具有经验边际的风险聚合：拉丁超立方体，经验

它涉及对非矩形集的数值积分，不能简化为取C（F1，n（x），对于几个点x=（x，…，xd）。这类实现面临维度诅咒。伊曼-康诺弗所属的蒙特卡洛方法的收敛速度为1/√n、 而使用特殊序列的准蒙特卡罗方法甚至可以实现1/n的速率。根据Arbenz等人（2011年）的研究，对于d=4，对和分布的显式计算优于Monte Carloalready。（c） Iman–Conover方法的另一个动机是其灵活性和算法可处理性。它只包括以相同方式对任何尺寸的样本和工作进行重新排序。此外，样本重新排序与层次依赖结构兼容，这种结构可以被描述为叶片中具有单变量分布的树和branchingnodes中的连接词（参见Arbenz et al.，2012）。在每个分支节点中，边缘分布根据节点的copula进行聚合，得到的聚合（通常为sum）分布传播到下一个聚合级别。如Arbenz等人（2012年）所示，可以对整个树进行样本重新排序。本文讨论的带有一个copula和边距的设置是这种聚合树的基本元素。这里给出的结果可以证明每个树节点中的聚合（比如和）分布的收敛性，包括总和。现在让我们回到Iman–Conover估值器的技术细节，该估值器用于总和分布。由于随机变量U（k）是连续分布的，因此它们与P-a.s.没有联系*n包含大小为1/n的natoms的P-a.s.此外，这些n原子在d变量网格{n，n，…，1}d上构建了一个拉丁超立方体，即每个部分{x∈ {n，n，…，1}d:xi=jn}对于i=1，d和j=1。

n正好包含一个原子。因此，Iman–Conover方法也被称为拉丁超立方体相关抽样。为了X~ F，设G表示分量和的分布函数：c2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008G（t）：=P（X+…+Xd≤ t） ，t∈ R.G和PCC之间的关系可以表示为：。引理2.2。T∈ rg（t）=PC（hT（At）i）（6），其中At:={x∈ Rd:Pdi=1xi≤ t} ，t（x）：=（F（x），Fd（xd）），和HBI:=∪U∈B[0，u]代表B [0，1]d.符号[0，u]指0和u[0，u]：=[0，u]×··×[0，ud]之间的闭合d维区间。证据让你~ C和表示←（u） ：=（F）←（u） ，F←d（ud）代表美国∈ [0,1]d，其中F←i（y）：=inf{t∈ R:Fi（t）≥ y} 是Fi的分位数函数。众所周知，T←（U）~ FHenceG（t）=PF（At）=P（t）←（U）∈ 在个人电脑上U∈ [0,1]d:T←（u）∈ 在,必须证明v∈ hT（At）i相当于T←（五）∈ 在如果没有←（五）∈ 在，然后是ToT←（五）∈ hT（At）i.由于FioF←一（六）≥ Vi对于alli来说，这意味着v∈ [0，To T←（v） ] hT（At）i.If v∈ hT（At）i，然后v≤ T（x）（分量）对于某些x∈ 在SinceF←我oF（xi）≤ xi尽管如此，这产生了←（五）≤ x、 作为函数x7→Pdi=1xi是成分非递减的，我们得到←（五）∈ 在备注2.3。（a） hT（At）i的可测性来自v的等效值∈ hT（At）i和T←（五）∈ 在（b） 操作员h·i的目的是保证∈ hBi和HBV∈ [0,1]d按组件排序v≤ u意味着v∈ hBi。这立即产生hhBii=hBi。与Dudley（1999）一致，我们将hBi称为B的下层。在非参数回归（参见。

