随机时间博弈中的对称均衡

对任何人来说θ∈ T，这些是VθGθ，αθ，Gθ，αθ= VθGθ，αθ，Gθ，αθ= ess supτ∈T：τ∈[θ，θτ（θ）]ELτ∧ FτFθ=: U（L）∧F）τ（θ）（θ），其中τ（θ）是通过以下算法确定的最新可持续抢占点：（i）集τ（θ）：=inf{t≥ θLt>UL∧F（t）}和（L）∧ F）τ（θ）：=书信电报∧τ(θ)∧ 英尺∧τ(θ)T≥0带有Snell信封U（L∧F）τ（θ）：=（ess supt）≤τ∈TE[（L∧ F）τ（θ）τ| Ft]）t≥0.（ii）每n∈ N、 集合τN（θ）：=inf{t≥ θLt>U（L∧F）τn-1（θ）（t）}∧ τn-1（θ）和（L）∧ F）τn（θ）：=书信电报∧τn（θ）∧ 英尺∧τn（θ）T≥0带有Snell信封U（L∧F）τn（θ）=（ess supt）≤τ∈TE[（L∧ F）τn（θ）τ| Ft]）t≥0.（iii）取单调极限∧τ（θ）：=limn→∞τn（θ）。证据：见附录B.3。使用定理7.3中的策略实现支付-最大平衡，但在∧τ（θ）之前设置αθi=0。从技术上讲，用该算法构造∧τ（θ）并不困难。主要问题在于验证所声称的均衡性质：为了确保当L>F在[θ，θτ（θ））上时，不存在抢占激励，在θτ（θ）处确实是最大的，并且在θτ（θ）处存在抢占的持续均衡此外，可测量性是一个主要的技术问题，因为我们希望有一个时间一致的策略版本，在这里我们为所有的策略设置αθi=0∈ 在所有UBS游戏中实现最大回报。为了在Lθ>Fθ时抑制抢占，存在τ显然是不够的≥ θ使得E[Lτ∧ Fτ| Fθ]≥ Lθ；因此，这种关系必须保持[θ，τ]∩ {L>F}。例如，通过目视检查，T heorem 8.2的算法可以应用于Fu denberg和Tirole（1985）的模型，如图1所示。L在τ处首次超过了未来最大值min（L，F），因此将出现抢占。考虑到这一点，几乎可以实现最小（L，F）到τ的最大值。然而，在τ处，L也将超过这个红色的值。

在极限状态下，τ（0）=满足第一个不可避免的抢占点。Fudenberg和Tirole还考虑了另一种情况，案例B，intLFML，F，MTτt图1：先占，Fudenberg和Tirole（1985），其峰值高于第一个。那么∧τ（0）=∞, 因为L=F是从全球巅峰开始的，玩家可以在联合后期采用上进行协调。总的来说，我们可能会有更复杂的随机模式，当然，具有任意区域的后发优势，这可能会触发先发制人或不触发先发制人。9结论在许多计时游戏中，正如我们所说，混合策略起着重要作用，无论是平衡的存在，还是解决游戏中的任何战略冲突（关于具有不同便利设施的角色）。在分析了两种不同的局部战略激励之后，我们已经能够证明一般对称随机时间博弈的子博弈完美均衡的存在性，并明确地刻画了它们的特征，提供对称均衡。我们的方法基于最优停止的一般理论，并说明需要解决哪类停止问题来验证均衡；不仅如此，尤其是混合策略。对于一个给定的时间博弈，可能存在不同的均衡，不同的优先度。我们考虑了两种极端情况：如果一方在有先发优势时发起先发制人，那么支付可能会受到严格限制。然而，我们已经展示了如何将优先购买权降至最低，并证明了相应均衡的存在性和最大可实现的收益。如果在一个具有先发优势的特定制度下（通过有效的未来持续均衡），确实可以防止优先购买，那么在连续混合中也可能存在进一步的均衡，我们只是为了后发优势才使用它。

