随机价格下做市商的最优仓位管理

由于多维BSDE一般没有已知的比较定理，因此我们无法将该技术应用于单个安全案例。然而，有趣的是，我们将看到Bimit（1976）[12]研究的扩散装置中与一种特殊类型的随机线性二次控制（SLQC）问题相关的反向随机Riccati微分方程（BSRDE）。定理6.1。在假设A′和B′下，BSDE（6.10）存在（V，Z）的唯一解。特别是，V在n×n对称正中间有限矩阵的空间中取值，并且是a.s.一致有界的，即存在一个正常数C′，使得ESS supsup∈[0，T]V（t）(ω)!≤ C′，（6.14）和Z∈ Hpn×n×d（0，T）对于任何p>0。证据让我们引入一个与w正交的n维布朗运动w，并考虑F′t:=FWt∨这里是w产生的增强过滤。我们研究了annF′：=（F′t）t≥0-从x开始的自适应向量过程∈ 由2n维向量过程控制的Rnat时间tθ：Xθs（t，X）=X+ZstCuθudu+nXj=1ZstDjuθudwju，s∈ [t，t]。（6.15）这里，C：Ohm ×[0，T]→ Rn×2由CU定义：=In×ndiag（λiu）（6.16）美国∈ [0，T]，其中In×nis是n维单位矩阵，diag（λi）是n维对角矩阵，其（i，i）-th元素i∈ {1，··，n}由λi给出。我们对下面的对角矩阵使用相同的表示法。Di:Ohm ×[0，T]→ Rn×2ni∈ {1，··，n}除了（i，n+i）-th元素之外，所有元素的条目都为零，而ich由[Diu]i给出，n+i=qλiu（6.17）表示u∈ [0，T]。

我们将容许策略U′定义为属于H2n（0，T）的2n维F′适应过程θ的集合。现在，让我们考虑以下SLQC问题：V′（t，x）=ess-infθ∈U′E“（Xθt）ξXθT+ZTt（Xθs）γsXθs+θsNsθsdsF′t#（6.18），其中为了节省空间，x中省略了参数（t，x），N：Ohm ×[0，T]→ R2n×2是为u定义的∈ [0，T]byNu=Mun×nn×ndiag（λiuηiu）. （6.19）然后，根据[12]中的命题5.1，关联的BSRDE由p（t）=ξ+ZTt给出(-P（u）CuNu+nXi=1（Diu）P（u）Diu-1CuP（u）+γu）du-ZTtZP（u）dWu（6.20），其中P作为V′（t，x）=x连接到值函数P（t）x.注意，由于W⊥ 并且终端值ξ和驱动器中包含的所有过程都是FW自适应的。注意NU+nXi=1（Diu）P（u）Diu=Mun×nn×ndiagλiu（[P（u）]i，i+ηiu）!（6.21）可以确认P的BSDE等于（6.10）中给出的VDE。在假设A′和B′下，ξ是正半限定且有界的，γ是正半限定且一致有界的ed，C，D和N是一致有界的。特别是，存在一个常数c>0，比如y努伊≥ c | y |，dP dt- a、 e.（6.22）对于所有y∈ R2n。因此，根据[12]中的定理em 6.1，P（因此V）有一个唯一的解，它是对称的、正半定的和a.s.一致有界的。特别是，这意味着[P（u）]i，i≥ 0，dP dt-a.e。。由于P为正，从（6.21）可以看出，0<yNu+nXi=1（Diu）P（u）Diu-1y≤|y | cdP dt- a、 e.（6.23）对于所有y∈ r2and因此Nu+Pni=1（Diu）P（u）Diu-1u∈[0，T]是一个统一有界的线性算子。使用P的边界s和其他变量，可以看到smt=P（t）- P（0）-Zt（P（u）CuNu+nXi=1（Diu）P（u）Diu-1C上升（u）- t的γu）du（6.24）∈ [0，T]是一致有界的martin gale。

