感谢我们之前展示的东西。关于j的论点是一个无逻辑的论点。定理7.3的证明。修好我，j∈ {1,2}，i6=j，并对扩展的混合策略进行了描述。对任何人来说θ∈ T然后τθ≤ inf{t≥ θLt>Ft}=inf{t≥ αi（t）>0}，所以αi（t）>0=> Gθi（t）=1 a.s.，对于j也是如此。Gθi，Gθj的其他可行性条件来自定理5.1，而对于αθi，αθjare的可行性条件，如Riedel和Steg（2017）所示（在命题3.1的证明中，不使用他们的假设θ=inf{t）≥ θLt>Ft}和f≥ M） 。家庭的时间一致性（Gθi；θi）∈ T），（Gθj；θ∈ T）遵循定理5。3，以及两者（αθi；θi）∈ T），（αθj；θ∈ T）是时间一致的，因为αθifrom P Proposition 7.1不依赖于θ（T的αθi（T）=0∈ [0, θ)).

现在fix武断θ∈ T如τθ≤ inf{t≥ θ|αθi（t）>0}，事实上αθi≡ ατθi对j也是如此，然后很容易从定义2.5和C.1中检查，随着时间的推移，Gθi，Gθj与Gτθi，Gτθj的一致性。，VθiGθi，αθi，Gθj，αθj= EZ[0，τθ）1.- GθjL dGθi+Z[0，τθ）1.- θiF dGθj+X[0，τθ）MθiGθj+1.- Gθi（τθ）-)1.- Gθj（τθ）-)VτθiGτθi，ατθi，Gτθj，ατθjFθ. （B.9）这里，Vτθi（Gτθi，ατθi，Gτθj，ατθj）=max（Fτθ，Mτθ）和（Gτθi，ατθi）是对（Gτθj，ατθj）的最佳回复。实际上，使用f{t中的停止时间^τθ=≥ θLt>Ft}≥ τθ，以下是{τθ=ττθ}∈ 命题7.1中的Fτθ应用于ττθ，而在{τθ<^τθ}上很容易通过定义2.5进行验证，C.1表示Gτθi（τθ）=Gτθj（τθ）=1，然后是τ<inf{t≥ τθ|ατθi（t）+ατθj（t）>0}和Mτθ≥ Fτθ（由于右连续性）。假设玩家i偏离任何可行的（Gθa，αθa）。首先假设αθa（t）≡ t<τθ时为0。然后，预期收益可以写成（B.9），其中（Gτθa，ατθa）构造为时间一致的，由Gτθa（t）=1{t≥τθ}（1{Gθa（τθ）-)<1} （Gθa（t）-Gθa（τθ）-))/(1-Gθa（τθ）-))+1{Gθa（τθ）-)=1} ）和ατθa≡ αθa.因为这在τθ，Vτθi（Gτθa，ατθa，Gτθj，ατθj）是可行的≤ Vτθi（Gτθi，ατθi，Gτθj，ατθj），或将前者替换为（B.9）的类似物，至少产生Vθi（Gθa，αθa，Gθj，αθj）。现在考虑假设Mτθ=Vτθi（Gτθi，ατθi，Gτθj，ατθj）（对于之前观察到的实际Mτθ，Mτθ）。然后（B.9）也成为玩家i的预期收益，来自由Gθi，Gθj表示的标准混合策略，Gθi（τθ）=Gθj（τθ）=1。此外，Vθi（Gθa，αθa，Gθj，αθj）的界类似于（B.9）构造，成为Gθa在与Gθj比赛时调整为Gθa（τθ）=1（仍然可行）给出的标准混合策略的预期收益。

因为假设诱导了Mτθ≥ Fτθ和as Fτθi≥ Mτθ离子{τθi<τθi}通过构造，定理5.1现在暗示Vθi（Gθa，αθa，Gθj，αθj）≤ Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）。Fu rthermore，引理3.1意味着，在Mτθ假设下，任何扩展混合策略在θ与Gθjc代表的标准混合策略的预期收益永远不会超过Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）。因此，为了处理任意可行的αθa，它仍然需要用一个与Gθj对抗的可行策略来约束预期收益≤ ^τa:=inf{t≥ θ|αθa（t）>0}，那么前面的参数可以调整如下。Asαθj（t）≡ 对于t<τθ，与（Gθa，αθa）类似的（B.9）的积分和和限制为[0，τθ）∧ ^τθa），期望值还包括1{^τθa<τθ}（λθL，iL^τθa+λθL，jF^τθa+λθMMθa），并且继续支付适用于{τ≤ ^τθa}。有界onVθi（Gθa，αθa，Gθj，αθj）由对连续值的相同估计产生。如果再次调整（Gθa，αθa）以满足Gθa（τθ）=1和αθa（t）≡ 0代表t∈ [τθ, ∞) （这是可行的），那么在与Gθjun的比赛中，在Mτθ的相同假设下，它的预期收益实际上变成了现在的界限。现在来看，唯一的区别是注意到，{^τθa<τθ}没有任何变化，因为那时（αθa，αθj）在ττado的结果概率不依赖于t的值≥ τθ和Mτθ没有影响。验证玩家j的最优性是完全类似的，因为没有使用i和j的特定角色。类似地，如果Fτ=Mτ或τ=inf{t>τ| Lt>Ft}每当Lτ=Fτ时，则条件Gθi（M）- F）=0在τθia处。s、 定理5.1中关于{τθi<τθi}的结论成立，之前的论证证明（Gθi，αθi）是对其本身的最好回答。B.2命题8.1的证明我们从三个引理B.2–B.4开始，它们为支付对称均衡中的策略和支付建立了一些重要的必要条件。

