输入不确定性下随机模拟中的风险量化

未完成率的CVa R（95%置信区间）。pn平均CV-aRαCV-aRαCV-aRα半C I宽度宽半CI宽度宽半CI宽度w I下半CI宽度×10-32 10 0.2109 0.6181 0.6722 0.76114.20×10-37.30×10-38.40×10-31.06×10-22 100 0.4875 0.6078 0.6253 0.65851.50×10-33.60×10-34.30×10-36.30×10-32 10000 0.4598 0.4975 0.5039 0.5174.70×10-45.90×10-37.00×10-39.80×10-33 10 0.6743 0.8665 0.8845 0.91283.00×10-32.60×10-32.70×10-33.80×10-33 100 0.2207 0.3999 0.4265 0.47472.10×10-34.20×10-35.20×10-38.10×10-33 10000 0.3508 0.394 0.4014 0.41595.30×10-45.10×10-36.10×10-38.60×10-34 10 0.1201 0.5167 0.583 0.68733.40×10-39.10×10-39.90×10-31.32×10-24 100 0.3674 0.5163 0.5394 0.57951.80×10-34.00×10-34.90×10-37.50×10-34 10000 0.235 0.2834 0.2918 0.30765.80×10-44.10×10-35.00×10-37.20×10-35 10 0.1371 0.5336 0.5982 0.69913.60×10-38.40×10-39.60×10-31.35×10-25 100 0.1128 0.3012 0.3328 0.39271.90×10-34.70×10-35.90×10-39.80×10-35 10000 0.008 0.1419 0.1515 0.16926.10×10-42.80×10-33.50×10-35.50×10-注：实验参数为∧o=5，Mo=2，N=10000，M=2000，α=0.90，α=0.95，α=0.99。（1） 在所有的thr ee图中，随着n的增加，平均值、VaR和CVaR接近真正的非理想线（蓝色实线）。（2） 显然，VaR和CVaR的所有曲线图都高于真实未完成率，表明存在由输入不确定性引起的风险，不可忽略。如果不仔细考虑输入的不确定性，我们发现的价格将与实际最优价格相差很大。在这种情况下，主办方将因为价格低或订单少而失去自己的优势。（3） 在相同价格下，输入不确定性将极大地影响VAR和CVaR的CI宽度。特别是，当我们使用更多的观测来估计∧o和Mo时，CIs将更窄。

结合第一次观察，我们可以通过收集更多的输入数据来最小化输入不确定性的影响。（4） 由于4.8到5.1之间的价格范围很小，因此该图不清楚价格如何影响CIs的宽度。但从之前的结果中，我们可以知道，在某些情况下，长度（平均值的半宽度，VaR和CVaR的更宽半CI宽度）随着价格的增加而增加。我们最后研究了相关的预算分配问题。注意，对于VaR估计和CVaR估计，预算分配问题可能会产生不同的最优分配方案。设C（N，M）=NM+N，CB=5×10。我们使用Npilot=100外部场景和Mpilot=50内部样本来指导实际实验中的预算分配。总的来说，只消耗了总budg et的0.1%，因此实际实验的预算受到的影响最小。为了显示试点实验的有效性，我们在图2中绘制了不同选择N的较宽半宽度，其中蓝色曲线是使用试点实验中估计的项计算的较宽半宽度，以及《建模与计算机模拟的CM交易》，第0卷，第0期，第0篇，发表日期：2017年。输入不确定性下随机模拟的风险量化0:174.8 4.85 4.9 4.95 5.05 5.1价格。050.10.150.20.250.30.35输入不确定性下的定价——意味着无输入不确定性n=100n=1000n=10000期望费率4。8 4.85 4.9 4.95 5.05 5.1价格。050.10.150.20.250.30.35输入不确定性下的定价——VaRNo输入不确定性n=100n=1000n=10000期望费率4。8 4.85 4.9 4.95 5.05 5.1价格。050.10.150.20.250.30.35输入不确定性下的定价——CVaRNo输入不确定性n=100n=1000n=10000N期望费率图。1.

