具有经验边际的风险聚合：拉丁超立方体，经验

这些结果如下所述，并附有证明中所需的一些推论、注释和辅助结果。辅助结果的技术证明见第4.1节。定理4.1。设G（t）：=P（X+…+Xd≤ t） 为了X~ F定义为（1），并让G*nbe（7）中介绍的G的伊曼-康诺弗估计量。假设（2）中定义的函数Fi，n满足- 菲克∞→ 0 P-a.s.，i=1，d、 （12）如果F的copula C是Lebesgue绝对连续的，那么kG*N-Gk∞→ 0P-a.s.如备注3.2（c）所述，G的CLT*nseems超出范围，因此收敛速度被确定为OP（n-1/2）绑定。这个符号与紧密度有关：Zn=OP（1）表示Zn是紧密的，而Zn=OP（an）相当于a-1nZn=OP（1）。特别是，如果| Zn |≤ |Yn |和Ynw→ Y，thenZn=OP（1）。规律性假设还需要一些额外的符号。下面，让Bt表示hT（At）i的“上”边界：Bt:=nx∈ 在（hT）处：ε>0 x+（ε，…，ε）/∈ hT（At）物联网∈ R、 让Uδ（Bt）表示欧氏距离中Bt的闭合δ-邻域：Uδ（Bt）：=U∈ [0,1]d:|u- v|≤ δ对于某些v∈ 英国电信. （13） 定理4.2中的一个正则性假设规定了copula C分配给Uδ（Bt）的概率质量。另一个是关于ε的密度∈ （0，1/2），我们表示k（ε）：=ess supc（u）：u∈ [ε, 1 - ε] d.ε的K（ε）增长→ 0说明了c在[0，1]d边界附近的行为。定理4.2。设G（t）：=P（X+…+Xd≤ t） 为了X~ F定义为（1），并让G*nbe（7）中介绍的G的伊曼-康诺弗估计量。假设（2）中定义的函数Fi，n满足- 菲克∞= OP（n）-1/2），i=1，d、 （14）并且F的copula C是绝对连续且令人满意的∈RPC（Uδ（Bt））=O（δ）（15）c2015年，爱思唯尔。

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.0080.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02b-2B-1B0B1B20。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0指数边际。5B1B1。5B2图1：集合族{Bt:t∈ R} 。左侧：X~ N（0，1）和x~ N（0，1/4）。右侧：X~ Exp（1）和X~ Exp（0.7）。对于δ→ 0和（13）中定义的Uδ（Bt）。此外，假设z1/2plog K（ε）dε<∞. （16） 然后是公斤*N- Gk∞= OP（n）-1/2).备注4.3。集合bt的形状强烈地依赖于边缘分布Fi。集合族{Bt:t]的两个例子∈ R} 如图1所示。第5节讨论了一些copula族的（15）验证。这里给出的例子表明，这种情况并非微不足道，它取决于copula C和真实的未知边缘Fi之间的相互作用。我们继续得到一个辅助结果，它给出了Uδ（Bt）体积的上限。它源于变换T的成分单调性。这一结果背后的总体思路是，Bt的“表面面积”以单位平方[0,1]d的下表面上的d投影之和为界，而Uδ（Bt）的“厚度”约为2δ。第4.1节给出了预防措施。引理4.4。设λ表示[0,1]d上的勒贝格测度。然后λ（Uδ（Bt））≤2dδ。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008下一个引理为定理4.1和4.2的证明中涉及的两个集合类提供了Glivenko–Cantelli和Donsker性质。（11）中定义了唐斯克地产。