然而，任何此类额外的混合都将是有效的，并导致较低的回报（也可以直接显示）。Steg和Thijssen（2015）分析了一个更具体的战略投资模型，该模型具有随机性和后动优势，其中与本文所述战略相对应的战略具有马尔可夫表示。A技术成果引理A.1。如果L是（D）类的（可测）过程，则存在常数K∈ R+使得对于任意过程G，它是a.s.右连续的，非减量的，非负的，并且有一些G的界∞∈ L∞（P）对于任何[0，∞]-有值随机变量a，b它认为（i）EZ[a，b）| Lt | dGt≤ KkG∞K∞< ∞ 和（ii）Z[a，b）| Lt | dGt=Z∞LτG（x）{τG（x）∈[a，b）}dx<∞ a、 其中τG（x）：=inf{t≥ 0 | Gt≥ x} 对于任何x∈ R+，和G:=G。如果τG（x）被定义为“Gt>x”，则同样适用。如果G上的界是唯一可积的，即G∞∈ L（P），但{Lτ{1τ<∞}| τ ∈ T}界于L∞（P）由K∈ R+，然后（i）与KE[G]保持一致∞] 取而代之的是（ii）如上所述。证据a.s.非减量停止时间族（τG（x））x∈R+是G的左连续逆，满足τG（x）≤ T<=> 燃气轮机≥ x、 因此，对于约定的R[0，c]dG=Gc，我们有a.s.R[0，∞)AdG=R∞{τG（x）∈A} 阿拉的dx∈ {[0，c]|c∈ R+}以及A=R+的单调收敛。该关系通过单调类参数从R+扩展到所有Borel集A。As L·（ω）：R+→ R、 t 7→ Lt（ω），与函数1{t一样是Borel可测的∈[a（ω），b（ω））}，我们由此得到变量公式Z[a，b）| Lt | dGt=Z{τG（x）的变化<∞}LτG（x）{τG（x）∈[a，b）}dx=Z∞LτG（x）{τG（x）∈[a，b）}dx a.s.这个公式也适用于inf{t≥ 0 | Gt>x}=τG（x+）而不是τG（x），因为这两个变量只能影响一组勒贝格测度（dx）0。根据富比尼定理，EZ∞LτG（x）{τG（x）∈[a，b）}dx≤Z∞嗯LτG（x）{τG（x）<∞}idx=ZkG∞K∞嗯LτG（x）{τG（x）<∞}idx。

（A.1）由于L属于（D）类，{Lτ{1τ<∞}| τ ∈ T}在L（P）中被一些K<∞, 其中（A.1）以KkG为界∞K∞如果后者是有限的。如果kLτ{τ<∞}K∞≤ K表示每τ∈ TSee，例如，Kallenberg（2002），定理1.1。例如，参见Kallenberg（2002），引理1.26（i）。例如，参见Kallenberg（2002），引理1.22。有必要将dx限制为{τG（x）<∞}, 当积分到[a，b]上时，它是冗余的，而G是以G为界的∞∈ L（P），那么（A.1）以z为界∞EhK1{τG（x）<∞}idx=KEZ∞{τG（x）<∞}dx≤ KE[G]∞] < ∞.在这两种情况下，它都遵循R[a，b）| Lt | dGt<∞ a、 s.引理a.2。假设过程L、F和M是可选的，属于（D）类，而适应的过程G是右连续的、不减损的，并且取[0,1]a.s.中的值。那么由t定义的Sde:=Z[0,t）FsdGs+GtMt+1.- 燃气轮机中尉，t∈ R+是可选的，也属于（D）类。此外，如果另外∞∈ L（P）和G∞≡ 1个定义，相应地∞通过设置t=∞, 然后也是S∞∈ L（P）。证据S的分量显然是可选的，尤其是积分是左连续的，且G右连续和左连续适应过程的差异。证明S在假设下属于（D）类，并且S∞∈ L（P），足够清楚地证明{R[0，τ）F dG |τ∈ T}是一致可积的。根据d e laVallée-Poussin定理，一类随机变量{Xτ|τ∈ T}是一致可积的当且仅当存在一个非减量凸函数g:R时+→ R+如此有限→∞g（t）t=∞和supτ∈TE[g（|Xτ|）]∞. 