因此，根据BDG不等式，对于anyp>0，存在一个正常数C，使得ZT | ZP（u）| dup/2≤ CEh | | m | | pTi<∞ （6.25）通过我们使用的相同方法，不难确定随机HJB方程产生的相同BSRDE。因此ZP（Z也是）属于Hpn×n×d（0，T）p>0。关于SLQ C问题和相关BSRDE的更一般结果，我们参考了toPeng（1992）[38]和Tang（2003,2014）[43,44]，其中正交性假设“w⊥ “W”被删除。在命题4.3、4.4和推论4.1中，以下结果以完全相同的方式得到。提议6.2。在假设A′和B′下，存在唯一解（V，Z）∈（6.11）的Sn（0，T）×Hn×d（0，T）和（V，Z）∈ 分别为（6.12）的S（0，T）×Hd（0，T）。此外，位置大小的过程Xπ*,δ*s（t，x）s∈（6.9）给出的[t，t]属于n（t，t）。候选解（π）*, δ*) （6.7）和（6.8）给出了很好的定义和满足（π）*, δ*) ∈ Sn（t，t）×Sn（t，t） 以上结果建立了主要定理。定理6.2。在假设A′和B′下，候选解（π*, δ*) （6.7）和（6.8）实际上是（5.11）给出的做市商问题的唯一最优解。证据证明与定理4.1相同。备注：标书/报价单的确定在本节结束之前，让我们对标书/报价单的可能确定进行评论。虽然我们假设做市商不会动态控制报价/报价，从而对订单流量产生偏差，但做市商业务当然必须使用可持续的规模。例如，假设利差大小BI与第i种证券的波动率|σi |成比例，即^a |σis |（6.26），其中^a>0是某个常数，i∈ {1，··，n}。

即使客户订单的强度（和/或分布）是（bi）i的非线性函数∈{1，··，n}，做市商可以通过运行基于最优策略（π）的模拟来获得成本函数或其收入分配*, δ*) 对于每个^a的选择，这将提供足够的信息来确定一个简单案例的^a.7实现的规模。在本节中，我们将讨论一个简单案例的评估方案，其中Vbecomes是非随机的。正如我们将在下面看到的，在这种情况下，最优策略的实施非常简单。考虑一个设置，其中ξ、γ、M、η、λ（因此β自然也是如此）是非随机的。在这种情况下，我们得到以下矩阵值常微分方程（ODE）的解：dV（s）ds=V（s）M-1s+diagλsV（s）+ηs五(s)- γs，s∈ [t，t]（7.1）V（t）=ξ（7.2），这与Kratz&Sch¨oneborn[31]研究的颂歌相同。只要ξ，γ，M，η，λ满足假设A′和B′的有界条件，这个Riccati方程就有一个正边界解。用标准常微分方程方法数值求解这个方程并不困难。与[31]中的模型相反，我们仍然需要评估Vto以实施最优策略（见等式（6.7）和（6.8））。为了简单起见，让我们把f（s）：=V（s）M-1s+diagλsV（s）+ηs, s∈ [t，t]，（7.3）这是一个确定性矩阵过程。让我们也考虑另一个确定性过程Yt，由ODEdYt定义，sds=F（s）Yt，s，s∈ [t，t]（7.4）式中，Yt，t=In×n。那么，我们有了-1t，sds=-Y-1吨，平方英尺（s），s∈ [t，t]（7.5）带Y-1t，t=In×n，直接获得v（s）=-Yt，sZTsY-1t，uEF（u）Su- V（u）Θu+（bψ）u-βu（bψ）u- 鲁FWsdu（7.6）代表s∈ [t，t]。人们可以看到，出价/出价差、客户订单流量和订单规模是最佳策略。

