初始扩展的强可预测表示性

我们从证明引理2.3开始，遵循[Ame00，附录A.1]，它表明了L的条件密度存在一个好的版本。引理2.3的证明。根据[Jac85，引理1.8]，假设2.2意味着负函数（x，ω，t）7上存在O（bF）可测n→ qxt（ω）使（i）-（ii）保持。因为，每x∈ E、 过程qxis F-optional、F-adapted和c`adl`ag[SY78，命题3后的备注1]给出了a（BE）的存在 O（F））-可测函数（x，ω，t）7→ qxt（ω）使得（qxt）t≥0可与（~qxt）t区分≥0，每x∈ E引理2.3W的强可预测表示性质在最初扩大的过滤13中会被多次使用：∈ R+和（BE Ft）-可测函数E×Ohm  （x，ω）7→ fxt（ω）∈ R+，它认为（4.1）E外语教学= EZEfxtqxtλ（dx）=ZEE[fxtqxt]λ（dx）。通常，等式（4.1）可以扩展为可积（be） 可测量的功能。4.1. 定理2.6的证明提纲。定理2.6的证明是相当技术性的，需要几个辅助结果，并且需要处理一些可测性问题。然而，由于这些隐藏的想法相当简单和透明，让我们给出一个证明的概要（参考以下小节了解全部细节）。第一步是证明假设2.2已经暗示了过滤（Gt）的正确连续性≥0，从而扩展了[Ame00，命题3.3]（见引理4.2）。

与公式（4.1）一起，这个性质可以表示每个过程M=（Mt）t≥0∈ M（P，G）可以表示为Mt=mLt，其中（x，ω，t）7→ mxt（ω）是a（BE） O（F））-可测量函数，使得（mxtqxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E（见建议4.4）。在这个阶段，如果进程S=（St）t≥假设0在上具有强可预测的representationproperty(Ohm, F、 P），这意味着表示F-鞅（mxtqxt）t≥0和（qxt）t≥0，每一个∈ E、 分别为mxtqxt=mxqx+（Kx·S）和qxt=qx+（Hx·S）t，其中，对于每个x∈ E.如果随机积分Kx·Sand Hx·S在x中是可测量的，并且在最初放大的过滤G中是有意义的，那么可以在x=L时评估两个随机积分表示。因为qLt>0 P-a.S（见[Jac85，推论1.11]），我们最终可以将分部积分公式应用于Mt=（mLtqLt）/qlt，并获得M in G的随机积分表示。上述论点中的主要问题是，通过将S的强可预测表示性质应用于（mxtqxt）t≥0和（qxt）t≥每个x分别为0∈ E、 上述积分表示中出现的F-可预测过程KX和HX具有关于x的先验不可测性。因此，必须执行（mxtqxt）t的鞅表示≥0和（qxt）t≥0同时适用于所有x∈ E.为此，受最近论文[EI15]的启发，我们将研究产品空间（b）Ohm,bF，bP），并建立该水平上的鞅表示定理（见引理4.8和命题4.9），从而确保被积函数Kx和Hx具有良好的可测性。

人们可以回到原来的空间(Ohm, F、 P）并结合[SY78]和[Jac85]的结果，证明所有随机积分都允许x-可测版本，并在最初放大的过滤G中有意义。在最后一步，我们评估x=L时的积分表示，并按部分进行积分。与命题2.4一起，这将给出SGon的强可预测表示性(Ohm, G、 P）。备注4.1。在开创性的论文[Jac85]中，作者建立了一个（弱）鞅表示结果，它同时保持f或所有{qx:x∈ E} （见[Jac85，提案3.14]）。正如附录14 C.Fontana所详述的，人们可以在当前环境中应用类似的推理，避免引入产品空间（bOhm,bF，bP），以依赖更复杂的工具为代价（尤其是[Jac79，§IV.4d]中关于随机度量和马丁-盖尔表示的精细属性的随机积分）。相比之下，我们的方法只使用了随机演算的基本概念和关于强可预测表示性质的基本事实。4.2. 最初扩大的过滤G的结构。作为证明主要结果的准备，我们首先确定扩大的过滤G的一些初步性质。第一个结果涉及过滤G的正确连续性。如果假设2.2被更强的假设取代，则~ λP-a.s.适用于所有t∈ [0，T]，对于某些固定的视界T<∞,众所周知，过滤是连续的，见[Ame00，命题3.3]和[ABS03，引理2.2]。下面的引理扩展了这个结果，并表明假设2.2实际上有助于确保G引理4.2的正确连续性。假设假设2.2成立。然后G=G.证明。设ξ：E×Ohm → 做一个 FT）-可测量函数，对于某些T∈ (0, ∞).

