初始扩展的强可预测表示性

，d，然后N=0（直到P′-消失集）。引理4.5、推论4.6和命题4.7则得出以下结果。引理4.8。假设S=（St）t≥0在上具有强可预测的代表性属性(Ohm, F、 P）。然后b=（bSt）t≥0在（b）上具有强可预测表示属性Ohm,英国石油公司）。证据LetbN=（bNt）t≥0是（b）上的有界鞅Ohm,bF，bP），bn=0，与bnbsi相反∈ Mlo c（bP，bF），对于所有i=1，d、 很容易检查（bNbSi）bτn∈ M（bP，bF），对于alli=1，d和n∈ N、 其中bf停止时间{bτN}N∈如推论4.6的证明。根据引理4.5证明中使用的相同论点，存在（BE） O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ Nxt（ω）使得Nxt（ω）=bNxt（ω）对所有t保持sbp-a.s∈ R+和满意（Nxt）t≥0∈ M（P，F）和（Nxτn）∧tSiτn∧t） t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E和yi=1，d和n∈ N、 其中F-停止时间{τN}N∈如推论4.6的证明。在最初扩大的过滤中，强可预测的表示性反过来，这意味着（NxtSit）t≥0∈ Mlo c（P，F），适用于所有x∈ E.根据命题4.7，S在(Ohm, F、 这意味着∈ E.SincebNxt（ω）=Nxt（ω）对所有t保持sbp-a.s∈ R+，这意味着bn=0，直到abP消失集。再次通过命题4.7，证明了b在（b）上具有强可预测表示性Ohm,英国石油公司）。特别地，上面的引理允许我们证明以下鞅表示结果，它同时适用于{（mxt）t族≥0:x∈ E} 可测量的过程，例如（mxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E.这代表了本小节的关键结果。提案4.9。假设S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P）。

让E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ mxt（ω）be a（be）O（F））-可测函数满足自由[|mxt |]λ（dx）<∞, 尽管如此，t∈ R+，这样（mxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ 然后存在一个（BE）P（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ θxt（ω）∈ Rdθx∈ Lm（S；P，F），适用于所有x∈ E、 使得mxt（ω）=mx（ω）+（θx·S）t（ω）对所有t保持sbp-a.S∈ R+。证据根据引理4.5，它将th保持在（m·t）t≥0∈ M（bP，bF）。引理4.8给出了P（bF）-可测函数b的存在性Ohm ×R+ （x，ω，t）7→eθxt（ω）∈ Rdθ·∈ Lm（bS；bP，bF）使得m·t=m·+（eθ··S）对于所有t∈ R+。因为P（bF）=BE P（F），映射（x，ω，t）7→eθxt（ω）是（BE P（F））-可测量。此外，注意到[bS，bS]（x，ω）=[S，S]（ω），forall（x，ω）∈BOhm, 事实是eθ·∈ Lm（bS；bP，bF）和[Jac79，§（4.59）]可以很容易地表示eθx∈ Lm（S；P，F），适用于所有x b延伸到集合b∈ 比沃斯λ（B）=1。然后定义θxt（ω）：=eθxt（ω）1B（x），对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohm 所以θx∈ Lm（S；P，F），适用于所有x∈ E.福尔特∈ R+，它认为BPm·t-m·=（θ··S）t=泽伊{mxt-mx=（θx·S）t}λ（dx）=ZBE{mxt-mx=（eθx·S）t}λ（dx）=λ（B）=1，这里我们取在x中可测的随机积分的一个版本，它由[SY78，定理2]存在。特别是，如果假设2.2成立，引理2.3表明函数（x，ω，t）7→ qxt（ω）满足命题4.9的假设。因此，存在一个（BE） P（F））-可测函数e×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ Hxt（ω）∈ RDHX∈ Lm（S；P，F），适用于所有x∈ E、 使得（4.4）qxt（ω）=qx（ω）+（Hx·S）t（ω）bP-a.S.对于所有t∈ R+4.4。辅助表示结果。在这一小节中，我们结合了前面两小节中获得的结果，并给出了一个辅助表示结果，它将成为第2.4节中所述鞅表示推导的关键步骤。

