初始扩展的强可预测表示性

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英文标题：
《The strong predictable representation property in initially enlarged
  filtrations under the density hypothesis》
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作者：
Claudio Fontana
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the strong predictable representation property in filtrations initially enlarged with a random variable L. We prove that the strong predictable representation property can always be transferred to the enlarged filtration as long as the classical density hypothesis of Jacod (1985) holds. This generalizes the existing martingale representation results and does not rely on the equivalence between the conditional and the unconditional laws of L. Depending on the behavior of the density process at zero, different forms of martingale representation are established. The results are illustrated in the context of hedging contingent claims under insider information.
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中文摘要：
我们研究了最初用随机变量L放大的过滤中的强可预测表示性。我们证明了只要Jacod（1985）的经典密度假设成立，强可预测表示性总是可以转移到放大的过滤中。这推广了现有的鞅表示结果，不依赖于L的条件定律和无条件定律之间的等价性。根据密度过程在零处的行为，建立了不同形式的鞅表示。研究结果以内幕信息下的或有权益套期保值为背景进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_strong_predictable_representation_property_in_initially_enlarged_filtrations.pdf (409.06 KB)

2022-5-8 22:20:32 上传

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关键词：Presentation Mathematical Quantitative Differential Applications

在密度假设下，最初扩大过滤的强可预测表征性质是Laudio FONTANAAbstract。我们研究了最初用随机变量L放大的过滤中的强可预测表征性质。我们证明，只要[Jac85]的经典密度假设成立，强可预测表征性质总是可以转移到放大的过滤中。这推广了现有的鞅表示结果，不依赖于L的条件定律和无条件定律之间的等价性。根据零密度过程的行为，建立了不同形式的鞅表示。这一结果在内幕信息下的或有权益套期保值中得到了说明。1.引言过滤放大理论旨在理解（半）鞅在引入额外信息时的行为。特别是，初始过滤放大对应于将一些随机变量L生成的信息引入参考过滤F=（Ft）t的初始σ场≥0，从而产生初始放大的过滤G=（Gt）t≥0.虽然过程的鞅性质通常在从参考滤波器F传递到放大滤波器G时丢失，但半鞅性质可以在对随机变量L的相当自然的假设下保留。特别地，在开创性的论文[Jac85]中，已经证明，如果L的Ft条件律相对于其无条件律是绝对连续的，则对于所有的t，每个F-半鞅都是G-半鞅∈ R+。

这种情况（也称为贾科德密度假说）在扩大过滤的理论中起着重要作用，并被广泛应用于金融数学，尤其是在内幕信息建模方面（参见[GP98、AIS98、Ame00、GP01、Bau03、Cam05、EL05、GVV06、ACJ15、AFK16]）。日期：2010年9月6日数学科目分类。60G07，60G44。关键词和短语。初步扩大过滤；密度假说；鞅表示性质；套期保值；内幕消息。作者感谢Huy N.Chau、Andrea Cosso和2015年伦敦-巴黎数学金融学士工作室的与会者就本文主题进行了有价值的讨论，并感谢副主编和评审们详细而深刻的评论，这些评论有助于改进论文。2 C.Fontana在本文中我们加入了以下基本问题：假设每个F-局部鞅都可以写成给定F-局部鞅S=（St）t的随机积分≥0，是否存在G-局部鞅SG=（SGt）t≥0（如果是的话，它与S有什么关系），这样每个局部鞅都可以写成SG的随机积分？换句话说，是否有可能将强可预测表示属性从原始过滤F转移到初始放大的过滤G？假设雅科德密度假设的有效性，我们将全面地回答这个问题。由于鞅表示结果在数学金融、随机滤波和倒向随机微分方程中起着基础性作用，上述估计已经在几篇论文中进行了研究。

特别是，初始放大过滤中的鞅表示定理首先由[GP98]在布朗环境中建立，然后由[Ame00，ABS03，CJZ13]在更一般的环境中建立。然而，据我们所知，现有的鞅表示结果总是假设雅科德密度假设的一个更强版本，即Ft条件定律和L的无条件定律之间的等价性，对于所有t∈ R+。相比之下，在本文中，我们将只假设一个绝对连续性关系，如原始文件[Jac85]中所述。这似乎是对现有文献的一个轻微概括，但恰恰相反，它需要对鞅表示性质采用不同的方法。此外，它还可以研究一些现有结果未涵盖的有趣示例，这些示例对于内幕信息的建模特别重要。如果雅科德的密度假设是L的条件定律和无条件定律之间的等价性，如之前文献中所假设的，那么关键工具是由一个等价的概率测度表示的，该测度使得随机变量L独立于原始过滤F，并且在该测度下，每个F-鞅也是一个G-鞅。这种度量的概念在[ABS03]中被称为鞅保持概率度量，可以追溯到早期关于扩大过滤的工作，也出现在[FI93]中。与Girsanov定理一起，该度量允许在F和G之间轻松移动，从而允许将可预测的表示属性从F转移到G。