VaR、CVaR、最优价格附近的平均值的行为实验参数为∧o=5，Mo=2，α=0.95，N=2500，M=2000。红色曲线是使用蛮力模拟获得的真实值（即使用非常大的样本量）计算的较宽半CI宽度。不。0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.0550.060.065先导运行V.S.蛮力运行---变宽半CI宽度先导运行蛮力运行0。020.030.040.050.060.070.08先导运行V.S.蛮力运行--CVaR较宽半CI宽度先导运行蛮力运行图。2.VaR和CVaR较宽的半CI宽度：先导运行V.S.蛮力运行实验参数为∧o=5，Mo=2，p=4，α=0.95，d输入数据的大小n=100。ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0篇，出版日期：2017.0:18 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou我们有以下观察结果：（1）在bo th图中，尽管使用飞行员实验估算的术语计算的较宽宽度（蓝曲线）与真实较宽宽度（r ed曲线）之间存在不可忽略的差距，这些曲线遵循相同的趋势，它们的极小值几乎重合。这意味着解决制定的预算分配问题可以确定最优的预算分配方案。鉴于只使用了总模拟预算的0.1%，我们可以说我们的预算分配问题及其解决策略为确定良好的预算分配方案提供了有效的指导。（2） 通过比较红色曲线的最大值和最小值之间的差异，我们可以看到，使用最优预算分配方案可以将CI缩小至少2倍。

当总仿真预算有限时，解决预算分配问题是非常有益的。（3） VaR和CVaR估计的预算分配方案非常相似。特别是，构建VaR和CVaR的CI的最佳时间N约为2×10。（4） 值得一提的是，VaR和CVaR估计的更宽宽度似乎在N中首次减小，因为当N不够大时，输入不确定性主导了模拟误差。当N接近一定水平时，随机不确定性开始发挥更重要的作用。总之，共享经济模型的模拟结果提供了经验证据，证明了在输入不确定性下随机模拟中风险量化的重要性和必要性，以及有效嵌套模拟解决关联预算分配问题的优势。6.结论在本论文中，我们在随机模拟中引入了输入确定性下的风险量化，这严格限制了所有可能输入模型的平均响应的极端情况。特别是，我们提出了嵌套蒙特卡罗模拟来估计平均响应w.r.t.输入不确定性的VaR或CVaR。在不同的正则性条件下，我们证明了在不同的极限意义下所得的嵌套风险估计的渐近性质（一致性和正态性）。我们进一步利用已建立的属性构造（渐近有效）CI，并提出了一个优化预算分配的实用框架，以提高NesteDisk模拟的效率。最后，我们研究了一个共享经济的例子，以说明获取和控制风险数据对输入不确定性的重要性，并证明我们的预算分配方案的有效性。

本文的工作可以作为研究输入不确定性下风险量化的更一般风险度量的起点。另一方面，由于朴素罕见事件模拟的效率不高，本文考虑的朴素风险估计器在大规模系统输入不确定性下的风险量化可能会受到限制。本文中解决的预算分配问题部分解决了这个问题，因为它在减少CI宽度方面导致了良好的外部和内部样本量权衡。开发更复杂的预算分配方案将是未来研究的一个有希望的方向。附录A。定理的证明？？为了简单起见，让我们分别使用bvNα、bcNα、evN、Mα和ecN，Mα来表示bvα、bcα、evα和ecα。因此，我们需要证明Limn→∞林姆→∞evN，Mα=vα，w.p.1和limN→∞林姆→∞ecN，Mα=cα，w.p.1。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。基于误差分解evn，Mα，输入不确定性为0:19的随机模拟中的风险量化- vα=evN，Mα- bvNα+bvNα- vα和ecN，Mα- cα=ecN，Mα- bcNα+bcNα- cα,这足以证明Limn→∞bvNα- vα= 0，w.p.1。还有limN→∞bcNα- cα= 0，w.p.1。（A.1）对于固定N和θ。。。，θN，limM→∞evN，Mα- bvNα= 0，w.p.1。还有林姆→∞ecN，Mα- bcNα= 0，w.p.1。（A.2）为了建立（A.1），我们需要以下引理，其pro of可以在在线附录中找到。引理A.1。根据假设3.1。(ii)，bvNα- vα=f（vα）α-NNXi=11{H（θi）≤ vα}！+安（A.3）bcNα- cα=NNXi=1vα+1- α（H（θi）- vα）+- cα！+BN，（A.4），其中AN=Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4，BN=Oa。s、 （N）-1日志N）。她的e注意到声明g（N）=Oa。s、 （h（N））表示g（N）≤ C·h（N）对ntC的一些反对者来说几乎是肯定的。注意nnpi=11{H（θi）≤ vα}是α的无偏样本估计量。

