随机价格下做市商的最优仓位管理

通过不等式（4.19）和比较定理，我们得到了v（t）≤ Yt（4.21）代表所有t∈ [0，T]和d>0。此外，Y可以是st=Eξe-RTtT-s+ds+ZTte-RstT-u+duMs（T）- s+）+γsdsFWt=（T）- t+）Eξ+ZTtMs+（T）- s+）γsdsFWt（4.22），因此我们得到了期望的u-pp-er界。现在，让我们研究下限。PuteVt:=Eξ+ZTtMs+λsηsdsFWt. （4.23）由于常数c>0的存在，使得ξ，M，η≥ c、 它满足了ξ≤电动汽车≤C1+T（1+/λ）（：=κ）（4.24）式中，\'ξ，\'λ分别是ξ，λ的上界。因此，存在经济特区∈ Hpd（0，T），p>0，这样Devt=-Mt+λtηtdt+eZtdWt。（4.25）然后processeUt:=1/eVt，其边界为1/κ≤欧盟≤ξ，满足=ξ+ZTt-Ms+λsηseUs-|Γs|eUsds-ZTtΓsdWs，（4.26）式中：-以谢夫。这里，终值、驱动力的第一项和|Γ|的系数都是有界的。因此，二次BSDE的比较定理f（见[30]中的定理2.6]），见≤ V（t），从而得到期望的结果。由于（V，Z）和（V，Z）的BSDE是线性的，因此可以使用流行的已建立的结果来获得下一个命题。提案4.3。在假设A和B下，存在唯一解（V，Z）∈（4.12）的S（0，T）×Hd（0，T）和（V，Z）∈ 分别为（4.13）的S（0，T）×Hd（0，T）。证据我们用C表示一些正常数，它可以逐行变化。根据命题4.2，Vis一致有界，因此V的线性系数也是一致有界的。

加上“E”ZT五(s)hMs+λsV（s）+ηsiSs-Θs- bsψs-（βsbsψs）- ls）ds#≤ CEh1+ZT|Ss |+| bs |+| ls|dsi<∞ （4.27）因此，根据[37]中的定理5.21（另见第5.3.5节），存在唯一解（V，Z）∈S（0，T）×Hd（0，T）。至于（4.13），很容易看出这一点。”ZTMs+λsV（s）+ηsV（s）+Ss-V（s）（Φs+bsψs）- V（s）Φ2，s-（SsΘs+βsΦ2，s）+MsΘsds#≤ 总工程师1+ZT|V（s）|+| Ss |+| bs|ds< ∞, （4.28）我们使用V的地方∈ 在前面的论证中证明了S（0，T）。因此，通过同样的原因，存在唯一的解决方案（V，Z）∈ S（0，T）×Hd（0，T）。为了检验最优性条件，我们还需要Xπ的下列性质*,δ*.提案4.4。在假设A和B下，职位规模的过程Xπ*,δ*s（t，x）s∈（4.10）给出的[t，t]属于S（t，t）。证据让我们取起始时间0，写出Xπ*,δ*s（0，x）为x*为了简单。那么，Xπ*,δ*s（0，x）=x+ZsZKzeN（du，dz）-ZsV（u）Xπ*,δ*U-（0，x）+V（u）+SuV（u）+ηudeHu-Zs（V（u）μ+λuV（u）+ηuXπ*,δ*u（0，x）+μ+λuV（u）+ηuV（u）+Su+Θu- Φu）du（4.29）在假设A和B下，存在一些正常数C，使得|X*t|≤ C1+Zt|十、*u |+| V（u）|+|苏|+|布|杜+ZtZKzeN（杜，dz）+Zt[V（u）X*U-+ V（u）+Su]V（u）+ηudeHu！, （4.30）每t∈ [0，T]。让我们定义一个F-停止时间序列（τn）n≥0byτn:=inf{t≥ 0:X*t |>n}∧ T，（4.31）并表示位置s的τn停止过程大小为X*τns=X*s∧τn.因为我们已经知道X*∈ S（0，T），很明显τn→ T a.s.as n→ ∞.BDG不等式（例如，参见[28]中关于一般局部鞅的定理10.36）和被积函数yieldEh | X的正性*τnt|i≤ 总工程师1+Zt|十、*τnu |+| V（u）|+| Su |+| bu|杜+ZtZKzN（du，dz）+ZtV（u）X*τnu-+ V（u）+SuV（u）+ηu杜！. （4.32）同样通过BDG不等式和λ的有界性，一个相位Zt | X*τnu-|dHu≤ 2EZt | X*τnu-|德湖+ 2EZt | X*τnu-|λudu≤ 总工程师Zt | X*τnu|du.

