随机时间博弈中的对称均衡

此外，θn≤ θ + 21-所有k的nimplies∧τ（θ）=τ（θk）≥ n在{τ（θ）上≥θ + 21-n} 因此在这个集合上（θ，θτ（θ））=Sk≥n[θk，θτ（θk））a.s.，这意味着（θ，θτ（θ））属于{τ（θ）上的a≥ θ + 21-n} 直到P-空集。聚合（θ，θτ（θ））=（θ，θτ（θ））（1{τ（θ）≥θ+2}+Pn{τ（θ）∈[θ+2-n、 θ+21-n） }）a.s.，因此属于高达P的空集。现在定义αi=~αjby~αi（t）：=lim suput{u∈Ac}任何t的αθi（t）∈ R+和θ∈ 命题7.1中的αθias。■αθiinherit从其两个因子中逐步可测性，其中lim s up（·）h olds的可测性由定理IV.33（c）inDellacherie和Meyer（1978）得出。像αθi，αθisatis fiesαθi（t）=1{t≥θ}αθi（t）代表所有t∈ R+，其中θ≡ 0，这也确保了θ之间的时间一致性。加上理论上的，现在所有的t都是∧αθi（t）=0∈ [θ，θτ（θ））a.s.，soθαθi（t）>0=> Gθi（t）=Gθj（t）=1。因此，对于可行性而言，只有当∧αθi（t）<1时，才需要验证正确的连续性。首先请注意，当lim suput{u∈Ac}=0，那么它的右极限也会通过上半连续性消失，这样也就∧αθi（t）=αθi（t+）。当我在这里∈Ac}=1，αθi（t）<1，然后αθi（t）<1，因此αθi（·）是右连续的int，因此它仍然确保t7的右连续性→ lim suput{u∈Ac}when∧αθi（t）∈ (0, 1).因此，考虑任何固定的θ∈ T和相关集B={lim supu977;{u∈Ac>lim infuθ{u∈Ac}}。在B上，θ=θτ（θ）a.s.因为（θ，θτ（θ））属于a到P-零集。还可以考虑一个序列θnθ（例如，前一个）。通过（B.20）然后τ（θn）a.s.onB。此外，对于每个n∈ N、 作为θN>θ和lim infuθ{u∈在B上Ac}=0，一定存在q∈ （θ，θn），每个ω的q<τ（q）∈ B、 响应。谱仪半定量分析∈Q+{Q>θ}（)τ（Q）∧ θn）- q） >0 onB。

现在的目标是可测量地选择这样的q（ω），使它们形成一个停止时间τn。因此，letln=min{l∈ N | P[1Bsupq∈Q+{Q>θ}（)τ（Q）∧ θn）- q） >2-l]≥ (1 - N-1） P[B]}。这意味着B实现的概率和s ome（网格）点2k-lnwithk∈ N属于区间[q，~τ（q））∩ （θ，θn），即∩ （θ，θn），至少是（1- N-1） P[B]。正如单调性所暗示的∧τ（q）≤ ■τ（2k）-ln）对于所有理性的q≤ 2k-lna。s、 对于任何给定的k，我们都有P[Sk∈N{2k-ln=＠τ（2k）-ln）}∩ {2k-自然对数∈ A} ]=0，因此仍然是P[B∩ （Sk）∈N{2k-自然对数∈A.∩ （θ，θn）}∩ {2k-ln<τ（2k）-ln）}]≥ (1 - N-1） P[B]。因此，如果我们定义停车时间τn，kw的值为2k-如果这是在（θ，τ（2k-ln）∧ θn）和θnelse每k∈ N、 那么这些只取（{2k）中的值-ln | k∈ N}∩ （θ，θn））∪ {n}和P[B]∩ （Sk）∈N{τN，k=2k-自然对数∈（θ，τ（2k）-ln）∧ θn）}]≥ (1 - N-1） P[B]，所以我们也可以定义τn=mink∈Nτk，N∈ （θ，θn）满足τ（τn）=1{τn=θn}τ（θn）+Pk∈N{τN=2k-ln}τ（2k）-ln）a.s.由（B.19）和P[B∩{τn<τ（τn）}]≥ (1 - N-1） P[B]。每n取Cn={τn<τ（τn）}∈ N、 现在LτN≤ U（L）∧F）)τ（τn）（τn）a.s.在CnandP[B]上∩ [Ccn]≤ N-1P[B]。此外，用B迭代期望值∩ B′∩ Ccn∈ Fτn关于任何进一步的集合B′的∈ Fθ并使用U（L∧F）~τ（τn）（·）是一个超马丁格尔产率E[1B]∩B′∩Ccn（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]≤ E[1B∩B′∩Ccn（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（~τ（τn））]=E[1B∩B′∩Ccn（Lτn）-（L）∧F）~τ（τn））]，它被引理A.6作为n消失→ ∞ （t=（n）- 1） n-1） 因为L和（D）和1B舱的票价∩B′∩Ccn→ 概率为0。因此，林燮→∞E[1B∩B′（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]≤ 林尚→∞E[1B∩B′∩Cn（Lτn）- U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]≤ 0.另一方面，与之前类似σn∈ [τn，τ（τn）]分别。