通过{Fτ{τ的假设，这一点成立<∞}| τ ∈ T}；参见fn。10.修复与F相关的g。通过变量的变化，如引理a.1，然后SUPτ∈TEGZ[0，τ）FsdGs≤ supτ∈TEGZFτG（x）{τG（x）<τ}dx≤ supτ∈TEZgFτG（x）{τG（x）<∞}dx≤Zsupτ∈泰格Fτ{τ<∞}idx<∞.对于最后两个不等式，我们分别。使用了Jensen不等式和Fub-ini定理。引理A.3。

考虑两次停车时间≤ τ和一个事件C∈ Fσ。然后θ：=σ1C+τ1C表示停止时间。如果过滤完成，则表明σ≤ τa.s.证明。为了验证θ是停止时间，我们检查{θ≤ t}∈ 全速飞行∈ R+。首先请注意{θ≤ t} =（{σ）≤ t}∩ C）∪ ({τ ≤ t}∩ Cc）。F-s-t相交属于Fσ的定义，因此也属于补码（{σ≤t}∩ C） C={σ>t}∪ 复写的副本∈ Ft，意味着Cc∩ {σ ≤ t}∈ 最后，作为{τ≤ t}∈ 英国《金融时报》∩ {σ ≤ t}∩ {τ ≤ t} =Cc∩ {τ ≤ t}∈ Ft.Ifσ≤ τ仅为a.s.，则最后一个等式适用于空集Cc∩ {σ>t}∩ {τ ≤ t} ，如果过滤完成，则包含在FTI中。引理A.4。过程Lτθ：=1{t<τθL}L+1{t≥τθmax（Fτθ，Mτθ）在理论5中定义。1在[θ]上从左上半连续，∞], 在这一点上，DLis henceleft连续a.s.证明。设（τn）n∈Nbe停止时间的顺序，即a.s.增加并获取价值[θ，∞], 用τ表示极限∈ T定义可测量集：=\\n{τn<τθ}。然后limn→∞~Lτn=~Lτa.s.在Ac上，意味着limn→∞E[1AcLτn]=E[1AcLτ]，因为L属于（D）类。我们得到了L的类似物∧如果我们使用（τn∧τθ）和（τ）∧τθ），分别。将后一个f作用与假设2给出的期望中的左上半连续性相结合。1（iii）yieldslim supn∈氖A（L）∧ F）τn∧τθ+1Ac（L∧ F）τn∧τθ≤ EA（L）∧ F）τ∧τθ+1Ac（L∧ F）τ∧τθ=> 林尚∈氖A（L）∧ F）τn≤ EA（L）∧ F）τ.注意（L）∧ F）τn=~Lτ非A和（L）∧ F）τ≤~Lτ在A上 {τ ≤ τθ}，暗示着目标。最后，我们证明了如果L在区间[θ]上是左上半连续的，∞], 然后，在这段时间间隔内，DLare的路径保持连续，即a.s。

用Lt定义辅助过程^L:=1{t<θ}Mt+1{t≥θ}Lt，其中^M是M artingale（E[~Lθ|Ft]）t的右连续版本≥0，由于可选采样，它是一致可积的，因此（左）连续不可预测。^L从左不可测继承上半连续性，因为E[^Lτn]=E[1{τn<θ}Lθ+1{τn≥θ}Lτn]=E[~Lτn∨θ]和类似的E[^Lτ]=E[~Lτ∨θ]. 正如▄L和▄L同意的那样，∞], 他们的斯内尔在这段时间内的任何一个停顿时间都会包围着U!Land U^Lagree，因此U!≥θ}和U^L{t≥θ}是无法区分的唯一可选投影。同样的情况也适用于补偿装置DLand D^Lon[θ，∞] Doob-Meyer-d生态组合的独特性。D^Lis左连续a.s.因为^L是期望中的左上半连续，参见f n.28。引理A.5。让A，B:R+→ R∪ {+∞} 是两个右连续且不减损的函数，其值为0≤ B≤ 1.然后微分方程dg=（1）- G） dA，G0-= A.