无论如何∈ Ft，带t∈ [0，T]和g:E→ R b应该是可测量的，使用（4.1）并回顾（qxt）t≥0是一个非负鞅（见引理2.3），因此包含{qxT>0} {qxt>0}对每x保持（最多一个P-nullset）∈ E、 我们在这里ξ（L）1Atg（L）=ZEg（x）Eξ（x）1AtqxTλ（dx）=ZEg（x）Eξ（x）1AtqxT{qxt>0}λ（dx）=ZEg（x）EAtE[ξ（x）qxT | Ft]qxtqxt{qxT>0}λ（dx）=EY（ξ）t（L）1Atg（L）,Y（ξ）t（x）：=E[ξ（x）qxT | Ft]1{qxT>0}/qxT，对于所有x∈ E、 在这里，我们可以得到随机变量ξ（x）qxT的F-可选投影的c`adl`ag和x可测量版本（见[SY78，命题3]）。由于At和g（L）是任意的，并生成σ场Gt，且随机变量Y（ξ）t（L）是Gt可测的，这表明ξ（L）|Gt= Y（ξ）t（L），对于所有t∈ [0，T]。特别是，我认为（4.2）Eξ（L）|Gt+ε= Y（ξ）t+ε（L），对于每个ε>0。通过鞅收敛定理（参见[HWY92，推论2.23]）和（Y（ξ）t（x））t的右连续性∈[0，T]，对于所有x∈ E、 取（4.2）中ε0的极限，得到Eξ（L）|Gt= Y（ξ）t（L），对于所有t∈ [0，T]。ξ和T的任意性∈ (0, ∞) 那么就意味着Gt=Gt，对于所有的t∈ R+。反过来，引理4.2暗示了与初始放大过滤G相关的可选σ-场的重要特征，如以下引理所示。假设2.2有助于确保GHA过滤的正确连续性，这一事实已在[GVV06]中重新标记。然而，提交人没有提供他们的主张的证据。引理4.2的证明源于[Son14，引理6.8]。最初扩大的过滤中的强可预测表示性15引理4.3。假设2.2成立。然后对于eve ry G-可选过程Z=（Zt）t≥0存在一个（BE） O（F））-可测量的函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ zxt（ω）使得Zt（ω）=zL（ω）t（ω）对所有t保持P-a.s≥ 0.证明。

如果（Zt）t≥0∈ M（P，G），th-E[Zn | Gt]=所有t∈ [0，n]，每n∈ 引理4.2的极限给出了a（BE）的存在 O（F））-可测函数Ynt（x），使得zt=Ynt（L）对所有t保持P-a.s∈ [0，n]每n∈ 注意，Yn+1t（L）=Ynt（L）P-a.s.适用于所有t∈ [0，n]。因此，让zxt:=P∞n=1[n-1，n）（t）Ynt（x），证明了该结论适用于任意鞅Z。显然，该结果也适用于任意过程（Zt）t≥形式Zt的0=α（t）Mt，其中α：R+→ R和（Mt）t≥0∈ M（P，G）。根据[DMM92，§XX.22]，σ-场O（G）由该形式的所有过程生成，从而完成了论证。引理4.3与公式（4.1）一起，给出了由x参数化的F-鞅族中G-鞅的一个有用的刻画∈ E.以下命题是[CJZ13，命题3.1]的延伸，适用于假设2.2得到满足，但等价物νt~ λP-a.s.不一定成立。提案4.4。假设假设2.2成立。然后是一个过程（Mt）t≥0是G-鞅当且仅当存在（BE）时 O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ mxt（ω）这样的（mxtqxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E、 Mt（ω）=mL（ω）t（ω）对所有t保持P-a.s∈ R+。证据如果（Mt）t≥0∈ M（P，G），引理a4.3给出了a（BE）的存在性 O（F））-可测函数e×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ emxt（ω）使得Mt（ω）=emL（ω）t（ω）对所有t保持P-a.s∈ R+。让我们，t∈ Q+（其中Q+表示正有理数的s集）与s≤ t并将任意事件视为∈ f和有界可测函数g:E→ R

