输入不确定性下随机模拟中的风险量化

0，第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性为0:5的随机模拟中，我们使用vα和cα分别作为vα（H（θ））和cα（H（θ））的缩写。当系统很简单时，计算风险度量，如vα和cα是很简单的。例如，当H（θ）的p.d.f.为显式表达式时，可以通过数值积分计算H（θ）的VaR或VaR。2.2. VaR和CVaRLet的嵌套模拟首次考虑了在不存在随机不确定性的情况下对vα和cα的蒙特卡罗估计。也就是说，H（θ）可以精确地计算所有θ。首先，绘制NID场景θ。。。，θn来自信念分布p（θ| x）；然后，模拟{H（θi）：i=1，…，N}并按升序对它们进行排序，用H（θ（1））表示≤H（θ（2））≤ · · · ≤ H（θ（N））；最后，vα和cα的估计量分别为n，bybvα=H（θ（αn）），bcα=bvα+（1）- α） NNXi=1（H（θi）- bvα）+，为了方便起见，我们假设αN是一个整数。直观地说，bvα是经验平均响应分布的α-level VaR，由{H（θ（i））：i=1，…，N}组成。同时，bcα是经验平均响应分布的α级CVaR。文献中对bvα和bcα的性质进行了深入研究。例如，尽管bvα和bcα并非无偏，但它们在适当的正则条件下是强一致且渐近正态分布的（[Sun and Hong 2010]）。当存在随机不确定性时，H（θ）的精确值可能不容易获得；相反，它是根据样本平均值估算的。自然地，为了得到vα和cα的估计量，我们可以通过将{H（θi）}与它们的样本平均估计{bH（θi）}相加来扩展上述d的估计过程。具体来说，对于每个输入场景θi，模拟MI.i.d。

响应样本{h（θi；ξij）：j=1，…，M}；然后，用bhm（θi）=MPMj=1h（θi；ξij）近似H（θi）并按g顺序递增排序，表示为ybhm（θ（1））≤bHM（θ（2））≤ · · · ≤bHM（θ（N））；最后，分别估计vα和cα，byevα=bHM（θ（αN）），（2.3）ecα=evα+（1- α） NNXi=1bHM（θi）- evα+. （2.4）我们将evα或ecα称为“嵌套风险估计器”，因为在估计中包含嵌套模拟。由于嵌套模拟，evα和ecα的渐近性质变得更加复杂。在下一节中，我们将证明在不同的正则条件下，evα和ecα在不同的极限状态下保持强一致和渐近正态分布。因此，将它们分别用作vα和cα的推论仍然是合理的。注意有序统计量（θ（1）。。。，θ（N）和（θ（1）。。。，θ（N））是不同的。实际上，对于固定投入情景θ。。。，θN，（θ（1）。。。，θ（N））是一个常数向量，而（θ（1）。。。，θ（N））是（θ（1）的随机排列。。。，θ（N））依赖于{h（θi；ξij）}的实现。备注2.1。在[Barton等人2013]和[Xie等人2014]中，作者使用了nestedVaR估计器evρ/2和ev1-ρ/2是H（θc）的可信区间（CrI）的上下限，其密度e水平（1- ρ） ，wher e H（θc）是在真实但未知的输入-输出参数θc.ACM下的平均响应，关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0篇，出版日期：2017.0:6 H.Zh u，T.Liu和e.Zhou3。嵌套VAR和CVAR估计量的渐近分析在本节中，我们分析了嵌套风险估计量evα和Cα的渐近性质，因为内部和外部样本量都趋于一致。

特别地，我们将在不同的规则性假设集下，分别称为“弱假设”和“强假设”，证明它们在不同极限意义下的强相合性和渐近正态性。在“弱假设”下，一致性结果包含迭代限制，这使得其难以在实践中使用。因此，“强假设”下的强误差结果将有助于同时确定外层场景和内层样本的数量。假设3.1。弱假设。（i） 响应eh（θ；ξ）具有有限的第二个条件，即τθ=e[h（θ；ξ）|θ]<∞w、 p.1和τ=Rτθp（θ| x）dθ<∞.（ii）平均响应H（θ）的p.d.f.f（·）是正的和连续的，并且在vα附近可连续微分。假设3.1较弱，因为它对inpu确定性和随机不确定性施加了单独的假设。与以下强假设相反，它不会对输入不确定性和随机不确定性施加联合假设。注意bhm（θ）=MMXj=1h（θ；ξj）=MMXj=1（H（θ）+E（θ；ξj））=H（θ）+MMXj=1E（θ；ξj）。让我们定义一个标准化噪声术语“EMby”EM△=√M·MMXj=1E（θ；ξj）。根据中心极限Theo-rem，在适当的假设下，Em的极限分布为M→ ∞. 注意bhm（θ）=H（θ）+EM/√M、 然后是递减噪声项“EM”的影响/√随着M的减小，bHM（θ）分布上的M将消失→ ∞. 因此，我们期望BbHM（θ）和H（θ）的分布之间的“距离”随着M而消失→ ∞. 也就是说，对于固定θ，efM→ f as M→ ∞, 式中，EFM（·）表示BM（θ）的p.d.f。特别是，以下强有力的假设保证了EFMC以足够快的速度接近f。假设3.2。