（4.33）通过类似的分析，我们可以得出：ZtV（u）X*τnu-+ V（u）+SuV（u）+ηu杜！≤ 总工程师Zt|V（u）|+| Su|du+Zt | X*τnu|du.（4.34）因此，可以从（4.32）和K thatEh|X的有界性中看出*τnt|i≤ 总工程师1+| | V | T+| S | T+| b | T+Zt | X*τnu|du（4.35）因此，通过Gronwall引理T∈ [0，T]，呃| X*τnt|i≤ 总工程师1+| | V | T+| S | T+| b | TeCT<∞ . （4.36）超过极限n→ ∞, 我们看到了| X*每t | i<C∈ [0，T]具有一些正常数C。利用BDG不等式和上述估计，我们从（4.30）thatEh | | X中得到*||钛≤ 总工程师1+| | V | T+| S | T+| b | T+ZT | X*u|du< ∞ . （4.37）推论4.1。在假设A和B下，候选解（π*, δ*) 由（4.8）和（4.9）给出的定义明确、独特且令人满意（π*, δ*) ∈ S（t，t）×S（t，t） 最后，我们得出了论文的第一个主要结果。定理4.1。在假设A和B下，候选解（π*, δ*) （4.8）和（4.9）实际上是（3.12）给出的做市商问题的唯一最优解。证据必须确认命题4.1的最优性原则确实令人满意。首先，我们必须看到oZstZ（u，Xπ）*,δ*u（t，x））dWus∈[t，t]oZstV（u，Xπ）*,δ*U-（t，x）+δ*u）- V（u，Xπ）*,δ*U-（t，x））德湖s∈[t，t]oZstZK公司V（u，Xπ）*,δ*U-（t，x）+z）- V（u，Xπ）*,δ*U-（t，x））恩（杜，dz）s∈[t，t]都是真F-鞅。为了简单起见，让我们把t=0和X*s=Xπ*,δ*s（0，x）。根据BDG不等式，命题4.2，命题4.3和命题4.4，存在一个正常数C，例如“sups”∈[0，T]ZsZ（u，X）*u） dWu#≤ 总工程师ZT | Z（s，X）*s） |ds≤ 总工程师ZT | Z（s）| X*s|ds+ZT | Z（s）| X*s|ds+ZT | Z（s）| ds≤ 总工程师1+| | X*||T+ZT|Z（s）|+|Z（s）|+|Z（s）|ds< ∞ （4.38）在第二个不等式中，我们使用了（a+b+c）1/2的事实≤√a+√b+√C（4.39）对于每个a、b、c≥ 0

因此RsZ（u，X）*u） dWus∈[0，T]是鞅。对于计数和标记点过程的积分，有必要检查相应补偿器的积分是否在L中(Ohm) （见[13]中的推论C4，第八章）。因此，对于第二个任期，我们需要ZTV（u，X）*u+δ*u）- V（u，X）*u）λudu< ∞ （4.40）事实上ZTV（u，X）*u+δ*u）- V（u，X）*u）λudu= EZTλuV（u）（2X）*uδ*u+（δ）*u） ）+2V（u）δ*U杜≤ 总工程师ZT|十、*u |+|δ*u |+| V（u）|杜< ∞. （4.41）同样，对于第三任期，EZTZKV（u，X）*u+z）-V（u，X）*u）∧（u，z）dudz= EZTZKV（u）（2X）*uz+z）+2V（u）z∧（u，z）dudz≤ 总工程师ZT|十、*u |+| V（u）|+|Φ2，u|杜< ∞ （4.42）我们使用了补偿器和支撑K的有界性。上述事实与a（t，x）的构造、M的s trict正性以及λ[V+η]相结合，保证命题4.1中的最优性原则确实得到满足。附录a中，给出了惩罚大小与最终时刻剩余位置之间关系的调查。证明了终端位置尺寸X*Tcanbe通过增加惩罚ξ的大小使任意性变小。这一结果意味着，在存在不确定客户订单流的情况下，所提出的策略也可用于清算问题。5投资组合头寸管理的扩展在以下部分中，我们将扩展之前的框架，以便我们能够处理做市商在n在场时的最优头寸管理∈ N证券。首先，让我们总结一下以下假设。与之前一样，每个变量的定义将出现在以下章节的讨论中。假设A′Ni（ω，dt，dz），i∈ {1，·，n}是一个具有丰富支持度K的标记点过程的随机计数测度 R\\{0}表示它的标记z，嗨，i∈ {1，·，n}是一个计数过程。

