抵押市场中的外汇建模：国外指标、基准曲线、，

我们将Duffee[2001]的讨论扩展到包括抵押品，并将重新标度的数量定义为“Vkt:=VktBt，\'Ckt:=CktBt，\'Dkt:=Dk+ztddkubu”，这允许我们将重新标度的增益过程写为“Gkt:=”Vkt+\'Dkt-“Ckt。然后，为了消除套利，我们假设存在一个与物理测度P等价的测度Q，这样重新标度的增益过程是“gktar鞅”，因此我们可以写出evkt=BtEt“VkTBT+ZTtdπkuBu+ZTtCkuBu（ru- cku）du#（38）如果预期是根据措施Q进行的，并以Ft.A.2性能抵押为条件，那么如果我们能够找到一个适当的保证金程序，能够消除投资者或交易对手违约事件的任何损失，则可以调整上一小节中获得的定价方程（38）。对于连续价格过程Vkt，即如果我们可以忽略缺口风险，我们可以考虑以下近似值以消除损失，如Pallavicini和Brigo[2013]所述。Ckt.=Vkt。如inBrigo等人[2011]所示，我们可以将这种近似值应用于大多数报价利率产品。此外，我们还可以将其扩展到外汇产品，前提是我们可以放弃因违约事件导致的外汇汇率贬值。详见Ehler和Schoenbucher[2006]。N.Moreni，A.Pallavicini，《抵押市场中的外汇建模》28在该假设下，我们通过费曼-卡克定理从（38）中获得，即vkt=zttehd（t，u；r）dπku+Vku（ru- cku）杜i=ZTtEthD（t，u；ck）dπkui（39），其中我们假设终端条件VkT=0，期望值在Qmeasure下取值，我们定义了通用利率xtasD（t，t；x）：=exp的贴现系数(-ZTtdu xu）。我们注意到，完美的抵押条件意味着证券价格不再依赖于无风险利率rt。参见Pallavicini等人。

[2011]讨论了这种不变性。A.3外币股息过程我们可以通过假设累积股息过程可能以不同于国库银行账户货币的货币支付或接收，来扩展之前的分析。我们将银行账户的货币命名为本国货币，将所有其他货币命名为外币。我们在每套证券中引入红利，在每套证券中引入红利-Ztck、auCk、AUDU当重新调整抵押品和累计股息过程由以下公式给出时，\'Ckt:=XaχatBtCk，at，\'Dkt:=XaDk，a+XaZtχauBudDk，其中χatis是将以货币a表示的现金转换为银行账户货币的外汇即期汇率。重新缩放的增益过程如前所述定义为“Gkt:=”Vkt+”Dkt-“Ckt。然后，如果我们假设重标度增益过程是Q测度下的鞅，我们可以计算证券的价格。我们详细地学习代数。Vkt=BtEt“VkTBT+XaZTtdDk，auBu-XaχaTCk，aTBT+XaχaTCk，aTBT#=BtEt“VkTBT+XaZTtχauBudπk，au+XaZTtχauBudCku-XaχaTCk，aTBT+XaχaTCk，aTBT+XaZTtckuχauCk，auBudu#=BtEt“VkTBT+XaZTtχauBudπk，au+XaZTtχaubuk，auBu（cku）- ru）du+dχauχau#.我们定义了货币a的抵押基差曲线短期利率bat（c）和国内抵押ctasbat（c）dt:=ctdt- EtdχatχatN.Moreni，A.Pallavicini，《抵押市场中的外汇建模》29获得外国分割证券的定价方程的步骤SvkT=BtEt“VkTBT+XaZTtχauBudπk，au+XaZTtχauCk，auBu（cku- bau（c）+cu- ru）du#。（40）一个相关案例是由一个衍生合同给出的，该衍生合同以单一外币f的保证金程序进行了完美的担保。

