随机价格下做市商的最优仓位管理

最优策略由s-tochastic Hamilton-Jacobi-Bellman方程的解表示，该方程被分解为三个（一个非线性和两个线性）BSDE。我们使用标准BSDE技术为单个安全案例提供了解决方案的验证，并为多个安全案例提供了与特殊类型SLQC问题的测试连接。我们还为相关的BSRDE提出了一种微扰近似技术，它只需要在每个展开阶上求解线性方程组。还对其合理性和误差进行了估计。假设相关参数具有一般F-适应性（而不是FW适应性），这是所提出框架的一个有趣扩展。当ONE在参数（如M）中引入简单的同步跳转，并在darkpo ol中执行时，就会出现这种情况。在这种情况下，剩余BSRDE的驱动因素取决于计数过程的鞅系数。据我们所知，相应的BS-R-DE解的存在唯一性尚未得到证明。结合对客户订单强度的随机过滤看起来也很有趣。例如，引入隐马尔可夫过程可能有助于对客户订单中的可能持股行为进行建模。参见《基金和保险经理均值-方差对冲问题》相关著作《福吉ii&高桥》（2015）[25]。感谢作者感谢高桥明彦的有益评论和有益讨论。作者还感谢Kenichir o Shiraya和Taiga Saito的有益讨论。

这项研究得到了金融高级研究中心（CARF）的部分支持。A在这个ap pendix中，我们研究了剩余库存Xπ的行为*,δ*t根据处罚金额的变化确定处罚期限。我们将证明，通过增加惩罚ξ的大小，它可以任意变小。这一结果表明，对于客户订单不确定的情况，所提出的策略可以看作是现有文献中最优清算解的推广。让我们取一个正常数1<L<∞ 并设置ξ=L，即eξ=βT/2+L。我们分别用（VLi，ZLi）{i=1,2,3}表示BSDE（4.11），（4.12）和（4.13）的相应解。假设c使假设（b）中的下界c为c/（1+’λ）<1，同时c:=c/[M（1+’λ）]<1/2。显然，人们总是可以选择c>0（或等效的“M”、“λ”）来满足这些不等式。引理A.1。在假设A、B、C和ξ=L的情况下，下列不等式适用于0≤ T≤ s≤ T具有与L无关的正常数C；VL（t）≤ 计算机断层扫描- t+Lexp-Zstr（u，VL（u））du≤T- s+LT- t+Lec（A.1），其中L:=L，ec:=c′M（1+’λ）和r（t，y）：=Mt+λty+ηty、 证据。由于命题4.2中的不等式具有任意性>0，人们可以选择=L=1/L。然后我们可以得到SVL（t）≤L（T）- t+L）+t- t（t- t+L）\'M+\'γ（T）- t+L）-L（T）- t+L）≤T- t+L1+\'M+\'γ（T+1）≤计算机断层扫描- t+L.（A.2）类似地，VL（t）≥EL+ZTtMs+λsηsdsFWt≥L+（1+？）λc（T）- t） （A.3）其中c>0是（b）中给出的下限。因此，Zstr（u，VL（u））du≥ZstL+1+’λc（T- u） “\'Mdu=-c′M（1+’λ）lnL+1+°λc（T- s） L+1+°λc（T- （t）. （A.4）It yieldsexp-Zstr（u，VL（u））du≤c1+？L+T- sc1+？L+T- T欧共体。（A.5）注意每0≤ T≤ s≤ TxL+T-sxL+T-TECI是x的递增函数≥ 0

因此，由于c的排列，我们得到了SEXP-Zstr（u，VL（u））du≤T- s+LT- t+L欧共体。（A.6）我们还有下面的引理。引理A.2。在假设A，B，C和ξ=L的情况下，存在一个与L无关的正常数C，使得eh | | | VL | T+| | Xπ*,δ*（0，x）| | Ti≤ C（A.7）证据。让我们提出一个：Ohm ×[0，T]→ R和α：Ohm ×[0，T]→ 阿苏：=μ+λuVL（u）+ηu苏-Θu- buψu（A.8）αu:=βubuψu- 鲁. （A.9）显然，A，α∈ S（0，T） S（0，T），其S（0，T）-范数可由依赖于林的常数控制。检查vl是否可以写为vl（t）=-E中兴通讯-Rstr（u，VL（u））duVL（s）As- αsdsFWt. （A.10）因此，通过引理A.1，它满足以下不等式：T∈ [0，T]：|VL（T）|≤ E中兴通讯-Rstr（u，VL（u））du（VL（s）As- αs）dsFWt≤ （T）- t） 呃| |α| | tFWti+Eh | | A | | TFWtiZTtT-s+LT- t+LecCT- s+Lds≤ （T）- t） 呃| |α| | tFWti+CEh | | A | TFWtiec1.-赫特- t+列支敦士登≤ CEh | |α| | T+| | A | TFWti。（A.11）通知mt:=Eh | |α| | T+| | A | TFWtiT∈[0，T]是平方可积鞅。因此，从杜布的最大不等式来看，一个是hasEh | | VL | Ti≤ 行政长官“监督”∈[0，T]mt#≤ 4CEhmT我≤ CEh | |α| T+| | A | | Ti（A.12），其中右侧可以由一个与L无关的常数控制。现在，让我们定义另一个过程：Ohm ×[0，T]→ 拉斯古=μ+λuVL（u）+ηuVL（u）+Su+Θu- Φu（A.13）满足以下条件：∈ S（0，T） 在证明的第一部分，S（0，T）及其S（0，T）范数可以由Lindependent常数控制。从（4.8）、（4.9）和（4.10）中，很容易看出*t=e-Rtr（u，VL（u））dux-中兴通讯-Rtsr（u，VL（u））duGsds+ZtZKe-Rtsr（u，VL（u））duzeN（ds，dz）+中兴通讯-Rtsr（u，VL（u））duδ*sdeHs（A.14）适用于每一个t∈ [0，T]（我们使用了符号X*t:=Xπ*,δ*t（0，x）。