相比之下，如果只假设Jacod的密度假设以[Jaco85]的绝对连续形式成立，则保留鞅p的概率测度可能不存在（至少在原始概率空间上），并且必须依赖不同的方法。关于更详细的介绍，请参考第4.1节，让我们简要描述一下我们在初始放大过滤中对一般martin gale表示的方法，假设[Jac85]中所述的Jacod密度假设的有效性，以及F-局部鞅在F中具有鞅表示性质。首先，作为初步步骤，我们将研究初始放大过滤G的一般结构，建立其正确的连续性，并根据F-鞅的参数化族对G-鞅进行有用的刻画。作为第二步，我们得到了一个同时适用于f-鞅的参数化f族的所有元素的表示结果。最后，根据[SY78]关于随机积分的结果——最初放大的过滤3中的强可预测表示性质，并根据一个参数，我们返回放大的过滤G，以获得所需的鞅表示。在最后一步中，一个关键因素是[ACJ15]中最近建立的F-局部鞅的G-最优分解，以及[AFK16，ACJ15]关于初始放大过滤中F-局部鞅行为的结果。本文所采用的方法在初始放大过滤中建立鞅表示性质，关键是利用了Jacod的密度假设。然而，证据中使用的一些技术已经出现在扩大过滤的理论中。

特别是，参考以下章节以获得更精确的参考文献，第4.2节中关于G-鞅结构的结果与[CJZ13，JLC09，EKJJ10，GVV06]中的类似结果有关。此外，即使鞅保留概率测度不一定存在于原始概率空间上，我们也证明了存在一个过程，在F-鞅和g-鞅之间起着类似的作用，并提供了一个精确的联系（见Remark4.12）。后一个事实也与[Son87]中发展的局部解方法有关，该方法基于在辅助概率空间上局部构造鞅保持概率测度的观点。通过将测量变化与过滤变化相结合，可以证明局部解决方法为过滤问题的扩大提供了一种通用方法（最近的报道见[S on 15a]）。由于Jacod的密度假设可以嵌入局部解方法（见[Son15a，第6.1节]），该方法也可以提供一种策略，替代本文中采用的策略，以证明初始放大过滤中的鞅r表示性。[JS15]中采用了局部解方法，在过滤相对于非负随机变量逐步（而非初始）扩大的情况下，建立了关于强可预测表示性有效性的一般结果。我们还提到，当F被一个满足Jacod密度假设的非负随机变量逐步放大，并且在所有F-鞅都是连续的附加假设下，在[JLC10]中得到了amartingale表示结果。本文的结构如下。第2节介绍了概率框架、主要结果陈述和两个示例。

特别是，我们给出了几个备选的鞅表示结果，这取决于随机变量L的条件密度是否达到零（见第2.4小节）。第3节介绍了内幕信息下或有权益套期保值的应用。第4节包含第2节所述结果的所有证明，以及一些辅助结果。最后，附录包含第4.3.2小节的替代方法。设置和主要结果2。1.符号和序言。在本文中，我们将研究几个随机基。因此，我们为泛型概率空间引入以下符号(Ohm′, A′，P′）被赋予过滤F′=（F′t）t≥0满足右连续性和P′-完备性的一般条件。4 C.FONTANAWe参考[JS03]和[HWY92]了解所有与随机过程和随机积分有关的未解释概念M（P′，F′）（Mlo c（P′，F′），resp.）表示所有马丁鞅（分别为局部鞅）的集合在(Ohm′, F′，P′（鉴于[JS03，备注I.1.37]，我们将始终假设局部鞅有c`adl`ag路径）；o如果X=（Xt）t≥0是Mlo c（P′，F′）中的一个Rd值过程，我们用Lm（X；P′，F′）表示所有Rd值F′-可预测过程的集合，这些过程在局部马丁盖尔意义下，在测度P下可积如果X=（Xt）t≥0是一个Rd值F′-半鞅，我们用L（X；P′，F′）表示所有Rd值F′-可预测过程的集合，在半鞅意义下，这些过程在测度P下可积。采用[JS03]的符号，我们用（H·X）t:=R（0，t）表示H关于X的随机积分，对于所有t∈ R+，其中（H·X）=0。

