随机价格下做市商的最优仓位管理

另一方面，当其库存为正时，市场通过回购市场借出证券来赚钱。我们从sizex仓位开始，对做市商在s>t时的仓位进行建模∈ R在时间t asXπ，δs（t，x）=x+ZstZKzN（du，dz）+Zstπudu+ZstδudHu（3.1），其中第二项描述了顾客流，由计数度量N.K表示的标记点过程表示 R\\{0}是对markz的有界支持，它给出了大小和方向（+或-) 按顺序排列。（π，δ）分别表示做市商通过交易所和暗池的F-可预测交易策略。H是计数过程，它的跳转表示在黑暗池中执行事件的开始。为简单起见，我们假设N和H之间没有同时跳变。负头寸大小Xπ，δ<0始终被解释为证券借贷通过回购市场的空头头寸。假设N（λforH）的补偿器∧的存在，使得ztzken（ds，dz）=ZtZKN（ds，dz）- ∧（s，z）dzdsZtdeHs=Zt国土安全部- λsds（3.2）对于t∈ [0，T]是F-鞅。这也意味着cu stomer命令的发生和在黑暗池中的执行是完全不可访问的。为了以后的方便，让我们定义Φt:=ZKz∧（t，z）dz，ψt:=ZK | z |∧（t，z）dz，Φ2，t:=ZKz∧（t，z）dz（3.3）表示t∈ [0，T]，这是客户订单大小的时刻。根据假设A，上述过程是一致有界的。交易所观察到的价格π，δ（t，x），即做市商策略（π，δ）影响下的市场价格，从时间t的仓位大小x开始，假设为π，δs（t，x）=Ss+Msπs-对于s，βsXπ，δs（t，x）（3.4）∈ [t，t]。第二项表示随机线性价格影响，其中M是F适应的影响因子。

最后一个术语表示市场参与者对做市商库存规模的反应产生的总体影响。请注意，我们并没有假设做市商的头寸X对其他投资者具有完美的可观察性。他们很可能只能模糊地推断出X。因此，他们的反应可能也有很大的噪音。然而，这一噪声部分很容易被S的定义所吸收，S是证券的不受影响的价格。从做市商的角度来看，X是可直接观察的，β是其系数，可通过证券价格的线性回归得到。我们将β建模为一个可能与其他市场变量（如证券的波动性）相关的统一有界过程。由于客户订单的存在，最后期限不直接由过去的交易量决定，因此不同于永久性价格影响法案的标准模型。它与Jarrow（1992）[29]、Cvitani\'c&Ma（1996）[18]、an d Bank&Baum（2004）[7]研究的大型贸易问题的著作有更密切的关系。我们用策略（π，δ）对区间[t，t]内流向做市商的现金流进行建模。该有界性可解释为做市商设定的最大可接受订单量。方法如下：-ZTteSπ，δs（t，x）πsds-ZTtZKeSπ，δs-（t，x）1.- sgn（z）bs锌（ds，dz）-ZTt党卫军- βsXπ，δs-（t，x）δs+eηs |δs|dHs+ZTtlsXπ，δs（t，x）ds。

（3.5）让我们解释下面每个术语的经济含义：o（第一个术语）通过交易所从交易中流出的现金（第二期）接受客户订单时产生的现金流（按比例）出价/出价b.o（第三期）交易中产生的现金流通过暗池。o（第四项）回购利率为l的证券借贷产生的现金流。我们需要对第三项进行额外注释，以描述与暗池的交易。首先，基本交易价格由S给出- βsXπ，δs-（t，x）（3.6），不包括做市商持续交易的价格影响。将Msπ纳入价格可能会导致价格操纵，更重要的是，交易对手不会接受做市商临时交易活动造成的昂贵价格。我们还将价差eη|δ|添加到上述价格中，作为市场庄家向接受大宗交易的交易对手支付的溢价。我们认为T<~1（年）作为做市商控制的相关时间跨度。更现实地说，它可以是一个季度或半年，我们忽略了这段时间内货币市场账户的净收益。这可以理解为（几乎）零利率，或者等效地，我们可以解释为成本收益（见下文）是在贴现基础上给出的。我们还对相对流动的市场感兴趣，因为只要支付给定的随机回购利率，证券的借贷总是可能的。