如果i.i.d.样本Y（1）的经验测度Pn（B）：=nPnk=1B（Y（k）），则C类集合称为P-Glivenko–Cantelli，Y（n）~ P满足感kpn- PkC:=supB∈C | Pn（B）- P（B）| a.s。→ 0（17）这种表示法强调，收敛性还取决于构造Pn所采样的真实分布。备注4.5。（17）和（11）的一个技术方面需要补充说明。这些语句将PNP和P视为概率空间中的映射(Ohm, A、 P）到l∞（C） 。然而，Pnl不需要与l上的Borelσ场有关∞（C） （参见比林斯利，1968年，第18章）。这个问题可以通过van der Vaart和Wellner（1996）提出的几乎确定和弱收敛的扩展版本来解决。下面，a.s。→ andw→根据那本专著理解。在可测量的情况下，这些扩展概念与标准概念一致。引理4.6。（a） 集合classHT:={hT（At）i:t∈ R} 对于固定T（x）=（F（x），Fd（xd））普遍适用于Glivenko–Cantelliand Donsker。（b） 如果C是勒贝格绝对连续的，那么集合dδ：={Uδ（Bt）：δ∈ [0，δ]，t∈ R} 对于任何δ>0的情况，都是PC Glivenko–Cantelli。（c） 如果c是勒贝格绝对连续且满足（16），则DδisPC Donsker对于任何δ>0。第4.1节给出了该辅助结果的证明。现在我们开始定理4.1和4.2的证明。定理4.1的证明。为了简单起见，我们将在[0,1]d上用uhBi代替u（hBi）来表示任何度量值u。根据（9），我们必须证明PCnhTn（At）i→ PChT（At）i在t中均匀分布∈ R.很容易看出| PCnhTn（At）i- PChT（At）i|≤ PCn（hTn（At）i 4 hT（At）i）+PCnhT（At）i- PChT（At）i |，（18）c2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008其中4表示对称差异：A 4 B:=（A\\B）∪ （B\\A）。根据引理4.6（a），集合类是PC Glivenko–Cantelli。（18）中的第二项在t中一致收敛到0p-a.s∈ R.现在考虑（18）中的第一项，并表示yn:=kTn（x）- T（x）k∞. （19） 由于TNT和TNT的变换是成分非递减的，因此YN是一个可测量的随机变量。此外，对称性参数给出了kC←i、 n- id[0,1]k∞= kCi，n- id[0,1]k∞, 其中id[0,1]（u）：=u代表u∈ [0, 1].因此（12）和经典的Glivenko-Cantelli定理适用于Ci，Nyeld Tna。s→ 锡l∞（Rd）。这意味着Yna。s→ 0.也很容易看出htn（At）i 4 hT（At）i UYn（Bt），（20），其中Uδ（Bt）是（13）中引入的集合。此外，对于任何δ>0的情况，我们都有pcn（Uδ（Bt））≤ PC（Uδ（Bt））+|PCn（Uδ（Bt））- PC（Uδ（Bt））|。（21）作为伊娜。s→ 0，这表明对于δ→ 0（21）右边的两项都以概率1在t中均匀消失。特别是，对于第二项，它必须表明，对于某些δ>0limn→∞监督∈R、 δ∈[0，δ]| PCn（Uδ（Bt））- PC（Uδ（Bt））|=0 P-a.s。这遵循引理4.6（b）。由于copula C的绝对连续性，（21）右侧的第一项消失。实际上，让ε>0。由于密度cofc为非负且rc（u）dλ（u）=1，因此存在M>0，使得r{C>M}C（u）dλ（u）<ε/2。那么，对于δ≤ ε/（4dM），引理4.4 yieldsPC（Uδ（Bt））≤ PCn（Uδ（Bt）∩ {c≤ M} ）+ε≤ Mλ（Uδ（Bt））+ε≤ M2dδ+ε=ε。也就是说，PC（Uδ（Bt））→ 0表示δ→ 定理4.2的证明。根据（18）和（20），我们有√n | G*n（t）- G（t）|≤√nPCn（UYn（Bt））+√n|PCnhT（At）i- PChT（At）i |。