强烈的假设。（i） 响应eh（θ；ξ）具有有限的第二个条件，即τθ=e[h（θ；ξ）|θ]<∞w、 p.1和τ=Rτθp（θ| x）dθ<∞.（ii）h（θ）和d′EM的联合密度pM（h，e）及其偏导数hpM（h，e）和hpM（h，e）对于每一个M和所有对（h，e）都存在。（iii）存在非负函数g0，M（·），g1，M（·）和g2，M（·），使得pM（h，e）≤g0，M（e），hpM（h，e）≤ g1，M（e），hgM（h，e）≤ g2，M（e）代表所有（h，e）。此外，supMR|e|rgi，M（e）de<∞ 对于i=0、1、2和0≤ R≤ 4.假设3.2强于对输入不确定性和随机不确定性的联合假设。特别是假设3.2。（i） 确保“EMM”具有限制性分布→ ∞; 假设3.2。（ii）和3.2。（iii）（类似于toACM关于计算机模拟建模的交易，第0卷，第0号，第0条，出版日期：2017年。【Gordy and d Juneja 2010】中输入不确定性0:7假设1下的随机模拟风险评估）确保Fm（·）和f（·）之间的差异为o（M）。假设3.2适用于h（·，·）足够平滑的情况，θ和ξ的分布具有良好的结构特性（例如，达到某个阶数的有限力矩）。注意，当强假设成立时，弱假设自然成立。3.1. 一致性事实证明，在弱假设下，嵌套风险估计值evα和ecα是一致的，即当M第一次进入到单位，然后N进入到单位时，它们分别收敛到vα和cαw.p.1。特别是，在我们假设下，关于evα和ecα的一致性，我们有以下定理3.3。定理3.3。弱假设下的一致性。在假设3.1下，我们有→∞林姆→∞evα=vα，w.p.1和limN→∞林姆→∞ecα=cα，w.p.1。（3.1）证据。参见附录A。注意，在定理m 3.3中，N和m的极限是迭代的且不可改变的。

直观地说，对于任何固定的θ，内样本量M将确保bHM（θ）→ H（θ）w.p.1（根据强大数定律）。它允许对于固定θ。。。，θN，（bHM（θ（1））。。。，bHM（θ（N）））→ （H（θ（1））。。。，H（θ（N））w.p.1。作为M→ ∞.因此，evα→ bvα和ecα→ bcαw.p.1作为M→ ∞. 鉴于bvα→ vα和bcα→ cαw.p.1作为N→ ∞, 定理3.3成立。当强假设成立时，我们可以加强Theo或em3中的结果。3.特别是，以下定理3.4表明，定理3.3中N和m的迭代极限可以放宽为同时极限。定理3.4。强假设下的一致性。在假设3.2下，我们有Limn，M→∞evα=vα，w.p.1，和limN，M→∞ecα=cα，w.p.1。（3.2）证据。见附录B。定理3.4意味着当N和m同时趋于一致时，evα和ecα分别收敛于vα和cαw.p.1。直觉如下。对于任意M，我们来限制vα（bHM（θ））（或cα（bHM（θ）））和vα（H（θ））（或cα（H（θ）），其中vα（bHM（θ））是bHM（θ）的VaR，cα（bHM（θ））是bHM（θ）的CVaR。如前所述，假设3.2确保nefM（·）和f（·）之间的差值为O（M）级。由此可知，vα（bHM（θ））和vα（H（θ））之间的差异也是有序的ro（M）。此外，请注意，evα可以被定义为vα（bHM（θ））的e层上的再现体，即evα（H（θ））=bvα（bHM（θ））。在假设3.2下，我们可以证明bvα（bHM（θ）），即evα（H（θ）），对于所有M as N一致收敛到vα（bHM（θ））w.p.1→ ∞. 因此，当N和M同时进入单位时，evα（H（θ））收敛到vα（H（θ））w.p.1。因此，定理3.4成立。备注3.5。在相同的假设条件下，[Gordy and Juneja 2010]中的命题2和命题3证明了定理3.4，但我们很难从中得出正态性结果。