达到U（L）∧F）每个n的ττ（τn）（τn）∈ N、 E[1B∩B′（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]=E[1B∩B′（Lτn）-（L）∧F）σn）]→ E[1B∩B′（Lθ）-Fθ]as n→ ∞因为τn≤ σn≤ ■τ（τn）≤ θτ（θn）→ θ，Fθ≤ B上的Lθbyθ=θτ（θ），L和F是右连续的，属于（D）类。选择B′={Lθ>Fθ}现在表明B∩ B′的概率为零，即a.s.lim supuθ{u∈Ac}=lim infuθ{u∈Ac}或Lθ≤ Fθ。现在将此应用于θ′n=inf{t的所需路径属性≥ 0 |（lim suput{u∈Ac}-lim infut{u∈Ac}（Lt）- （英国《金融时报》）≥ N-1} ，n∈ N.θ′确实是一个停止时间，这是由lim sup（·）的渐进可测量性在lim inf（·）之前和类似的情况下所观察到的。Latter的差异是上半连续和L- F从右起为偶数连续，so（lim supuθn{u∈Ac}-lim infuθn{u∈Ac}（Lθn- Fθ′n）≥ N-1a。s、 关于{θ′n<∞}, 证明事实上θ′n=∞a、 因为这仍然同时适用于所有n∈ N、 事实上，a.s.lim suput{u∈Ac}>lim infut{u∈Ac}=> 书信电报≤ 全速飞行∈ R+。书信电报≤ F进一步简化αθi（t）∈ {0，1}这就是我们想要展示的。最后，为了验证我们在每个θ′=θτ（θ）处获得了命题7.1中所述的平衡支付，我们证明了thenθ′=inf{t≥ θ′i（t）>0}=：τ′a.s.我们有τ（τ′）=θ′和τ（θτ′）=θa.s.，前者由（B.19）表示，后者为（τ，θτ（τ））属于任何τ的一个高达P的零集∈ 因此，对于所有T，αθ′i（T）=0∈ （τ，τ（τ））a.s.现在假设τθ′>θ′具有正概率。然后也是)τθ′>inf{t≥ θ′Lt>U（L∧F）τθ′（t）}具有正概率，b因为其他θτ（t）}≥ 具有正概率的τθ′>θ′。因此，让θ′n=inf{t≥ θ′| Lt-U（L）∧F）~τθ′（t）≥ N-1}∧ 对于任意n∈ N、 林恩→∞P[{θ′n<τθ′}]>0。关于{θ′n<τθ′n}，Lθ′n>U（L∧F）通过右连续性θτθ′（θ′n）。那么必然是Lθ′n>Fθ′，因此αθi（θn）>0，所以αθi（θ′n）=0意味着lim supuθn{u∈Ac}=0，而且θ′n<τ（θ′n）乘以（B.20）。

然而，这需要Lθn≤ U（L）∧F）τ（θ′n）（θ′n），与后者是大气U（L）相矛盾∧F）τ（θ′n）乘以τ（θ′n）≤ ~τ(~τθ′) = ~τθ′. 因此，对于所有n，P[{θ′n<τθ′}]=0∈ N、 响应。事实上，ττθ′=a.s.现在更进一步∈Ac}=1乘以（B.20），因此∧αθ′i（θ′）=αθ′i（θ′）。从定义C.1来看，很明显，对于任何i，j的选择∈ {1,2}，i6=j，以及任何策略（Gθ′a，αθ′a）对于参与者i，结果概率仅取决于αθ′a，θαθ′jatθ′的值，除非两者都为零，并且αθ′=inf{t≥ θ′|αθ′a（t）>0}；然后，ε>0的任意短区间（θ′、θ′+ε）上的值也需要为kn。在前一种情况下，任何这样的αθ′aar的结果概率因此对于θαθ′jandαθj是相同的。在后一种情况下，任何这样的αθaar的λθ′M=0，以及θαθjorαθj，和θαθj（θ′）=αθj（θ′）=0意味着lθF′=F，因此预期玩家的回报是F′，无论是针对~αθ′jorαθ′j.还是针对αθ′a=Gθ′i，αθ′a=~αθ′iorαθ′iresp。在每种情况下产生相同的预期收益（事实上，由于对称性，第二种情况下甚至产生相同的结果概率），（Gθ′i，θαθ′i）和（Gθj，θαθj）继承了（Gθi，αθi）和（Gθj，αθj）的平衡性质。C结果概率以下定义是Riedel和Steg（2017）定义2.9的简化，由任何αθi（·）的右连续性产生，其中其值为零。右连续性意味着，当αθi（t）>0时，在任意短的时间间隔内，会出现许多大小大致相同的“原子”。因此，用uL（x，y）：=x（1）定义函数uLanduMfrom[0,1]\\（0,0）到[0,1]- y） x+y- xyx和uM（x，y）：=xyx+y- xy，分别是。

