随机时间博弈中的对称均衡

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英文标题：
《Symmetric Equilibria in Stochastic Timing Games》
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作者：
Jan-Henrik Steg
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We construct subgame-perfect equilibria with mixed strategies for symmetric stochastic timing games with arbitrary strategic incentives. The strategies are qualitatively different for local first- or second-mover advantages, which we analyse in turn. When there is a local second-mover advantage, the players may conduct a war of attrition with stopping rates that we characterize in terms of the Snell envelope from the theory of optimal stopping. This is a very general result, but it provides a clear interpretation. When there is a local first-mover advantage, stopping typically results from preemption and is abrupt. Equilibria may differ in the degree of preemption, precisely when it is triggered or not. We develop an algorithm to characterize when preemption is inevitable and to construct corresponding payoff-maximal symmetric equilibria.
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中文摘要：
我们构造了具有任意策略激励的对称随机时间博弈的混合策略子博弈完美均衡。对于本地先发优势或后发优势，这些策略在性质上是不同的，我们依次分析。当存在局部后动优势时，玩家可能会进行一场消耗战，其停止率是我们根据最佳停止理论中的斯奈尔包络描述的。这是一个非常普遍的结果，但它提供了一个明确的解释。当存在本地先发优势时，停止通常是由抢占造成的，而且是突然的。先发制人的程度可能会有所不同，确切地说，先发制人是否被触发。我们发展了一个算法来描述抢占是不可避免的，并构造相应的支付最大对称均衡。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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2022-5-8 14:04:19 上传

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关键词：Quantitative Applications Optimization Differential mathematics

随机时间博弈中的对称均衡jan-Henrik-Steg*摘要针对具有ar位策略激励的对称随机定时博弈，我们构造了具有混合策略的子博弈完美均衡。这些策略在质量上不同于本地的先发优势或后发优势，我们依次分析这些优势。当存在局部后动优势时，玩家可能会进行一场消耗战，其停止率是我们根据最佳停止理论中的斯奈尔包络所描述的。这是一个非常普遍的结果，但它提供了一个明确的解释。当存在一定的先发优势时，停止通常是由抢占造成的，而且是突然的。平衡可能在预防的程度上有所不同，确切地说是在触发与否的时候。我们开发了一个算法来描述抢占何时不可避免，并构造相应的支付-最大s对称均衡。关键词：随机时间博弈，混合策略，子博弈完美均衡，最优停止，斯奈尔包络。JEL主题分类：C61，C73，D21，L121简介本文的目的是构造和理解对称随机时间博弈的子博弈完美均衡，它在战略实物期权模型中有重要的应用。众所周知，在许多连续时间的计时博弈中，纯策略不存在均衡。然而，如果它们确实存在，它们通常涉及不对称的支付，这只取决于玩家各自的角色，这必须在游戏开始前确定。还有一个尚未解决的战略冲突。

在这里，我们努力获得另一个普遍存在的结果，可能是对称的结果，所以我们考虑混合策略。特别是，没有对本地激励做出任何假设，因为本地激励可能会在先发优势和后发优势之间随机移动。众所周知，将注意力限制在具有后动优势的游戏上有助于平衡的存在。我们也从分析这个案例开始，展示了一般的回报*德国比勒费尔德大学数学经济学系。电子邮件：jsteg@uni-比勒菲尔德。本版本：2018年5月20日。感谢德国研究基金会（DFG）通过CRC 1283提供的财政支持。纯策略均衡中的不对称。我们在这种情况下的主要贡献是在一个可能的一般模型中构造了具有对称支付的混合策略均衡，并没有对基础不确定性做出具体的假设。然而，利用最优停止理论中的斯内伦斜率概念，平衡策略有一个清晰的表征和解释。具体来说，我们可以描述停止率，当玩家放弃可盈利的本地支付时，停止率会使玩家不同于留在游戏中。由于可能存在的不确定性，交易结果可能完全符合预期。

由于我们没有假设潜在支付过程的光滑性或单调性，我们也推广了纯确定性模型的现有结果。凭借先发优势，往往存在先发制人激励，导致均衡存在问题，即使是在混合策略和非常简单且行为良好的确定性模型中。策略空间和结果分布需要在连续时间内适当地扩展到模型抢占，这需要一些协调装置（不要与熟悉的相关策略混淆）。我们将在Riedel和Steg（2017）中提出的Fudenberg和Tirole（1985）的概念推广到随机模型中，这让我们想起了离散时间内的对称混合平衡。这种连续均衡可以与之前的连续混合均衡相结合，以获得局部后动优势，从而建立具有对称支付过程的子博弈完美均衡的一般存在性和特征，而不受潜在支付过程顺序的任何限制。这些结果有助于分析更丰富的模型，例如战略实物期权。到目前为止，人们关注的焦点要么是消耗，要么是掠夺，但在一场比赛的不同阶段，与战略相关的竞争优势和后进优势之间的反馈效应还没有得到太多研究。根据未来持续均衡的可行性，不必仅仅因为存在当前先发优势就发生先占。正如这个词所说，先发制人消除了未来的继续支付；因此，优先购买发生的频率越低，潜在的均衡收益就越高。