利用R（·，VL（·））是一个正过程的事实和BDG不等式，我们得到了，一些与L无关的常数C，Eh | | X*||ti公司≤ 总工程师x+| | G | t+ZtZKzN（ds，dz）+Zt |δ*s | dHs≤ CEhx+| | G | T+|Φ| T+| VL | T+| S | | Ti+CEhZt | X*||sdsi。（A.15）让我们表示一个依赖于L的常数，该常数由C′控制第一项。因为我们已经知道X了*∈ S（0，T），Eh | | X*||ti公司≤ C′+CZtEh|X*||sids（A.16），因此被Gronwall引理，呃| | X*||钛≤ 等等。（A.17）结合第一部分，这些主张得到了证实。然后，我们可以建立以下结果。定理A.1。在假设A，B，C和ξ=L的情况下，存在一个L-i独立的正常数CXπ*,δ*T（0，x）我≤ CLT+L2ec（A.18），因此可以通过取一个大的L<∞作为惩罚。证据从（A.14）和引理A.1，我们有十、*T我≤ 总工程师十、E-RTr（u，VL（u））du+ ||G | | T中兴通讯-RTsr（u，VL（u））哑弹+中兴通讯-2RTsr（u，VL（u））duΦ2，s+|δ*s|ds≤ CxLT+L2ec+CEh | | X*||T+| VL | T+| G | T+| S | T+|Φ| TiZTLT- s+L2张CD。（A.19）请注意，第二项中的期望由L-ind依赖恒常引理A.2支配。假设2ec<1，我们得到十、*T我≤ CLT+L2ec+1- 2ec（T+L）LT+L2ec-L1- 2ec≤ CLT+L2ec（A.20）具有一些与L无关的正常数，hen ce得到了des-ired结果。尽管我们可以讨论奇异终端条件L的极限→ ∞ 如[5]所示，我们只能将eir结果应用于VL。对于VL，出现了一个奇异漂移项，预计该漂移项会在终点处产生不连续性。这使得详细的分析很难进行。然而，正如前面的结果所示，我们可以通过选择足够大的L<∞ 作为惩罚。

因此，在做市商收到客户订单时，所提出的策略也可以用作有效的清算策略。尽管很自然，即使在多重安全设置中，也可以想象通过增加ξ的特征值大小，可以使终端位置大小任意变小。虽然直观上很清楚，但很难证明，因为我们没有Vany more上下限的明确表达式。让我们假设，在间隔时间[T]- ，T]当某个常数>0时，M，γ，ξ，β可以通过公共常数正交矩阵O对角化。此外，假设市场制造商停止接受客户订单，并停止使用暗池。然后，通过考虑基地O的证券S和相应的位置O十、 做市商问题可以分解为n个单一的证券清算问题。在这种情况下，^V:=OVO在[T]中变成对角过程-，T]和^V:=OV仅与^V的一个对应元素相互作用。在这种特殊情况下，由于单个安全案例中的论点，显然可以通过相应的最优策略使位置任意变小。参考文献[1]Alfonsi，A.，Fruth，A.和Schied，A.（2008），《有限订单簿模型中的约束投资组合清算》，Banach Cent。公共图书馆。83, 9-25.[2] Alfonsi，A.，Fruth，A.和Schied，A.，（2010），《带一般形状函数的极限订单中的最优执行策略》，定量金融，10（2），143-157。[3] 阿尔姆格伦，R.和克里斯，N.，（1999），清算下的价值，风险，12，61-63。[4] Almgren，R.和Chriss，N.（2000），《投资组合交易的最佳执行》，风险日记，3,5-39。[5] Ankirch ner，S.，Jeanblanc，M.和Kruse，T.（2014），具有奇异终端条件的BSD Es和具有约束的控制问题，SIAM J。

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