在完全重复的游戏中，玩家i的恒定阶段停止概率为X，玩家j的概率为y，得出玩家i首先停止或两个玩家同时停止的概率；1.-微升（x，y）- uM（x，y）=uL（y，x）是玩家j首先停止的概率。一段原子间隔也可以满足一个孤立的（有条件的）原子Gθj（t）/（1）- Gθj（t）-))只玩过一次。当原子变得任意小时，需要特别小心，因为μl不能在原点连续；更多详情请参见Riedel and Steg（2017）。重新计算αθi（t）>0=> Gθi（t）=1，且- Gθi（^τθ）-))(1 - Gθj（^τθ）-)) 是指在使用扩展之前，没有人停止的概率。为便于注释，请理解以下内容：- Gθi（^τθ）-)) = 0，那么（1- Gθi（^τθ）-))/(1 - Gθi（^τθ）-)) := 0.定义C.1。给定θ∈ T和一对扩展的混合策略Gθ，αθ和Gθ，αθ,结果概率λθL，1，λθL，2和λθMat^τθ：=inf{t≥ θαθ（t）+αθ（t）>0}定义如下。

让我，j∈ {1,2}，i6=j.如果^τθ<^τθj:=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}，然后λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)\"1 -Gθj（^τθ）1- Gθj（^τθ）-)#= Gθi（^τθ）1.- Gθj（^τθ）,λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)αθi（^τθ）Gθj（^τθ）1- Gθj（^τθ）-)= Gθi（^τθ）Gθj（^τθ）αθi（^τθ）。如果^τθ<^τθi:=inf{t≥ θ|αθi（t）>0}，然后λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)Gθi（^τθ）1- Gθi（^τθ）-)1.- αθj（^τθ）= Gθi（^τθ）Gθj（^τθ）1.- αθj（^τθ）,λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)Gθi（^τθ）1- Gθi（^τθ）-)αθj（^τθ）=Gθi（^τθ）Gθj（^τθ）αθj（^τθ）。如果^τθ=^τθ=^τθ和αθ（^τθ）+αθ（^τθ）>0，则λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)uL（αθi（^τθ），αθj（^τθ）），λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)uM（αθ（ττ），αθ（ττ）。如果^τθ=^τθ=^τθ和αθ（^τθ）+αθ（^τθ）=0，则λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)lim inft^τθαθi（t）+αθj（t）>0uL（αθi（t），αθj（t））+lim suptτθi（t）+αθj（t）>0uL（αθi（t），αθj（t））,λθM:=0。备注C.2。（i） λθL，jis当然还有玩家i成为追随者的可能性。它总是认为λθM+λθL，i+λθL，j=（1-Gθi（^τθ）-))(1-Gθj（^τθ）-)). 除以（1）-Gθi（^τθ）-))(1-Gθj（^τθ）-))如果可行，则产生相应的条件概率。（ii）如果αθi（^τθ）=1，则游戏者i肯定停止，并且不需要极限参数。否则，αθ（·）和αθ（·）都是右连续的，并且都是uMexists的相应极限。然而，uL在原点没有连续的延伸，因此我们使用lim inf和lim sup的对称组合，以确保存在极限时的一致性。如果潜在均衡中的极限不存在，那么两个参与者将不受角色限制；参见Riedel and Steg（2017）中的引理A.5。参考铋，J.-M.和B.Sk alli（1977年）。最佳时机，即过程和马尔科夫过程。Z.Wahrscheinlichkeitsforerie verw。格比特39301–313。Bulow，J.和P.K lemperer（1999年）。普遍的消耗战。是经济部。牧师。89 (1),175–189.Décamps，J.-P.和T。

