具有经验边际的风险聚合：拉丁超立方体，经验

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英文标题：
《Risk aggregation with empirical margins: Latin hypercubes, empirical
  copulas, and convergence of sum distributions》
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作者：
Georg Mainik
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies convergence properties of multivariate distributions constructed by endowing empirical margins with a copula. This setting includes Latin Hypercube Sampling with dependence, also known as the Iman--Conover method. The primary question addressed here is the convergence of the component sum, which is relevant to risk aggregation in insurance and finance.   This paper shows that a CLT for the aggregated risk distribution is not available, so that the underlying mathematical problem goes beyond classic functional CLTs for empirical copulas. This issue is relevant to Monte-Carlo based risk aggregation in all multivariate models generated by plugging empirical margins into a copula.   Instead of a functional CLT, this paper establishes strong uniform consistency of the estimated sum distribution function and provides a sufficient criterion for the convergence rate $O(n^{-1/2})$ in probability. These convergence results hold for all copulas with bounded densities. Examples with unbounded densities include bivariate Clayton and Gauss copulas. The convergence results are not specific to the component sum and hold also for any other componentwise non-decreasing aggregation function. On the other hand, convergence of estimates for the joint distribution is much easier to prove, including CLTs.   Beyond Iman--Conover estimates, the results of this paper apply to multivariate distributions obtained by plugging empirical margins into an exact copula or by plugging exact margins into an empirical copula.
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中文摘要：
本文研究了用copula函数赋予经验裕度构造的多元分布的收敛性。此设置包括具有相关性的拉丁超立方体采样，也称为Iman--Conover方法。这里讨论的主要问题是组成和的收敛性，这与保险和金融中的风险聚合有关。本文表明，对于聚合风险分布的CLT是不可用的，因此潜在的数学问题超出了经典的经验连接函数CLT。这一问题与所有多变量模型中基于蒙特卡罗的风险聚合有关，这些模型是通过将经验利润率插入copula生成的。本文建立了估计和分布函数的强一致相合性，并给出了概率收敛速度$O（n^{-1/2}）$的一个充分判据。这些收敛结果适用于所有密度有界的copula。具有无界密度的例子包括二元克莱顿和高斯copulas。收敛结果并不特定于分量和，对于任何其他分量非递减聚合函数也是如此。另一方面，联合分布估计的收敛性更容易证明，包括CLT。除了Iman——Conover估计之外，本文的结果还适用于通过将经验裕度插入一个精确copula或将精确裕度插入一个经验copula而获得的多元分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Risk_aggregation_with_empirical_margins:_Latin_hypercubes,_empirical_copulas,_an.pdf (781.49 KB)

2022-5-8 22:00:32 上传

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关键词：立方体 distribution Multivariate Applications Mathematical

最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jmva上获得。2015.07.008具有经验边际的风险聚合：拉丁超立方体、经验连接函数和和分布的收敛Georg Mainik*2015年8月10日摘要本文研究了通过赋予经验边际一个copula构造的多元分布的收敛性。此设置包括具有相关性的拉丁超立方体采样，也称为Iman–Conover方法。这里讨论的主要问题是成分和的收敛性，这与保险和金融中的风险聚合有关。本文表明，对于聚合风险分布的CLT是不可用的，因此潜在的数学问题超出了经典的经验连接函数CLT。这个问题与所有多元模型中基于蒙特卡罗的风险聚合有关，这些模型是通过将经验利润率插入copula生成的。本文建立了估计和分布函数的强一致相合性，并给出了收敛速度O（n）的一个有效判据-概率为1/2）。这些收敛结果适用于密度有界的所有copula。具有无界密度的例子包括二元克莱顿和高斯copulas。收敛结果不特定于分量和，也适用于任何其他分量非递减聚合函数。另一方面，联合分布估计的收敛性更容易验证，包括CLT。

除了Iman–Conover估计之外，本文的结果还适用于通过将经验边际插入精确copula或将精确边际插入经验copula而获得的多元分布。关键词：风险聚合，经验边际分布，经验copula，函数CLT，Iman–Conover方法，拉丁超立方体抽样*苏黎世ETH数学系RiskLab；www.georgmainik。中国商学院2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.0081简介在各种实际应用中，多元随机模型是基于经验边际数据和边际之间依赖结构的假设构建的。这种依赖性假设通常用连接词来表示。这种设置的主要原因是缺乏多变量数据集，这在保险和金融领域通常都是如此。从统计学的角度来看，这种方法可能看起来很艺术，但在压力测试的背景下，它自然会出现。除了金融和保险，相关应用领域还包括工程和环境研究。有时，边际数据甚至不是基于观察，而是由一个被认为可靠的单变量模型生成的。这些模型中的许多都非常复杂，因此所得的分布无法用解析的方式表示。在这种情况下，精确的边际分布被模拟单变量样本的经验分布所取代。这些经验边际被赋予某种依赖结构，以获得多元分布。

