初始扩展的强可预测表示性

Fontanate这一主张源于SGon的str on g可预测表示属性(Ohm, G、 P），这符合定理2.6。现在让我们来看命题2.9的证明。尽管命题2.9可以作为推论2.7的特例得到，但事实证明，它可以通过依赖命题4.10的辅助表示结果很快得到证明，如下面的证明所示。命题2.9的证明。如果νt~ λ保持所有t的P-a.s∈ [0，T]，f或一些T<∞, [Ame00，定理3.1]暗示（qL/qLt）t∈[0，T]∈ M（P，G），因此概率测度P被很好地定义并等价于P，因为qLT>0 P-a.s。此外，根据[Ame00，定理3.2]，它认为mlo c（P，F） Mlo c（eP，G），所以∈ Mlo c（eP，G）。设N=（Nt）t∈[0，T]∈ M（eP，G）。作者：Bayes’ru le（qLNt/qLt）t∈[0，T]∈ 因此，命题4.10给出了G-pr可预测过程KL的存在性，使得nt=N+qL（KL·S）t=N+KLqL·StP-a.s.适用于所有t≥ 0.一般情况下会出现本地化（见[HWY92，引理13.2]）。我们以推论2.10的证明作为结论，该证明基于推论2.7以及与命题2.9的证明类似的论点。推论2.10的证明。在推论2.7中，P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E意味着（1/qLt）t≥0∈ Mlo c（P，G）。设{τn}n∈Nbe一系列G停止时间，将P-a.s.增加至完整性，从而（1/qLτn∧t） t≥0是上的一致可积鞅(Ohm, G、 P），对于所有的n∈ N.与命题2.9的证明类似，定义度量dePn:=（qL/qLτN）dP和停止过滤Gn=（GτN）∧t） t≥0，每n∈ N.自S/qL以来∈ Mlo c（P，G）（见推论2.7），Bayes规则暗示（Sτn∧t） t≥0∈ Mlo c（ePn，Gn），适用于所有n∈ N.设N=（Nt）t≥0∈ M（ePn，Gn）。

贝叶斯规则意味着（qLNt/qLτn∧t） t≥0∈ M（P，Gn），并且通过依赖于表示（4.5），过程n将其表示为S的随机积分。因此，停止的过程Sτnhas在(Ohm, 永远的，永远的∈ 因为S是一个特殊的半鞅(Ohm, 根据[J ac85，定理2.5]和Pn~ P、 每n∈ N、 [Jac79，推论7.29]意味着[S，qL/qL]τnis是(Ohm, Gn，ePn），为埃弗林∈ N.然后，作为[HWY92，定理13.12]的结果（尽管其证明延续到d维情况），停止的过程（\'SG）τN=SτN-qL-·hS，qxiF，τnx=L∈ mloc（P，Gn）具有强可预测的表示性质(Ohm, Gn，P），每n∈ N.因为序列{τN}N∈将P-a.s.增加到整数，然后在索赔后面加上[HWY92，引理13.2]。初始放大过滤中的强可预测表示性27附录A。第4.1节解释了F-martingal ESA族的表示结果，我们引入了乘积空间（bOhm,bF，bP），从而建立了P位置4.9的鞅表示结果，它提供了一个同时适用于{（mxt）t族的随机积分表示≥0:x∈ E} F-鞅的可测性依赖于xin，从而确保表示中出现的被积函数具有良好的可测性。如注4.1所述，可以直接证明原空间上同时鞅表示结果的存在性(Ohm, F、 P）。这是以下提议的内容，它允许以依赖更复杂的工具为代价，避免开发第4.3小节。