所有不受Ni跳跃的随机过程，对于i∈ {1，··，n}被认为是适应的，因此是连续的。本节介绍了以下所有随机过程。（a）S：Ohm ×[0，T]→ RNS为非负和S∈ Sn（0，T）。（a′）b，l：Ohm ×[0，T]→ R和b，l∈ Sn（0，T）。（a′）i（·，·）：Ohm ×[0，T]×R→ R代表我∈ {1，··，n}是∧i（t，·）（ω）是一个有界支撑K的非负可测函数 R\\{0}f或每t∈ [0，T]和ω∈ Ohm, 对于每个z，∧i（·，z）是一致有界的FW适应过程∈ K.（a′）eγ：Ohm ×[0，T]→ Rn×nis一致有界，取值于n×非对称正半限定矩阵空间。（a′）M：Ohm ×[0，T]→ Rn×nis一致有界，取n×n对称正定矩阵空间中的值。（a′）eξ：Ohm → Rn×nis有界，FWT可测，取n×n对称正半限定矩阵空间中的值。（a′）λi，eηi：Ohm ×[0，T]→ R代表我∈ {1，··，n}是u-ni形式有界且严格正的。（a′）β：Ohm ×[0，T]→ Rn×nis一致有界，取n×n对称矩阵空间中的值。（a′）在（Ni，Hi）i之间没有同时跳跃∈{1，··，n}.5.1市场描述我们认为一个市场与第3.1节中描述的非常相似，但现在有n安全。做市商对从x开始的证券的头寸∈ Rnat时间t由以下n维向量过程给出：Xπ，δs（t，X）=X+nXi=1ZstZKeizNi（du，dz）+Zstπudu+nXi=1ZsteiδiudHiu（5.1），其中ei，i∈ {1，··，n}是单位向量，除1给出的第i个元素外，所有元素都为零。π=（πi）i∈{1，··，n}和δ=（δi）i∈{1、·、n}分别是做市商在交易所和黑暗市场中的F-可预测交易策略。Superscript i用于区分相应的安全性。

嗨，我∈ {1，··，n}是表示在暗池中执行第i安全的计数过程。倪，我∈ {1，··，n}是计算第i个证券的收入客户订单及其大小的计数度量。我们假设存在一个公共有界支撑K R\\{0}表示输入订单的大小。我们像以前一样假设补偿器su ch thatZtZKeNi（ds，dz）=ZtZK的存在倪（ds，dz）- ∧i（s，z）dzdsztdeis=ZtdHis- λisds（5.2）对于t∈ [0，T]是每i的F-鞅∈ {1，··，n}。让我们也设置随机过程Φ=（Φi）i∈{1，··，n}，ψ=（ψi）i∈{1，··，n}和Φ=（Φi）i∈{1，····，n}用Φit表示有序尺寸的矩：=ZKz∧i（t，z）dz，ψit:=ZK | z |∧i（t，z）dz，Φi2，t:=ZKz∧i（t，z）dz，（5.3）表示t∈ [0，T]都一致有界于假设A′。我们假设价格向量π，δ（t，x）=Sπ，δi（t，x）我∈{1，···，n}表示在做市商策略（π，δ）的影响下，交易所观察到的市场价格（π，δ），从时间t的仓位大小x开始，用π表示，δs（t，x）=Ss+Msπs- 对于s，βsXπ，δs（t，x）（5.4）∈ [t，t]。在这里，M和β不一定是对角的，因此它们可以从持续交易和其他投资者对做市商库存规模的总体反应中，诱发直接的和传染性的随机线性价格影响。