为了确定在什么时候抢占确实是不可避免的，我们提供了一种算法，该算法在同时停止的附加假设下工作，如Fudenberg和Tirole（1985）以及Hendricks和Wilson（1992）。具体地说，由于没有相应的“下一阶段”来应对如果没有人在当前阶段停止的威胁，玩家必须能够防止每个人都等待一段积极的时间，不管对手的策略（或偏差）如何，但不意味着所有人都以概率1同时停止。参见Steg和Thijssen（2015）的模型，其中每个企业的均衡期权行使都可能发生，同时存在先动优势或后动优势（每个都有正概率），以及对战略交易效应的明确分析。许多具有先占权效应的实物期权模型也有具有后动优势的阶段，但有人认为等待是最优的（见Riedel and Steg（2017）和Steg（2018）在这种情况下的一般条件）。Kwon等人（2016年）观察到先占或损耗取决于他们最初选择的参数。Décamps和Mariotti（2004）讨论了在消耗战中引入先发制人激励，这从本质上为他们的平衡微分方程带来了一个新的边界条件。通常是最不理想的结果。然后我们发现，在每个子博弈中，在任何具有对称性的均衡中，均衡支付永远不会超过最优停止局部领导者和追随者支付的最小值的期望值。

这意味着，无论参与者如何组合，甚至可能是在任意公共关联和独立剩余时间有限的情况下，如果领导者和追随者不能同时获得高价值的潜在支付过程，他们永远无法从中受益。然后我们知道，当领导者的支付超过均衡支付界限时，博弈必须以先发制人的方式结束。在无法避免抢占的情况下，重复此过程会累积时间。在这种情况下，我们能够用最少的可持续优先购买权和最高的可能收益构建一个均衡。1.1主要理论本论文发展了三个主要定理5.3、7.3和8.2，它们相互建立。定理5.3用混合策略构造了子博弈完美均衡，例如，具有系统（弱）后动优势的博弈。玩家必须协调一个合适的支付过程，该过程由领导者支付，直到某个可行的时间，要么允许同时停止平衡，要么足够晚，这样两个玩家届时都将确定停止。均衡通过最佳方式停止这个固定过程来实现。只要有预期的收益，就没有玩家停止。然而，当达到一个严格最优的停止点时，也就是说，如果任何进一步的延迟都意味着损失，那么就需要根据某种概率进行补偿，以获得更高的跟随者报酬。我们描述了相应的对手必须使用的准确停止率，以使每个球员在这些点上保持独立。由于其普遍性，这一结果在技术上不如其解释那么清楚。例如，对于典型的布朗模型，人们不能应用局部参数，因为根本不存在单调性。

因此，也不可能区分发生混合的适当时间间隔——想象一个布朗运动围绕着确实发生混合的区域边界发生。然而，使用鞅参数，我们从最优停止理论中获得了涉及斯奈尔包络概念的策略的清晰表示，这使我们能够有意义地谈论（局部）预期损失。这些策略通常是连续的u p到一些终端跳跃。另一个重要的问题是时间的一致性。如果我们为所有子游戏定义混合策略，即停止时间作为开始日期，我们必须确保它们在整个游戏中暗示一致的条件停止概率，这通常不是微不足道的。定理7.3随后引入了进一步的策略扩展，为具有先发优势的政权提供对称的先占均衡。该定理证明，当让制度具有后动优势时，它们形成可行的连续均衡。总的来说，我们得到了博弈的支付对称均衡，而不受局部激励的任何限制。游戏中可能会有任意的、随机的第一步或第二步优势的交替。定理8.2确定了最优对称平衡。尽管之前的研究涉及极端先占——只要存在严格的先发优势——但我们现在用最少的可持续先占来确定均衡，从而获得最高的可行收益。为此，我们关注收益——对称均衡，每个子博弈中都有对称的收益，因为这一性质对均衡策略具有重要影响。大致上，只有当p层在becomingleader和follower之间存在差异时，条件浇头概率才会有所不同。