我们用uS（ω；dt，dy）表示局部鞅S的Rd值的跳跃测度，用νS，F（ω；dt，dy）表示滤波F中相应的补偿测度。如果Ohm ×R+×Rd （ω，t，y）7→ W（ω，t，y）是a（P（F） BRd）-可测量函数，wedenote by W* （uS）- νS，F）关于随机测度uS的随机积分（当它存在时）- νS，F，在[JS03，定义II.1.27]的意义上。我们用Glo c（uS；F）表示所有（P（F）的集合 BRd）-可测函数（ω，t，y）7→ W（ω，t，y）使得随机积分* （uS）- νS，F）存在。我们还用Scand-sds分别表示S的连续和纯不连续的F-局部鞅部分（见[JS03，定理I.4.18]）。提议A.1。假设S=（St）t≥0具有很强的可预测代表性(Ohm, F、 P）。让E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ mxt（ω）be a（be） O（F））-可测函数，如（mxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ 然后存在一个（BE） P（F））-可测函数e×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ θxt（ω）∈ Rd满足θx∈ Lm（S；P，F），适用于所有x∈ E、 such thatmxt（ω）=mx（ω）+（θx·S）t（ω）对所有t保持P-a.S∈ R+和所有x∈ E.证据。由于F-局部m-artin gale S在上具有强可预测的表示性质(Ohm, F、 P）强可预测表示性意味着弱可预测表示性（参见[HWY92，定理13.14]），它认为（A.1）mx=mx+hx·Sc+Wx* （uS）- νS，F），每x∈ E、 where（hxt）t≥0∈ Lm（Sc；P，F）和Wx∈ Glo c（uS；F），每x∈ E.更准确地说，过程（hxt）t≥0可以选择为任何F-可预测过程，使得（A.2）[mx，Sc]=[（mx）c，Sc]=hx·[Sc，Sc]，对于每x∈ E.由于[mx，Sc]在x中是可测量的（见[SY78，命题2]），因此可以找到一个P（F））-可测函数（x，ω，t）7→ hxt（ω）∈ RDS满足（A.2）。

此外，通过遵循[Jac85，命题3.14的证明]第b部分的解释，我们还可以发现a（是 P（F） BRd）-可测函数（x，ω，t，y）7→ Wx（ω，t，y）这样 mxt（ω）=Wx（ω，t，St（ω））1{St（ω）6=0}直到一个不可变集，对于每x∈ E.因为S在28 C.FONTANA上具有强可预测的表示性(Ohm, F、 [Jac79，定理4.80]暗示存在一个{（αi（t，·））t族≥0:i=1，Rd值F-可预测过程的d+1}，使得集B（t，ω）：={αi（t，ω）：i=1，…，d+1}由线性无关的点和满足组成St（ω）∈ B（t，ω）（达到一个瞬逝集）。每x∈ E、 定义Rd+1值F-可预测过程（Vxt）t≥0byVx，it（ω）：=Wxω、 t，αi（t，ω）, 对于i=1，d+1和t∈ R+。观察过程（Vxt）是否≥0在x中是可测量的。遵循蕴涵证明（b）中的构造=>（a） 在[Jac79，定理4.80]中，纯间断F-局部鞅Wx* （uS）-如果存在可预测解（Hxt）t，则νS，F）可以表示为Hx·sdt形式的随机积分≥0到线性系统（A.3）Vx，i- Zx=dXj=1Hx，jαji，对于i=1，d+1，其中，在[Jac79]符号之后，（Zxt）t≥0是一个F-可预测的过程，取决于xin的可测量方式。如[Jac79]所述，系统（A.3）允许一个唯一的解决方案（Hxt）t≥0和themap（x，ω，t）7→ Hxt（ω）是（BE） P（F））-可测量，因为（A.3）中出现的所有过程都是（BE P（F））-可测量。因此，我们为所有x建立了（A.4）mx=mx+hx·Sc+hx·Sd表示∈ E、 其中两个被积函数都以可测的方式依赖于x。最后，因为S h是x上的强可预测表示性质(Ohm, F、 P），[Jac79，定理4.82]和[Jac79，定理4.73]意味着∈ {~n·S:~n∈ Lm（S；P，F）}和Sd，i∈ {~n·S:~n∈ Lm（S；P，F）}，对于所有i=1。

