最大似然估计的渐近正态性及其运算

（0，∞) 每小时都在变化∞ 指数α∈ R iflimx→∞f（tx）f（x）=所有t>0的tα。请注意，对数正态分布和威布尔分布不是规则变化的。对于尾指数α>0的规则变化F，高于α的相关随机变量的所有矩都是无界的；见[Embrechts等人，1997年]提案A.3.8（d）。因此，有规律的变化意味着重尾的一个最终特征。基于有限矩的存在，一些来源在重尾分布和“轻尾”分布之间存在差异[De Fontnouvelle等人，2007年]。在这种分类下，对数正态分布和威布尔分布是轻尾分布，因为所有矩都是有限的，而帕累托分布、对数逻辑分布和GB2分布都是有限矩，在这种用法中被认为是重尾分布。下面我们不考虑的严重性分布的一个子类来自极值理论，例如广义极值（GEV）分布。这些分布通常不通过MLE进行校准，而是使用极值理论中的方法进行校准，例如超过阈值的峰值（见[Embrechts et al.，1997]）。此外，在操作风险方面，共识似乎已转向反对EVT（参见[Mignola and Ugocconi，2005]了解EVT的稳定性问题）。因此，我们将分布限制为重尾分布，其中最大似然估计是一种重要的拟合方法。

除了极值理论分布，我们还忽略了g和h分布，尽管最近文献中对其进行了关注，因为其PDF没有封闭形式，并且最自然地通过分位数匹配来拟合数据[Dutta和Perry，2007]（尽管存在极大似然拟合方法[Rayner和MacGillivray，2002]）。这里考虑的分布族的支持可能会有所不同，这在拟合损失数据时会出现问题，尤其是在我们研究的拼接分布的情况下。对于帕累托分布，其中一个参数定义了支持度，这与证明MLE渐近正态性所需的假设相矛盾。因此，我们将参数设置为拼接位置T，从而使Paretodistribution成为一个单参数族。对于第二类的对数正态分布、对数逻辑分布和广义贝塔分布，支持是正实数。为了拟合拼接分布，我们隐式地处理了广义帕累托分布（GPD），因为对于重尾分布，GPD降低为帕累托分布。操作风险模型和渐近正态性7有两种标准方法：用移位或截断版本替换分布，以确保支撑包含在拼接分布的尾部区域。截断分布可能会给MLE拟合带来困难[Opdyke和Cavallo，2012]，此外，生成的Fisherinformation矩阵的显式表达式更为复杂，尽管原则上可以获得[Escobar和Meeker，1998]。出于这些原因，我们只考虑这些发行版的移位版本。2.2.1. 帕累托分布。

如上所述，帕累托分布通常被定义为一个2参数族，但由于其支持度取决于一个参数（通常称为尺度参数T），我们将其作为拼接平均分布的阈值（例如T=100000），并将帕累托分布视为取决于一个参数，即形状α，从而导致Pdf（x |α）=Tαxα+1，其中x≥ T，否则为0。为了X~ P areto（α），请注意，X的第一个动量当且仅当α>1时有界，方差仅当α>2时有界。很容易证明，对于α的所有值，帕累托分布都是可识别的，费希尔信息矩阵是标量I（θ）=I（α）=1/α，它是一个正定义矩阵（大小为1×1）。概率方程的唯一解` = 0 isbα=nPnlog（xi/T），因此不需要数值解算器来执行帕累托分布的最大似然估计。2.2.2. 威布尔分布。威布尔分布是指数分布的推广。对于形状和比例参数a，b>0，PDF isf（x | a，b）=（a/b）（x/b）a-1exp-xbA.在[Wei，2007]中，考虑了三参数Weibull分布，其中一个额外的位置参数u决定了支撑。如上所述，关于帕累托分布，最大似然估计的一个关键假设是，支撑独立于待估计的参数。

因此，我们考虑Weibull的移位分布，这相当于设置位置参数tou=T。Weibull分布的Fisher信息矩阵为（2.2）I（θ）=I（a，b）=A.ψ(1) + ψ(2)-b（1+ψ（1））-b（1+ψ（1））ab，;参见[Gupta and Kundu，2006]，但请注意参数化：一些来源将尺度参数定义为此处给出的倒数。[Smith，1985，Woodroof，1972，Akahira，1975]研究了Weibull分布的最大似然估计（MLE）特性，尽管这些工作考虑了三参数Weibull分布，其中最大似然估计（MLE）尤其有问题。结果表明，如果a≤ 1.对于1<a<2，MLE不是渐近正态的，而如果a=2，MLE是渐近正态的，但与定理2.1的方差矩阵不同。如果a>2，则渐近正态性成立（以及渐近有效性）。注意，Weibull分布是重尾分布（即次指数分布），当且仅当a<1时（[Embrechts等人，1997]，例如8操作风险模型和if语句的渐近正态性1.4.3），而当≥ 1） 因此，次指数威布尔分布的极大似然估计会导致不一致估计。威布尔分布的似然方程可以显式求解。如第3节（和[Larsen，2015]）所示，对于我们应用最大似然估计的所有四个损失数据集，α的“真”值都小于一，从而形成无界Fisher信息矩阵。这体现在FitDistripPlus算法中，警告消息表明生成的系统是奇异的。在极大似然估计不收敛的情况下，我们放弃了参数估计。2.2.3. 对数正态分布。对数正态分布logn（u，σ）有PDFf（x |u，σ）=√2πσxexp-（日志x）- u)2σ注意，我们选择第二个参数为σ，而不是σ。