我们可以自然地想象，例如，由于相关资产的代理套期保值，某一证券的高交易速度或大量未偿头寸会在密切相关的资产之间引发类似的价格行为。5.2做市商的问题我们用策略（π，δ）为区间[t，t]到做市商的现金流建模-ZTteSπ，δs（t，x）π-sds-nXi=1zTzkesπ，δi，s-（t，x）（1）- sgn（z）bis）zNi（ds，dz）-nXi=1ZTt党卫军- βsXπ，δs-（t，x）iδ是+eη是|δ是|dHis+ZTtlsXπ，δs（t，x）ds，（5.5）其中 表示位置。我们考虑以下做市商的问题：eV（t，x）=ess-infπ，δ∈UE“（Xπ，δT）eξXπ，δT+ZTt（Xπ，δs）eγsXπ，δsds+ZTt（eSπ，δs）πs- LsXπ，δsds+nXi=1ZTtZKeSπ，δi，s-1.- sgn（z）之二zNi（ds，dz）+nXi=1ZTt党卫军- βsXπ，δs-iδ是+eη是|δ是|dHisFt#，（5.6），为了节省空间，我们省略了参数（t，x）。通过在证券之间建立（随机）协方差矩阵，做市商可以考虑投资组合的分散效应。在上述建模中，客户订单和暗池中的执行被假定为针对每种安全性独立发生。然而，遵循Bielecki，Counse，Cr\'epey&Herbertsson（2014a，2014b）[10，11]研究的动态马尔可夫连接模型的思想，对任意证券子集同时引入客户订单或暗池执行并不困难。如果客户订单或执行中存在强大的集群，那么扩展这个方向可能是值得的。可接受的策略集U定义如下。定义5.1。

我们通过属于Hn（0，T）×Hn（0，T）的一组F-可预测过程（π，δ）以及关于位置大小的马尔可夫过程来定义容许策略U，即，它们用一些可测函数（Fπ，Fδ）表示为πs=Fπ（s，Xπ，δs）-（t，x）），δs=fδ（s，xπ，δs-（t，x））（5.7）其中∈ {π，δ}，fa:Ohm ×[0，T]×Rn→ Rnand fa（·，x）是适用于所有x的FW流程∈ 注册护士。让我们写出FW适应的有界过程βasdβt=μβtdt+dXj=1的动力学σβtjdWjt（5.8）和定义ξ：=eξ-βT，γ：=eγ+μβηi:=eηi+（β）i，i，对于i∈ {1，··，n}。（5.9）假设B′（B′）β：Ohm ×[0，T]→ Rn×nand（σβ）i，i∈ {1，··，d}：Ohm ×[0，T]→ Rn×nare统一边界、对称且FW自适应。（b′）ξ是正半定义。（b′）γ是正的半限定dP dt-a.e。。（b′）存在一个常数c>0，λiηi≥ c dP dt-a.e.适用于每一个i∈ {1，··，n}还有y我的≥ c | y | dP dt-a.e.表示非常y∈ 注册护士。定义5.2。给定仓位大小x的做市商的成本函数∈ Rnat∈ [0，T]isJt，x（π，δ）=E“（xπ，δT）ξXπ，δT+ZTt（Xπ，δs）γsXπ，δs+（Xπ，δs）βs（bψ）s- lsds+ZTt（π）sMsπs+Ss+MsΘs）πs+ssΘs+nXi=1λ是ηis（δis）+Sisδis+（βs）i，iΦi2，s)dsFWt#（5.10），其中Θ，bψ：Ohm ×[0，T]→ r由（Θs）i定义：=Φis- bisψisand（bψ）is=bisψisfori∈ {1，··，n}。这里，为了节省空间，省略了位置大小的参数（t，x）。提议5.1。在假设A′和B′下，做市商问题（5.6）等价于v（t，x）=ess-inf（π，δ）∈UJt，x（π，δ）（5.11），它有一个唯一的最优解（π）*, δ*) ∈ 美国证据。