然后，考虑到公式（4.1）以及（Mt）t的G-鞅性质≥0，它认为ZEg（x）E[emxsqxsAs]λ（dx）=E[emLsAsg（L）]=E[MsAsg（L）]=E[MtAsg（L）]=E[emLtAsg（L）]=E[emLtAsg（L）]=ZEg（x）EhE[emxtqxt | Fs]1Asiλ（dx），（4.3），其中在上一项中，我们采用条件期望E[emxtqxt | Fs]的一个可测量版本（见[SY78，引理3]）。这表明（x，ω）∈ E×Ohm : emxs（ω）qxs（ω）6=E[emxtqxt|Fs]（ω）有零（λ） P） -测量。反过来，如[Jac85，引理1.8]中所述，这意味着集合B:={x∈ E:emxsqxs=E[emxtqxt | Fs]P-a.s.适用于所有s，t∈ 带s的Q+≤ t} 满意度λ（B）=1。然后定义bmxt（ω）：=emxt（ω）1B（x），对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohmx R+，使（bmxtqxt）t∈Q+是一个鞅(Ohm, F、 P），对于所有x∈ E.对于每一个t∈ Q+，它认为P（Mt=bmLt）=P（emLt=bmLt）=ZEE{emxt=bmxt}qxtλ（dx）=ZBE[qxt]λ（dx）=λ（B）=1，其中第一个等式使用P（Mt=emLt）=1，第二个等式来自（4.1）。因此，对于所有的有理数t，Mt=bmLtholds P-a.s∈ Q+。对于t≥ [Jac85，引理1.8]的证明，让我们用所有（x，ω）的集合表示∈ E×Ohm 这样，bmx·（ω）qx·（ω）在每s的有理数上允许从左到右的有限极限∈ [0，t]。对于t>0，集合Ctis Ft可测，以及（bmxtqxt）t的鞅性质∈Q+意味着p（{ω：（x，ω）∈ Ct}=1，每x∈ E.对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohm x R+，定义nxt（ω）：=林斯∈Q+，s↓tbmxs（ω）qxs（ω），if（x，ω）∈Ts>tCs；否则为0。函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ nxt（ω）是O（bF）-可测的，因为nx·（ω）是c`adl`agfor every（x，ω）∈ E×Ohm, 这也是 O（F））-根据[SY78，第3条后的备注1]可测量。因此，每x∈ E、 （nxt）t≥0是鞅（bmxtqxt）t的右连续正则化∈Q+。回顾[0，ζx[]上的qx>0（参见。

[HWY92，定理2.62]），设thenmxt（ω）：=nxt（ω）/qxt（ω）1{t<ζx（ω）}，对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohm ×R+。由于[ζx]上的qx=0，∞[[，它保持mxtqxt=nxt{t<ζx}=nxt，因此（mxtqxt）t≥0还表示（bmxtqxt）t的右连续正则化∈Q+。根据引理2.3，函数（x，ω，t）7→ mxt（ω）是（BE） O（F））-可测量，mx·（ω）是c`adl`ag，对于每一个（x，ω）∈ E×Ohm. 无论如何≥ 0，设{tn}n∈Nbe Q+中的递减序列，使limn→∞tn=t，然后它保持mlt=nLtqLt=limn→∞bmLtn=limn→∞Mtn=MtP-a.s.，其中我们使用了M·=bmL·与（Mt）t的右连续性一起适用于所有正理性P-a.s≥这证明了命题的必要性。相反的含义（效率）后面是（4.3）中使用的相同参数，以及σ-场G是由形式为1Asg（L）的随机变量生成的事实，例如：∈ FSG和g:E→ R是可测量的（见引理4.2）。命题4.4通过利用密度{qx:x，将对原始过滤F的依赖性从L生成的附加信息中分离出来，从而刻画了G-鞅性质∈ E} 。类似的结果已经出现在扩大过滤的理论中。特别是，命题4.4的结果符合[Jac85，第5节]中提出的类似于Girsanov的初始放大解释的精神。此外，注意到fw相对于L的初始放大与F相对于L在[[L]上的渐进放大一致，∞[[（参见[KLP13，引理3]），在[EKJJ10，命题5.5]中建立了一个类似的结果。相关结果也可以在[GVV06].4.3中找到。产品空间（b）上的可预测表示属性Ohm,英国石油公司）。

本小节的主要目的在于证明F-局部鞅S=（St）t的强可预测r表示性质≥0可以转移到产品空间（bOhm,英国石油公司）。特别是，如果{（mxt）t≥0:x∈ E} 是一个由x参数化的F-鞅族∈ E、 在初始放大的筛选中，我们应该利用强可预测的表示性质，建立一个同时适用于所有（mxt）t的鞅表示结果≥0，x∈ E、 表达式中出现的被积函数的可测性（参见命题4.9，并与备注4.1和附录A进行比较）。本小节给出的结果不依赖于假设2.2。在[FI93]一行中，致力于产品空间（bOhm,bF，bP）允许将随机变量L与原始过滤F解耦。因此，通过将原始概率空间嵌入乘积空间，情况变得类似于带有独立随机变量的F的初始放大，因此可以从初始放大过滤的已知结果中推导出引理4.5和4.8。然而，为了使演示内容完整，我们更愿意为所有结果提供完整的证明。让E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ uxt（ω）是an（bA）BR+——可测量的功能。我们使用符号u·=（u·）t≥0表示映射（x，ω，t）7→ uxt（ω）被视为产品空间（b）上的随机过程Ohm,作为初步证明，我们证明了乘积空间（b）上的鞅性质Ohm,bF，bP）可以用原空间上一类过程的鞅性质来刻画(Ohm, F、 P）。以下引理的效率部分最近已在[EI15，命题4.7]中建立。尽管以下引理的证明与命题4.4的证明非常相似，但为了方便读者，我们提供了全部细节。引理4.5。