马里奥蒂（2004年）。投资时机和学习外部性。J.经济。理论118，80-102。Dellacherie，C.和P-A.Meyer（1978年）。《概率与潜能》，数学研究第29卷。阿姆斯特丹纽约牛津：北荷兰。杜塔，P.K.，S.Lach和A.Rustichini（1995年）。迟做总比早做好：采用新技术时的纵向差异。J.经济。管理策略4（4），563-589。杜塔，P.K.和A.Rustichini（1993年）。一种停止时间博弈的理论，应用于产品创新和资产销售。经济部。理论3743–763。Fu denberg，D.和J.Tir ole（1985年）。新技术应用中的优先购买权和租金均衡。牧师。经济部。螺柱。52 (3), 383–401.傅登伯格，D.和J.蒂罗尔（1986年）。杜邦的退出理论。《计量经济学》54（4），943-960。Ghemawat，P.和B.Nalebu ff（1985年）。出口兰德·J·经济。16 (2), 184–194.格林纳达，S.R.（1996年）。选择权的战略运用：房地产市场的开发级联和过度建设。J.财务51（5），1653-1679。Hamadène，S.和M.Hassani（2014年）。多人连续时间非零和Dynkin对策。暹罗J.控制优化。52 (2), 821–835.Hamadène，S.和J.Zhang（2010）。连续时间非零和Dynkin对策问题及其在对策选择中的应用。SIA M J.控制优化。48 (5), 3659–3669.亨德里克斯，K.，A.维斯和C.威尔逊（1988）。信息完整的连续时间消耗战。国际经济。牧师。29 (4), 663–680.亨德里克斯，K.和C.威尔逊（1992年）。完全信息抢占博弈中的均衡。在M.Majumdar（Ed.）中，《平衡与动力学：纪念戴维加尔的论文》，第123-147页。汉普郡贝辛斯托克：麦克米伦。霍普，H.C。和U.Lehmann Grube（2005年）。创新计时游戏：一个带有应用程序的通用框架。J.经济。理论121，30-50。卡伦伯格，O.（2002）。现代概率基础（第二版）。

纽约，柏林，海德堡：斯普林格。Kwon，H.D.，W.Xu，A.Agrawal和S.Muthulingam（2016）。贝叶斯学习和外部性对战略投资的影响。管理科学。62 (2), 550–570.Lambr echt，B.和W.Perraudin（2003年）。不完全信息下的实物期权和优先购买权。J.经济。戴恩。控制27619–643。拉拉基，R.和E.索兰（2013）。两人非零和Dynkin对策不连续时间的均衡。随机85（6），997-1014。拉拉基，R.，E.索兰和N.维耶（2005）。时间的连续游戏。J.经济。理论120206-238。梅森，R.和H.杂草（2010）。投资、不确定性和优先购买权。国际风琴杂志。28 (3), 278–287.Mertens，J.-F.（1972年）。généraux随机过程理论：鞅的应用。Z.Wahrscheinlichkeitsforerie verw。格比特22，45-68。Murto，P.（2004年）。在联合国确定的情况下退出双头垄断。兰德·J·经济。35 (1), 111–127.Pawlina，G.和P.M.Kort（2006年）。不对称双头垄断中的实物期权：谁能从你的竞争劣势中获益？J.经济。管理策略15（1），1-35。Riedel，F.和J.-H.Steg（2017年）。随机时间博弈中的子博弈完美均衡。J.数学。经济部。72, 36–50.斯梅茨，F.（1991年）。E x转移与外国直接投资：不确定性、不可逆性和战略互动的影响。工作报告，耶鲁大学，纽黑文，康涅狄格州。斯特格，J.-H.（2018）。不确定性下的先发制人投资。游戏经济。比哈夫。110（C），90-119。Steg，J.-H.（即将出版，2017年）。在离散和连续时间内的抢占。戴恩。GamesAppl。。Steg，J.-H.和J.J.Thijs sen（2015）。快速还是持久？战略投资需要多功能性。工作文件541，比勒菲尔德大学数学经济学中心。Thijssen，J.J.J.（2010）。具有先发优势和特定不确定性的实物期权博弈中的先占权。J.经济。理论145，2448-2462。图兹，N.和N。

维耶（2002年）。具有混合策略的连续时间Dynkin游戏。西亚姆。控制Optim。41, 1073–1088.杂草，H.（2002）。研发竞争的实物期权模型中的战略延迟。牧师。经济部。螺柱。69, 729–747.