该多元模型的聚合风险或其他特征的计算通常基于蒙特卡罗技术。Iman–Conover：通过样本重新排序的依赖性“注入”相关方法包括从单变量数据集生成合成多变量样本。虽然这样一个合成样本的边际与单变量数据一致，但其依赖性结构被修改以满足应用程序的需要。最基本的例子是经典的拉丁超立方体采样方法，它模仿独立的边距。它是一种从多元数据集中去除虚假相关性的流行工具。这种方法也适用于独立随机变量模拟中的方差缩减（参见McKay等人，1979年；Stein，1987年；Owen，1992年；Iman，2008年）。相依随机变量的类似应用包括蒙特卡罗方法（Packham和Schmidt，2010）和Copula估计（Genest和Segers，2010）中的方差缩减。Iman和Conover（1982）提出了拉丁超立方体抽样的一个扩展，将依赖性引入样本。Iman–Conover方法的最初描述使用边缘样本的随机重新排序，其目的是控制合成多变量样本中的秩相关性。重新排序是根据具有连续边缘的某个多元分布（例如H）的i.i.d.样本中的边缘秩向量执行的。因此，H的秩相关性被“注入”到合成样本中。这个过程相当于pluggingc2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008 H样本的Rankbase经验copula的经验裕度（从异步观察中获得）（Arbenz等人，2012年）。此外，事实证明，Iman–Conover方法不仅允许在合成样本中引入H的秩相关性，还允许引入H的整个copula（参见Arbenz et al.，2012；Mildenhall，2005）。在较弱的意义上，这些结果与确定性函数对随机相关性的近似以及Kimeldorf和Sampson（1978）的开创性结果有关。该领域的进一步发展包括测量保存转化（Vitale，1990）和shu-free es of min（Durante等人，2009）。R¨uschendorf（1983）也使用了不稳定优化和重新排序技术。定量风险管理中最近的一个相关应用是一种重排算法，该算法计算具有给定边际分布的投资组合中累计损失分位数的最坏情况界限（参见Embrechts et al.，2013，以及其中的参考文献）。使用单变量边际样本的显式重新排序，Iman–Conover方法具有独特的算法可处理性。它在各种软件包中实现，并作为依赖建模和不确定性分析的标准工具。重新排序算法允许evento构建具有层次依赖结构的合成样本，以满足保险和再保险公司风险聚合的需要（Arbenz et al.，2012）。总风险的分布由组成部分sumseX（k）+的经验分布估计+合成样品的自由度eX（k）=（eX（k），eX（k）d）对于k=1，n、 这种蒙特卡罗方法具有计算优势。

n的收敛速度-1/2（使用特殊序列的准蒙特卡罗甚至更快）允许我们优于已经用于中等维度d的和分布的显式计算≥ 4（参见Arbenz等人，2011年）。挑战和贡献：收敛性证明尽管伊曼-康诺弗方法很受欢迎，但它的一些应用已经通过模拟而不是数学证明得到了验证。原始出版物（Iman和Conover，1982）从四维随机向量的以下函数分布的有希望的模拟结果中得出结论：f（X，…，X）=X+X（X- 日志| X |）+exp（X/4）。然而，仍然缺少一个严格的证据。本文给出了分量和分布的Iman–Conover估计的收敛性证明。它还包括一个简单得多的估算联合分布的证明草图。到目前为止，这两个问题都是公开的。本文给出的解是从经验过程推导出来的2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008范德法特和韦尔纳（1996）中提出的理论。在适当的正则性假设下，和分布的Iman–Conover估计与收敛速度OP（n）强一致-1/2）（见定理4.1和4.2）。联合分布的Iman–Conover估计的收敛性在参考备注4.8中讨论。所有这些发现都不特定于分量和，并立即扩展到所有分量非递减函数（见推论4.10）。

此外，定理4.1和4.2还涵盖了通过将经验裕度插入copula构建的多元模型的蒙特卡罗抽样获得的聚合风险分布的收敛性（见备注4.9）。事实上，这两种抽样方法（由伊曼-康诺弗重新排序，以及经典的自上而下抽样，带有经验裕度，而不是精确的裕度）都会导致相同的数学问题。备注3.2（d）对此进行了讨论。这里用来建立OP（n）的正则性假设-1/2）对于密度有界的所有copula，和分布的Iman-Conover估计的收敛速度都是满足的。这种情况包括任意维d中的独立copula≥ 2.对于所有二元Clayton copula和具有相关参数ρ的二元Gauss copula，这些假设也满足≥ ρ<0的收敛速度，如果有的话，也只是稍微弱一点。目前可用于ρ<0等参点（n）的最佳界限-1/2√日志n）。Man–Conover方法中涉及的边际分布的规律性假设是绝对自然的，它们总是被i.i.d.样本的经验分布所满足：Man–Conover估计的强一致性需要经验边际的强一致性，而统一OP（n-1/2）Iman的收敛速度——Conover要求OP（n）具有相同的一致收敛速度-1/2）在边缘。为什么精确的CLT仍然难以捉摸这里得到的收敛结果与经验连接函数的标准收敛结果有关（参见R–uschendorf，1976；Deheuvels，1979；Fermanian等人，2004；Segers，2012）。然而，关于总量分布的数学问题超出了标准设置，在标准设置中，经验测量是在矩形集上进行评估的。