在一个流动性极低的市场中，既不能在交易所无缝执行市场指令，也不能指望回购市场正常运行。3.2做市商的问题定义3.1。我们通过一组属于H（0，T）×H（0，T）的F-可预测过程（π，δ）定义了容许策略U，这些过程也是关于位置大小的马尔可夫过程，也就是说，它们用一些可测函数（Fπ，Fδ）表示为πs=Fπ（s，Xπ，δs）-（t，x）），δs=fδ（s，xπ，δs-（t，x））（3.7）其中∈ {π，δ}，fa:Ohm ×[0，T]×R→ R和fa（·，x）是适用于allx的FW适应过程∈ R.因此，额外成本由eη|δ|给出。对于X，可能没有必要像马尔可夫那样限制可接受的策略。然而，在这个阶段限制策略空间使下面的分析更加清晰。我们假设做市商试图解决以下优化问题：eV（t，x）=ess-inf（π，δ）∈UE“eξ| Xπ，δT（T，X）|+ZTteγs | Xπ，δs（T，X）| ds+ZTteSπ，δs（t，x）πs- lsXπ，δs（t，x）ds+ZTtZKeSπ，δs-（t，x）（1）- sgn（z）bs）zN（ds，dz）+ZTt党卫军- βsXπ，δs-（t，x）δs+eηs |δs|国土安全部英尺#。（3.8）引入前两个术语是为了对未偿头寸规模进行处罚。很自然地认为eξ和eγ与证券价格过程的方差成正比。人们可能还想考虑由于资产负债表中的突出位置而产生的监管成本。只要相关成本可以通过一个关于仓位大小X的二次函数合理近似，就可以通过适当修改eγ和l来实现。请注意，二次函数的系数可以是随机的。我们可以观察到（3.8）中的预期对所有人来说都是有限的（π，δ）∈ U.这可以通过Xπ，δ（t，X）这一事实进行简单的检验∈ S（t，t）和Sπ，δ（t，x）∈ H（t，t）。

然而，due是（π，δ）的二阶项，由(-βXπ，Δπ）和(-βXπ，Δδ），成本函数可以从下面无界，然后问题就不确定了。为了保证问题的适当性，我们需要额外的假设。首先，让我们写出FW适应的有界过程βasdβt=μβtdt+σβtdWt的动力学。（3.9）此外，我们表示ξ：=eξ-βT，η：=eη+β，γ：=eγ+β。（3.10）假设B（B）β：Ohm ×[0，T]→ R、 σβ：Ohm ×[0，T]→ RDA一致有界，FW自适应。（b） γ是非负dPdt-a.e。。（b） 存在一个常数c>0，即ξ≥ c.a.s.和M，η≥ c dP dt-a.e。。定义3.2。给定仓位大小x的做市商的成本函数∈ 雷特∈ [0，T]isJt，x（π，δ）=E“ξ| xπ，δT（T，x）|+ZTtγs | Xπ，δs（t，X）|+Xπ，δs（t，X）（βsbsψs）- ls）ds+ZTtMsπs+λsηsδs+（Ss+MsΘs）πs+Ssλsδs+SsΘs+βsΦ2，sdsFWt#（3.11）式中：Ohm ×[0，T]→ R由Θs定义：=Φs- bsψs.命题3.1。在假设A和假设B下，做市商问题（3.8）等价于v（t，x）=ess-inf（π，δ）∈UJt，x（π，δ）（3.12），它有一个唯一的最优解（π）*, δ*) ∈ 美国证据。应用它的^o公式，我们得到-ZTtβsXπ，δs-（t，x）dXπ，δs（t，x）=-βT | Xπ，δT（T，X）|+βtx+ZTtβsδsdHs+ZTtZKβszN（ds，dz）+ZTt | Xπ，δs（T，X）|（βsds+σβsdWs）。然后，在（3.8）中表示β-比例项-RTtβsXπ，δs-（t，x）[πsds+δsdHs]通过使用上述关系和（3.10）yieldseV（t，x）-βtx=ess inf（π，δ）∈UE“ξ| Xπ，δT（T，X）|+ZTtγs | Xπ，δs（t，X）|+Xπ，δs（t，X）（βsbsψs）- ls）ds+ZTtMsπs+λsηsδs+（Ss+MsΘs）πs+Ssλsδs+SsΘs+βsΦ2，sdsFt#（3.13），其中计数度量的积分被其补偿器代替。在这里，我们可以在假设下检验局部鞅是否为真鞅。