安（文学士） BR+-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ uxt（ω）满足λ（dx）<∞, 尽管如此，t∈ R+，i是（b）上的鞅Ohm,bF，bP）当且仅当存在（BE）时 O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ mxt（ω）使得（mxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E、 对于mx-t和ω∈ R+。证据设（x，ω，t）7→ uxt（ω）是满足自由[|uxt |]λ（dx）<∞, 无论如何∈ R+，并且（u·t）t≥0∈ M（bP，bF）。由于t和bf是右连续的，映射（x，ω，t）7→ uxt（ω）是O（bF）可测量的，因此过程（uxt）t≥0是O（F）-可测量的，对于每个人来说∈ E（见第2.2节）。在不失去普遍性的情况下，我们可以 O（F））-映射（x，ω，t）的可测版本7→ uxt（ω），见[SY78，命题3后的R标记1]。考虑任意的s，t∈ 带s的Q+≤ t、 作为∈ f和有界可测函数g:E→ R.然后是随机变量g（·）1和（b）Ohm,bA）isbFs是可测的，因此，（u·t）t的鞅性质是可测的≥0意味着Zeg（x）EuxsAsλ（dx）=bE[u·sg（·）1As]=bE[u·tg（·）1As]=ZEg（x）EE[uxt | Fs]1Asλ（dx），其中我们取条件期望E[uxt | Fs]的可测量版本。通过命题4.4证明中使用的相同等式，我们得到了集合B的存在性∈ 因此λ（B）=1和a（BE）的 O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ bmxt（ω）如（bmxt）t∈Q+是一个鞅(Ohm, F、 P），对于所有x∈ E、 bmxt（ω）=uxt（ω）对allt保持P-a.s∈ Q+和x∈ B.此外，对于每一个t∈ Q+，它认为bp（u·t=bm·t）=REP（uxt=bmxt）λ（dx）=λ（B）=1。定义然后（mxt）t≥0as（bmxt）t的右连续正则化∈Q+，每x∈ E、 18 C.Fontanas在命题4.4的证明中构造，因此（mxt）t≥0∈ M（P，F），每x∈ E

命题的必要性部分随后是（u·t）t的右连续性≥0.逆蕴涵（效率）可以完全如[EI15，命题4.7]所示证明。让我们定义BF适应过程B=（bSt）t≥0bybSt（x，ω）：=St（ω），对于所有（x，ω，t）∈BOhm ×R+。在下面的（琐碎的）结果中，进程Ohm,bF，bP）继承了原过程的局部鞅性质(Ohm, F、 P）。推论4.6。进程b=（bSt）t≥0是（b）上的局部鞅Ohm,英国石油公司）。证据自（圣）t≥0∈ mloc（P，F），存在一个序列{τn}n∈Nof-停止时间将p-a.s.增加到sτn∈ M（P，F），代表所有n∈ N.L.bτN（x，ω）：=τN（ω），对于所有（x，ω）∈BOhm, 它认为{（x，ω）∈BOhm : bτn（x，ω）≤ t} =E×{ω∈ Ohm : τn（ω）≤ t}∈bFt，尽管如此∈ R+和n∈ N、 所以{bτN}N∈纳雷布的停车时间。自bsbτn∧t=Sτn∧tand（Sτn）∧t） t≥0∈ M（P，F），引理4.5意味着（bSbτn∧t） t≥0∈ M（bP，bF），代表所有n∈ N、 从而证明了这一说法。我们现在可以证明S的可预测表示性质(Ohm, F、 P）可以转移到生产空间（bOhm,英国石油公司）。这是下面引理4.8的内容，它可以被视为[EI15，定理4.13]对一般设置的扩展。作为初步说明，我们回顾了强可预测表示性的以下众所周知的特征（参见[Jac79，推论4.12]和[HWY92，定理13.5]中的一维情况），这些特征是在一般的过滤概率空间上制定的(Ohm′, A′，F′，P′）。提案4.7。设X=（Xt）t≥0是上的Rd值局部鞅(Ohm′, F′，P′）。以下是等价的：（i）X在(Ohm′, F′，P′；（ii）对于每个有界N∈ N=0的M（P′，F′），如果NXi∈ Mlo c（P′，F′）F或所有i=1。