在和分布的情况下，在多元模型的构建中使用经验裕度显著扩展了Copula样本的经验过程应收敛的集合类。如第3节所示，证明和分布的Iman–Conover估计的符号正态性的标准方法需要对所谓的DC集合上的copula样本使用统一的CLT2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008[0,1]d中的较低层。然而，对于统一的CLT来说，此类太复杂（参见Dudley，1999，定理8.3.2、12.4.1和12.4.2）。由于这个原因，本文给出的一致性和收敛速度证明了共线性方差的精度，并使用了可以简化问题的近似值。这一技术难题并不适用于Iman–Conover方法。它也出现在任何其他应用中，其中多变量样本由模拟的copula样本和经验边际分布生成。如上所述，这种方法在实践中非常流行，尤其是出于计算原因。类似的问题也出现在将精确边际分布与经验连接函数相结合的应用中。本文的结构如下。第2节介绍了重新排序方法，并重点介绍了样本重新排序与经验连接函数之间的关系。复杂性问题将在第3节中讨论。收敛结果见第4节。第5节讨论了基本的正则性假设，包括满足这些假设的copula族的例子。结论在第6.2节经验性连接函数和样本重新推导T X=（X。

，Xd）是RDF中的随机向量，具有联合分布函数F，边际分布函数F，Fd和copula C。也就是说，F（x）=C（F（x），Fd（xd）），（1），其中C是[0,1]数据上具有均匀裕度的概率分布函数。根据Sklar定理，任何多元分布函数F都允许这种表示。在下文中，我们假设fia未知，并且我们有一些一致近似Fi，n，i=1，d、 真正的利润率并不是连续的。在这种情况下，表示（1）不是唯一的，但这在我们的应用程序中不是一个问题，这是计算性而非统计性的。如引言中所述，我们考虑的情况是，只有变量、异步的分量观测可用，并且copula C由专家判断设置，以计算分量和的结果分布。在实践中，copula C的选择考虑了随机C已知或假设的依赖性特征2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008向量X。这一选择还取决于对C或任何其他具有连续裕度和copula C的多元分布进行采样的能力。为了保持表示简单，我们假设Fi是一些单变量样本X（1）i，如果i=1，d:Fi，n（t）：=nnXk=1nX（k）i≤ 对，t∈ R.（2）这些样品不需要是i.i.d.我们只会假设kFi，n-菲克∞→ 0，P-a.s.或概率。一般情况的扩展将在稍后给出。让X（1:n）i≤ . . . ≤ X（n:n）ide注意i=1，…，的第i分量xi的顺序统计，d、 用分布函数H表示概率测度。

Iman–Conover方法通过以下合成多变量样本的经验测量来近似Pf:eX（j）：=十、R（j）：n, . . . , 十、R（j）d:nD, j=1，n、 （3）其中R（1）i，R（n）如果i=1，d是一个模拟数据的边缘等级。i、 d.样本U（1），U（n）~ C:R（j）i=nXk=1nU（j）i≥ U（k）io，i=1，d、 j=1，n、 很容易验证（参见Arbenz et al.，2012，定理3.2）合成样品（3）的经验分布函数等于toF*n（x）：=C*n（F1，n（x），Fd，n（xd）），（4）其中C*nis是U（1）的基于秩的经验copula，U（n）：C*n（u）：=nnXk=1nR（k）≤ UnR（k）d≤ ud. （5） 这将Iman–Conover方法的收敛性与PF的收敛性联系起来*nto-PF，从而实现PC的融合*nto PC.备注2.1。（a） 本文讨论的Iman–Conover方法的核心应用是计算聚合风险分布。最常见的风险聚合函数是总和。在这种情况下，必须计算随机数的概率分布2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。jmva/final:jm106/doi.10上提供。2015.07.008variablePdi=1Xifor（X，…，Xd）~ F和（1）中定义的F。Iman–Conover涉及两种近似：用经验版本Fi，n替换未知边缘fib，用经验版本C替换已知（或处理为已知）copula C*n、 （b）使用C*n可能看起来没有必要，因为人们还可以计算一个随机向量的求和分布，其中包含边界Fi和精确的copula C。然而，从边界和copula计算和分布在实践中相当困难。