我们分别通过O（F′）和P（F′）off′-可选和F′-可预测σ场在Ohm′×R+。让我们回顾一下强可预测表示性的概念（参见[Jac79，第四章]以及[HWY92，第13章]关于一维情况），这里是关于anRd值局部鞅X=（Xt）t的公式≥0在一般的过滤概率空间上(Ohm′, A′，F′，P′）。定义2.1。局部鞅X=（Xt）t≥据说0在上具有强可预测表示属性(Ohm′, F′，P′）ifMlo c（P′，F′）=ζ+ζ·X:ζ∈ L（F′）和ν∈ Lm（X；P′，F′）,L（F′）表示所有F′-可测随机变量的集合。换言之，局部鞅X在上具有强可预测表示性质(Ohm′, F′，P′）当且仅当s空间零点上的每个局部鞅都可以写成关于X的astochastic积分。在这种情况下，局部鞅X也被称为具有关于X的（强）鞅表示性质(Ohm′, F′，P′）.2。背景作为我们框架的第一个主要组成部分，我们考虑概率空间(Ohm, A、 P）被赋予过滤F=（Ft）t≥0满足右连续性和P-完全性的一般条件。我们不一定假设初始σ-场是平凡的，并且通常是Wt≥0英尺=F∞- A、 由于包含可能很严格。我们还让S=（St）t≥0是一个给定的Rd值局部鞅(Ohm, F、 P）。作为我们框架的第二个主要组成部分，我们考虑了一个A-可测的随机变量在Lusin空间（E，BE）中的取值，其中BEdenotes是E的Borelσ场→ [0，1]是L的（无条件）定律，因此λ（B）=P（L∈ B） 对所有人都适用∈ 是

然后，我们通过将r和dom变量L的信息添加到初始σ-字段F中来放大过滤F，即，在最初放大的过滤5中，我们认为过滤G=（Gt）t具有强可预测的表示特性≥0由过滤系数（Gt）t的右连续增加给出≥0定义为Gt:=英尺∨ σ（L），对于所有t≥ 0.作为一个辅助工具，我们还将介绍产品空间（bOhm,英国石油公司）viabOhm := E×Ohm,是的 A、 bP:=λ P、 配备正确的连续过滤BF=（bFt）t≥0，由bft定义：=Tε>0（BEFt+ε）。Welet O（bF）和P（bF）分别是与过滤bF相关的可选和可预测的σ场。正如[Jac85]中所述，它认为O（F） O（bF）和BEP（F）=P（bF）。此外，ifA∈ O（bF），那么截面Ax:={（ω，t）∈ Ohm ×R+：（x，ω，t）∈ A} 是O（F）-可测量的吗∈ 最后，我们将bybE[·]表示为关于产品度量EBP的期望算子。2.3. L.对所有t.的条件密度∈ R+，设νt：Ohm ×是→ [0，1]是L的Ft条件定律的正则版本（因为空间（E，be）是Lusin，所以它一直存在）。以下假设将在我们的分析中发挥核心作用。假设2.2。尽管如此，t∈ R+，νt<< λ在P-a.s.意义上成立。假设2.2对应于[Jac85]中引入的经典密度假设。事实上，如[Jac85，命题1.5]（另见[Pro04，定理VI.11]）所示，假设2.2成立，且仅当∈ R+，存在一个正的σ-有限测度γt（E，BE），例如<< P-a.s.意义上的γtholds。下面的引理给出了条件密度的一个良好版本，本质上对应于[Jac85，引理a 1.8]（见第4节的证明）。引理2.3。假设假设2.2成立。

然后存在一个（BE） O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ qxt（ω）∈ t中的R+，c`adl`ag∈ R+这样：（i）对于每一个t∈ R+，νt（dx）=qxtλ（dx）保持P-a.s；（ii）每x∈ E、 过程qx=（qxt）t≥0上有鞅吗(Ohm, F、 P）。每x∈ E和n∈ N、 让我们定义以下F停止时间：ζxn:=inf{t∈ R+|qxt<1/n}和ζx:=inf{t∈ R+| qxt=0}。每x∈ E、 它认为{ζxn}n∈Nis是一个非减量序列，P（limn→∞ζxn=ζx=1，且[ζx]上的qx=0，∞[（另见[Jac85，Lemm a 1.8]）。还要注意的是，由于[Jac85，推论1.11]，它认为P（ζL<∞) = 0，其中ζL（ω）：=ζL（ω）（ω）。如[ACJ15，AFK16]中所述，每x∈ E、 我们考虑Fζx-可测事件∧x:={ζx<∞, qxζx-> 定义（2.1）ηx:=ζx∧x=ζx∧x+∞1.Ohm\\λx，这是一个F-停止时间，表示qx跳到零的时间。6 C.Fontana[Jac85]的一个基本结果是，在假设2.2下，任意F-局部鞅的正则分解可以写成条件密度（在x=L时计算）。然而，G中F-局部鞅的不同类型的分解更适合我们的分析。最近在[ACJ15，定理5]中建立了以下命题，并提供了F-局部鞅（St）t的可选分解（与正则分解相反）≥G.提案2.4中的0。假设假设假设2.2成立，空间L(Ohm, A、 P）是可分离的。然后过程SG=（SGt）t≥0定义为（2.2）SG:=S-qL·[S，qL]+Sηx[[ηx，∞[[p、 Fx=Lis上的局部鞅(Ohm, G、 P）与(Sηx[[ηx，∞[[]p，F表示过程的双F-可预测投影的可测量版本Sηx[[ηx，∞注释2.5。