初始扩展的强可预测表示性

命题2.4中出现的可分性假设只需要确保存在一个版本的双F-可预测投影Sηx[[ηx，∞[[这在x中是可测量的，参见[SY78，命题4].2.4。G中的强可预测表示性质。本节包含主要结果的陈述。由于证明是相当技术性的，并且涉及多个中间测试和辅助结果，因此它们被推迟到第4节。我们从下面的定理开始，它代表了中心结果，参考第4.1节以获得其证明的概要。定理2.6。假设假设2.2成立，空间L(Ohm, A、 P）是可分离的。如果S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P），然后进程ssSG=（SGt）t≥（2.2）中定义的0在(Ohm, G、 P）。根据定义2.1，定理2.6表明，如果S在(Ohm, F，P），然后每个局部鞅M=（Mt）t≥0on(Ohm, G、 P）允许所有t的随机积分表示（2.3）Mt=M+（ν·SG）t，P-a.s∈ R+，式中为（ηt）t≥0是一个G-可预测的过程，允许其进行显式表征（见（4.14））。如文献中所述，定理2.6概括了先前在关于初始放大过滤的文献中获得的鞅表示结果。特别是，没有对家庭{qx:x进行假设∈ E} L的条件密度，除了它的存在。在本小节的剩余部分中，我们给出了L的条件密度在附加假设下的一些替代鞅表示结果。

我们从以下内容开始，如[SY78，命题4后的备注1]所述，这种可分性假设在实践中总是得到验证的，因此不需要进一步考虑其推广。初始放大过滤7的强可预测表示性推论（在第4.5节中证明）表明，如果F-鞅qxc只能连续地达到零（而不是由于跳跃），对于λ-a.e.x∈ E、 然后讨论了S的强可预测表示性(Ohm , F、 P）可以很容易地转换为(Ohm, G、 P）关于工艺（qLt）的适当“变更标准”≥0.推论2.7。假设假设2.2成立，P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E.如果过程S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P），然后是Rd+1值进程（1/qLt，St/qLt）t≥0是一个G-局部鞅，并且在上具有强可预测表示性质(Ohm, G、 P）。备注2.8。定理2.6和推论2.7表明，只要P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E、 G中的鞅表示性质可以用SGand（1/qL，S/qL）表示。定理2.6的表示结果显然更一般，并适用于d维过程（即，与原始过程的维数相同）。推论2.7的表示结果不太一般，需要（d+1）维过程。然而，这个过程（1/qL，S/qL）承认了一个重要的解释，尤其是在财务建模的背景下。事实上，在推论2.7的假设下，鉴于[AFK16]，流程QL代表了放大过滤G中S的总投资组合（见[KK07]）。

从这个意义上说，推论2.7表明，鞅r E表示属性可以通过改变数值，选择G中的数值组合作为基准资产，从F转移到G。还要注意的是，从应用的角度来看，过程（1/qL，S/qL）可以立即从模型的基本成分中推导出来，并且不需要任何计算，这与定理2.6中出现的过程不同。如引言中所述，最初扩大过滤的现有鞅表示结果是在更强的假设下获得的，即~ λ（参见[GP98，定理4.3]，[Ame00，定理4.2]，[ABS03，定理3.2]和[CJZ13，建议5.3]）。这种情况对应于下面的建议，这可以很容易地从我们的一般方法中推断出来，如第4.5节所示。提议2.9。假设~ λ保持所有t的P-a.s∈ [0，T]，对于某些固定T<∞. IfS=（St）t∈[0，T]在(Ohm, F、 P），然后deP:=（qL/qLT）dp定义一个概率度量~ P这样∈ Mlo c（eP，G）和S具有强可预测性(Ohm, G、 eP）。在与推论2.7相同的假设下，我们用最后一个鞅表示结果来结束这一小节。作为预备，我们记得，鉴于[Jac85，定理2.5]，SGand（1/qL，S/qL）之间的精确关系的过程如推论2.7的证明所示，见第4.5.8节C.FONTANAhS，qxiFx=Lis充分定义和流程-qL-·hS，qxiFx=Lis上的局部鞅(Ohm, G、 P）。在[CJZ13，命题5.5]中建立的以下结果（在第4.5节中证明）h，在更强大的假设下~ λP-a.s.f或所有t∈ R+。推论2.10。假设假设2.2成立，P（ηx<∞) = λ-a.e.为0。