在同时停止并不严格优于引导或跟随的附加假设下，参与者最多可以在任何均衡中协调最优停止引导和跟随支付过程的最小值。无论何时，只要领导者的薪酬超过该值，就必须发生优先购买权。知道这一点会限制前一个问题中的相关停止时间，从而进一步降低可达到的值。以算法的形式迭代该过程可以识别不可避免的抢占点。定理8.2证明，我们甚至最终得到了一个定义良好的子博弈完美均衡，而不仅仅是一个极限值。它基于之前的均衡，但尽可能抑制抢占，并验证将所提出的算法应用于所有子博弈时，确实会产生可测量、时间一致的策略。1.2相关文献战略时机问题出现在大量的背景中，尤其是在经济学中，但也出现在生物学中，因此相关文献非常丰富。一方面，关于连续时间中的确定性定时问题有一个分支，涉及广泛的应用，其中通常区分抢占模型和消耗战。相应地，Hendricks和Wilson（1992年）以及Hendricks等人（1988年）分别研究了具有系统第一和第二移动优势的程式化模型。Ghemawat和Nalebu Off（1985）认为退出一个衰落的行业，这场消耗战开始了。Fudenberg和Tir ole（1985）在一项开创性的贡献中强调了s对称抢占博弈中的子博弈完美性。Hoppe和Lehmann Grube（2005）模拟了一个类似的技术采用游戏，允许领导者的支付功能达到多峰值，但限制追随者的支付为非递增。在没有不确定性的情况下，由于完美的预见性，这些游戏以线性方式进行。

当激励因素可能更自由地变化时，会出现更多的复杂情况。Laraki等人（2005年）考虑一般决定论Fudenberg和Tirole（1986年）分析了信息不完整的市场退出问题。Bulow和Klemperer（1999）考虑了两个以上公司的类似问题。在第4节中，我们讨论了F不增加期望值的一些含义，即成为一个超级鞅。Dutta等人（1995年）从产品差异离子模型中再次获得了与Fudenberg和Tirole（1985年）类似的结构（包括单峰特性）。N人游戏，其支付只是时间的连续函数（对于给定的第一个移动者的身份）。他们证明了ε平衡总是存在的，但不一定存在精确平衡。另一方面，关于连续时间内不确定性的计时博弈的文献也有很多。例如，Dutta和Rustichini（1993）提出了对称马尔科夫环境。然而，由于局限于纯粹的策略，他们的马尔可夫均衡收益通常是不对称的，需要假设先占权问题。具有不确定性的许多重要应用是战略实物期权。例如，早期的贡献是Smets（1991年）。优先投资的一个典型对称模型是Mason and Weeds（2010）。格林纳迪亚（1996年）考虑了具有建设延迟和杂草的战略性房地产开发（2002年）ir可逆研发投资。一场消耗战源于Murto（2004）的双寡头退出模型，以及Décamps和Mariotti（2004）中学习外部性的投资。最后，当我们强调不确定性时，需要提及有关Dynkin游戏及其大型传统的文献。由于这是两人零和时间博弈，经典问题是在不同条件下平衡点或值的存在性。

这里我们只提到Touzi和Vieille（2002）最近的工作，因为他们的支付过程非常普遍，更重要的是，他们也使用混合策略。他们证明了更多的Dynkin游戏都有价值。他们的混合策略概念不同，不考虑子博弈，但时间零点的预期收益可能与我们的策略相关。最近，也进行了一些更抽象的工作，考虑了非零和支付的随机定时博弈。例如，Hamadène和Zhang（2010）证明了具有后动优势的两人博弈存在纳什均衡。1.3大纲本论文的结构如下。在第2节中，我们定义了我们的时间博弈，只做了极小的规律性假设，并总结了Riedel和Steg（2017）提出的混合策略中的su bgame完美均衡的概念。虽然我们通常使用混合策略，但平衡验证与通过线性解决最优停止问题有关。我们在第3节中对这种联系建立了一个方便的表述，并根据最优的一般理论提出了所需的事实。Pawlina和Kort（2006）考虑了一个具有不对称投资成本的类似模型，Thijssen（2010）考虑了一个具有明确特定不确定性的模型。Lambrecht和Perraudin（2003）建立了不完全信息下的抢占模型。后者以泊松不确定性为特征，与其他模型中的布朗不确定性形成对比，后者允许基于单调演化的信念和由此产生的微分方程进行分析。另请参见Hamadène和Hassani（2014），了解使用类似方法对N名球员的扩展。拉拉基和索兰（2013）对两人博弈中的激励做出了较少的假设。因此，即使考虑混合策略，它们也只能证明ε-平衡的存在。停止。