它们对于后续的Proposition 8.1预防至关重要。引理B.2。在任何支付对称子博弈完美均衡和任何θ∈ T，Z[0，T）{Ls6=Fs}1.- Gθ（s）-)dGθ（s）=Z[0，t）{Ls6=Fs}1.- Gθ（s）-)dGθ（s）代表所有t∈ R+a.s.因此{Lt6=Ft}dGθ（t）1.- Gθ（t）-)= 1{Lt6=Ft}dGθ（t）1.- Gθ（t）-), （B.10）如果（1）被解释为“=0”- Gθ（t）-))(1 - Gθ（t）-)) = 0.两位代表都支持（1）- Gθ（·）），（1）- Gθ（·））代替左侧极限。证据首先考虑任意τ∈ T与θ≤ τ ≤ ^τθ=inf{t≥ θ|αθ（t）+αθ（t）>0}a.s.与（B.9）类似，时间一致性和迭代期望意味着i，j∈ {1,2}，i6=j，thatVθiGθi，αθi，Gθj，αθj= EZ[0，τ）1.- GθjL dGθi+Z[0，τ）1.- θiF dGθj+X[0，τ）MθiGθj+1.- Gθi（τ）-)1.- Gθj（τ）-)VτiGτi，ατi，Gτj，ατjFθ（B.11）=EZ[0，τ）1.- Gθj（s）-)LsdGθi（s）+Z[0，τ）1.- θi（s）-)FsdGθj（s）+X[0，τ）（Ms）- Ls- （财政司司长）θi（s）θj（s）+1.- Gθi（τ）-)1.- Gθj（τ）-)VτiGτi，ατi，Gτj，ατjFθ.在支付对称均衡中，Vθ（·）- Vθ（·）=Vτ（·）- Vτ（·）=0。因此，EZ[0，τ）1.- Gθ（s）-)（Ls）- Fs）dGθ-Z[0，τ）1.- Gθ（s）-)（Ls）- Fs）dGθFθ= 0表示任意τ∈ [θ, ^τθ]. 这些积分表示两个有符号的可选随机测度，它们与Gθi（θi）在[0，^τθ]（在[0，θ）上的所有可选集一致-) = 0; 可选σ场由随机区间[0，τ），τ∈ T）。L和F是可选进程，因此我们可以取消（L- F）6=0以观察两个左连续（因此是可选的）进程sr[0，t）{Ls6=Fs}（1- Gθ（s）-)) dGθ（s）andR[0，t）{Ls6=Fs}（1）- Gθ（s）-)) dGθ（s）在任何停止时间τ的预期一致≤ ^τθ.

因此，它们在^τθ之前无法通过可选投影的唯一性进行区分。作为Gθ（s）∨ Gθ（s）=1代表所有s≥ ^τθ，测度r[0，t）{Ls6=Fs}（1）- Gθj（s）-)) dGθi（s）通常依赖于d，j依赖于[^τθ]，特别是当L^τθ6=F^τθ和Gθi（^τθ）<Gθj（^ττθ）=1，因此^ττθ=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}<inf{t≥ θ|αθi（t）>0}。通过时间一致性，子博弈中从^τθ开始的策略具有相同的属性，然后很容易从定义C.1中检查V^τθi（·）=G^τθi（^τθ）1.- α^τθj（^τθ）L^τθ+1.- G^τθi（^τθ）F^τθ+G^τθi（^τθ）α^τθj（^τθ）M^τθ=G^τθi（^τθ）1.- α^τθj（^τθ）L^τθ- F^τθ+α^τθj（^τθ）M^τθ+ F^τθ，（B.12）V^τθj（·）=G^τθi（^τθ）1.- α^τθj（^τθ）F^τθ+1.- G^τθi（^τθ）L^τθ+G^τθi（^τθ）α^τθj（^τθ）M^τθ=α^τθj（^ττθ）Gi（^τθ）M^τθ- F^τθ+ G^τθi（^τθ）F^τθ+1.- G^τθi（^τθ）L^τθ。（B.13）给定L^τθ6=F^τθ，支付是对称的当且仅当G^τθi（^τθ）（1）- α^τθj（^τθ））=1- G^τθi（^τθ）。然后G^τθi（^τθ）>0，并通过（B.12）中的线性给出G^τθi（^τθ）<1，因此（1-α^τθj（^τθ））L^τθ-F^τθ+α^τθj（^τθ）M^τθ=0。对于L^τ977; 6=F^τ977;，这意味着αττ977; j（^τ977;）>0，并且仅当αττj（^τ977;）=1时，M^τ977;=Fτ977;，但这被Payoff对称性和G^τ977; i（^τ977;）排除在外。然而，α^τθj（^τθ）∈ （0,1）和G^τθi（^τθ）>0需要（B.13）中的线性M^τθ=F^τθ，这表明我们不能有正概率的L^τθ6=F^τθ和G^τθi（^τθ）<1。这意味着我们之前的措施在[0，∞) a、 s.R[0，t]（1）- Gθ（s）-))（Ls）- Fs）dGθ（s）andR[0，t]（1）- Gθ（s）-))（Ls）- Fs）dGθ（s）是适应的、右连续的和有限变化的。它们的最小分解是使用（L- F）+和（L）- F）-, 分别地表示式（B.10）通过积分[（1- Gθ（s）-))(1 - Gθ（s）-))]-1on{Gθ（s）-) ∨ Gθ（s）-) < 1} 每种测量方法的水渍试验。最后，1{L6=F}（1- Gθ）dGθ=1{L6=F}（1）-Gθ）dGθ是类似地获得的，甚至没有重写（B.11）。引理B.3。