以下注意，鉴于[SY78]第133页的注释，假设(Ohm, A、 在[SY78，定理2]的证明中不需要P）是可分的。20 C.FONTANAresult依赖于命题4.4和4.9，并表明每个局部鞅(Ohm, G、 P）可以表示为S的随机积分，直到合适的“数值变化”。提案4.10。假设假设2.2成立，过程S=（St）t≥0在上具有强大的可预测表示属性(Ohm, F，P）。Le t M=（Mt）t≥0∈ M（P，G）。然后存在一个（BE） P（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ Kxt（ω）∈ RDX∈ Lm（S；P，F），适用于所有x∈ E、 这样（4.5）Mt=qLtqLM+（KL·S）tP-a.s.适用于所有t∈ R+，其中随机积分在G证明中被理解为半鞅随机积分。如果我∈ 命题4.4给出了a（BE）的存在性 O（F））-可测函数（x，ω，t）7→ mxt（ω）使得（qxtmxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E、 因此，对于所有的t，Mt=mLtholdsP-a.s∈ R+。自映射（x，ω，t）7→ qxt（ω）也是（BE） O（F））-可测量（见引理2.3）andREE[|qxtmxt |]λ（dx）=E[|Mt |]∞, 尽管如此，t∈ R+，命题4.9意味着存在Rd值（BE P（F））-可测函数（x，ω，t）7→ Kxt（ω）满足Kx∈ Lm（S；P，F），对于所有x∈ E、 使得（4.6）qxt（ω）mxt（ω）=qx（ω）mx（ω）+（Kx·S）t（ω）bP-a.S.对于所有t∈ R+。根据[SY78，定理2]，存在一个（BE O（F））-随机积分Kx·S的可测版本。此外，由于每个F-半鞅都是G-半鞅（见[Jac85，定理1.1]），[Jeu80，命题2.1]意味着对于每个x，Kx·S都被定义为G中的S-半鞅随机积分∈ E（即Kx∈ L（S；P，G）每x∈ E） 。

此外，在[JS03，命题III.6.25]的观点中，随机积分Kx·S在考虑F和G两个滤波器时是相同的，因此在考虑滤波器G时，也存在一个x-可测版本的Kx·S。目前假设G-可预测过程Kl=（KLt）t≥0属于L（S；P，G），随机积分KL·S在G中有很好的定义。此外，（Kx·S）| x=Lis与KL·S不可区分。如果Kx=k（x）k，对于一些可测有界函数k:E，这一点很明显→ R和一些F-可预测边界过程K=（Kt）t≥0，而一般情况来自单调类参数，使用[SY78，命题5]和随机积分的支配收敛定理（见[Pro04，定理IV.32]）。回顾qLt>0 P-a.s.，我们可以得出结论，对于所有∈ R+，Mt=mLt=qLt（qxtmxt）x=L=qLtqxmx+（Kx·S）tx=L=qLtqLM+（KL·S）tP-a.s.要完成证明，还需要证明KL∈ L（S；P，G）。为此，让Scand Sd分别表示S的连续和纯不连续F-局部m artin gale部分（见[JS03，定理I.4.18]）。根据[Jac85，定理1.1]，Scand是G中的特殊半鞅。因此，让Sc=eS（c）+A（c）和Sd=eS（d）+A（d）分别表示初始放大过滤21Sd中Scand的强可预测表示性质的G-正则分解，其中（c），eS（d）∈ Mlo c（P，G）和DA（c），A（d）是G-可预测的变化过程。