十、∈ E.如果S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P），然后进程ss¨SG:=S-qL-· hS，qxiFx=Lhas是上的强可预测表示属性(Ohm, G、 P）。我们可以观察到，虽然推论2.7将鞅表示性质与数值的变化联系在一起（见备注2.8），但推论2.10将鞅表示性质与局部等价的度量变化联系在一起，如第4.5.2.5节给出的证明所示。两个例子。现在，我们给出了两个简单的例子，说明在最初放大的过滤G中，过程具有强可预测的表示特性。为简单起见，我们考虑固定时间范围T<∞. 在这两个例子中，假设2.2都是满足的，但等价物是νt~ λ不成立。因此，现有文献并未涵盖以下鞅表示结果。我们首先给出了一个例子，其中条件密度可以通过跳跃达到零，然后给出了一个例子，其中条件密度只能连续达到零（即P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E） 。在金融背景下，S代表arisky资产的价格（见第3节），这两个例子承认了与内幕信息建模相关的有趣解释，并分别在[AFK16]和[CT15]中进行了考虑。2.5.1. 一个基于泊松过程的例子。设N=（Nt）t∈[0，T]是标准泊松过程，F=（Ft）T∈[0，T]其P-增强自然过滤，用{τn}n表示∈N的ju mp乘以N。我们让A=f，考虑随机变量L=N以及相应的初始放大过滤G。

与[AFK16，示例1.5.3]类似（另见[GVV06，§4.3]），可以简单地检查每n∈ N、 qnt=P（L=N | Ft）P（L=N）=et（T- t） n-NtTnn！（n）- （新界）！{Nt≤n} ，对于所有t<t，且qnT=eTT-nn！1{NT=n}，从而表明假设2.2是满足的。同时观察条件密度（qnt）t∈[0，T]在τn+1处跳到零（如果τn+1≤ T），表示ηn=τn+1，表示所有n∈ N.补偿泊松过程S:=（Nt）- t） t∈[0，T]在上具有强可预测的representationproperty(Ohm, F，P）（参见[JYC09，提案8.3.5.1]）。因此，理论假设如二次变化[·，·]，可预测的二次变化取决于过滤。根据[Jac85，定理2.5]，这里存在一个（BEP（F））-映射（x，ω，t）7的可测版本→ hS，qxiFt（ω），它在集合{qx上定义得很好-> 0}. 因此，hS，qxiFx=L注意到在x=L时评估的F-可预测二次变化。初始放大过滤92.6中的强可预测表示特性得到满足，过程SG=（SGt）t∈（2.2）中定义的[0，T]在(Ohm, G、 P）。此外，SGt可以显式表示如下：（2.4）SGt=（Nt- （t）-NTXn=1{τn≤t}1.-T- τnNT- n+1+ （t）- τNT∧ t） 。事实上，注意到[S，qL]=P0<u≤·怒族qLu=PNTn=1qLτn{τn≤·}而且qLτn=eτn（T- τn）NT-NTNT！（新界）- n） !！1.-T- τnNT- n+1,它认为qL·[S，qL]=NTXn=1{τn≤·}1.-T- τnNT- n+1.此外，请注意Sηn[[ηn，T]=1[[τn+1，T]]，对于所有n∈ 因此，鉴于命题2.4，为了证明（2.4），仍然需要计算递增过程（1{τN+1）的双F-可预测投影≤t} ）t∈[0，T]。观察{τn+1≤ t} ={Nt≥ n+1}，所以1{τn+1≤t} =fn（Nt），其中fn（x）：=1{x≥n+1}。根据[JYC09，命题8.2.3.1]，N的最小生成元L由L（f）（·）=f（·+1）给出- f（·），对于任何有界可测函数f。