这种惯例在计算Fisher信息矩阵时存在差异，即（2.3）I（θ）=I（u，σ）=1/σ0 2/σ.对数正态分布的Fisher信息矩阵是非奇异的，sincea随机变量X是对数正态的当且仅当存在一个X=exp（Y）的正态分布随机变量Y，且函数exp:R→ (0, ∞) 是一个反同构（因此，松散地说，所有涉及导数和积分的属性，对于正态分布变量都适用于对数正态分布，反之亦然）。对数正态分布也适用于所有允许值（u，σ），因为正态分布也是如此。Fisher信息矩阵是正定义的，因为它是一个带有正项的对角矩阵。与帕累托分布一样，对数正态分布的似然方程可以方便地求解，因此（bu，bσ）的确定在计算上没有问题。2.2.4. 记录物流配送。与对数正态分布一样，当且仅当存在逻辑随机变量Y，使得X=exp（Y）时，随机变量X遵循对数逻辑分布。对数逻辑分布LL（a，s）有PDF（2.4）f（x | a，s）=axsax（1+（x/s）a）用于x≥ 0，否则为零。参数a和s都必须为正。与帕累托分布一样，对数逻辑分布可以有一个无界的第一时刻，即≤ 一段时间≤ 2.方差也是无界的。X的Fisher信息矩阵~ LL（a，s）是（[Shoukri等人，1988]）（2.5）I（θ）=I（a，s）=3+π9a像!,这是正定义，因为a，s>0。

此外，对数逻辑分布对于a>1是可识别的，这遵循上述一般策略，因为其中值为s，模式为sA.-1a+11/a，在a中严格递增，ishence内射。操作风险模型和渐近正态性9为了拟合对数逻辑分布，我们使用FitDistripPlus，它使用Nelder-Mead算法进行优化。对于初始参数值，我们采用（参见[J¨ohnemark，2012]）sinit=Median（x，…，xn）ainit=log（n- 1） 对数（最大（x，…，xn）/sinit）2.2.5。第二类广义贝塔分布。GB2分布（也称为变换贝塔分布）嵌套在更一般的贝勒-帕累托分布F P（u，σ，γ，γ，γ）中，其本身嵌套了威布尔分布、对数正态分布和对数逻辑分布（以及广义帕累托分布和逆伯尔分布[Brazauskas，2002]），因此，在建模或丢失数据时，GB2分布可以对通用性（GB2）和简约性（威布尔、对数正态和对数逻辑）之间的权衡进行评估。GB2发行版有PDF（2.6）f（x）=a（x/b）ap-1bB（p，q）（1+（x/b）a）p+q，其中b（p，q）是β函数（或欧拉积分），定义为p，q>0为（2.7）b（p，q）=Ztp-1(1 -t） q- 1dt，X的第m个力矩~ GB2（a，b，p，q）是BMB（p+h/a，q-h/a）B（p，q），并且没有时刻超过aqth one[Bookstaber and McDonald，1987]。GB2分布的Fisher信息矩阵可以从Feller-Pareto分布的信息矩阵中推导出来[Brazauskas，2002]。具体来说，由于GB2（a，b，p，q）=fp（0，b，1/a，q，p），我们使用变量公式JIF PJ>的变化，其中J是坐标变化的雅可比矩阵→ 0, σ → b、 γ→ 1/a，γ→ q、 γ→ P

写I=（Ii，j）=（Ij，I），10个操作风险模型的Fisher信息矩阵和渐近正态YGB2（a，b，p，q）分布的中心为1,1=a+apqp+q+1I1,2=-pq（ψ（p）- ψ（q））+q- pb（p+q）- 1） I1,3=q（ψ（p）- ψ（q））- 1a（p+q）I1,4=p（ψ（q）- ψ（p））-1a（p+q）I2,2=apqb（p+q+1）I2,3=aqb（p+q）I2,4=-apb（p+q）I3,3=ψ（p）-ψ（p+q）I3,4=-ψ（p+q）I4,4=ψ（q）- ψ（p+q），其中ψ（x）=Γ（x）/Γ（x）是digamma函数，其导数ψ（x）是trigamma函数。我们为GB2发行版实施自己的MLE，如下所示。我们通过隐式惩罚将p，q上的线性边界纳入似然函数，并使用NelderMead软件包最小化负对数似然函数[Bihorel and Baudin，2014]。为了获得初始参数值，我们使用了软件包GB2的伪函数[Graf and Nedyalkova，2014]。由于NelderMead通常只返回一个局部最小值，我们在另外两个参数开始值处运行最小化，通过扰动损耗数据（一个损耗上移，另一个损耗下移）并对扰动的损耗数据应用伪MLE获得。如果三个起始参数中至少有一个导致收敛解，我们取对应于最低负似然值的校准参数。在讨论结果之前，请注意定理2.1假设我们能够找到似然函数的全局最大值。对于对数逻辑分布和GB2分布，无法保证找到全局最大值。我们希望上述方法的描述将有助于使用对数逻辑分布或GB2分布的从业者判断其优化算法的效果。3.