因此，存在两个Rd×d值F-可预测过程（ψct）t≥0和（ψdt）t≥0使得行向量（ψc，i·t）t≥0和（ψd，i·t）t≥0属于Lm（S；P，F），对于每个i=1，d、 Sc=ψ·S和sd=ψd·S。根据局部鞅随机积分的结合性，该断言随后由（x，ω，t）7表示→ θxt（ω）：=ψct（ω）hxt（ω）+ψdt（ω）Hxt（ω），也就是（BEP（F））-可测量。备注A.2。在上面的p屋顶中，一个关键成分由Rd值过程{（αi（t，·）t）族表示≥0:i=1，d+1）}这样圣∈ {αi（t，·）：i=1，…，d+1}。在最近的文献[Son15b]中，这种性质被称为有限F-可预测约束条件。在命题A.1的证明中，基于[Jac79，定理4.80]的构造可以被[Son15b，定理3.5]的直接应用所取代，因为每个F-局部m artin gale Xk（在[Son15b]的旋转中）都可以写成S的随机积分，只要S在(Ohm, F、 P）。参考文献[ABS03]J.阿蒙丁格、D.贝切勒和M.施韦泽。portfoliooptimization中初始信息的货币值。金融斯托赫。，7:29–46, 2003.最初扩大的过滤29[ACJ15]A.Aksamit、T.Choulli和M.Jeanblanc中的强可预测表示性。关于一个可选的半鞅分解和放大滤波中的一个导数的存在性。在C.Donati Martin、A.Lejay和A.Rouault中，编辑，InMemoriam Marc Yor-S\'eminaire de Probabilit\'es XLVII，数学课堂讲稿第2137卷，第187-218页。斯普林格，2015年。[AFK16]B.Acciaio、C.Fontana和C.Kardaras。第一类套利和金融模型中的过滤放大。斯托克。过程。应用程序。，126(6):1761–1784, 2016.[AIS98]J.Amendinger、P.Imkeller和M.Schweizer。内幕消息的附加对数效用。

斯托克。过程。应用程序。，75(2):263–286, 1998.[Ame00]J.阿蒙丁格。初始放大滤波的鞅表示定理。斯托克。过程。应用程序。，89(1):101–116, 2000.[Bau03]F.Baudoin。对金融市场中的预期进行建模。R.Carmona等人，《2002年巴黎普林斯顿大学数学金融学》编辑，第43-94页。柏林海德堡斯普林格，2003年。[Cam05]L.坎皮。关于内幕交易二次套期保值的一些结果。斯托克。斯托克。代表，77（4）：327–3482005。[CCFM17]H.N.Chau、A.Cosso、C.Fontana和O.Mostovyi。具有中间收益的最优投资，不存在风险有界的无界收益。J.阿普尔。Probab。，即将出版，2017年。[CJZ13]G.Callegaro、M.Jeanblanc和B.Zargari。迦太基扩大过滤。《概率与统计》，17:550–5662013。[CT15]H.N.Chau和P.Tankov。具有最优套利的市场模型。暹罗J.金融数学。，6:66–85,2015.[DMM92]C.Dellacherie、B.Maisonneuve和P.-A.Meyer。可能性和潜力。第十七章第二十四章。马尔可夫过程（FIN），计算随机性的补充。赫尔曼，巴黎，1992年。[DS94]F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994.[EI15]N.埃斯迈埃利和P.伊姆凯勒。信息不对称和反映BSDE的美国操作。伯努利，即将出版，2015年。[EKJJ10]N.El Karoui、M.Jeanblanc和Y.Jiao。默认情况下会发生什么：条件密度方法。斯托克。过程。应用程序，120(7):1011–1032, 2010.[EL05]A.埃罗·卢瓦塞尔。带放大过滤的倒向随机微分方程：金融市场中有跳跃的内幕交易者的期权对冲。斯托克。过程。应用程序。，115(11):1745–1763, 2005.[FI93]H.F–ollmer和P.Imkeller。被Girsanov变换抵消的预期：维纳斯空间的悖论。