它的评估只需要苏| FWs, EΦu | FWs, E（bψ）u | FWs, E卢| FWs. （7.7）对于简单模型，这些量可以通过分析得到。另一方面，人们可以将标准的小偏差渐近展开技术应用于欧洲未定权益的定价，该技术由吉田（1992年a）[46]、高桥（1999年）[42]、Kunitomo&Takahashi（2003）[32]开发，吉田（1992年b）[47]也用于统计应用。参见Takahashi（2015）[48]及其参考文献，了解最新发展。8.一般马尔可夫情形的实现虽然在一般的条件下不可能完全求解，但获得其近似的显式表达式对于所提出方案的成功实现非常重要。类似的BSDE也适用于解决[5]中处理的不同类型的最优清算问题。此外，考虑到SL-QC问题在各种工程应用中的广泛应用，为一般BSRDE开发一个成功的近似方案本身应该是一个非常重要的研究课题。对于n个线性BSDE，存在一种解析近似技术，这是Fujii&Takahashi（2012a）[22]提出的。该方法对驱动器引入扰动，然后在每个近似阶对BSDE进行线性化。然后，它采用小扩散渐近展开来计算得到的线性BSDE。Takahashi&Yamada（2013）[45]最近对Lipschitz司机进行了辩护。我们将toFujii&Takahashi（2012b）[23]作为显式计算的示例，Fujii&Takahashi（2014）[24]作为分析计算过于繁琐的高效蒙特卡罗实现。

另见Sh iraya&Takahashi（2014）[41]和Cr\'epey&Song（2014）[17]所提议的扰动法在所谓的信用估值调整（CVA）中的具体应用。在本节中，我们提出了一种不同类型的微扰展开方法。与方法[22]相比，它不需要驱动器的扰动，并允许进行简单分析。新方法直接将BSDE扩展到相关正演SDE的小扩散极限附近，只产生一个线性常微分方程组，在每次展开时都要求解。8.1微扰展开模式让我们首先解释微扰模式的概念。我们将在稍后提供权利和错误估计。为了说明清楚，让我们假设一个安全案例。扩展到多个安全案例很简单。我们将介绍基本的factorprocess X：Ohm ×[t，t]→ 具有任意起始时间t的rdt∈ [0，T]，遵循SDE（不要将其与头寸大小过程混淆）：Xt，xs=x+Zstu（u，Xt，xu）du+Zstσ（u，Xt，xu）dWu。（8.1）式中u：[t，t]×Rd→ Rd和σ：[t，t]×Rd→ Rd×d.辅助脚本（t，x）表示该过程的初始条件，如果上下文清楚，则将省略该条件。设a函数f:Rd×R→ R由f（x，v）定义：-M（x）+λ（x）v+η（x）v+γ（x）（8.2），其中ξ，M，γ，η，λ：Rd→ R、 考虑BSDEVt，xt=ξ（xt，xt）+ZTtf（xt，xs，Vt，xs）ds-ZTtZt，xsdWs（8.3），其中V：Ohm ×[t，t]→ R、 Z:Ohm ×[t，t]→ Rd×d。该BSDE对应于（4.11），由马尔可夫因子过程X驱动的托卡斯汀系数。假设P1。系数u，σ是有界的Borel函数，而u（t，x）和σ（t，x）在（t，x）中是连续的且光滑的，具有所有阶的有界导数。2.存在常数a，a>0，因此Y∈ Rdand（t，x）∈ [0，T]×Rd，a | y|≤ Y[σσ]（t，x）y≤ a | y |。(8.4)3.