特别是，我们可以使用Burkholder-Davis-Gun dy（BDG）不等式，即Xπ，δ∈S（t，t）和∑β对于dW积分项的有界性。对于跳转部分，需要检查相应补偿器的积分是否在L中(Ohm) （例如，参见[13]中第八章C.O.C4。），这可以通过补偿器λ和∧的有界性来证实。因为除了（Xπ，δ，π，δ）之外的所有p过程都是FW自适应的和（π，δ）∈ 在美国（3.7），以Ftin（3.13）为条件的预期可以用FWt代替∨σ{Xπ，δt}由于Xπ，δ的马尔可夫性质。注意，计数度量N，H的信息仅通过位置大小Xπ，δ出现。然而，Xπ，δt（t，X）=X已经确定。因此，通过V（t，x）重新定义价值函数：=eV（t，x）-βtx，一个获得结果（3.12）作为制造商的等效问题。其余的主张很容易遵循标准论点（例如，参见Bimit（1976）[12]中的定理3.1）从现在起，所有的二次项都有正系数。为了简单起见，让我们考虑初始时间为零的情况，t=0。代价函数j0，xis是一个从U到R的连续映射，明显是严格凸的。它也是适当的，因为，例如，J0，x（0）<∞. 我们也有所谓的强迫性，因为j0，x（u）∞, 当| | u | | H（0，T）∞ . （3.14）上述观察结果和U是Hilbert空间的事实告诉我们，对于足够大的α∈ R、 集合{u∈ U:J0，x（U）≤ α} 是非空的，凸的，弱紧的。因此，存在一个极小值，由于代价函数的严格凸性，它是唯一的。关于（3.4）中βXπ，δ的注释（3.4）中βXπ，δ项的存在并不一定适合每种类型的投资者。例如，假设投资者为风险中性，β为正。

在这种情况下，投资者可能会累积一个非常大的多头头寸，这将使证券价格显著为负。投资者可以通过进一步增加其多头头寸获得正现金流，这使得系统不明确。然而，正如我们在上述讨论中所看到的，在温和的条件下，它不会对投资者的未偿头寸产生任何规则性问题。虽然人们可能会对模型的适定性取决于代理人的风险厌恶这一事实感到不安，但我们认为，这一术语使模型对做市商更为现实。事实上，这个术语的出现正是因为其他投资者知道，相关做市商必须在相当严格的仓位限制下运作，即规避风险。从做市商的角度来看，只要存在关于其仓位大小的信息泄露，它就会受到其他投资者的挤压。4.解决问题。1候选解决方案让我们为当前问题准备最优性原则。提议4.1。（最优性原则）假设A和B满足。然后，（A）对于所有x∈ R、 （π，δ）∈ U和t∈ [0，T]，过程v（s，Xπ，δs（T，X））+Zstγu | Xπ，δu（t，X）|+Xπ，δu（t，X）βubuψu- 鲁du+Zstμπu+λuηuδu+（Su+MuΘu）πu+Suλuδu+SuΘu+βuΦ2，u杜！s∈[t，t]是F-子鞅。（b） （π）*, δ*) 当且仅当ifV（s，Xπ*,δ*s（t，x））+Zstγu | Xπ*,δ*u（t，x）|+xπ*,δ*u（x，t）βubuψu- 鲁du+Zstμπ*u+λuηuδ*u+（Su+MuΘu）π*u+Suλuδ*U+SuΘu+βuΦ2，u杜！s∈[t，t]是F-鞅。证据我们可以很容易地从价值函数V的定义，即V（T，Xπ，δT）=ξ| Xπ，δT |和成本函数Jt，X（π，δ）的形式来确定它。