因此，流程fn（Nt）-ZtL（fn）（Nu）du=1{τn+1≤t}-Zt{n≤Nu<n+1}du=1{τn+1≤t}- （τn+1）∧ T- τn∧ t） 是局部鞅吗(Ohm, F、 P），每n∈ N.通过有界子鞅（1{τN+1）的Doob-Meyer分解≤t} ）t∈[0，T]，它也是上的一致可积鞅(Ohm, F、 （参见[JS03，定理I.3.15]）。根据[HWY92，推论5.31]，这意味着（τn+1∧·-τn∧·)是（1{τn+1）的对偶F-可预测投影≤t} ）t∈[0，T]，对于所有n∈ N、 因此提供（2.4）。2.5.2。一个基于布朗运动的例子。如[CT15，第5.1节]所述，让我们定义流程=（St）t∈[0，T]乘以S:=1+W，其中W=（Wt）T∈[0，T]是标准布朗运动，f=（Ft）T∈[0，T]其P-增强的自然过滤。我们让A=F，并考虑离散变量L=1{inft∈[0，T]St>0}。由于L是一个离散的随机变量，假设2.2成立（参见[Pro04，定理VI.10的推论2]），并且在g[C T15]之后，我们可以计算qt=P（infu∈[0，T]Su>0 | Ft）P（infu∈[0，T]Su>0）=1+P（infu∈[0，T]Su>0）rπZσ∧T√T- 东南方-Ss2（T）-s） dWs，qt=P（infu∈[0，T]St≤ 0|Ft）P（infu∈[0，T]Su≤ 0)= 1 -P（infu）∈[0，T]Su≤ 0）rπZσ∧T√T- 东南方-Ss2（T）-s） dWs，其中σ：=in f{t∈ R+|St=0}。观察qand qcan以严格的正概率连续地达到零。因为W在空间上具有强可预测的表示性质(Ohm, F、 P），推论2.10的假设是满足的。注意到qLt=qt{σ>T}+qt{σ≤T}，10 C.Fontana上的强可预测表示性质(Ohm, G、 P）与流程“SGt=St”相关的保持-ZtqLsdhS，qxiFsx=L=St-{infu∈[0，T]Su>0}P（infu∈[0，T]Su>0）rπZtqs√T- 东南方-Ss2（T）-s） ds+{infu∈[0，T]Su≤0}P（infu∈[0，T]Su≤ 0）rπZσ∧tqs√T- 东南方-Ss2（T）-s） ds。3.内幕信息下的套期保值在本节中，我们研究了带有内幕信息的抽象金融市场中鞅表示性质的含义。

为便于演示，我们考虑固定时间范围T<∞ 一个Rd值局部鞅S=（St）t∈[0，T]在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P）。在本节中，我们还假设初始σ场是平凡的。如第2.2节所述，我们考虑一个随机变量L和相关的初始放大过滤G，并假设假设假设2.2满足，因此{qx:x∈ E} 定义明确且A:=GT=FT∨ σ（L）（见引理4.2）。对上述设置的解释如下。过程S代表在市场上交易的d风险资产的价格（相对于一些基准证券贴现），过滤F代表每个市场参与者公开获得的信息。相反，随机变量L代表一个额外的信息（内幕信息），只有一些知情的代理才能获得这些信息。知情的代理可以在同一组证券上交易，而不知情的代理在选择策略时可以依赖其私人信息。对于H∈ {F，G}，我们用H（H）表示基于信息流H的容许策略集，即H（H）：=H∈ L（S；P，H）：（H·S）t≥ -所有t的P-a.s∈ [0，T]，对于一些∈ R+,这相当于排除了需要无限信用额度的交易策略。数学金融中的一个基本问题是连续债权的套期保值。我们将任何非负随机变量ξ解释为一个偶然目标。关于过滤H的套期保值问题∈ {F，G}包括找到一个策略∈ H（H）使得ξ=vH（ξ）+（H·S）Tholds P-a.S.，对于某些初始财富vH（ξ）。

如果这是可能的，那么策略H被称为复制或有索赔ξ，而vH（ξ）代表了复制ξ并获得信息流H的初始成本。如果每个有界或有索赔都可以复制，那么金融市场就被称为是完整的。除了自身的利益外，初始放大过滤问题中的强可预测表示性在数学金融中也有基本应用，尤其是在定价和投资组合优化方面。因为S在(Ohm, F、 P），众所周知，每个未定权益ξ∈ L+（FT）可以复制。实际上，必须考虑非负F-鞅M=（Mt）t∈[0，T]由Mt定义：=E[ξ| Ft]，适用于所有T∈ [0，T]。然后，根据定义2.1，存在一个Rd值过程H∈ Lm（S；P，F）使得ξ=MT=M+（H·S）TP-a.S。此外，它认为（H·S）t=MT- M≥ - E[ξ]，从而表明H∈ H（F）。复制ξ的初始成本由vF（ξ）=M=E[ξ]给出。这解决了anFT可衡量或有权益的套期保值问题，从一个不知情的代理人有权获得信息流F的角度来看。显然，一般不存在GT可衡量或有权益的F-可预测套期保值策略。以下命题是本节的核心结果，表明假设2.2与金融市场的完整性基于(Ohm, F、 P）确保金融市场基于(Ohm, G、 P）也是完整的（达到σ（L）-可测量的初始财富）。提议3.1。假设假设2.2成立，S=（St）t∈[0，T]在上具有strongpredictable representation属性(Ohm , F、 P）。设ξ为有界非负GT可测随机变量。