赖特，1981年，以及其中的参考文献）。（c） 如果边缘分布有界域，则集hT（At）i是闭合的，但在一般情况下不一定。例如，如果F=票价标准正态分布，那么hT（A）i={u∈ [0,1]：u+u≤ 1} \\c2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008{(0, 1), (1, 0)}. 这个带有穿孔拐角的示例非常典型。很容易证明，如果hT（At）i中的序列u（n）收敛到u/∈ hT（At）i，那么u在[0，1]d的边界上∈ （0，1）d，然后u（n）∈ （0，1）d对于足够大的n.这允许构造序列v（n）→ u使得v（n）≤ u（n）和v（n）≤ ufor all n.对于任何u（n）∈ hT（At）i存在x（n）∈ 在这样的情况下t（x（n））≥ u（n）。作为T←是非递减的，F←我o F（xi）≤ xi对于所有i，我们有x（n）≥ T←（u（n））≥ T←（v（n））因此T←（v（n））∈ 因为所有的，因为所有的←在（0，1）上左连续，我们得到T←（v（n））→ T←（u） 和T←（u）∈ 在作为菲o F←i（用户界面）≥ 尽管如此，我们还是得到了你∈ hT（At）i.u/∈ hT（At）i只适用于u∈ [0,1]d.根据构造，hT（At）i包括所有点u∈ [0,1]d使u+εei∈ 对于某些单位向量ei，i=1，d、 ε>0。因此，集合hT（At）i不包括其边界点的区域非常小。现在让我们回到对和分布G（t）=PF（At）的估计。合成样本（3）中成分和的经验分布就是该样本在以下集合处的经验多元分布：G*n（t）：=nnXk=1X（R（k）：n）+…+X（R（k）d:n）d≤ T（7） =nnXk=1X（R（k）：n）。

，X（R（k）d:n）d∈ 在.与（6）类似，G*n（t）=PF*n（At）可以用经验copula C来表示*在（5）中定义，并且作为下一步，在i.i.d.copula样本U（1）的经验分布方面，U（n）：Cn（U）：=nnXk=11{U（k）∈ [0，u]}，u∈ [0,1]d.设Ci，ndenote n的边距，设C←i、 n注意对应的分位数函数。为了避免技术问题，我们考虑C←i、 nas映射从[0,1]到[0,1]：C←i、 n（u）：=inf{v∈ [0,1]：Ci，n（v）≥ u} ，u∈ [0, 1].表示τn（x）：=（F1，n（x），Fd，n（xd））和Tn:=ρ←No τn，其中ρ←n:=（C）←1，n（x），C←d、 n（xd））。然后我们可以陈述以下结果。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008推论2.4。T∈ R G*n（t）=PC*n（hτn（At）i）（8），概率为1，T∈ R G*n（t）=PCn（hTn（At）i）。（9） 证据。很容易看出，合成样品（3）可以写成aseX（k）=τ←No ρnU（k）, k=1，n、 τ在哪里←n（x）：=（F）←1，n（x），F←d、 n（xd）和ρn（x）：=（C1，n（x），Cd，n（xd））。这个yieldsG*n（t）=nnXk=1τ←No ρnU（k）∈ 在. （10） 根据引理2.2的证明，τ←n（x）∈ Atis相当于x∈hτn（At）i.因此（10）意味着*n（t）=nnXk=1ρnU（k）∈ hτnAti,这与（8）相同，因为C*ρn（U（1））的经验分布函数，ρn（U（n））。连续分布，U（1）i，U（n）i对每个i有不同的P-a.s.值。因此映射ρ←nis分量P-a.s.以概率1严格递增{n，…，1}d，因此ρnU（k）∈ hτn（At）i= 1.ρ←No ρnU（k）∈ hρ←n（hτn（At）i）iP-a.s.因此（9）由ρ得出←No ρn（U（k））=U（k）和hρ←n（hτn（At）i）i=hρ←Noτn（At）i.备注2.5。

Fi、nand和C的一致性←i、 尼姆普利斯→ T在l∞问题的复杂性表示式（9）表示G的渐近正态性*n关于随机集序列（hTn（At）i:n）的一个CLT∈ N） 。证明这类结果的标准方法是建立一个统一的CLT onc2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008所有可能的hTn（At）i和hT（At）i的设定类TDO。如果FIA未知且根据经验估算，则这是使用的自然设定类。符号中的索引突出显示了维度。由于fined不是连续的，所以所有T的集合包括所有Tn，因此tdi只是所有可能的T（At）i的集合。此外，如果每个未知的裕度Fi有一个正的密度oner，那么得到的经验分布Fi，nca可以取R上所有可能的阶梯函数类中的任何值，步长为1/n，从0到1。在这种情况下，所有可能的hTn（At）i类在所有可能的t（At）类中是稠密的（w.r.t.hausdorff度量）。因此，即使只有一个极限变换T对我们来说真正重要，考虑到所有可能的hT（At）i的类别，也不会增加问题的复杂性。也很容易看出，即使是G的逐点渐近正态性*n（t）在某些情况下，t=t需要在Td上有一个统一的CLT。通过改变未知边缘Fi，我们可以很容易地从一个At生成所有可能的集合T（At）。因此，对于G的一致性和点态渐近正态性，问题的复杂性是相同的*n、 经验连接函数有各种功能性CLT（参见R–uschendorf，1976；Deheuvels，1979；Fermanian等人，2004；Segers，2012，以及其中的参考文献）。

