输入不确定性下随机模拟中的风险量化

例如，使用（自适应）重要性抽样将一些无效样本转换为有效样本，从而提高准确性；然而，这种方法在这里并不适用，因为我们缺乏关于平均响应分布的p.d.f.的知识。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性为0:11的随机模拟中的风险量化接下来，我们将提出一种新的方法来估计方差项，该方法利用了试点实验中生成的所有样本所携带的信息。重新计算σv=α（1- α） /f（vα），uv=-∧′（vα）f（vα），σc=v arh（H（θ）- vα）+i/（1）- α） ，uc=∧（vα）（1）- α） 式中∧（t）=1/2f（t）E[τθ| H（θ）=t]。挑战有三个方面：（i）缺乏明确的f（·）公式；（ii）函数∧（t）中τ（·）缺乏函数表示，其中τ（y）：=E[τθ| H（θ）=y]；（iii）缺少∧（t）的梯度。为了应对第一个挑战，我们采用了一种称为“密度投影”的技术。也就是说，我们将H（θ）的离散经验分布投影到一个连续密度的参数化族上。然后，作为连续密度的合成投影将用作f（·）的近似值，并通过数值积分计算eσ和eσ。密度项目的详细说明如下。从概率分布空间P到另一个由参数化密度族F组成的空间的投影映射，表示为P rojF:P→ F、 由P rojF（g）定义的ISD△= 阿格明夫∈FDKL（GKF），G∈ P、 （4.4）式中，DKL（gkf）表示g和f之间的Kullback-Leibler（KL）发散，其中DKL（gkf）△=Zg（x）logg（x）f（x）dx。此处注意，假设密度g和f具有相同的支撑。

因此，在F中的所有密度中，g在F上的投影与g的最小KL发散。粗略地说，g在F上的投影是g在F中的最佳近似值。当F是指数密度族，其中包括高斯等常见密度族时，最小im问题（4.4）具有解析解。请注意，该技术利用了所有样本携带的信息。备注4.1。如果g的i.i.d.样本是计算P rojF（g）的基因，那么所提出的密度投影技术相当于最大似然估计。此外，如果F是一个指数密度族，具有由多项式组成的充分统计信息，那么密度投影相当于矩量法。为了解决第二个挑战，我们将τ（y）的回归应用于H（θ）空间，并使用来自先导实验的样本来训练回归模型。单纯形检验表明，基函数由多项式（度）组成的多项式回归≤ 3）H（θ）的值足够好。第三个挑战是自然解决的，因为∧（t）的闭合形式是t的函数。特别是，f（t）现在是正态概率密度函数，τ（y）是多项式函数。因此，我们可以解析地计算梯度。在插入近似项eσv、euv、eσC和eucinto问题（4.3）后，它仍然要解决最小化问题。用解析法求解最优性很有可能，因为这个问题可能不具备像凸性这样的结构性质。特别是第一个约束C（N，M）≤ CB是凹的。或者，我们可以列举ACM关于计算机模拟建模的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:12 H.Zh u，T.Liu和E。

选择合理数量的候选分配方案（例如，提供可行分配方案的二维网格），并选择产生最小CI宽度的方案。我们还指出，考虑一个更复杂的预算分配方案是很有必要的，因为在不同的投入（参数）场景中，内部样本量是不同的。例如，在vα估计中，严重影响估计精度的输入场景是平均响应接近vα的场景。特别是在特定的输入场景中，如果输入场景的真实平均响应落在vα的一侧，而其估计落在另一侧，则会影响估计精度。在这种情况下，应增加该输入场景的内部样本量，以降低此类事件的概率。这一问题已通过排名和选择（[Broadie et al.2011]）和筛选（[Lan et al.2010]）等方式在信用风险评估中进行了研究。数值实验5。1.强假设下的CI我们首先使用[Gordy and Juneja 2010]中的一个简单数值示例来证明我们的CI程序在强假设下的有效性。特别地，考虑H（θ；ξ）=N（0，1）+N（0，1），这是两个独立的标准正态随机变量的总和。在[Gordy and Juneja 2010]中，第一个N（0，1）表示（外层）投资组合损失分布，第二个N（0，1）表示（内层）定价错误。显然，这个例子不符合我们的输入不确定性框架。使用它的原因是，确切的风险值，以及所有方差和偏差参数都允许封闭式表达式。