在这种情况下，我们可以设置χftCk，ft.=Vkt。如果我们把这个关系代入方程（40），应用费曼-卡克定理，wegetVkt=ZTtEt“D（t，u；ck- bf（c）+c）Xaχaudπk，au#（41），其中我们假设终端条件VkT=0.B估算MtM支腿修正在本节中，我们计算出第3.2.2节中获得的公式，并需要对按市场计价的CCS支腿的净现值进行估值。我们的目标是对这些贡献进行粗略而简单的估计，因此我们的计算基于straghtforward市场模型，只需使用很少的输入数据。B.1国内MTO价值条款进入国内段的NPV，见公式（22），我们提出了一个简单的市场模型，用于远期汇率和远期Libor利率，并对远期利差进行静态贴现。设Et（Ti；e）为简单复合贴现率，定义为1+τEt（Ti；e）：=Pt（Ti）-1.e） Pt（Ti；e），其方差驱动连接测量QTi所需的Radon-Nikodym导数-1.eandQTi；e、 见等式（28）。为了应对负伦敦银行同业拆借利率，我们假设远期伦敦银行同业拆借利率Ft（Ti；e）根据位移的对数正态扩散过程演变我≥ 0dFt（Ti；e）=（Ft（Ti；e）+i） ηidWF，it+（···）dt（42），其中第i个正向漂移项在QTi下消失；e、 此外，我们假设Et（Ti；e）和Ft（Ti；e）asFt（Ti；e）之间存在静态相加≈ Et（Ti；e）+（F（Ti；e）- E（Ti；E））：=Et（Ti；E）+β在QTi下；e、 dEt（Ti；e）≈ （Et（Ti；e）+i+βi）ηidWF，它。（43）N.Moreni，A.Pallavicini，《抵押市场中的外汇建模》30这种选择很自然，因为市场不会引用任何与简单复合贴现率相关的波动性产品。

现在我们对远期汇率Xt（Ti）进行建模-1.e） 通过对数正态过程得到，在QTi下；e、 dXt（Ti）-1.e） =Xt（Ti）-1.e） σi-1.dWX，我-1t-τi（Et（Ti；e）+i+βi）1+τiEt（Ti；e）ηiρF，Xi，i-1dt, （44）式中ρF，Xi，i-1是推动i-TH远期伦敦银行同业拆借利率的布朗运动与（i- 1） -分别为第次远期汇率。由于我们只想提供简单的公式，我们冻结了Xt（Ti）的漂移-1.e） 在时间t和getETi；etχTi-1.= Xt（Ti）-1.e） 经验-τi（Et（Ti；e）+i+βi）1+τiEt（Ti；e）σi-1ηiρF，Xi，i-1（Ti）-1.- （t）ETi；ethχTi-1LdTi-1（Ti）i=ETi；etχTi-1.（英尺（Ti；e）+i） eσi-1ηiρF，Xi，i-1（Ti）-1.-（t）- 我. （45）B.2国外MtM完全类似于国内MtM案例，我们引入了Eft（Ti；e），即定义为1+τEft（Ti；e）的简单组合基准国外贴现率：=Pft（Ti；e）-1.e） Pft（Ti；e），通过构建QTi；bmartingale和Xt（Ti）的产品-1.e） 驱动theRadon Nikodym公司-1，它（e；b），见等式（31）。假设基础远期伦敦银行同业拆借利率Fft（Ti；e）根据位移对数正态微分过程演变，我们允许存在负的外汇伦敦银行同业拆借利率菲≥ 0dFft（Ti；e）=Fft（Ti；e）+菲ηfidWFf，it+（···）dt（46），其中第i个正向漂移项在QTi下消失；b、 此外，我们假设Eft（Ti；e）和Fft（Ti；e）之间的静态相加读取为Fft（Ti；e）≈ Eft（Ti；e）+（Ff（Ti；e）- Ef（Ti；e））：=Eft（Ti；e）+βf在QTi下；b、 灵巧的≈Eft（Ti；e）+fi+βfiηfidWFf，它。（47）现在我们对远期汇率Xt（Ti）进行建模-1.e） 通过QTI下的无漂移对数正态过程-1.e、 这样，切换到测量QTi；b、 我们有DXT（Ti-1.e） =Xt（Ti）-1.e） σi-1.dWX，我-1t+σi-1.-τiEft（Ti；e）+fi+βfi1+τiEft（Ti；e）ηfiρFf，Xi，i-1.dt,（48）并且，根据它的公式，d（1/Xt（Ti-1.e） ）1/Xt（Ti-1.e） =σi-1.τiEft（Ti；e）+fi+βfi1+τiEft（Ti；e）ηfiρFf，Xi，i-1dt- dWX，我-1t,N.莫雷尼，A。