然而，经验copula估计是在矩形单元集合类上评估的经验度量(-∞, a] ：=(-∞, a] ×。×(-∞, 广告]为了∈ Rd.这个集合类足够简单，可以成为universallyDonsker。如果i.i.d.样本Y（1）的经验测度Pn（B）：=nPnk=1B（Y（k）），则集合C类称为P-Donsker，Y（n）~ 满足感√n（Pn（B）- P（B））w→ GP（B）（11）作为l中的映射∞（C） ，其中gp是所谓的布朗桥“with time”P。也就是说，gp是一个以指数B为中心的高斯过程∈ C和协方差结构cov（GP（A），GP（B））=P（A∩ B）- P（A）P（B）。如果C的Donsker性质适用于样本空间上的任何概率测度P，则称其为普适性。符号→ 在（11）中提到了l中不可测映射弱收敛的扩展概念∞（C） 如范德法特和韦尔纳（1996）所用。详见备注4.5。从集合类的熵可以得到集合类成为Donsker的充分条件。熵条件可以用覆盖数或括号数表示（参见van der Vaart和Wellner，1996，第2.1和2.2节）。不依赖于潜在概率测度的熵界称为一致。最常见的能力2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008确保集合类普遍为Donsker的统一熵界的标准是Vapnik–Cervonenkis（VC）属性。如果一个集合类C对足够大的n不分解任何n点集合{x（1），…，x（n）}，那么它就是VCC。如果每一个子集都是A，那么集合{x（1），…，x（n）}就会被C分解 {x（1），…，x（n）}可以通过A=B得到∩ {x（1），…，x（n）}与一些B∈ C

使n点集不被C破坏的最小n称为C的VC指数。众所周知，指数为d+1的集合类Rdis VC（参见van derVaart and Wellner，1996，示例2.6.1）。这就得到了Cn（u）在u中一致的渐近正态性∈ [0，1]d.然后通过泛函三角洲方法得出经验法则的渐近正态性。这些函数CLT允许证明由Cnor C导出的多变量分布函数F（x）的估计量的渐近正态性*n、 不幸的是，G的问题*这要困难得多。正如shownabove所示，G的功能CLT*nis与集合类Td上CNO的统一CLT密切相关。Tdis的复杂度远高于下文所述的Rd引理3.1，这意味着Tdis不是VC，注释3.2（c）表明，该集合类的复杂度甚至很高，以致于不存在统一的CLT。让Hd表示[0,1]d:Hd中所有较低层的集合：=B [0,1]d:hBi=B,并表示Hd:={B:B∈ Hd}。类似地，表示Td:={B:B∈ Td}。根据备注2.3（c），B∈ t表示B\\B [0，1]d，这是任何copula C的PC零集。因此，对于由copula样本构造的经验过程，Tdis上的一致收敛相当于Td上的一致收敛。很明显，Td 高清。以下结果表明，对于d=2，这些集合类几乎相同。引理3.1。如果B∈ H、 然后B∪Λ∈ T、 其中∧：={u∈ [0，1]：uu=0}是[0，1]的下表面的并集。证据表示B:=B∪Λ. 它有助于找到概率分布函数F，F，使得hT（A）i=b，T（x）=（F（x），F（x））。表示f（t）：=t1[0,1）（t）+1[1，∞)（t） andF（t）：=如果t<-1sup{s∈ [0, 1] : (-t、 （s）∈ B} 如果没有∈ [-1,0）1如果t≥ 0.c2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008b∈ H、 函数Fis在t中是非递减的(-t、 （s）∈ B、 然后(-T- δ、 （s）∈ b对于任何δ∈ （0，t]，因此F（t+δ）≥ F（t）。Fis 1的最大值和Fis右连续，因为Bis闭合。因此，Fis是一个概率分布函数。由于票价不变，我们有（A）i=hT(A） 我在这里A:={(-t、 t）：t∈ R} 是A的边界。现在请注意这一点(A） ={（F（t），F(-t） ）：t∈ R} ={（t，F）(-t） ）：t∈ [0, 1]}.因此，hT（A）i是零线和图ofF之间的区域(-t） 对于t∈ [0, 1]. 这正是B.备注3.2。（a） 由于∧是任何copula C的PC空集，因此将B修改为B∪ 引理3.1中的∧对从copula样本中获得的经验过程的一致收敛性没有影响。（b） 集合类HDVC和HDVC不是VC。例如，他们粉碎所有的集合{u∈ {0，n，…，1}d:u+…+n的ud=1}∈ N.{0，N，…，1}d中这个超平面的任何子集B都可以由hBi挑选出来∈ 高清 高清。类似的参数适用于修改后的集合类{B∪ ∧d:B∈ Hd}。因此引理3.1暗示这不是VC。这排除了VC准则在G的收敛性证明中的规范用法*n、 （c）这个问题更加困难，也更加显著。事实上，设置HDD和HDD的类≥ 2不是关于[0,1]d上的Lebesgue测度的Donsker（参见Dudley，1999，定理8.3.2，12.4.1和12.4.2）。