因此，我们可以写=S+Sc+Sd=S+eS（c）+eS（d）+A（c）+A（d）。在证据的剩余部分，我们将根据[Jac85]证明KL∈ Lm（eS（c）；P、 G）∩ Lm（eS（d）；P、 G）∩ L（A（c）；P、 G）∩ L（A（d）；P、 G） L（S；P，G），其中L（A（c）；P、 G）表示所有Rd值G-可预测过程的空间，这些过程对于有限变化过程A（c）是可积的（在[JS03，III.§6b]的意义上），对于L（A（d）也是可积的；P、 G）。（i） ：假设每x∈ E、 它认为Kx∈ Lm（S；P，F） Lm（Sc；P，F）。因此，Rt（Kxs）dhSc，SciFsKxs<∞ P-a.s.适用于所有t∈ R+和x∈ E.鉴于[Jac79，备注9.20]，我认为heS（c），eS（c）iG=hSc，SciF。然后应用公式（4.1）得出，对于所有t∈ R+，PZt（吉隆坡）dheS（c）、eS（c）iGsKLs<∞= PZt（吉隆坡）dhSc，SciFsKLs<∞=ZEEhqxt{Rt（Kxs）dhSc，SciFsKxs<∞}iλ（dx）=ZEE[qxt]λ（dx）=1，从而证明KL∈ Lm（eS（c）；P、 G）。（ii）：根据[Jac85，定理2.1]，它认为A（c）=R·qLs-dhSc，qxiFsx=L=R·qLs-dhSc，SciFsHLs，其中第二个等式来自（4.4）。步骤（i）中使用的相同参数可以证明G-可预测过程HL=（HLt）t≥0满意度（HLs）dhSc，SciFsHLs<∞ 所有的P-a.s∈ R+。因此，事实是RT（KLs）dhSc，SciFsKLs<∞ P-a.s.适用于所有t∈ R+（见第（i）步）和渡边坤田不等式意味着RT |（KLs）dhSc，SciFsHLs |∞ P-a.s.适用于所有t∈ R+。自进程1/qL以来-是局部有界的，这证明了KL∈ L（A（c）；P、 G）。（iii）：让uS（ω；dt，dy）表示S的跳跃度量，在[JS03，位置II.1.16]的意义上，并且νS，F（ω；dt，dy）表示F中相应的补偿度量。如果W：Ohm ×R+×Rd （ω，t，y）7→W（ω，t，y）是a（P（F） BRd）-可测函数，我们用W表示* （uS）- νS，F）关于随机测度uS的随机积分（当它存在时）- 按照[JS03，定义II.1.27]的定义，νS，F。

我们用Glo c（uS；F）表示所有（P（F）的集合 BRd）-可测函数，如s-tochastic积分W*（uS）-νS，F）存在。鉴于[JS03，推论II.2.38]，它支持Sd=y* （uS）- νS，F），其中y表示映射（ω，t，y）7→ Y∈ 因为S在上有StrongPredicted representation属性(Ohm, F、 P），纯间断F-局部鞅partqx，dof qx表示形式为qx，d=（qx-Ux）* （uS）- νS，F），每x∈ E、 这里是映射（x，ω，t，y）7→ Ux（ω，t，y）是（BE） P（F） BRd）-可测量且可选择以满足[Jac85，命题3.14]的性质（ii）-（iii）-（iv）。此外，[Jac85，定理4.1]表明，滤波器G中的补偿器νS，Gofu由（4.7）νS，G（ω；dt，dy）给出=1+UL（ω）（ω，t，y）νS，F（ω；dt，dy）。22 C.丰塔纳比（4.6），它认为（Kx）S=（qxmx）bP-a.s.，因此（KL）S=（qLmL）P-a.s.自（qxtmxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E、 [ACJ15，命题4]意味着（qLtmLt）t≥0是G中一个特殊的半马丁盖尔。在图尔n中[JS03，位置II.2.29]，这意味着过程P0<s≤·（（吉隆坡）（Ss）∧ |（吉隆坡）Ss |=P0<s≤·(（qLmL）s）∧ |（qLmL）s |是G-局部可积的。因此，尽管如此∈ R+，它认为，（4.8）ZtZRd（吉隆坡）Y∧（吉隆坡）YνS，G（ds，dy）=ZtZRd（吉隆坡）Y∧（吉隆坡）Y1+UL（s，y）ds，νS<∞ 我们使用的P-a.s.（4.7）。而且自从Kx∈ Lm（S；P，F） Lm（Sd；P，F），每x∈ E、 Sd=y* （uS）- νS，F），它认为（Kx）Y∈ Glo c（uS；F），每x∈ E（参见[HWY92，定理11.23]）。反过来，注意到RrdyνS，F（{t}×dy）=0直到一个消失集，并且根据[JS03，定理II.1.33]，这意味着，对于所有∈ R+，ZtZRd（Kxs）Y∧（Kxs）YνS，F（ds，dy）<∞ P-a.s。