通过使用-ZTt（Xπ，δs）-)βsdXπ，δs=-（Xπ，δT）βTXπ，δT+xβtx+ZTt（Xπ，δs）μβsXπ，δsds+（Xπ，δs）σβsXπ，δs·dWs+nXi=1ZTt（βs）i，i（δis）dHis+ZTtZK（βs）i，izNi（ds，dz）重新定义价值函数v（t，x）：=eV（t，x）-十、βtx（5.12）我们可以用与命题3.1.6完全相同的方式证明它，解决多个证券的问题。1候选解决方案我们为做市商的问题推导出一个候选解决方案。首先，让我们重写具有多个安全性的问题的最优原理。提议6.1。（最优性原则）假设A′和B′满足。然后，（A）对于所有x∈ Rn，（π，δ）∈ U和t∈ [0，T]，过程v（s，Xπ，δs）+Zst（Xπ，δu）γuXπ，δu+（Xπ，δu）βu（bψ）u- 鲁du+Zst（π）uMuπu+苏+木Θu）πu+SuΘu+nXi=1λiuηiu（δiu）+Siuδiu+（βu）i，iΦi2，u)杜！s∈[t，t]（6.1）是F-子鞅。（b） （π）*, δ*) 当且仅当ifV（s，Xπ*,δ*s） +Zst（Xπ）*,δ*u）γuXπ*,δ*u+（Xπ）*,δ*u）βu（bψ）u- 鲁du+Zst（（π）*u）μ（π）*u）+苏+木Θu）π*u+SuΘu+nXi=1λiuηiu（δ）*iu）+Siuδ*iu+（βu）i，iΦi2，u)杜！s∈[t，t]（6.2）是F-鞅。候选解和相关随机HJB方程的推导类似于单一安全案例。我们假设半鞅V（t，x）T∈[0，T]具有以下分解：V（s，x）=V（T，x）+Zsta（u，x）du+ZstZ（u，x）dWu（6.3），其中a：Ohm ×[0，T]×Rn→ R、 Z:Ohm ×[0，T]×Rn→ rda和a（·，x）以及Z（·，x）是fwf或所有x的适应过程∈ 注册护士。我们假设，对于每个t，值函数都可以分解∈ [0，T]和x∈ RnasV（t，x）=xV（t）x+2xV（t）+V（t）（6.4）Z（t，x）=xZ（t）x+2xZ（t）+Z（t）（6.5），其中V：Ohm ×[0，T]→ Rn×n，V：Ohm ×[0，T]→ Rn，V：Ohm ×[0，T]→ R、 Z:Ohm ×[0，T]→Rn×n×d，Z：Ohm ×[0，T]→ Rn×dand Z：Ohm ×[0，T]→ RDA都是适应FW的流程。

此外，Vand Z（关于前两个指数）是对称的。一个冗长而直接的计算表明，最优性原则的一个必要条件是（u，x）+xγux+x（βu（bψ）u- 卢氏uΘu+nXi=1（βu）i，iΦi2，u+2xV（u）Φu+2V（u）Φu+nXi=1[V（u）]i，iΦi2，u+infπ，δ(π+M-1uV（u）x+V（u）+（Su+MuΘu）穆×π+M-1uV（u）x+V（u）+（Su+MuΘu）+nXi=1λiu[V（u）]i，i+ηiuδi+V（u）x+V（u）+Suei[V（u）]i，i+ηiu-hV（u）x+V（u）+（Su+MuΘu）iM-1HV（u）x+V（u）+（Su+MuΘu）i-nXi=1λiuV（u）x+V（u）+Su工程安装[V（u）]i，i+ηiu= 0 dP dt- a、 e.，（6.6）其中我们需要[V]i，i+ηi>0 dP dt-a.e.适用于每一个i∈ {1，··，n}。因此，我们获得了以下结果。候选解最佳解的“候选”和做市商问题（5.11）的相应值函数由π给出*u=-M-1uV（u）Xπ*,δ*U-（t，x）+V（u）+苏+木Θu(6.7)(δ*u） 我=-V（u）Xπ*,δ*U-（t，x）+V（u）+Sui[V（u）]i，i+ηiu，对于i∈ {1，··，n}（6.8）代表u∈ [t，t]和V（t，x）=xV（t）x+2xV（t）+V（t），分别为。这里，Xπ*,δ*（t，x）是xπ的解*,δ*s（t，x）=x+nXi=1ZstZKeizNi（du，dz）+Zstπ*udu+nXi=1Zstei（δ*u） 艾迪乌，s∈ [t，t]（6.9）（V，Z）、（V，Z）和（V，Z）必须是以下三个BSDEsV（t）=ξ+ZTt的精确解-V（u）M-1u+diagλuV（u）+ηuV（u）+γu杜-ZTtZ（u）dWu（6.10）V（t）=-ZTt（V（u）M-1u+diagλuV（u）+ηuV（u）-βu（bψ）u- 鲁+ V（u）M-1u+diagλuV（u）+ηu苏-Θu- （bψ）u)杜-ZTtZ（u）dWu（6.11）V（t）=-ZTt(V（u）+SuM-1u+diagλuV（u）+ηuV（u）+Su-Φu+（bψ）uV（u）-nXi=1[V（u）]i，iΦi2，u-suΘu+nXi=1[βu]i，iΦi2，u+ΘuMuΘu）du-ZTtZ（u）dWu（6.12）令人满意∈ {1，··，n}，[V]i，i+ηi>0（6.13）dPdt-a.e.英寸Ohm ×[0，T]。在上面，diagλuV（u）+ηu定义为对角线矩阵，其（i，i）-第i个元素∈ {1，··，n}i由λiu[V（u）]i，i+ηiu给出。6.2验证在多重安全设置中，vFollow是一个非线性矩阵值BSDE。