因此引理3.1意味着在最基本的情况下，当C是独立copula时，t上的一致CLT不成立。因此，我们不能证明G的渐近正态性*nvia一致CLTon T和G的精确渐近方差*纳尔索似乎遥不可及。（d） 复杂性问题不是估计器G所特有的*n通过将经验裕度Fi，n插入基于秩的经验copula C得到*n、 它们还影响将Fi直接插入“精确”的copula C中生成的模型。这种模型的自上而下模拟意味着copula样本U（1），U（n）~ C乘F←i、 n.分量和分布G（t）的结果估计可以写成asPCn（hτn（At）i），其中τn（x）：=（F1，n（x），Fd，n（x））。集合hτn（At）i与集合hTn（At）i具有相同的阶梯形状。PCn（hτn（At）i）的渐近正态性再次将我们引向Td上的一致CLT。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008（e）目前尚不清楚引理3.1是否可以扩展到B∈ Hdford>2。然而，HDD的复杂性只会随着d的增加而增加。通过识别HW的以下子类，在d>2的情况下嵌入Hin是很容易的：Hd | 1,2B∈ Hd:B=B×[0,1]d-2，B∈ H.设置Fi（t）：=1[0，∞)（t） 对于i=3，在引理3.1的证明中，得到的结果可以推广到B∪ ∧d∈ TDB∈ Hd | 1,2。这允许将（b，c，d）中的结论扩展到所有维度d>2。备注3.3。（a） 本节的结果可以总结如下：真正的目标集类HT:={HT（At）i:t∈ R} 很简单（注释4.12将说明HTVC的指数为2），但未知。

将这些未知的裕度替换为经验裕度，我们得到了集合类Td的随机元素，这对于统一CLT来说太复杂了。这就是为什么下面给出的收敛证明能够精确地证明渐近方差。由此造成的精度损失可以被视为使用经验边际而非真实边际的代价。（b） 当利润率已知，但连接函数未知时，也会出现类似的问题。ρninc变换的隐式使用*n（参见推论2.4的证明）包含目标集B的变形∈ 这与t或τn引起的结果非常相似。因此，根据应用情况，使用经验copula也可能导致精度损失。特别是C的统一CLT*非集合类仍然是一个开放的问题，前面的结果给出了一个合理的解释，为什么这个问题如此困难。（c） 这些复杂问题背后的深层原因是目标集B的典型形状∈ 嗯。如果边际或copula是经验估计的，则B（τ）和ρ的相应随机变换←结果2.4）显著增加了问题的复杂性。根据应用情况，由此导致的精度损失可归因于经验裕度、经验连接函数，或两者兼而有之。4收敛结果本文研究的主要问题是theIman–Conover估计G的一致收敛性*第九部于（7）年问世。l中的强一致性∞（R） 这是在定理4.1中建立的。toc收敛速度的一个充分条件2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008be n-1/2在定理4.2中给出。