（22）c2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008（22）中的第二项在t中统一为OP（1）∈ 引理4.6（a）引起的R。现在考虑（22）中的第一个术语，并观察√nPCn（UYn（Bt））=√n（PCn（UYn（Bt））- 个人电脑（UYn（Bt）））+√nPC（UYn（Bt））。（23）将经典的Donsker定理（参见van der Vaart and Wellner，1996，定理2.5.7）应用于Ci，n，我们得到了kC←i、 n- id[0,1]k∞= kCi，n- id[0,1]k∞是OP（n）吗-1/2). 因此，假设（14）得到Yn=OP（n-假设（15）意味着（23）中的第二项是OP（1）。让zn表示（23）中的第一项。当Yn=oP（1）时，我们有zn=1{Yn≤ δ}√n（PCn（UYn（Bt））- PC（UYn（Bt））+oP（1）。对于任何δ>0的情况。现在假设（16）和引理4.6（c）暗示znis弱收敛，因此OP（1）。以下推论允许用真实、未知边缘Fi的任何其他一致近似值代替经验边缘分布Fi，nin定理4.1和4.2。推论4.7。设Fi，n，i=1，d、 n∈ N、 是R上的任意分布函数，设G*n（t）：=PF*n（At）与F*n（x）：=C*n（F1，n（x），Fd，n（xd））。（a） 如果Fi、nsatisfy（12）和C是绝对连续的，那么kG*N-Gk∞→ 0P-a.s.（b）如果Fi、n满足（14）和C满足（15）和（16），则为kG*N- Gk∞=OP（n）-1/2).证据第（一）部分。对于每个Fi，n有一个近似值Fi，n:R→ 最小化kFi，n的{0，n，…，1}-eFi，nk∞. 显然，kFi，n-eFi，nk∞≤ 1/n.亨塞特估计量g n（t）：=C*n（heTn（At）i）with etn（A）：=（C）←1，noeF1，n（x），C←d、 neFd，n（xd））满足定理4.1的假设，因此keGn- Gk∞a、 s。→ 0.此外，|G*n（t）-eGn（t）|≤ PCn（heTn（At）i 4 hTn（At）i）≤ PCn（UkeTn）-秋明∞+kTn-T k∞（英国电信）。（24）作为keTn- 秋明∞a、 s。→ 0和kTn- T k∞a、 s。→ 0，项（24）在t中以概率1一致消失∈ R类似于（21）中的第一项。这个产量是公斤*N- Gk∞a、 s。→ 0.c2015年，爱思唯尔。

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008第（b）部分。如果Fi，nsatisfy（14），那么doeFi，n.也就是定理4.2 yieldskeGn- Gk∞= OP（n）-1/2). 此外，（24）表示| eGn（t）- G*n（t）|≤ |PCn（UeYn（英国电信））- PC（UeYn（Bt））|+PC（UeYn（Bt））（25）foreYn:=keTn- T k∞+ kTn- T k∞. AseYn=OP（n）-1/2），假设（15）意味着∈RPC（UeYn（Bt））=OP（n-1/2). （25）右侧的第一项是OP（n-1/2）在t中均匀∈ 引理4.6（c）引起的R。备注4.8。（a） 与G相比*n、 多元分布函数*n（x）通过插入Fi，ninto C获得*这更容易处理。更深层的原因是F*n（x）可以写为经验度量，用矩形集合类Rd的随机元素进行索引。特别是，如果Fi是根据（2）定义的，那么，类似于（9），我们有*n（x）=C*n（F1，n（x），Fd，n（xd））=Cn（C←1，no F1，n（x），C←d、 no Fd，n（xd））=PCn（hTn（x）i。（26）如上所述，Rdis VC，因此普遍采用了Donsker and Glivenko–Cantelli。