∈ R（A.2）的解g=1- (1 - a） e-RdAcQ（1+（A）-1= 1 - (1 - a） e-RdAc-兹罗提（1）+A） ，式中Ac=A-PA.∈ [A，A]是A的连续部分，微分方程dg=（1）- G-) dB，G0-= B∈ R（A.3）的解g=1- (1 - b） e-RdBcQ（1）- B） =1- (1 - b） e-RdBc+Pln（1）-B） 。（A.2）或（A.3）的任何解对一是单调的，但决不交叉。G解这两个方程的当且仅当A=地下一层-B、 re sp。B=A1+A.证据。检查起来很简单。注意dG=（1-a） dA1+对于（A.2）的任何解，这意味着一个的两边都是单调的，并且这个值不能交叉。的确，G 1.<=> G 1.- G0-= 1.- A.<=> 0 1.- a、 类似地，dG=（1- b） 对于（A.3）的任何解，意味着G 1.<=> G1.- G0-= 1.- B<=> 0 1.- b和B<1，使用B∈ [0,1]表示最后一个等价项。引理A.6。让（Yt，Zt）t∈[0,1]是一个随机变量族。

假设族（Yt）是一致可积的，族（Zt）在L中有界∞（P）和Zt→ 0的概率为t→ 1.Thenlimt→1E[YtZt]=0。证据（kZtk）∞) 在L（P）中，h en ce（Zt）是一致可积的，并且收敛到常数零，即t→ 1.由于（Yt）是一致可积的，我们可以为任何ε>0找到一个合适的常数Kε≥ 0这样的{| Yt|≥Kε}YtZt|≤ εK表示所有t∈ [0, 1].总之，lim supt→1E|YtZt|= 林监督→1.E{| Yt|≥Kε}YtZt|+ E{| Yt |<Kε}| YtZt|≤ 林监督→1E{| Yt|≥Kε}YtZt|+ 极限→1E{| Yt |<Kε}| YtZt|≤ εk索赔如下。B.证明某人。1第3-7节中结果的证明引理的证明3.1。通过停止时间τG，θi（x）：=inf{t确定Gθib的右连续逆≥ θGθi（t）>x}，x∈ [0，1）。引理A.1允许变量Z的变化[θ，∞)Sθi（t）dGθi（t）=ZSθiτG，θi（x）{τG，θi（x）<∞}此外，x>Gθi(∞-) => τG，θi（x）=∞ => 十、≥ θi(∞-), i、 e.，1{x>Gθi(∞-)}≤ 1{τG，θi（x）=∞}≤{x≥θi(∞-)}为了所有的x∈ [0,1]a.s.，暗示θi(∞)Sθi(∞) =Z{τG，θi（x）=∞}dxSθi(∞) a、 因此，VθiGθi，Gθj= EZSθiτG，θi（x）{τG，θi（x）<∞}dx+ZSθi(∞)1{τG，θi（x）=∞}dxFθ= EZSθiτG，θi（x）dxFθ. （B.1）将（B.1）超过ess supx的事件记录下来∈[0,1）E[Sθi（τG，θi（x））|Fθ]=：Zθian，通过矛盾P[A]>0进行假设。然后E[1ARSθi（τG，θi（x））dx]>E[1AZθi]通过A∈ Fθ并用Fubini定理消除期望，soRE[1ASθi（τG，θi（x））]dx>E[1AZθi]。因此就存在x∈ （0,1）带有E[1AZθi]<E[1ASθi（τG，θi（x））=E[1AE[Sθi（τG，θi（x））|Fθ]]，这与Zθi相矛盾≥ E[Sθi（τG，θi（x））|Fθ]。那么，Vθi（Gθi，Gθj）≤ Zθia。s、 ，暗示（3.3）。考虑到后者并用UθSi表示其右侧，它是a.s.约束当且仅当ifE[Vθi（Gθi，Gθj）]=E[UθSi]，即by（B.1）和Fubini，当且仅当ifRE[sθi（τG，θi（x））]dx=E[UθSi]。Sθi（τG，θi（x））=UθSia。s、 对于a.e。