ξ（x）、M（x）、γ（x）、η（x）、λ（x）是x的有界光滑函数∈ 并满足假设A和假设B十、∈ Rd.它们也被假定有异序的有界导数。现在，为了近似这个过程，我们引入一个小参数∈]0,1]和依赖过程XdXt，X，s=u（s，Xt，X，s）ds+σ（s，Xt，X，s）dWss∈ [t，t]，Xt，x，t=x。（8.5）通过使用这个过程，我们实现了系统的小扩散渐近展开。关联的扰动BSDE由Vt，x，t=ξ（Xt，x，t）+ZTtf（Xt，x，s，Vt，x，s）ds给出-ZTtZt，x，sdWs。（8.6）现在，让我们假设的差异性，因此我们有xt，x，s=x[0]s+x[1]s+x[2]s+·Vt，x，s=V[0]s+V[1]s+V[2]s+·Zt，x，s=Z[1]s+Z[2]s+·对于（8.7）∈ [t，t]，我们定义了v[n]s:=n！NnVt，x，s=0，s∈ [t，t]（8.8），其他的也一样。对于零阶，X[0]和V[0]由常微分方程的解给出：dX[0]sds=u（s，X[0]s）s∈ [t，t]，X[0]t=X（8.9）dV[0]sds=-f（X[0]s，V[0]s）s∈ [t，t]，V[0]t=ξ（X[0]t）（8.10），对应于上一节讨论的确定性情况。由于假设P，上述Riccati方程有一个正有界解。我们显然有z[0]=0。在第一阶中，我们有线性FBSDE系统：dX[1]s=xu（s）x[1]sds+σ（s）dWss∈ [t，t]，X[1]t=0（8.11）V[1]t=xξ（T）x[1]T+ZTt(vf（s）V[1]s+xf（s）X[1]s）ds-ZTtZ[1]sdWs（8.12），其中我们使用了简写符号：u（s）：=u（s，X[0]s），σ（s）：=σ（s，X[0]s），ξ（T）：=ξ（X[0]T），f（s）：=f（X[0]s，V[0]s）。（8.13）都是确定性函数。我们还使用了x:=(/xi）1≤我≤Dv:=/v、 根据我们所做的假设，很明显，对于BSV[1]，存在一个独特的解决方案∈ Sp（t，t），Z[1]∈ 惠普（t，t）公司p>1。

事实上，当v[1]s=y（s）时明确地解决它是很简单的X[1]s，s∈ [t，t]（8.14）其中y:[t，t]→ RDI是线性ODE的解：d[y（s）]id=-dXj=1xiuj（s）[y（s）]j- vf（s）[y（s）]i-十九(s)s∈ [t，t]y（t）=xξ（T）。（8.15）由于有界性假设，Z[1]=y（s）σ（s）实际上是一致有界的。在二阶展开式中，可以找到dx[2]s=xu（s）x[2]s+（x[1]s）xu（s）X[1]sds+X[1]sxσ（s）dWs，s∈ [t，t]X[2]t=0（8.16）和v[2]t=xξ（T）x[2]T+（x[1]T）xξ（T）X[1]T+ZTtnvf（s）V[2]s+xf（s）X[2]s+vf（s）（V[1]s+x、 vf（s）x[1]sV[1]s+（x[1]s）xf（s）X[1]草皮-ZTtZ[2]sdWs，（8.17），也是一个线性BSDE。在这种情况下，我们可以从以下公式得到解：V[2]s=y（s）X[2]s+（X[1]s）y（s）X[1]s+y（s），s∈ [t，t]。（8.18）这里，y:[t，t]→ Rd，y:[t，t]→ Rd×dand y:[t，t]→ R定义为s的下一个线性常微分方程组的解∈ [t，t]，i，j∈ {1，··，d}:d[y（s）]id=-dXj=1xi（u（s））j[y（s）]j+vf（s）[y（s）]i- xif（s）d[y（s）]i，jds=-dXk=1h[y（s）]i，kxj（u（s））k+[y（s）]j，kxi（u（s））ki+vf（s）[y（s）]i，j-dXk=1[y（s）]kxi，xj（u（s））k-vf（s）[y（s）]i[y（s）]j-[y（s）]jxi+[y（s）]ixjvf（s）-xi，xjf（s）dy（s）ds=-vf（s）y（s）- Try（s）σ（s）（σ（s））（8.19）终端条件：y（T）=xξ（T），[y（T）]i，j=xi，xjξ（T），y（T）=0。（8.20）将It^o公式应用于（8.18）并将其漂移与（8.17）进行比较，即可得出上述结果。参见Fujii（2015）[21]作为扩展BSDE的相关想法。这些程序可以重复到任意的更高阶。在每个顺序中，我们都可以证明存在唯一的解V[n]∈ Sp（t，t），Z[n]∈ 惠普（t，t）公司由于有界假设和BSDE的线性（见[37]中的定理5.17），p>1。解可以用{X[i]}1的多项式表示≤我≤系数由线性常微分方程系统确定。