OpVaR严重性分布的渐近正态性在本节中，我们首先在分别适用于第3.1节和第3.2节中的中等严重损失数据时，以图形和数字方式评估上述严重性分布的渐近正态性。在第3.3节中，我们将研究这对用渐近正态性近似参数置信区间有何影响。其他三组损失数据的相应结果见[Larsen，2015]。操作风险模型和渐近正态性11为了设置阶段，我们详细描述了固定损失数据集损失的模拟程序（参数boostapping）和样本量，以{pareto，Weibull，lognormal，log logistic，GB2}为单位，CDF F（x |θ）（1）用MLE将损失与distn拟合，以获得真实参数θ*（2） 对于{1，…，m}（我们取m=40000）（a）中的i，从真实分布F（x |θ）中抽取n个样本*) 为了获得bootstrapped loss lossesi（b）Fit distn to lossesiw with MLE获得bootstrapped parameters bθi，对于每个分布族和每个样本大小n，我们因此获得了参数估计的统计量。然后我们比较boostrappedparametersbθ1，n，bθm，nto定理2.1的预测。例如，对于对数正态分布，eachbθi，n将是一个包含两个分量的向量，bθi，n=（ui，n，σi，n），对于这些分量中的每一个，我们绘制相应的核密度估计（本质上是一个智能直方图；参见例如[Hastee et al.，2009]，第6章），以对抗定理2.1中该分量的正态分布。继续这个例子，对应于自举ui，n的正态分布将具有方差1/（σ）*). （为了便于阅读，在下面的图中，我们将预测的正态分布集中在真实值而不是0，并移动√n到极限的右侧）。

请注意，对定理2适用性的全面研究。1需要的不仅仅是我们给出的曲线图和置信区间，它只关注估计参数的边际分布。在下面的例子中，基础损失数据集由损失组成，其中19%高于10万欧元的拼接阈值。数据并不特别沉重，平均值为131560，中位数为39018，且没有超过30欧元的损失。较重损失数据的结果见[Larsen，2015]。3.1。渐近正态性的图形检验。图1-7的正态性图形测试显示了边缘参数分布的正态性是如何变化的。在“正态”方面，即使帕累托分布（图1）和对数正态分布（图4）的样本量小到100，自举参数也表现在定理2.1中。然而，对于帕累托分布，p值说明了不同的情况（见下文），对于对数正态分布，可以看到对数正态分布σ的MLE估计的小样本偏差）。在剩余的威布尔分布、对数logistic分布和GB2分布中，每种分布都显示出不同程度的偏态；分别见图3、图5、图6和图7。威布尔分布的偏度并不像其他分布那样，随着样本量的增加而减小。然而，这种行为并不奇怪，因为真正的形状参数是0。对于56，这是不一致的。图6所示的100尾损失的GB2分布给出了到目前为止的渐近正态性。3.2. 渐近正态性的数值检验。上述图形测试只考虑了边际增强参数分布（即，每个拟合参数是否如理论预测的那样独立正态分布？）。

为了验证定理2.1，我们转向正态性的数值测试。正态分布数据的假设检验作为建模工具有其优缺点，但它仍然是监管统计12操作风险模型和渐近正态分布图的一个特征。当前基于模拟数据评估定理2.1有效性的任务与拥有真实数据的通常情况截然不同。01230.75 1.00 1.25 1.50 1.75形状密度图理论（核密度）理论自举形状：N（1.12,0.113）与理论N（1.11,0.111）图1。UOM1:AN代表帕累托：真θ=（1.11），样本量1000.02.55.07.510.00.4 0.5 0.6 0.7 0.8形状密度图精神（核密度）理论自举形状：N（0.569，0.045）与理论N（0.56，0.0415）0.0e+002.5e-065.0e-067.5e-061.0e-051e+052e+053e+054e+05scaledensityDensity plotsEmpirical（内核密度）理论自举量表：N（21775141073）与理论N（21230337902）图2。UOM1:AN代表威布尔：真θ=（0.56212303.18），样本量1000020340500.54 0.560.58 0.60形状密度图理论（核密度）理论自举形状：N（0.561，0.00856）与理论N（0.56，0.0083）0e+002e-054e-05200000 225000 250000标度密度图精神（核密度）理论自举标度：N（214799547）与理论N（2123037580）图3。UOM1:AN对于Weibull:trueθ=（0.56212303.18）、样本量2500操作风险模型和渐近正态性13，在现实世界中，可以安全地假设没有大型数据集是真正正态分布的，从而降低了大型样本的正态性测试值。