例如，参见Mania&Tevzadze（2003）[35]的命题（A.1）。首先，通过遵循Mania&Tevzadze[35]提出的方法，我们从必要条件推导出BSDE，从而满足上述最优性原则。然后，我们将证明每个BSDE都存在一个解，并确认它实际上符合最优性原则。这给了我们一个最佳解决方案。但我们知道，由于命题3.1，这个解决方案也是唯一的。假设半鞅V（t，x）T∈[0，T]每x有以下分解∈ R:V（s，x）=V（t，x）+Zsta（u，x）du+ZstZ（u，x）dWu（4.1），其中a：Ohm ×[0，T]×R→ R、 Z:Ohm ×[0，T]×R→ RDA和a（·，x）以及Z（·，x）是适用于所有x的FW过程∈ R.假设V（t，x）是x的二次微分。通过应用^o-Ventzell公式，我们得到V（s，xπ，δs（t，x））=V（t，x）+Zsta（u，xπ，δu（t，x））du+ZstZ（u，xπ，δu（t，x））dWu+ZstVx（u，xπ，δu（t，x））udu+zstzskV（u，Xπ，δu）-（t，x）+z）- V（u，Xπ，δu）-（t，x））N（du，dz）+ZstV（u，Xπ，δu）-（t，x）+δu）- V（u，Xπ，δu）-（t，x））杜。（4.2）分离局部鞅部分，最优性原理的一个必要条件由a（u，x）+ZK给出V（u，x+z）- V（u，x）∧（u，z）dz+γux+x（βubuψu）- （陆）+SuΘu+βuΦ2，u+ infπ，δ（Vx（u，x）π+V（u，x+δ）- V（u，x）λu+Muπ+λuηuδ+（Su+MuΘu）π+Suλuδ）=0（4.3）dP dt-a.e.英寸Ohm ×[0，T]每x∈ R.将由此产生的漂移项a（·，·）代入（4.1）得到一个倒向随机PDEV（t，x）=ξ| x |+ZTtZKV（u，x+z）- V（u，x）∧（u，z）dz+γux+x（βubuψu）- （陆）+SuΘu+βuψ2，udu+ZTtinfπ，δnVx（u，x）π+V（u，x+δ）- V（u，x）λu+Muπ+λuηuδ+（Su+MuΘu）π+Suλuδodu-ZTtZ（u，x）dWu，（4.4），有时被称为随机HJB方程。（π，δ）应为每个u选择∈[t，t]。