然后存在一个策略H∈ H（G）以初始成本vg（ξ）=E[ξ/qLT |σ（L）]复制ξ。证据设M=（Mt）t∈[0，T]是由Mt定义的非负G-鞅：=E[ξ/qLT | Gt]，对于所有T∈ [0，T]。根据下面的命题4.10（回顾所有x的qx=1）∈ E、 因为在这一部分中，Fis被认为是微不足道的），所以存在一个G-可预测的过程，比如thatqLtEξqLT燃气轮机= qLtMt=M+（KL·S）t，所有t的P-a.S∈ [0，T]，其中KL∈ L（S；P，G）。自ξ≥ 0 P-a.s.，它认为（KL·s）t≥ -MP-a.s.适用于所有t∈[0，T]。此外，还讨论了ξ的有界性以及过程（1/qLt）t的上鞅性质∈[0，T]（参见[AFK16，命题3.4]或[ACJ15，引理5]）得出≤ C P-a.s.，对于某些C∈ R+，因此表明KL∈ H（G）。对t=t y ieldsξ=E[ξ/qLT |σ（L）]+（KL·S）TP-a.S.的上述表达式进行评估，从而证明该主张。特别是，上述命题可以应用于FT可测量的未定权益ξ。在这种情况下，对于不知情的代理人和知情的代理人，都存在一种对冲策略。然而，由于这两个代理可以访问不同的信息流（分别为F和G），对冲策略不一定相同，复制ξ的初始成本将取决于可用信息。这是以下推论的内容，这表明在即将发表的论文中，我们将把目前的结果应用于存在可以产生套利机会的内部信息的效用最大化问题，通过依赖[CCFM17]12 C.Fontana的对偶方法，知情的代理人总能利用内幕信息，以较低的成本复制任何可测量的或有权益。推论3.2。假设假设2.2成立，S=（St）t∈[0，T]在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P）。

然后，对于每一个有界的非负FT可测随机变量ξ，它认为vG（ξ）≤ vF（ξ）。证据让我们来看看→ R是一个有界可测函数。下面的公式（4.1）给出g（L）ξqLT= Eg（L）ξqLT{qLT>0}=ZEg（x）E[ξ1{qxT>0}]λ（dx）=Ehg（L）Eξ1{qxT>0}x=Li，其中期望E[ξ1{qxT>0}]可通过Fubini定理测量。通过函数g（·）的任意性，这意味着E[ξ/qLT |σ（L）]=E[ξ1{qxT>0}]|x=L。然后，该主张由命题3.1遵循，指出E[ξ1{qxT>0}]≤ E[ξ]=vF（ξ），每x∈ E在上述推论的背景下，对于给定的未定权益ξ，当复制ξ时，两个值vF（ξ）和vG（ξ）之间的差异可被视为随机变量L中包含的附加信息的货币价值。备注3.3（关于套利的可能性）。自从∈ Mlo c（P，F），在信息流F的基础上交易S的市场不允许套利（在没有风险消失的免费午餐的意义上，见[DS94]）。然而，当过滤扩大到G时，流程S可能会允许免费午餐，带有van ishing风险，甚至是第一种套利（如[AFK16，第1.5.3节]所示，例如第2.5.1节中考虑的示例中的情况）。如[AFK16，定理1.12]和[ACJ15，定理6]所示，条件P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ 推论2.7和2.10中出现的a是一个必要且有效的条件，以便在最初扩大的过滤G中排除任何半鞅S的第一类套利。然而，我们想指出的是，本节的结果并不取决于套利的存在，这意味着即使内幕信息产生套利，市场也可以是完整的。4.证明和辅助结果在本节中，我们给出了第2节所述结果的证明，以及几个辅助结果。