根据强大的大数定律，limN→∞NNXi=11{H（θi）≤ vα}- α=0，w.p.1。结合limN的事实→∞AN=0，w.p.1，limN→∞bvNα- vα= 0，w.p.1。要显示（A.1）的后半部分，请注意NNPI=1hvα+1-α（H（θi）- vα）+iis是cα的无偏样本估计量。此外，根据假设3.1。（i） ，E[H（θ）]=E[E[H（θ；ξ）|θ]=ZE[H（θ；ξ）|θ]f（θ）dθ≤ZE[h（θ；ξ）|θ]f（θ）dθ<∞.因此，V ar（H（θ））是有限的，V ar（Vα+1-α（H（θ）- vα）+）也是有限的。根据强大的大数定律，limN→∞NNXi=1vα+1- α（H（θi）- vα）+- cα=0，w.p.1。结合limN的事实→∞BN=0，w.p.1，limN→∞bcNα- cα= 0，w.p.1。（A.1）已被删除。对于固定N和场景θ，…，仍需确定（A.2）。。。，θN。也就是说，我们需要展示固定N和场景θ。。。，θN，limM→∞bHM（θ（αN））- H（θ（αN））=0，w.p.1，（A.5）关于建模和计算机模拟的ACM交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:20 H.Zh u，T.Liu和E.Zhoulim→∞(1 - α） NNXi=αNbHM（θ（i））-(1 - α） NNXi=αNH（θ（i））！=0，w.p.1。（A.6）回想一下，对于任何θi，i=1。。。，N、 E[h（θi；ξ）|θi]=h（θi）和var[h（θi；ξ）|θi]=τi<∞,在这里，我们使用τito表示τθi，略微滥用符号。根据强大的拉格朗伯定律，对于i=1。。。N、 bHM（θi）M→∞→ H（θi），w.p.1。允许Ohm我 Ohm 是i=1的一组收敛场景。。。，N、 在哪里Ohm 是底层的样本空间。因此P(Ohmi） =1。德诺·特”Ohm :=TNi=1Ohmi、 所有收敛场景集的交集。显然，根据布尔不等式POhm) = 1.对于任何情况，让我们也表示w∈Ohm,bHwM（θ）作为BHM（θ）的样本实现，i=1。。，因此，W∈Ohm林姆→∞（bHwM（θ）。。。，bHwM（θN））=（H（θ）。。。，H（θN））。（A.7）设：=min{H（θi）- H（θj）：H（θi）6=H（θj）i6=j，i，j=1。。。，N} 。根据定义，（A.7）意味着存在一个足够大的MM≥ M，|bHwM（θi）- H（θi）|<，i=1。。。，N

因此，M≥ M，i，j，使得H（θi）6=H（θj），bHwM（θ（i））<bHwM（θ（j））如果存在i<j，使得H（θi）=H（θj），我们简单地写出bHwM（θi）<bHwM（θj），不管它们的真实顺序是什么。我们可以在这里做这个假设，因为我们只关心不同H的顺序。无论这两个估计中哪个更大，因为它们都收敛到同一个H，H的顺序不会改变。然后我们有bHwM（θ（1））<bHwM（θ（2））<·bHwM（θ（N））。就是，M≥ M，采样误差很小，平均响应的顺序不受干扰。因此M≥ M，（θ（1）w。。，θ（N）w）=（θ（1）。。。，θ（N）），其中θ（i）是θ（i）在场景w中的样本实现。因此，对于任何场景w∈Ohm,林姆→∞bHwM（θ（αN）w）=limM→∞bHwM（θ（αN））=H（θ（αN）），和limm→∞(1 - α） NNXi=αNbHwM（θ（i）w）=limM→∞(1 - α） NNXi=αNbHwM（θ（i））=（1）- α） NNXi=αNH（θ（i））。注意P（“”Ohm) = 1、（A.5）和（A.6）自然保持。B.定理的证明？？回想一下，我们需要证明Limn，M→∞evN，Mα=vα，w.p.1和limN，M→∞ecN，Mα=cα，w.p.1。除了之前在附录A中介绍的符号，让我们进一步使用vMα和cMα分别表示vα（bHM（θ））和cα（bHM（θ））。也就是说，vMα和cMα分别是带噪me和响应Bhm（θ）的精确α级VaR和CVaR。如orem 3.4之后所述，鉴于evα（H（θ））=bvα（bHM（θ））和ECα（H（θ））=bcα（bHM（θ）），evN、Mα和ecN，Mα可被视为建模和计算机模拟的单层蒙特卡罗模拟交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性下随机模拟中的风险量化分别为vMα和cMα的0:21估计量。这一观察结果启发我们考虑以下误差分解vn，Mα-vα=evN，Mα- vMα+vMα- vα和ecN，Mα-cα=ecN，Mα- cMα+cMα- cα.