因此，由于hTn（x）i∈ Rd，我们可以将标准结果应用于F*n、 （b）证明F的强一致性*n、 回想一下，任何copula都是Lipschitz常数为1的Lipschitz函数（参见Nelsen，2006，定理2.2.4）。因此（26）yieldskF*N- F k∞≤ kCn- Ck∞+ 伊恩。（27）如下文（19）所述，假设（12）意味着Yna。s→ 0.亨切克*N- F k∞→ 0 P-a.s.由于经验分布函数的经典Glivenko–Cantelli理论。对一般Fi的扩展，类似于推论4.7（a）。（c） 在定理4.2的证明中，假设（14）包含syn=OP（n-1/2). 因此OP（n-F的1/2）收敛速度*nfollowsfrom（27）和经验分布函数的经典Donsker定理。

对一般Fi的扩展，类似于推论4.7（b）。（d） 如果Fi，n满足功能性CLT，那么功能性Delta方法将使F满足功能性CLT*n、 关于精确的渐近方差，请参见van derVaart和Wellner（1996，引理3.9.28）和Segers（2012）了解更多详细信息。不幸的是，这并不意味着G的功能CLT*n、 asG*nis通过使用完全不同的集合类索引PCNA而获得。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008备注4.9。定理4.1和4.2，以及它们的所有扩展和推论，也适用于通过将经验边缘Fi直接插入copula C而生成的多元模型。根据注释3.2（d），G（t）的结果估计量可以写成PCn（hτn（At）i），其中τn（x）=（F1，n（x），Fd，n（xd））。自从G*n=PCn（hTn（At）i），将收敛结果扩展到PCn（hτn（At）i）很简单。仔细看一下Collary 2.4的证明，PCn（hρ）的收敛也是如此←NoT（At）i）在T中一致∈ R、 其中T（x）=（F（x），和ρn（x）=（C1，n（x），Cd，n（xd））。此设置对应于exactmargins与经验copula C的组合*n、 本节的最终结果将上述所有结果推广到更广泛的聚合函数。通过修改上面的证明，很容易看出，这里使用的分量和的唯一性质是分量不递减。接下来的扩展立即产生。推论4.10。设一个函数ψ：Rd→ R满足ψ（x）≤ ψ（y）if xi≤ 因为i=1，d、 那么上述关于和分布G的所有结果也适用于聚合随机变量ψ（X）的分布函数Gψ。

特别地，估计量G*ψ，n（t）：=PF*n（{x∈ Rd:ψ（x）≤ t} ）收敛于l中的Gψ∞（R） 在定理4.1的假设下，具有收敛性OP（n-1/2）在定理4.2的假设下。备注4.11。（a） 这取决于聚合函数ψ，上述推广是否有利。在某些特殊情况下，甚至可能产生更强烈的结果。例如，如果ψ（x）=max{x，…，xd}，那么G的收敛性*ψ，nin l∞与矩形集类Rd上经验测度的一致收敛性有关∩ [0，1]d.由于后一个集合类是VC，我们可以导出G的Donsker定理*ψ，n具有精确的渐近方差。（b） 另一个显著的例子是肯德尔过程，它是通过将联合分布函数F作为聚合函数ψ得到的。得到的聚合分布函数是H（t）：=P（F（X）≤ t） 。使用上面的符号，这意味着H:=Gψ，表示ψ=F。聚集分布函数H（t）可以通过经验分布Hn:=n来估计-1Pnj=11{F*n（eX（j））≤ t} 式中，ex（j）是（3）和F中定义的泰曼-康沃尔综合变量*它们的经验分布函数（参见（4））。如果利润率是连续的，那么f（X）的分布与C（U）的分布相同~ C.此外，F*n（eX）c2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008始终可以写成C*n（U）代表U~ C.因此，过程的分布√n（Hn（t）- H（t））不依赖于利润率Fi。在这种情况下，渐近正态性也可用（参见。

