输入不确定性下随机模拟中的风险量化

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英文标题：
《Risk Quantification in Stochastic Simulation under Input Uncertainty》
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作者：
Helin Zhu, Tianyi Liu and Enlu Zhou
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  When simulating a complex stochastic system, the behavior of output response depends on input parameters estimated from finite real-world data, and the finiteness of data brings input uncertainty into the system. The quantification of the impact of input uncertainty on output response has been extensively studied. Most of the existing literature focuses on providing inferences on the mean response at the true but unknown input parameter, including point estimation and confidence interval construction. Risk quantification of mean response under input uncertainty often plays an important role in system evaluation and control, because it provides inferences on extreme scenarios of mean response in all possible input models. To the best of our knowledge, it has rarely been systematically studied in the literature. In this paper, first we introduce risk measures of mean response under input uncertainty, and propose a nested Monte Carlo simulation approach to estimate them. Then we develop asymptotical properties such as consistency and asymptotic normality for the proposed nested risk estimators. We further study the associated budget allocation problem for efficient nested risk simulation, and finally use a sharing economy example to illustrate the importance of accessing and controlling risk due to input uncertainty.
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中文摘要：
在模拟一个复杂的随机系统时，输出响应的行为取决于由有限的真实数据估计的输入参数，而数据的有限性给系统带来了输入的不确定性。输入不确定性对输出响应影响的量化已被广泛研究。现有文献大多侧重于对真实但未知输入参数下的平均响应进行推断，包括点估计和置信区间构造。输入不确定性下平均响应的风险量化通常在系统评估和控制中起着重要作用，因为它可以在所有可能的输入模型中对平均响应的极端情况进行推断。据我们所知，文献中很少对其进行系统研究。本文首先介绍了输入不确定性下平均响应的风险度量，并提出了一种嵌套蒙特卡罗模拟方法来估计它们。然后，我们发展了所提出的嵌套风险估计的渐近性质，如一致性和渐近正态性。我们进一步研究了有效嵌套风险模拟的相关预算分配问题，最后用一个共享经济的例子说明了由于输入不确定性而获取和控制风险的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Risk_Quantification_in_Stochastic_Simulation_under_Input_Uncertainty.pdf (402.1 KB)

2022-5-8 14:55:42 上传

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关键词：随机模拟 不确定性 不确定 确定性 Applications

输入不确定性下随机模拟中的风险量化朱贺林，乔治亚理工学院刘天一，乔治亚理工学院周恩禄，乔治亚理工学院当模拟复杂的随机系统时，输出响应的行为取决于根据有限的实际数据估计的输入参数，数据的不确定性给系统带来了输入的不确定性。输入不确定性对输出响应影响的量化已经得到了广泛的研究。现有文献大多侧重于对真实但未知的输入参数的平均响应进行推断，包括点估计和置信区间构造。输入不确定性下平均响应的风险量化通常在系统评估和控制中起着重要作用，因为它可以在所有可能的输入模型中对平均响应的极端情况进行推断。据我们所知，文学界很少对它进行系统的研究。本文首先介绍了输入不确定性下平均响应的风险度量，并提出了一种嵌套蒙特卡罗模拟方法来估计它们。然后，我们发展了所提出的嵌套风险估计的渐近性质，如一致性和渐近正态性。我们进一步研究了与有效风险模拟相关的预算分配问题，最后以共享经济为例说明了获取和控制风险数据对输入不确定性的重要性。CCS概念：o计算方法→ 建模与仿真；建模方法；不确定性量化；其他关键词和短语：输入不确定性、风险量化、蒙特卡罗模拟、嵌套风险估计、预算分配CM参考格式：朱鹤林、刘天一和周恩禄，2017年。

输入不确定性下随机模拟中的风险量化。ACM Trans。模型计算机。Simul。0,0，第0条（2017），23页。DOI:0000001.00000011。简介和动机对于一个复杂的现实世界随机系统，当系统上的真实实验成本高昂或难以进行时，仿真是分析其行为的强大工具。模拟由输入模型驱动，输入模型是捕捉系统随机性的分布。例如，在模拟排队网络时，随机的客户到达和服务时间是根据适当的分布（即输入模型）生成的。可能需要考虑输入参数（例如，客户到达率和服务率）的不确定性，因为它们通常是根据历史数据的有限记录估计的。一般来说，在一个典型的随机模拟实验中，有两种来源是无法确定的：输入参数的外在不确定性（称为输入参数不确定性，或简称输入不确定性），它反映了用于估计输入参数的有限数据的可变性，这项工作得到了国家科学基金会CMMI-1413790和CAREERCMI-1453934的资助，以及空军科学研究基金YIP FA-9550-14-1-0059的资助。作者地址：H.Zhu、T.Liu和E.Zhou，H.Milton Stewart工业与系统工程学院，乔治亚州亚特兰大理工学院，邮编30332。免费授予制作本作品全部或部分内容的数字或硬拷贝以供个人或课堂使用的许可，前提是制作或分发副本并非出于利益或商业利益，且副本上附有本通知和第一页的完整引文。必须尊重ACM以外的其他人拥有的本作品组件的版权。允许凭信用进行抽象。