因此，强CI程序是精确的。感兴趣的绩效指标包括更宽的半CI宽度和实际覆盖概率，即真实风险值落入模拟CI的概率。特别是，我们将独立且相同地运行模拟1000次，以计算两个性能指标，其中使用了预算分配方案，以最小化上一节中较宽的半CI宽度。表一总结了VaR和CVaR的结果。表一VaR和CVaR估计中的强CI程序。VaR CVaRC（N，M）NWMWw更宽的半覆盖NSMs更宽的半覆盖CI宽度概率CI宽度概率865 12 0.2096 93.9%824 13 0.2477 94.1%4015 25 0.0983 94.5%3826 27 0.1163 94.4%18634 54 0.0456 95.1%17758 57 0.0544 95.1%86491 116 0.0212 95.5%82429 122 0.02533 95.2%注：利率风险水平α=0.95，目标信心水平（1- β） =0.95，总模拟成本C（N，M）=NM+N。这对（Nw，Mw）是通过最小化较宽的半CI宽度获得的预算分配。覆盖概率是通过1000个独立且相同的模拟来获得的。数值结果表明：1）正如预期的那样，强CI过程产生了覆盖概率在95%左右的CIS。2） 当我们增加总预算时，覆盖将增加，而较宽的半CI宽度将减少。因此，如果我们有大量预算，STRONG程序可以为我们提供一个非常好的估计（高覆盖率，小CI）。3） VaR和CVaR的最优预算分配几乎相同，这意味着我们可以同时最小化两个更宽的半CI宽度。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性0:135.2下随机模拟中的风险量化。

共享经济模式让我们考虑另一个输入不确定性下风险量化的例子——阿沙林经济模型。这种新型经济指的是本地配送、汽车共享和ho使用共享等业务。我们可以将其建模为一个双边市场，在这个市场中，两个不同的用户群体，即商家和卖家，根据组织者/代理人制定的规则彼此进行交易。一般来说，组织者负责定价，目的是最大限度地增加收入或清理市场。通常，需求和供应都取决于价格。具体来说，当价格更高时，会有更多的卖家来，而更多的买家来，反之亦然。我们可以进一步将其建模为一个均衡系统（见[Banerjee et al.2015]），并做出以下假设：（1）买家和卖家的到达遵循泊松过程。（2） 买家和卖家在价格敏感性方面是同质的。（3） 买卖双方都遵循先到先得的服务规则。（4） 每个买家只需要一种产品，同时每个卖家只有一种产品可供销售。（5） 订单丢失：如果买家进入市场后发现没有卖家，买家将立即退出市场。分别用∧o和Mo表示买方和卖方的基本到达率，θo:=（λo，Mo）。让p作为价格。一般来说，当买方（卖方）进入市场时，在了解价格后，买方（卖方）将以概率f（p）（卖方为g（p））购买/销售产品（如果有）。请注意，f（p）和g（p）可被视为描述用户对价格敏感度的函数。f（p）和g（p）的常见选择之一是f（p）=exp(-αp）1+exp(-αp，（5.1）g（p）=1+exp(-βp）（5.2），其中α和β是价格敏感系数。由于一般来说，买家对价格变化更敏感，我们也假设α>β。

注意，f（p）是严格递减的，g（p）是严格递增的函数。由于一般泊松过程的优良性质，在价格p下，买方s和卖方s的实际到达量（指提供购买或出售的货物）也分别遵循泊松过程，速率为λ（p）和u（p），其中λ（p）=∧（p）（5.3）u（p）=Mog（p）。（5.4）主办方感兴趣的反应是未完成率H（θo，p）（即买家订单丢失的可能性），因为它在管理服务率和卖家排队长度的同时，衡量市场被清空的可能性。特别是，Organizer可以通过动态调整价格来控制未完成率H（θo，p）。备注5.1。通常情况下，组织者不会试图找到一个最小化（θo，p）的p r冰。直觉上，当价格很高时，市场上的卖家会比买家多。在这种情况下，未完成率接近于0。然而，这种场景可能不是组织者最感兴趣的，因为组织者的目标可能是最大化收入或社会福利（这在双边市场中非常常见）。另一个例子是，主办方可能希望在控制未完成订单率的同时最大化预期已完成订单数。也就是说，我们在《建模与计算机模拟》上发表了一篇论文，第0卷，第0期，第0篇，出版日期：2017.0:14 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou解决了以下随机优化问题：maxpE[N（θo，p）（1）- H（θo，p））]s.t.H（θo，p）≤ 0.05，p>0，其中N（θo，p）是进入市场的买家总数。这个问题可以通过模拟优化方法来解决，这超出了本文的范围。在这里，我们重点估计不同价格下的未完成利率。挑战在于我们无法准确地知道基本到达率θ。

在实践中，我们必须收集数据来估计它们，因此输入不确定性起着至关重要的作用。我们的目标是估计由于输入不确定性导致的未完成率相关的风险。在这个数值实验中，∧和摩尔的值我们（法官）知道，但实验者不知道。取∧o=5，Mo=2，α=0.2，β=0.1，p=2,3,4,5。为了对输入不确定性建模，我们采用贝叶斯方法来构造输入参数的置信分布，即基本泊松到达率∧oandMo。具体地说，假设∧o和Mo的先验信息都是非信息性的，即po（o）∝ 1/o∧O和po（Mo）∝ 1/Mo。基于∧o和Mo的n=101001000个历史观测值（从具有真实参数的相应分布中得出），应用贝叶斯更新来获得∧o和Mo的后验分布。特别是，表示∧oby x=（x，…，xn）的历史观测值。然后对∧ois的后验分布进行分析，得出p（∧o | x）=∧n-1出口(-∧oPni=1xi），这是一种伽马分布，形状参数为n，比例参数为1/（Pni=1xi）。同样地，假设y=（y，…，yn）是Mo的历史观察值。然后是Mois p（Mo | y）=Mn的后验分布-1出口(-MoPni=1yi）-形状参数n和比例参数1/（Pni=1yi）的aGamma分布。目标是估算未填充率w.r.t.的vα和cα（α=0.90,0.95,0.99）。后验参数分布p（λo | x）和p（Mo | y），并构建相关的100（1-β） %CIs（β=0.05）。在应用强CI程序之前，我们首先需要验证强假设是否成立。在这个例子中，参数θo=（λo，Mo）。我们想要估计的是p概率，所以这里h（θo，ξ）是一个伯努利随机变量，成功概率等于h（θo，p）。因此，它有一个有限的条件二阶矩。