十、∈ [0，1）.如果Gθiis被任何可行的αθiii扩展，而不是平凡的α∞由1{t给出≥∞}, 那么就很容易从定义2.5和C.1中检查VθiGθi，αθi，Gθj，α∞- VθiGθi，α∞, Gθj，α∞= 呃{^τθi<∞}θi^τθiGθj^τθi1.- αθi^τθiF^τθi- M^τθiFθiwith^τi=inf{t≥ 0 |αθi（t）>0}，所以Gθi（^τθi）=1。设B={1{^τθi<∞}Gθj（^τθi）（F^τθi）- M^τi）>0}，所以B∈ F^τθi，以及任何n的定义Gθ∈ N\\{1,2}通过延迟Gθi（^τθi）到^τθi+n-1onB，即通过Gθn（t）=Gθi（t）1{t<tθτθi}+（Gθi（^τθi-)1B+1Bc）1{t-^τθi∈[0，n-1） }+1{t≥^τi+n-1}. 然后（Gθn，α∞) 是一种可行的（标准的）混合策略。让我们来看看C∈ Fθ。通过L和Gθj，Sθi（t+）的右连续性- Sθi（t）=Gθj（t）（英尺）- Mt）。作为（D）类的SθII，我们得到了期望极限→∞EhCVθiGθn，α∞, Gθj，α∞- VθiGθi，α∞, Gθj，α∞i=limn→∞ECZ[0，∞]Sθi（t）dGθn（t）-Z[0，∞]Sθi（t）dGθi（t）= EhCSθi（^τi+）- Sθi（^τθi）BGθi（^τθi）i=EhCGθj^τθiF^τθi- M^τθiBθi^τθi我≥ EhCVθiGθi，αθi，Gθj，α∞- VθiGθi，α∞, Gθj，α∞i、 与所有对（Gθn，Gθj）的（3.3）一起，这表明C={Vθi（Gθi，αθi，Gθj，α∞) >ess supτ≥ θE[Sθi（τ）|Fθ]}的概率必须为零。引理4.1的证明。通过L和Gθj的右连续性，Sθi（τ+）- Sθi（τ）=Gθj（τ）（Fτ）-Mτ）≥ 0表示任意τ∈ T现在考虑集合{τi<τ*L（θ）}，a.s.EhSθiτ*L（θ）+- SθiτiFτii=EZ[τi，τ*L（θ）]FsdGθj（s）+1.- Gθjτ*L（θ）Lτ*L（θ）- Gθj（τi）Mτi-1.- GθjτiLτiFτi≥ EhFτ*L（θ）Gθjτ*L（θ）- Gθjτi-+1.- Gθjτ*L（θ）Lτ*L（θ）-1.- Gθjτi-LτiFτii≥ 弹流润滑τ*L（θ）1.- Gθjτi--1.- Gθjτi-LτiFτii≥ 0.第一个不等式是通过变量的变化得出的，即F是一个超鞅（在证明末尾演示），而L≥ M第二个不平等是由于≥ 最后一个是关于τ的最优性*L（θ）。

注：如果P[τi<τ，则后者将是严格的*L（θ）和Gθj（τi）-) < 1] >0，通过任何θ的次优性≤ τi<τ*L（θ）。引理4.1中的第二个估计遵循前面步骤中设置的τi=θ。下一个说法是由于τ的期望值被忽略*L（θ）≥ θ和E[Sθi（τi+）|Fτ*L（θ）]≤ ess supτ≥ τ*L（θ）E[Sθi（τ）|Fτ*L（θ）]对于任何s打顶时间τi≥ τ*L（θ）。事实上，让我们∈ Fτ*L（θ）是指在给定的τi内，后一个发生故障的事件，并考虑停止时间τi+n-1，n∈ N.作为（D）类的Sθii，E[1ASθi（τi+）]=limn→∞E[1ASθi（τi+n）-1)] ≤ E[1应力supτ≥ τ*L（θ）E[Sθi（τ）|Fτ*L（θ）]，表明A的概率为零。