然而，我们在证明c中使用的引理B.1-B.4直接导致了定理3.6。在这方面，我们的证据有其自身的价值。ACM建模与计算机仿真学报，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:8 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou3。2.渐近正态性和置信区间在显示evα和ecα的一致性后，自然要考虑它们的渐近正态性，并构造相关的CI。由于“弱假设”下的一致性结果需要迭代限制，因此很难在实际中使用。因此，我们将仅在“强假设”下考虑该案例。根据改进定理3.4的思想，将evα（或ecα）的误差分解为两个分量，分别考虑输入不确定性引起的单层模拟误差和随机不确定性引起的模拟偏差。特别是evN，Mα- vα=evN，Mα- vMα+vMα- vα:= Err+偏差（3.3）和Cn，Mα- cα=ecN，Mα- cMα+cMα- cα:= 错误+偏见。（3.4）式中vMα=vα（bHM（θ））和cMα=cα（bHM（θ））。在这里，Err（或Err）是由输入不确定性引起的，而偏差（或偏差）是由随机不确定性引起的。通过正确选择N和M，我们可以控制偏差。具体来说，我们有以下理论3。6关于evα和ecα的渐近正态性。定理3.6。强假设下的常态。定义一个函数∧（t）=1/2f（t）E[τθ| H（θ）=t]。在假设3.2下，极限K=limN，M的存在性→∞N/Mis是Limn的充分必要条件，M→∞√N（evα）- vα）D=σvN（0，1）+K |uvand limN，M→∞√N（ecα）- cα）D=σcN（0，1）+K |uc，（3.5），其中σv:=pα（1）- α） /f（vα），σc:=qV a r[（H（θ）- vα）+]/（1- α） ，uv=-∧′（vα）f（vα）和uc=∧（vα）（1）-α).证据见附录C。定理3.6与[Gordy and Juneja 2010]中关于evα和ecα渐近方差特征的结果一致。

我们还注意到，定理3.6更强大，因为它直接导致了[Gordy and Juneja 2010]中的结果。具体来说，通过最小化均方误差，[G ordy and Juneja 2010]表明，当样本大小对（N，M）在N=O（M）的情况下存在时，嵌套风险估计量的方差和偏差是平衡的。定理3.6给出了一个更强的结果，即当且仅当（N，M）存在于N=|K | M的框架中时，嵌套风险估计是渐近非正态分布的。根据定理3.6，我们可以为置信水平（1）的vα和cα构造CI-β):evα+tβ/2，N-1bσv√N-buvM，evα+t1-β/2，N-1bσv√N-buvM（3.6）和ecα+tβ/2，N-1bσc√N-bucM，ecα+t1-β/2，N-1bσc√N-bucM,（3.7）其中，bσv、buv、bσc和bucare样本分别对σv、uv、σc和tγ进行估计，lr表示自由度为L的t分布的γ分位数。术语f（vα）ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0篇，出版日期：2017年。在输入不确定性为0:9inσv的随机模拟中，可以使用高斯K-nel密度估计（[Steckley 2006]）来估计风险质量，并且可以通过样本平均值直接估计σc。uvanducis的估计更加棘手，因为它们涉及无法直接估计的期望项和梯度项。我们将把有关其估算的详细讨论留给第4节。备注3.7。值得一提的是，通过使用更多的“数据驱动”方案，例如分段和自举，我们可能可以避免直接估计f。这是一个有趣的未来方向，但超出了本文的范围。同时，我们选择的方法易于使用，在数值实验中效果很好（见第5节）。注意，（3.6）或（3.7）中的ci仅取决于o n，当n=o（M）时。