以其他方式复制或重新发布、在服务器上发布或重新分发到列表，需要事先获得特定许可和/或收取费用。R请求来自permissions@acm.org.c 2017年ACM。10 4 9-3301/2017/-ART0$15.00DOI:0000001.0000001ACM建模与计算机模拟交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:2 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou输出响应的内在不确定性（称为随机不确定性），反映系统的内在随机性。仿真输出响应的可变性明显取决于输入不确定性和随机不确定性。一个需要解决的重要问题是，在存在随机不确定性的情况下，如何量化输入不确定性对输出响应可变性的影响。人们已经提出了各种量化方法，包括频率分析法和贝叶斯方法等。频率分析方法包括[Barton and Schruben 1993；Barton and Schruben 2001]、[Che ng and Holloand 1997]等提出的Dire c t/Bootstrap重采样方法。这些方法的输入模型可以是非参数经验分布或根据历史数据估计的参数分布。贝叶斯方法包括[Chick 2001]、[Zouaoui and Wilson 2003；Zouaoui and Wilson 2004]、[Biller and Corlu 2011]等提出的贝叶斯模型平均（BMA）方法。在这些方法中，贝叶斯更新规则应用于输入参数的选定先验分布，以生成后验参数分布，然后将其作为仿真实验中输入参数的采样分布。除了这些方法外，[Cheng和Holloand 1997]还发展了δ-方法，该方法将输出响应的方差分解为两个分量，分别由输入不确定性和随机不确定性引起。

[Song and Nelson 2015]开发了一种快速评估每个输入分布对总体方差的相对贡献的方法。近年来，随着随机克里格法在随机模拟中的兴起（例如[Ankenman等人2010]），元模型辅助方法已经被开发出来，用于量化输入的不确定性，参见[Barton等人2013]，[Xie等人2014；Xie等人2015]等[Henderson 2003]对输入不确定性的重要性和常用的方法进行了早期回顾。[Barton 2012]对投入不确定性下的产出分析中常用的方法进行了最新的回顾，并强调了该领域仍然存在的一些挑战。上述一些工作旨在通过点估计和置信区间（CI）构造，对真实但未知的输入参数的平均响应进行推断。另一些人则专注于获得平均响应的经验分布，并提供输入不确定性下所有可能的平均响应场景的更完整图片。然而，据我们所知，在所有可能的输入模型中，仍然缺乏对平均响应的极端情况的严格量化。这种量化可以推断出系统对输入不确定性的敏感性或不适应性，因此对于系统的控制至关重要，尤其是当所做的决定是不可撤销的时。例如，考虑呼叫中心系统。通常有一个服务级别协议，其中根据在特定时间段内应答的呼叫的分数是否超过阈值进行处罚。在确定操作员数量后，我们很难改变这个决定，要求更多操作员临时工作。

在这种情况下，在所有可能的输入模型中，评估和控制低比例应答的风险至关重要，因为这可能会导致影响公司声誉的处罚。再举一个例子，考虑一个大型电力系统。对系统运行进行实际实验通常过于昂贵或风险太大，因此，经常使用随机模拟来研究在市场环境下运行的电力系统的经济性、可靠性和排放变量效应（[Degeilh and Gross 2015]）。在典型的电力系统仿真实验中，输入可能包括资源参数、负荷（市场需求）p参数等，它们都表现出可变性和不确定性。输入不确定性下系统性能的风险量化和管理非常重要，因为建模和计算机模拟的平均reACM交易的极端情况，第0卷第0期第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性为0:3的情况下（例如，峰值时间内的高平均功率负荷），随机模拟中的风险量化可能会导致电力系统部分或全部故障，并导致灾难性后果。本文通过研究平均响应的风险度量w.r.t.以及输入参数的分布，对输入不确定性下随机模拟中的风险进行量化。我们将重点关注风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）等风险度量。粗略地说，VaR表征了me-an响应分布的一个极端（例如99%）分位数，而CVaR表征了平均响应分布尾部的条件期望。VaR作为金融风险管理中最早引入的风险度量之一，易于从业者理解和解释。

CVaR作为一种经典的共有风险度量（见[Artzner等人，1999]），具有良好的性质，如优化的凸性和单调性（见[Rockafellar and Uryasev 2000]）。它们被广泛用于金融行业，尤其是在2008年金融危机之后。大量文献致力于研究各种环境下风险度量的估计和优化；特别是，[Hong et al.2014]全面回顾了VaR和CVaR的蒙特卡罗方法。我们将引入VaR和CVaR f来量化输入不确定性下随机模拟中的风险，并为它们的估计提供数值方案。具体而言，我们将从理论和计算角度研究均值响应的VaR和CVaR的嵌套蒙特卡罗估计。我们的数值例子说明了输入不确定性下风险量化的重要性和必要性。综上所述，本文的贡献有三个方面：（1）对于随机模拟中的输出分析，我们的工作是首次使用风险度量系统地研究所有可能输入模型中平均响应的风险量化。（2） 在各自的“弱假设”和“强假设”（第3节）下，我们证明了所提出的嵌套风险估计在不同的极限意义下是一致的。在“强假设”下，y也是渐近正态分布的，这是构造渐近有效CI的保证。（3） 为了提高模拟效率，我们解决了风险估计器嵌套模拟中出现的相关预算分配问题。