最后，前面和后面的步骤与τ相同*L（θ）替换为τ**L（θ）。与引理3.1的证明类似，变量变元的注释性变化是EHFτ*L（θ）Gθjτ*L（θ）- Gθjτi-Fτii- EZ[τi，τ*L（θ）]FsdGθj（s）Fτi= EZFτ*L（θ）- FτG，θj（x）{τG，θj（x）∈[τi，τ*L（θ）}dxFτi不能超过ess supτ≥ τiE[（Fτ）*L（θ）- Fτ）1{τ∈[τi，τ*L（θ）}| Fτi]。通过在τ处用E[（Fτ）迭代预期，这是非正的*L（θ）-Fτ）| Fτ]≤ {τ上的0≤ τ*L（θ）}因为F是一个超鞅。命题4.2的证明。让θ∈ T和C∈ Fτ*L（θ）。然后τ*, τ*根据假设，由于τ的引理A.3，达到了最佳时间*L（θ）≤ τF（θ）a.s.验证τ的最优性*, 它由引理3.1和4.1考虑从τ停止Sθ*L（θ）打开。关于C，Sθ（t）=Lt∧τF（θ）对所有t≥ τ*L（θ），使得在τ处立即停止*L（θ）通过其对L的最优性是最优的。关于Cc，Sθ（t）=Fτ*L（θ）≥ Mτ*L（θ）表示所有t>τ*L（θ），在{τF（θ）=τ上相等*L（θ）}假设。因此，τF（θ）在Cc上是最优的。s-ame参数适用于τ*, 交换Cand和Cc。我们可以使用τF（θ）：=inf{t≥ θFt=Mt}因为τF（θ）≥ τ*L（θ）a.s.事实上，由于Fis是一个支配L的超级艺术家，它也支配着斯奈尔信封。

因此，在τF（θ）处，F=M（通过右连续性）意味着F≥ UL≥ L≥ 我必须自始至终坚持下去。因此，τF（θ）≥ inf{t≥ θUL（t）=Lt}=τ*L（θ）。定理5.1的证明。让θ，τθ∈ 这不是假设。由于它们是固定的，在这个证明中，我们可以将它们作为上标（除了τθ）进行抑制，以便于可读性。L是右连续的a.s.且属于（D）类，因此它有一个斯奈尔包络UL，其上有一个可积和可预测的补偿器DL，∞],预计L从左边开始是上半连续的，然后D是a.s.连续的；参见引理A.4和参考fn。28，29。现在让我们来看看Gi，Gjerp。由（5.1）、（5.2）给出。GIRE呈现了一种标准的混合策略：它被改编为τi∈ 它是a.s.右连续的，不减损的，有Gi（T）=0∈ [0，θ）和Gi(∞) = 1.它只能在τi处跳跃≤ τ：1{F>L}（F- L）-1可以被理解为Radon Nikody m衍生物，因此，积分定义了R+上的一个测度，它是绝对连续的w.R.t.（有限）无原子测度dDL.Gj甚至在[θ，τ]上是连续的。为了证明由Gj表示的标准混合策略是对Gi（即使在扩展的混合策略中）的最佳回答，它利用引理3.1及其证明证明，对于某些随机变量，每个停止时间τ≥ θ我们有ehsj（τ）费伊≤ 呃¨Zj如果dGj（τ）>0，则Fθi（B.2）相等。实际上，那么ess supτ≥ θE[Sj（τ）|Fθ]≤ E[\'Zj|Fθ]，然后通过等式，它在（B.1）下的论点中成立，即E[Sj（τG，θj（x））|Fθ]=E[\'Zj|Fθ]=：Zj代表所有x∈ [0，1），所以它也适用于所有的不等式反转（p[A]>0除外），因此表明Vj（Gj，Gi）=Zj=E[\'Zj|Fθ]。新的测量值也是σ-fine，即{F>L}=Sn∈N{F- L≥n} 。为了建立（B.2），考虑任意停止时间τ≥ θ. 首先假设τ≤ τi.在[θ，τi]上，GISATIES dGi=（1）- Gi）（F）- L）-1{F>L}dDLby构造，和1{F≤五十} 通过定义τi，dDL=0。