在这种情况下，随机不确定性产生的偏差项为O（M）级，因此，它与O相比，将是不显著的(√N） 错误术语。我们将CIIN（3.6）和（3.7）称为“强假设下的CI”。下面的定理em 3.8表明，强假设下的CI是渐近有效的，这意味着它们将达到（1）的覆盖年龄概率- β).定理3.8。CIs的渐近有效性。在假设3.2下，（3.6）和（3.7）中定义的CI在n=o（M）存在时渐近有效，即limN，M→∞pr{lbsv≤ vα≤ ubsv}=1- βa和limN，M→∞P{lbsc≤ cα≤ ubsc}=1- β、 其中，LBSv和ubsvdenote分别为（3.6）中CI的下边界和上边界，而LBSv和ubsvdenote分别为（3.7）中CI的下边界和上边界。证据见附录D备注3.9。这里我们只考虑N=o（M）（或等价于K=0）而不是K的情况≥ 0.这是因为当K>0时，由于我们在回归中使用了三次基函数，因此很难保证当N和M趋于一致时，偏差项的估计足够准确。4.预算分配在实际仿真中，通常会有一个仿真预算影响N和M的选择。直观地说，外部样本大小N决定输入不确定性导致的仿真误差，而内部样本大小M决定随机不确定性导致的仿真误差。因此，适当地选择N和M对于平衡捕获输入不确定性和捕获随机不确定性之间的平衡，以及提高整体效率至关重要。如前一节所示，在强假设下，嵌套风险估计evα（或ecα）的误差可以分解为输入不确定性引起的误差分量和随机不确定性引起的偏差分量。

在此框架内，[Gordy and Juneja 2010]提出最小化evα的渐近均方误差，即方差和平方偏差之和。结果是一个（渐近）最优预算分配方案，N=O（M），该方案在外层采样误差和内层采样偏差之间取得平衡。提高模拟效率的另一种方法是通过最小化CI宽度来模拟最优预算分配问题，注意（3.6）或（3.7）中的CI不是以evα（或ecα）为中心。当偏差主导标准偏差时，它甚至可能不包括evα（或ecα）。因此，不必最小化半宽度，我们可以最小化真实值vα（或cα）与建模和计算机模拟的CM事务之间可能存在的最大差异，第0卷，第0期，第0篇，出版日期：2017.0:10 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou指定高概率（如95%）下的点估计evα（或ecα）。结果证明，这个差异是（3.6）或（3.7）中CI的较宽的一半，可以写为：Wv（N，M）△=t1-β/2，N-1bσv√N+| buvM |，（4.1）和wc（N，M）△=t1-β/2，N-1bσc√N+| bucM |。（4.2）为简单起见，我们将Wv（或Wc）称为“较宽的半CI宽度”。预算分配问题可以表述如下。设C（N，M）：=cN+cNM为总计算成本，其中cis为模拟一个输入参数场景的成本，cis为模拟一个响应样本的成本。当然，可能还有其他最小化标准，比如总体计算复杂度，它们可以以类似的方式最小化。让CB作为总模拟预算。考虑以下CI宽度最小化问题minN，MWv（N，M）或minN，MWc（N，M）s.t.C（N，M）≤ CB s.t.C（N，M）≤ CBN≥ Γ，M≥ ΓN≥ Γ，M≥ Γ, (1 - α） 纳米≥ ΓN，M∈ Z+N，M∈ Z+。

（4.3）这里的约束N≥ Γ，M≥ Γ和（1）- α） N M≥ Γ是用来确保t-统计量的有效性的，典型的选择f或Γ是30。在解决pr问题（4.3）之前，我们仍然需要计算或估计目标函数中的“方差项”和“偏差项”σv、uv、σc和uc，因为在实践中它们通常是未知的或不可用的。一个常见的方法是用总模拟预算的一小部分进行试点试验，并使用试点试验的样本估计方差项。让我们使用eσv、euv、eσc和euc分别表示中试实验中σv、uv、σc和uc的估计值。eσ和eσc可以是自然样本平均估计值；然而，它们可能非常不准确，因为它涉及很少样本的罕见事件模拟。例如，回想一下σc=V arh（H（θ）- vα）+i（1）- α)=(1 - α)E（H（θ）- vα）+-Eh（H（θ）- vα）+i.这表明σcis的估计至少与vα的估计一样困难。使用原始样本平均值来估计σc，会导致大多数样本无效，从而导致不准确的估计eσc。事实上，理论上仅（1-α） 部分样品有效；由于α接近1，有效样本的百分比很小。更具体地说，假设在中试实验中生成了α=0.9和N=100个H（θ）场景。那么，理论上只有一种情况有效，并在估算中使用，因为其余99种情况的简单值为0。朴素样本平均法的问题是没有利用无效样本所携带的有关潜在分布的信息。相反，好的估计方法通常利用所有样本所携带的信息。