数值研究证明了我们方法的有效性，并表明所获得的budg分配方案大大减少了所构造CI的宽度。我们注意到，在更广泛的意义上，我们的框架与信贷管理中的风险评估有一些相似之处，因为它们都涉及模拟特定的条件预期。与我们最相关的工作可能是[Gordy and Juneja 2010]，在这项工作中，作者研究了信贷风险管理中嵌套风险估计值的均方误差（MSE）的渐近表示。通过渐近最小化均方误差，他们得到了一个（渐近）最优预算分配方案。与此相反，我们的工作重点是分析所提出的嵌套风险估计的渐近性质，如一致性和渐近范数。此外，在我们的方法中，相关的预算分配问题是最小化较宽的半CI的宽度，这与MSE cr ite Ritin[Gordy and Juneja 2010]类似，但从不同的角度来看。此外，我们还提出了一种新的方法来估计问题所需的所有参数，从而使该预算分配程序在实践中得到广泛应用。信用风险管理的其他常用方法包括但不限于[Rouvinez 1997]、[Glasserman等人2000]等提出的Delta gamma方法；由[Lan等人2010]等进行筛查的两级置信区间程序；[Liu and Staum 2010]等人的随机应变方法；[Broadie et al.2011]等的排名和选择方法以及其他相关文献[Lee 1998]研究了pointACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:4 H.Zh u，T.Liu和E。

通过两级模拟估计条件期望分布的分位数（VaR）；[Steckley 2006]考虑使用核密度估计来估计条件期望的密度；[Sun et al.2011]研究了估算条件期望方差的有效模拟。这些工作大多集中于在不同的外部空间有效分配内部模拟尺寸，并且[Lee 1998]、[Steckley 2006]、[Sun等人2011]考虑内部和外部采样之间的最佳分配。我们的工作与这些工作的不同之处在于，我们专注于嵌套风险估计的理论性质，我们的预算分配方案可以被视为已建立的理论属性的副产品。我们确实指出，如前面提到的一些工作中所研究的，在不同的外层场景中使用内层样本大小可以进一步合并，以提高模拟效率；无论如何，这超出了本文的范围。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了平均响应w.r.t.输入不确定性的风险度量VaR和CVaR，并提出了用于输入不确定性下随机模拟中风险量化的嵌套风险估计器。第三，我们在不同的假设下建立了所提出的嵌套风险估计的渐近性质，然后构造了渐近有效的CI。我们将在第4节中模拟相关的预算分配问题，并提出一种新的解决方法。在第5节中，我们进行了数值实验，以演示前面章节的理论结果。结论见第6.2节。输入不确定性下平均响应的风险度量2。1.对于公式，让我们首先严格定义输入不确定性下平均响应的风险度量VaR和CVaR。

在随机模拟实验中，考虑h（θ；ξ）形式的响应函数，其中θ表示输入参数，ξ表示响应中的噪声（随机不确定性）。设H（θ）=Eξ[H（θ；ξ）]是平均响应，因此H（θ；ξ）=H（θ）+E（θ；ξ），其中E（θ；ξ）是满足E[E（θ；ξ）|θ]=0和V ar[E（θ；ξ）|]=τθ的随机噪声。这里假设τθ是θ的有限确定函数。此外，假设θ上存在一个概率分布（称为“belie FDDistribution”），它反映了我们对输入不确定性的信念，因为θn需要从有限的历史数据中推断出来。例如，如果一个人接受了一个贝叶斯应用程序，那么信念分布是通过贝叶斯更新来构造的。当然，还有其他方法，比如引导。具体来说，假设po（θ）是θ的先验分布，根据先验知识，它可以是非信息性的，也可以是信息性的。然后，通过对历史数据x进行顺序贝叶斯更新，得到后验分布p（·x）。假设τ：=Rτθp（θ| x）dθ也是有限的。设0<α<1为感兴趣的风险水平（例如，α=0.99）。然后，用vα（Eξ[H（θ；ξ）]（或可互换的vα（H（θ））表示的平均响应H（θ）的VaR由H（θ）的α分位数确定，即vα（H（θ））△= inf{t:F（t）≥ α} ，（2.1），其中F（·）是H（θ）的累积分布函数（c.d.F.）。当H（θ）允许正的和连续的概率密度函数（p.d.f.）时，在vα（H（θ））附近，用f（·）表示，（2.1）可以简化为vα（H（θ））=f-1(α). H（θ）的CVaR由cα（Eξ[H（θ；ξ）]（或可互换的cα（H（θ））表示，由H（θ）的α尾分布的条件期望定义，即cα（H（θ））△= vα（H（θ））+1- αEp（·x）h（h（θ）- vα（H（θ））+i.（2.2）关于建模和计算机模拟的ACM事务，第0卷，第1期。