Pallavicini，《抵押市场中的外汇建模》，31其中ρFf，Xi，i-1是驱动第i个外国基准远期伦敦银行同业拆借利率的布朗运动与（i- 1） -远期汇率。通过冻结xt（Ti）的漂移-1.e） 在时间t我们得到了；bt“χTi-1#=Xt（Ti）-1.e） 经验τiEft（Ti；e）+fi+βfi1+τiEft（Ti；e）σi-1ηfiρFf，Xi，i-1（Ti）-1.- （t）ETi；英国电信LfTi-1（Ti）χTi-1.= ETi；bt“χTi-1#Fft（Ti；e）+菲E-σi-1ηfiρFF，Xi，i-1（Ti）-1.-（t）- 菲. （49）备注B.1。（替代方法）这些公式仅在形式上类似于国内MtM案例，但我们所做的动力学选择是不同的。我们本可以决定采用与Sec相同的建模假设。B.1，通过切换到等式（25）中的国内措施，gettingETi；bt“χTi-1#=ETi；et“XTi（Ti；e）XTi-1（Ti）-1.e） #ETi；英国电信LfTi-1（Ti）χTi-1.= ETi；etXTi（Ti；e）FfTi-1（Ti；e）XTi-1（Ti）-1.（e）. （50）通过采用与等式中相同的模型，可以很容易地获得第一个贡献。（43-44），它将涉及连续远期外汇汇率之间的相关性，以及- 1） -第四种远期汇率和第i种国内贴现简单汇率。第二项需要确定QTi，e下Fft（Ti；e）的动力学。结果将比等式（49）的结果稍微复杂一些，但仍然很容易获得，因为RadonNikodym导数连接QTi，bto QTi，EreAdddQTi，bdQTi，et=Xt（Ti；e）X（Ti；e）。值得强调的是，由于identityXt（Ti；e）Xt（Ti-1.（e）≡它们是相互纠缠的。若我们将远期汇率和国内简单汇率设定为基本汇率，则国外基础简单汇率的动态将遵循其规则，不再符合自由选择。

例如，根据Eqs。（43-44），我们变得灵活了=τi+Eft（Ti；e）σi-1dWX，我-1.- σidWX，i+τi（Et（Ti；e）+i+βi）1+τiEt（Ti；e）ηidWF，i.在这样一个框架下，认为Fft（·；e）和Eft（·；e）是通过静态排列联系起来的，这是不自然的。备注B.2。（外国基准伦敦银行同业拆借利率波动率）由于没有市场产品可直接从中得出外国基准远期伦敦银行同业拆借利率波动率ηfi，我们建议，作为合理的替代，使用从单一货币离岸市场推导出的ATM caplet/Fl oorlet隐含波动率。N.Moreni，A.Pallavicini，抵押市场中的外汇建模32N。爸爸和F.帕克。从动荡到危机：外汇互换市场的混乱。工作文件，285，2009年。N.Baba、F.Packer和T.长野。货币市场动荡对外汇掉期和跨货币掉期市场的溢出。BIS季度审查，2008年1月。B.B.Barkbu和L.L.Ong。外汇互换：对金融和经济稳定的影响。国际货币基金组织工作文件，55，2010年。D.布里戈、A.卡波尼、A.帕拉维奇尼和V.帕帕西奥多鲁。无比特率交易对手估值调整中的抵押品保证金，包括再抵押和净额结算。工作文件，2011年。URL ssrn。通用域名格式。D.布里戈、A.卡波尼、A.帕拉维奇尼和V.帕帕西奥多鲁。交易对手的定价风险包括抵押、净额结算规则、再抵押和错路风险。《国际理论与应用金融杂志》，16（2），2013a。D.布里戈、M.莫里尼和A.帕拉维奇尼。交易对手信用风险、抵押品和资金，以及所有资产类别的定价案例。奇切斯特威利，2013b。D.Brigo、M.Francischello和A.Pallavicini。包含信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值PDE和FBSDE解的不变性、存在性和唯一性。工作文件，2015年。URL ssrn。通用域名格式。C.伯加德和M.克杰。

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