（B.1）因此，充分证明LIMM→∞vMα=vα和limM→∞cMα=cα（B.2），且对所有M，limN一致→∞evN，Mα=vMαw.p.1和limN→∞ecN，Mα=cMαw.p.1。（B.3）让我们先建立（B.2）。下面的引理会很有用，我们可以参考lineappendix上的证明。引理B.1。在假设3.2下，如果序列tM→ t as M→ ∞, thenefM（tM）→ f（t）和f′M（tM）→ f′（t）作为M→ ∞, 式中，recallefM（·）是在sebHM（θ）上的噪声平均响应的p.d.f。引理B.2。在假设3.2下，vMα=vα+-∧′（vα）Mf（vα）+oM（M），其中函数∧（t）=1/2f（t）E[τθ| H（θ）=t]和oM（M）意味着该量比M快（几乎可以肯定）归零。引理B.3。在假设3.2下，cMα=cα+λ（vα）（1）- α） M+oM（M）。（B.4）引理B.4。根据假设3.2，evN，Mα- vMα=ef（vMα）α-NNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}！+Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4），（B.5）ecN，Mα- cMα=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα！+Oa。s、 （N）-日志N），（B.6）其中Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）和Oa。s、 （N）-1日志N）在所有M中保持一致。根据引理B.2和引理B.3，（B.2）自然成立。此外，Lemm a B.4意味着（B.3）。C.定理的证明？？按照附录A和B中的符号，我们需要证明在假设3.2下，极限K=limN，M的存在性→∞N/Mis为Limn，M提供了充分且必要的条件→∞√NevN，Mα- vαD=σvN（0,1）+|K|uv，（C.1）limN，M→∞√NecN，Mα- cαD=σcN（0，1）+| K |uc.（c.2）ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:22 H.Zh u，T.Liu和E.ZhouBy引理B.2，B.3和B.4，我们已经evN，Mα- vα= 误差+偏差=ef（vMα）α-NNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}+-∧′（vα）Mf（vα）+oM（M）+Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4），ecN，Mα- cα= 误差+偏差=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα+∧（vα）（1）- α） M+oM（M）+Oa。s、 （N）-1日志N）。注意vMα→ vα，cMα→ cα，andef（vMα）→ f（vα）为M→ ∞.

我们有→∞ef（vMα）α - 1{bHM（θ）≤ vMα}=f（vα）（α）- 1{H（θ）≤ vα}）、w.p.1和limm→∞vMα+1- αbHM（θ）- vMα+- cMα=vα+1- α（H（θ）- vα）+- cα, w、 第1页。更重要的是，σv=varf（vα）（α）- 1{H（θi）≤ vα}）=f（vα）va r[1{H（θ）≤ vα}]=α（1）- α） f（vα），σc=v a rvα+1- α（H（θi）- vα）+- cα=(1 - α） Vαrh（H（θ）- 因此，根据中心极限定理m，（C.1）和（C.2）当且仅当K=limN，m时成立→∞不适用于马克思主义者。D.定理的证明？？当N=o（M）时，与o相比，偏差项将渐近不显著(√N） 错误术语。（3.6）和（3.7）中的CI将成为evα+tβ/2，N-1bσv√N、 evα+t1-β/2，N-1bσv√N（D.1）和ecα+tβ/2，N-1bσc√N、 ecα+t1-β/2，N-1bσc√N.（D.2）所以我们只需要显示以下限制画→∞林姆→∞P{|Err|≤ 2t1-β/2，N-1bσv√N} =1- β、 林恩→∞林姆→∞P{|Err|≤ 2t1-β/2，N-1bσc√N} =1- β.《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性为0:23的情况下，随机模拟中的风险量化，其中（3.3）和（3.4）中定义了错误、勘误。鉴于学生的t分布随自由度的增加而变为标准正态分布，方差e估计的大数强律几乎肯定的收敛性，以及核密度估计的一致性，这些限制自然符合定理3.6。参考资料布鲁斯·安肯曼、巴里·纳尔逊和杰里米·斯塔姆。2010.模拟元建模的随机克里金法。运筹学58,2（2010），371-382。菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。1999.一致的风险度量。数学金融9（1999），203-228。悉达多·班纳吉、卡洛斯·里克尔梅和拉梅什·乔哈里。2015.乘车共享平台的定价：问答理论方法。(2015).拉塞尔·巴顿。2012.教程：输出分析中的输入不确定性。

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