此外，“Em”可以写成B（M，h））/√M-√Mh，其中B（·，·）是一个二项式随机变量。请注意，在实践中，我们通常选择M大的enoug h来确保估计值是准确的。因此，我们可以使用非正规近似N（Mh，Mh（1- h） ）来代替二项分布。我们将这个条件概率密度函数表示为fM，h（e），其二阶导数存在且是连续的。那么节理密度pM（h，e）就是fM，h（e）和f（h）的乘积。正态分布中的指数项将确保强假设中的第二项和第三项得到满足。特别是，我们从p（λo | x）和p（Mo | y）中得出N=10000个输入参数情景。此外，对于每个输入参数场景，我们提取M=2000个买家到达的样本，并计算他们的订单丢失的数量。最后，未填充率的vα和cα分别通过（2.3）和（2.4）进行估算。表II和表III总结了模拟结果。我们有以下观察结果：（1）一般而言，未完成率w.r.t.输入不确定性的平均值（第3列）和VaR或CVaR（第4至6列）之间存在显著差距。这意味着在输入不确定性的随机模拟中，风险量化是必要的。此外，ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0号，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性0:15下随机模拟中的风险量化。

未填充风险值（95%置信区间）。pn平均V aRαV aRαV aRα半宽宽半CI宽半CI宽2 10 0.2109 0.5275 0.601 0.7224.20×10-37.50×10-38.20×10-31.12×10-22 100 0.4875 0.58 0.602 0.64251.50×10-33.10×10-33.70×10-35.80×10-32 10000 0.4598 0.4875 0.4955 0.5094.70×10-44.40×10-35.60×10-38.30×10-33 10 0.6743 0.836 0.862 0.89753.00×10-33.00×10-33.10×10-32.90×10-33 100 0.2207 0.359 0.3905 0.452.10×10-33.80×10-34.40×10-36.80×10-33 10000 0.3508 0.3825 0.3915 0.4085.30×10-43.80×10-34.90×10-37.30×10-34 10 0.1201 0.401 0.4995 0.6383.40×10-38.10×10-37.90×10-31.44×10-24 100 0.3674 0.4805 0.508 0.5581.80×10-33.50×10-34.20×10-35.90×10-34 10000 0.235 0.2705 0.2805 0.35.80×10-43.00×10-34.00×10-36.20×10-35 10 0.1371 0.4305 0.5175 0.653.60×10-37.30×10-39.20×10-31.31×10-25 100 0.1128 0.252 0.2905 0.361.90×10-34.20×10-35.00×10-38.10×10-35 10000 0.008 0.127 0.139 0.166.10×10-42.00×10-32.80×10-34.60×10-注：实验参数为∧o=5、Mo=2、N=10000、M=2000、α=0.90、α=0.95和α=0.99。当n非常小（例如n=10）时，当p增加时，平均值没有明显的变化模式。这是因为输入不确定性引起的误差太大，影响了估计。（2） 当n较大时，均值与VaR或CVaR之间的差距变小。直观地说，随着越来越多的输入数据可用，输入参数的置信度分布变得更加集中在接近真实值的值上。

因此，松散地说，平均响应分布也更集中于接近真实平均响应的值，并从本质上降低了较大未完成率的风险。（3） 在相同的输入不确定性水平下，尤其是当n很小时，我们可以看到，随着p的增加，均值与VaR或CVaR之间的差距变得更加显著。例如，当n=100时，对于p=2，Varα仅为平均值的1.2倍，而对于p=5，这个数字大于3。这是因为当u（p）接近买家的到达率λ（p）时，系统变得不稳定，并且由于输入的不确定性而导致的模拟风险更大。因此，需要更多的输入数据来将此类风险降低到可接受的水平。为了说明输入不确定性如何影响定价方案，我们进一步研究了在不同输入不确定性水平下，VaR和CVaR估计如何围绕最优价格（约5美元）进行。特别是，我们采用三种不同的输入数据大小n=100、1000和10000。对于每个n，我们估计平均值VaR0。95和CVar0。95%和95%的CI，价格范围为4.8至5.1。结果如图1所示，不同颜色的线条表示平均值、VaR和Cvar的趋势，不同点的条形代表相应的CI。我们有以下观察：ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:16 H.Zh u，T.Liu和E.ZhouTable III。