注意，对于每个订单n，X[n]∈ Sp（t，t）用于p>1.8.2收敛性理论8.1。在假设A，B和P下，存在一些与无关的正常数C，C′，例如EV-V[0]+NXn=1nV[n]p[t，t]≤ p（N+1）C，（8.21）EZTtZs-Z[0]s+NXn=1nZ[n]ds！p/2≤ p（N+1）C′（8.22）表示p>1和每个正整数N.证明。正义和收敛的论据与[45]的论据相似，我们将其概述如下。在假设P下，Xt，x，相对于的连续性和差异性是众所周知的（例如，参见[48]）。对于V，Z的连续性和可微性，我们可以遵循El Karouiet第2.4节的相同论点。al.（1997）[19]和马&张（2002）[34]的定理3.1。eir结果基于带有Lipschitz驱动程序的BSDE的总体估计（见[34]中的引理2.2]）。虽然在我们的例子中，驱动程序f不是ipschitz，但我们实际上可以使用相同的估计。这是因为，由于命题4.2，我们知道解V是一致有界且非负的。对于高阶导数(kV，kZ）k≥1.由于BSDE对它们来说是线性的，所以参数更简单。可以检查Lipschitz条件是否满足类似的原因。因此，[19,34]中的参数递归地保证了任意条件下的连续性和可微性。现在考虑n阶导数vt，x，n，s：=NnVt，x，s，Zt，x，n，s：=NnZt，x，s，Xt，x，n，s：=NnXt，x，s（8.23）及其对条件=0V[n]s=n的限制！Vt，x，n，s=0，Z[n]s=n！Zt，x，n，s=0，X[n]s=n！Xt，x，n，s=0. （8.24）作者感谢。

高桥感谢大家的讨论。泰勒展开式给出了s的相关BSDE as（省略上标（t，x））∈ [t，t]，Vn，s=Gn+ZTsHn，r+vf（Xr，Vr）Vn，s+xf（Xr，Vr）Xn，r博士-ZTsZn，rdWr（8.25），其中gn=n！nXk=1Xβ+··+βk=n，βi≥1k！kxξ（XT）kYj=1βj！Xβj，T（8.26）和类似的n，r=n！nXk=2Xβ+··+βk=n，βi≥1kXi=0k-iXj=k-i+1i！（k）- i） !！K-九体外受精（Xr，Vr）×k-iYj=1βj！Xβj，rkYl=k-i+1βl！Vβl，r.（8.27）以同样的方式获得Xn的SDE。对于每n，由于SDE的假设和线性，可以证明Xn·∈ Sp（t，t）每p>1和∈]0, 1].因此E|Gn | p< ∞ 坚持p>1。然后，由于（8.25）是一个线性BSDE，可以递归地显示ERTt | Hn，s | dsp<∞ 对于p>1，并且存在唯一的解vn·∈ Sp（t，t），Zn·∈ 每n的Hp（t，t），p>1和 ∈ ]0,1]，通过应用[37]中的Th eorem 5.17in。使用泰勒公式，我们可以看到svs=V[0]s+NXn=1nn！NnVs=0+N+1Z（1- u） NN！N+1νN+1Vνsν=udu=V[0]s+NXn=1nV[n]s+n+1N！Z（1）- u） NVuN+1，sdu。（8.28）因此，存在一些常数C，比如EV-V[0]+NXn=1nV[n]p[t，t]≤ p（N+1）CZE | VuN+1，·|p[t，t]du（8.29）和类似的EZTtZs-Z[0]s+NXn=1nZ[n]ds！p/2≤ p（N+1）CEZTthZ|ZuN+1，s|duidsp/2每N和p>1，这证明了这个说法。利用定理6.1所证明的假设A′、B′和V的有界性，上述结果可以很容易地推广到多重安全情形。一旦终端惩罚被随机变量ξ取代∈ Lp(Ohm), 所提出的微扰算法也可以应用于不同类别的BSDE[5]。详细的数值试验和BSRDE[43]的扩展将留给一项重要的未来工作。9.结论性意见在本文中，我们讨论了面对不确定的客户订单流入和流出的制造商的最优位置管理策略。