为了所有的x∈ E.根据公式（4.1），最后一个属性意味着，对于所有t∈ R+，（4.9）PZtZRd（吉隆坡）Y∧（吉隆坡）YνS，F（ds，dy）<∞=ZEEhqxt{RtRRd（（Kxs）y）∧|（Kxs）y |）νS，F（ds，dy）<∞}iλ（dx）=ZEE[qxt]λ（dx）=1。此时，利用（4.8）-（4.9），在[Jac85]中等式（4.9）和（4.13）之间给出的相同参数（带（KLt）y=：W（t，y）和νS，F（dt，dy）=：ν（dt，dy），在[Jac85]的符号中允许推导出，对于所有t∈ R+，ZtZRd（吉隆坡）yUL（s，y）νS，F（ds，dy）<∞ P-a.s.由于过程a（d）允许表示a（d）=R·RRdyUL（s，y）νs，F（ds，dy）（参见[Jac85，定理2.5的证明]），这证明了KL∈ L（A（d）；P、 G）。（iv）：由于SDS是G中一个特殊的半鞅，G-局部鞅（d）允许代表（d）=y*（uS）-νS，G）（见[Jac79，提案3.77]）。G-可预测过程klm（eS（d）；P、 G）当且仅当过程（P0<s≤·（（吉隆坡）eS（d）s）1/2是G-局部可积的。自从eS（d）=Sd-  A（d）=s- A（d），它保持着thatX0<s≤·（吉隆坡）eS（d）s!1/2=X0<s≤·（吉隆坡）党卫军-（吉隆坡）A（d）s!1/2≤X0<s≤·（吉隆坡）党卫军!1/2+X0<s≤·（吉隆坡）A（d）s!1/2初始放大过滤中的强可预测表示性23≤X0<s≤·（吉隆坡）党卫军!1/2+X0<s≤·（吉隆坡）A（d）s.（4.10）后两个过程都是G-局部可积的。事实上，正如第（iii）步所述，（qLtmLt）t≥0是G中的特殊半鞅，因此过程（P0<s≤·(（qLmL）s）1/2是G-局部可积的。自（吉隆坡）S=（qLmL），如步骤（iii）所示，可以得出（4.10）中出现的第一个过程是G-局部可积的。（4.10）中出现的第二个过程也是G-局部可积的，因为如步骤（iii）所示，KL·A（d）被定义为一个有限变化过程。这证明了KL∈ Lm（eS（d）；P、 G），从而完成证明。备注4.11。

请注意，随机积分KL·S允许两种可能的解释：第一种，作为G-可预测过程相对于KLS的随机积分；第二种是在x=L时评估的随机积分Kx·S的x-可测量版本。从放大的过滤图G中看，这实际上是命题4.10结果的一部分，即两种解释一致（直至不可区分）。备注4.12。命题4.10和[AFK16，命题3.4]表明，过程（1/qLt）t≥0提供了G-鞅和F-鞅之间的精确联系。在我们的上下文中，进程（1/qLt）t≥0的作用类似于引言中提到的鞅保持概率测度的密度。下面的引理更明确地描述了进程（1/qLt）t的结构≥0并基于[ACJ15，引理5]。引理4.13。假设假设2.2成立，S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P）。然后过程（1/qLt）t≥0允许重新呈现（4.11）qLt=qL-HL（qL）-)·s-qL·[S，qL],这辆车在哪儿 P（F））-可测函数（x，ω，t）7→ Hxt（ω）如（4.4）所示。证据回顾第一次在1/qLtis的定义，对于所有t∈ R+，由[Jac85，推论1.11]得出。命题4.10证明中使用的相同元素表明，（4.4）中的随机积分Hx·sapearing也在放大过滤G中得到了很好的定义，并允许在x中可以测量的版本。此外，它认为HL∈ L（S；P，G）和HL·S=（Hx·S）x=L=qL- qLP-a.s.与[ACJ15，引理5]中类似，是It^o公式与fact24 C的应用。