《中华人民共和国年鉴》，B部分，29（4）：569-5861993年。[GP98]A.格罗鲁德和M.庞蒂埃。连续时间市场模型中的内幕交易。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，1（3）：331-3471998。[GP01]A.格罗鲁德和d M.庞蒂埃。信息不对称和不完全市场。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，4（2）：285-3022001年。[GVV06]D.Gasbarra、E.Valkeila和L.Vostrikova。价格模型中过滤和附加信息的扩大：贝叶斯方法。《从随机微积分到数学金融》编辑Y.卡巴诺夫、R.利普采尔和J.斯托亚诺夫，第257-285页。柏林斯普林格，2006年。[HWY92]何世伟、王俊杰和严俊杰。半鞅理论和随机演算。科学出版社，北京，1992年。[Jac79]J.Jacod。《计算随机性与鞅问题》，数学课堂讲稿第714卷。柏林斯普林格，1979.30 C.丰塔纳[Jac85]J.贾科德。粗体字首字母，缩略词（H\'），和其他词。在T.Jeulin和M.Yor主编的《粗滤：et应用范例》，数学课堂讲稿第1118卷，第15-35页。柏林斯普林格——海德堡，1985年。[Jeu80]T.Jeulin。《半鞅与Grossissement d\'une过滤》，数学课堂讲稿第833卷。柏林斯普林格，1980年。[JLC09]M.Jeanblanc和Y.Le Cam。随着初始时间的增加，过滤逐渐扩大。斯托克。过程。应用程序。，119(8):2523–2543, 2009.[JLC10]M.Jeanblanc和Y.Le Cam。浸入式房地产和信用风险建模。在F.Delbaen、M.R\'asony和C.Stricker的《优化与风险：数学金融的现代趋势》中，编辑：ed itors，第99-132页。斯普林格，2010年。[JS03]J.Jacod和A.N.S.hiryaev。随机过程的极限定理，Grundlehren Dermathematichen Wissenschaften第288卷。柏林斯普林格出版社，第二版，2003年。[JS15]M.Jeanblanc和S.Song。

逐步放大滤波中的鞅表示性质。斯托克。过程。应用程序。，125(11):4242–4271, 2015.[JYC09]詹布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。斯普林格金融公司。斯普林格，伦敦，2009年。[KK07]I.Karatzas和C.Kardaras。半鞅金融模型中的num’eraire投资组合。金融斯托赫。，11(4):447–493, 2007.[KLP13]Y.Kchia、M.Larsson和P.Protter。将渐进式和初始过滤扩张联系起来。在F.Viens，J.Feng，Y.Hu，an d E.Nualart，《Malliavin微积分和随机分析：David Nualart的Festschrift inHonor》，第34卷《Springer Proceedings In Mathematics&Statistics》，第469-487页。斯普林格，2013年。[Pro04]P.普罗特。随机积分和微分方程。数学应用。柏林斯普林格，2.1版，2004年。[Son87]S.宋。过度过滤和问题。1987年，巴黎第六大学博士论文。[Son14]S.宋。逐步扩大过滤的可选拆分公式。ESAI M：概率与统计，18:829–853，2014年。[Son15a]S.宋。关于扩大过滤的介绍。预印本可用athttps://arxiv.org/abs/1510.05212, 2015.[Son15b]S.宋。鞅表示过程及其在信息流扩张下市场生存能力中的应用。预印本可在http://arxiv.org/abs/1505.00560, 2015.[SY78]C.斯特里克和M.约尔。计算随机性。华尔希。没错。格比特，45（2）：109-1331978。Claudio Fontana，巴黎迪德罗大学（法国）概率与模型实验室电子邮件地址：fontana@math.univ-巴黎狄德罗。fr