利用二次自然法则，假设每t∈ [0，T]和x∈ R、 V（t，x）=V（t）x+2V（t）x+V（t）（4.5）Z（t，x）=Z（t）x+2Z（t）x+Z（t）（4.6），其中V，V，V：Ohm ×[0，T]→ R和Z，Z，Z：Ohm ×[0，T]→ RDF是适应FW的过程。然后，（4.3）可以重写为asa（u，x）+2V（u）Φux+V（u）Φ2，u+2V（u）Φu+ γux+xβubuψu- 鲁+SuΘu+βuΦ2，u+ infπ，δ（μ）π +V（u）x+V（u）+（Su+MuΘu）穆+λuV（u）+ηuδ +V（u）x+V（u）+SuV（u）+ηu-穆V（u）x+V（u）+（Su+MuΘu）- λuV（u）x+V（u）+SuV（u）+ηu）=0 dP dt- a、 e。。（4.7）对于适定性，我们必须有V+η>0 dP dt-a.e。。将（x，x，x）中的每一个比例项聚集在（4.4）上，得到以下结果。候选解π给出了最优解的“候选”和做市商问题（3.12）的相应值函数*u=-穆V（u）Xπ*,δ*U-（t，x）+V（u）+（Su+MuΘu）(4.8)δ*u=-V（u）Xπ*,δ*U-（t，x）+V（u）+SuV（u）+ηu（4.9）表示u∈ [t，t]和V（t，x）=V（t）x+2V（t）x+V（t）。这里，Xπ*,δ*（t，x）是xπ的解*,δ*s（t，x）=x+ZstZKzN（du，dz）+Zstπ*udu+Zstδ*乌德胡，s∈ [t，t]。（4.10）（V，Z）、（V，Z）和（V，Z）必须是以下三个BSDEsV（t）=ξ+ZTt的精确解-μ+λuV（u）+ηuV（u）+γu杜-ZTtZ（u）dWu（4.11）V（t）=-ZTt（V（u）μ+λuV（u）+ηuV（u）-βubuψu- 鲁+V（u）hMu+λuV（u）+ηuiSu-Θu- buψu)杜-ZTtZ（u）dWu（4.12）V（t）=-ZTt(μ+λuV（u）+ηuV（u）+Su- V（u）Φu+buψu-V（u）Φ2，u-（SuΘu+βuΦ2，u）+MuΘu）du-ZTtZ（u）dWu，（4.13）满足v+η>0（4.14）dP dt-a.e.英寸Ohm ×[0，T].4.2验证我们现在将研究每个BSDE，并证明候选解决方案的存在，同时确认它实际上满足最优性原则。提议2.4。

在假设A和假设B下，BSD E（4.11）在（V，Z）中有一个唯一的解决方案∈ Sp（0，T）×Hpd（0，T） p>1，尤其是每t的V（t）满意度∈ [0，T]和>0:Eξ+ZTtMs+λsηsdsFWt≤ V（t）≤（T）- t+）Eξ+ZTtMs+（T）- s+）γsdsFWt. （4.15）证据。让我们定义函数asf（t，y）=-Mt+λty+ηt首先，让我们考虑BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Ys）∨0）ds-由于假设A、B和定义（3.10）、ξ和f（t，y），ZTtZsdWs（4.17）∨ 0）任何固定的y有界。此外，很明显f（t，y∨ 0）是y中的递减函数。因此，（4.17）满足BSDE的标准单调条件。根据[37]中的定理5.27，存在唯一解（Y，Z）∈ 所有p>1的p（0，T）×Hpd（0，T）。另一方面，它可以简单地在定理中推tu=l=0。很明显，如果ξ=0，γ=0，我们有一个平凡解（Y，Z）=（0，0）。由于项值和驱动因子f在（ξ，γ）中增加，我们实际上有Y≥ 0（例如，参见[37]中的命题5.33）。因此，BSDE（4.11）具有唯一的解决方案（V，Z）∈ Sp（0，T）×Hpd（0，T）适用于所有p>1，此外，Vis为非阴性。上界和下界的推导是对Kirchner，Jeanblanc&Kruse（2014）[5]中命题2.1的改编，以解决我们的问题。让我们从上界的下界开始。尽管如此，k∈ R、 y-2ky+k≥ 满足0（4.18）。对于任意常数>0，选择k=MtT- t+产量-Mt+λty+ηtY≤ -Mty≤ -T- t+y+Mt（t- t+）（4.19）代表所有y≥ 0.在滥用符号的情况下，考虑下一个线性BSDEYt=ξ+ZTt-T- s+Y+s+Ms（T- s+）+γsds-ZTtZsdWs。（4.20）这是一个具有有界Lipschitz常数的线性BSDE。由于ξ，M，γ的有界性，存在唯一解（Y，Z）∈ 所有p>1的p（0，T）×Hpd（0，T）。