FONTANAthat[qL，qL]=（qL）c，（qL）c+P0<u≤·(qLu）则表示qL=qL-（qL）-)· qL+（qL-)·（qL）c，（qL）c+X0<u≤·qLu-qLu-+qLu（qLu）-)=qL-（qL）-)· qL+qL（qL-)· [qL，qL]=qL-（qL）-)·qL-qL·[qL，qL]=qL-HL（qL）-)·s-qL·[S，qL],其中，最后一个等式遵循随机积分的结合性。4.5. 第2.4节所述主要结果的证明。我们现在给出第2.4节中给出的结果的证明。根据命题4.10和引理4.13，我们可以完成定理2.6的证明。在这最后一步，命题2.4的结果至关重要。定理2.6的证明。设M=（Mt）t≥0∈ M（P，G）。根据命题4.10，存在一个RDBE P（F））-可测函数（x，ω，t）7→ Kxt（ω）使得（4.5）成立。然后，分部积分公式意味着M=M+KLqL-· S+qLM+（KL·S）-·qL+KL·hS，qLi=M+KLqL-·s-qL·[S，qL]+qLM+（KL·S）-·qL，其中第二个等式利用了hs，qLi=-qLqL-· [S，qL]，这可以通过应用It^o公式轻松验证。继续，引理4.13和命题2.4意味着M=M+KLqL--qLM+（KL·S）-HL（qL）-)·s-qL·[S，qL]= M+KLqL--qLM+（KL·S）-HL（qL）-)· SG（4.12）-KLqL--qLM+（KL·S）-HL（qL）-)·Sηx[[ηx，∞[[p、 Fx=L。关注上述表述中的最后一项，它认为KLqL--qLM+（KL·S）-HL（qL）-)·Sηx[[ηx，∞[[p、 Fx=L初始放大过滤中的强可预测表示性25=qL-·KxηxSηx[[ηx，∞[[-qxmx+（Kx·S）ηx-HxηxSηxqxηx-[[ηx，∞p，F鉴于（4.6），它认为集合{ηx<∞}KxηxSηx=（qxmx）ηx=-qxηx-mxηx-回顾表示（4.4），在集合{ηx<∞} 它认为qxmx+（Kx·S）ηx-HxηxSηxqxηx-= qxηx-mxηx-qxηxqxηx-= -qxηx-mxηx-,从而表明（4.13）消失了P-a.s。

加上（4.12）和定义G-可预测过程（4.14）的规定，φ：=KLqL--qLM+（KL·S）-HL（qL）-),这表明每个鞅(Ohm, G、 P）可以用f形式表示，M=M+~n·SG。由于一般情况下会出现局部化（参见[HWY92，引理13.2]），这就完成了定理2.6的证明。推论2.7的证明。首先注意P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E意味着这个过程Sηx[[ηx，∞分解（2.2）中出现的[[对于λ-a.e.x而言为空∈ E.根据[Jac85，推论1.11]，过程（1/qLt）t≥0的定义很明确。Rd+1-值过程Y:=（1/qL，S/qL）的G-局部鞅性质来自[AFK16，命题3.6]（或[ACJ15，命题9]）。回顾[S，qL]=-qLqL-·[S，qL]（参见定理2.6的证明）并使用分部积分公式，它认为sg=S-qL·[S，qL]=S+qL-·hS，qLi=S+qL-·SqL- s-·qL-qL-· s= S+qL-·SqL- （qL）-s-) ·qL.（4.15）适用于任何∈ L（SG；P，G），设φn:=φ1{k~nk≤n} ，代表n∈ N.每N∈ N、 因为~nnis有界且ql-和S-都是局部束缚的ed，（4.15）意味着φn·SG=ψn·Y，wher e（ψnt）t≥0是由ψn定义的Rd+1值G-可预测局部边界过程，1:=-qL-s-与ψn，i+1:=qL-νn，i，对于所有i=1，d、 自从∈ L（SG；P，G），则随机积分φn·SG在Emery的拓扑中收敛到φ·SG。根据[JS 03，命题III.6.26]，这意味着对于某些ψ，ψn·Y也将不等式拓扑收敛到ψ·Y∈ L（Y；P，G），从而表明~n·SG:~n∈ L（SG；P，G）ψ·Y:ψ∈ L（Y；P，G）.因为L的可分性(Ohm, A、 P）仅用于确保该过程的双F-可预测投影的x-m可测量版本的存在（见备注2.5），这解释了为什么在推论2.7、命题2.9和推论2.10.26 C的公式中不需要可分性假设。