范德法特·安德维尔纳，2007年；Ghoudi和R\'Emilard，1998年；Barbe等人，1996年）。（c） 然而，在一般情况下，定理4.1和4.2的扩展确实超出了经验多变量分布函数的可用收敛结果。4.1辅助结果的证明引理的证明4.4。表示w（0）δ，t:=hhT（At）i+δ（1，…，1）i∩ [0,1]然后，W（i）δ，t：=W（i）-1） δ，t- eiδ2∩ [0,1]d，i=1，d、 A的符号A+x RDX和∈ Rd表示集合a的移位，即a+x:={a+x:a∈ A} 。此外，表示v（i）δ，t:=W（i）-1） δ，t\\W（i）δ，t，i=1，d、 V（i）δ的边界是零集，因为A [0,1]不含勒贝格边界。事实上，hAi的建设保证了∈ 海和v∈ [0,1]d，然后v≤ u（成分）意味着v∈ 海。类似地，如果你∈ [0,1]d\\hAi和v∈ [0，1]D带v≥ u、 然后v∈ [0，1]d\\A.这种单调性允许覆盖边界hAi by O（ε1）-d） 任意ε>0的边长为ε的d维立方体。这个覆盖的总体积是O（ε），所以发送ε→ 我们得到λ(hAi=0。这意味着所有集合W（j）δ和V（i）δ的皮重都小于勒贝格边界。很明显，Uδ（Bt） W（0）δ，t\\W（d）δ，t.此外，V（i）δ的构造，即W（0）δ，t\\W（d）δ，t=d[i=1V（i）δ，tandλ（V（i）δ，t）≤ 所有i的2δ。这产生λUδ（Bt）≤ 2dδ。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008引理4.6的证明。根据van der Vaart和Wellner（1996，定理2.4.1），如果括号数[]（ε，C，L（P））对于任何ε>0是有限的，则集合类C是P-Glivenko–Cantelli。N[]（ε，HT，L（P））是覆盖C所需的所谓ε括号[V，W]的最小数量。

关于L（P）的ε括号[V，W]是一对满足V的集合 W和P（W\\V）≤ ε. C类集合由括号[Vi，Wi]，i=1，N、 如果每个人∈ C.满足感Vi A. wi对于某些i.以上引用的标准是以函数类的形式表述的，但它很容易通过用指示函数识别集合来应用于集合类。C为P-Donsker-isZ的一个充分条件∞qlog N[]（ε，C，L（P））dε<∞ （28）（参见范德法特和韦尔纳，1996年，第2.5.2节）。L（P）中两个集合A和B的距离与它们在L（P）中的距离有关，而它们在L（P）（A，B）=k1A- 1BkL（P）=d1/2L（P）（A，B）。因此，L（P）包围熵条件（28）等价于Z∞qlog N[]（ε，C，L（P））dε<∞. （29）第（a）部分。set类htt是t的所有hT（At）i的集合∈ R带有固定的T。因为集合在t中增加，而t在分量上是非减少的，所以我们有hT（At）i hT（As）i代表t≤ s、 因此，对于任何概率测度Pon[0，1]d，可以用大小为ε的O（1/ε）括号覆盖hT。括号[Vi，Wi]可以选择为Vi=hT（Ati）i，Wi=∪t<ti+1hT（At）i，具有适当的有限序列t<tN.如果PhT（At）i有跳跃，那么可能很难为所有i选择P（Wi\\Vi）=ε。在这种情况下，我们可能有P（Wi\\Vi）< 对于一些i，但括号的总数仍然是O（1/ε）。因此，我们没有[]（ε，HT，L（P））=O（1/ε），并且普遍存在格利文科-坎泰利。如果最大支架尺寸为ε，则需要O（1/ε）支架来覆盖HT。这对（29）是有效的，因此它是普遍的顿斯克。备注4.12。也很容易显示set类htvc和index2。当集合hT（At）i在t中增加时，它们不能破坏任何两点集合。让u（1），u（2）∈ [0,1]d，让t，t∈ R为k=1，2x（k）∈ hT（At）i相当于t≥ 蒂克。在不失去普遍性的情况下，让t≤ t、 c2015年，爱思唯尔。